1 Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalid kalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316 AVALIAÇÃO DA...

Prof. Dr. Ricardo de Araújo Kalidkalid@ufba.br - (71) 3283.9811 ou (71) 9188.3316

AVALIAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO

INCERTEZA DE MEDIÇÃOPrograma da disciplina

1. Introdução e bibliografia2. Histórico e SI – Sistema Internacional de Unidades3. “Navegar é preciso, viver não é preciso”

ou conceitos sobre incerteza de medição4. “Não é que eu procure falar difícil,

é que as coisas têm nome”: VIM5. Um pouco de estatística6. Balanço de incerteza7. Roteiro para avaliação da incerteza de medição8. Exemplos de avaliação da incerteza de medição9. “Existem mentiras, diabólicas mentiras e estatísticas.

A escolha é nossa.” ou mais um pouco de estatística 10.Outros métodos para a avaliação da incerteza11. Temas de pesquisa em incerteza de medição12.Resumo: avaliação da incerteza de medição13.Roteiro para elaboração e entrega do trabalho.

Mark Twain atribuiu a Benjamin Disraeