Aula de hoje
Vetores
Vetores
Velocidade
Grandezas Físicas
27 oC 127 km/h Rodovia Dom Pedro Sen6do São José dos Campos
Temperatura
Módulo Módulo+Direção+Sen@do
Velocidade
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Vetores
Escalar Vetor
Temperatura Velocidade
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Módulo Módulo+Direção+Sen@do
Escalar Vetor
Temperatura Energia Massa Tempo ....
Velocidade Força Torque Campo elétrico ...
Grandezas Físicas
Vetores
Módulo Módulo+Direção+Sen@do
direção
módulo sentido A
A também pode ser representado por A
O módulo de é representado por ⎪ ⎪ ou simplesmente por A
A A
Se dois vetores têm o mesmo módulo, direção e sentido, eles são iguais
B
B = A
Vetores
Vetores unidimensionais
A
x
y Vetores bidimensionais
A x
Vetores tridimensionais
A
x
y
z
1D 2D
Exemplos de vetores Deslocamento e velocidade
3D
Como representar vetores?
Vetores unidimensionais
Resp: Versores
𝐴 = 𝐴↓𝑥 𝑥
x0 𝑥
𝐴↓𝑥
|𝑥 |=1
Vetores bidimensionais 𝐴 = 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦
|𝑥 |=|𝑦 |=1
x0 𝑥
𝐴↓𝑥
𝑦 𝐴↓𝑦 𝐴
y
Vetores tridimensionais 𝐴 = 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧
|𝑥 |=|𝑦 |=|𝑧 |=1
x
𝑦 𝐴↓𝑥
𝑧
𝐴↓𝑦
𝐴
y
z
𝐴↓𝑧
𝑥
Como representar vetores?
𝐴 = 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧 𝐴 =(𝐴↓𝑥 , 𝐴↓𝑦 , 𝐴↓𝑧 )
Generalizando:
𝐴 = 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 𝐴 =(𝐴↓𝑥 , 𝐴↓𝑦 )
𝐴 = 𝐴↓𝑥 𝑥
3D
2D
1D
𝐴 =6 𝑥 +3 𝑦 =(6,3)
Exemplo
x0
𝐴
y
1 2 3 4 5 6
1
2
3
Representação de módulo e ângulo
x0
𝐴↓𝑥
𝐴↓𝑦 𝐴
𝜃
|𝐴 |=𝐴
𝐴↓𝑥 =𝐴cos𝜃 𝐴↓𝑦 =𝐴sin 𝜃
tan𝜃= 𝐴↓𝑦 /𝐴↓𝑥
𝐴=√𝐴↓𝑥 ↑2 + 𝐴↓𝑦 ↑2
Para casa...
x
𝐴↓𝑥 𝐴↓𝑦
𝐴
y
z
𝐴↓𝑧
𝑥
𝜃
𝜑
Como escrever 𝐴↓𝑥 , 𝐴↓𝑦 e 𝐴↓𝑧 em termos de |𝐴 |=𝐴 e do ângulos 𝜃 e 𝜑?
Soma de vetores
𝐴 𝐵
𝐴 𝐵
𝑆 = 𝐴 + 𝐵
𝐴 𝐵
Soma de vetores
Método Geométrico
𝐴
Soma de vetores
Método Geométrico
𝐵
𝑆 = 𝐴 + 𝐵
Propriedades 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
𝐴 𝑆
𝐵 𝑆
𝐵 𝐴
Soma de vetores 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐵 + 𝐶 + 𝐴
𝐴
𝑆
𝐵
𝑐 𝐴
𝑆
𝐵 𝑐
Soma de vetores 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 𝐶 + 𝐴 + 𝐵
𝐴
𝑆
𝐵
𝑐 𝐴
𝑆
𝐵
𝑐
𝐴
Subtração de vetores
− 𝐵 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 +(− 𝐵 )
𝐵
𝐴
Subtração de vetores
− 𝐵
𝑆 = 𝐴 − 𝐵
𝐴 − 𝐵 = 𝐴 +(− 𝐵 )
𝐴 𝑆 𝐵
𝑐 𝑆
x
𝑐
𝐵
𝐴 y
x
𝐴
𝐵
𝑆
y
𝑐
𝑆 = 𝑆↓𝑥 𝑥 + 𝑆↓𝑦 𝑦 𝑆↓𝑥 =∑↑▒𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑥 𝑆↓𝑥 = 𝐴↓𝑥 + 𝐵↓𝑥 + 𝐶↓𝑥 𝑆↓𝑦 =∑↑▒𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑦 𝑆↓𝑦 = 𝐴↓𝑦 + 𝐵↓𝑦 + 𝐶↓𝑦
Mul@plicação por uma constante
0<𝑘↓1 <1 𝑘↓2 >1 𝑘↓3 <0
A
kA, 0<k<1
kA, k>1
kA, -‐1<k<0
Mul@plicação de vetor por um vetor
Produto escalar 𝐴 ∙ 𝐵 =|𝐴 ||𝐵 |cos𝜑
𝐴
𝐵
𝜑
𝐴
𝐵
𝜑
Projeção de |𝐴 |na direção de |𝐵 |
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴
Se os vetores são colineares
𝐴 ∙ 𝐵 =|𝐴 ||𝐵 |=AB cos𝜑=1
Se os vetores são perpendiculares
𝐴 ∙ 𝐵 =0 cos𝜑=0
Mul@plicação de vetor por um vetor
Produto escalar Em termos de coordenadas
𝑥 ∙ 𝑥 = 𝑦 ∙ 𝑦 = 𝑧 ∙ 𝑧 =1
𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑧 = 𝑦 ∙ 𝑧 =0
𝐴 ∙ 𝐵 =( 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧 )∙( 𝐵↓𝑥 𝑥 + 𝐵↓𝑦 𝑦 + 𝐵↓𝑧 𝑧 )
𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴↓𝑥 𝐵↓𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝐵↓𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝐵↓𝑧
Produto Vetorial
Produto vetorial 𝐴 × 𝐵 = 𝐶 |𝐶 |=|𝐴 ||𝐵 |sin 𝜑
( 𝐴 × 𝐵 )=−( 𝐵 × 𝐴 )
Regra da mão direita
𝐵
𝐴
𝜑
𝐶 𝐵
𝐴
𝜑
𝐶
𝑥 × 𝑥 = 𝑦 × 𝑦 = 𝑧 × 𝑧 =0
𝑥 × 𝑦 = 𝑧
𝐴 × 𝐵 =( 𝐴↓𝑥 𝑥 + 𝐴↓𝑦 𝑦 + 𝐴↓𝑧 𝑧 )×( 𝐵↓𝑥 𝑥 + 𝐵↓𝑦 𝑦 + 𝐵↓𝑧 𝑧 )
𝐴 × 𝐵 =(𝐴↓𝑦 𝐵↓𝑧 − 𝐵↓𝑦 𝐴↓𝑧 )𝑥 +(𝐴↓𝑧 𝐵↓𝑥 − 𝐵↓𝑧 𝐴↓𝑥 )𝑦 + +( 𝐴↓𝑥 𝐵↓𝑦 − 𝐵↓𝑥 𝐴↓𝑦 ) 𝑧
𝑥 𝑦
𝑧 Produto Vetorial
Alguns exemplos de produto escalar e vetorial
Produto escalar
Produto vetorial
𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑
𝑈=− 𝜇 ∙ 𝐵
𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣
𝑣 = 𝜔 × 𝑟
𝜏 = 𝑟 × 𝐹
𝐹 =𝑞𝑣 × 𝐵
→ Trabalho
→ Potência
→ Energia potencial magné6ca
→ velocidade angular
→ Torque
→ Força de Lorentz
Exercício 1 Seja 𝐴 =(5,2) e 𝐵 =(−3,−5). Determine 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 : a) Na notação de par ordenado b) Na notação de magnitude de ângulo
Exercício 2 Um avião decola de um aeroporto e um dia nublado e é avistado mais tarde a 215km de distância, em um curso que faz um ângulo de 22o a leste do norte. A que distância a leste a ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado?
Exercício 3 Uma pessoa se afasta de você em linha reta (vetor 𝐴 ), muda de direção, caminha novamente em linha reta (vetor 𝐵 ) e pára. Que distância você deve caminhar e linha reta (vetor 𝐶 ) para chegar até ela? Dados: |𝐴 |=22,0𝑚 e faz um ângulo de -‐47,0 (sen6do horário) com o eixo x posi6vo. O vetor |𝐵 |=17,0𝑚 e faz um ângulo 𝜑(an6-‐horário) com o eixo x posi6vo.
Derivada Posição, velocidade e aceleração Leis de Newton
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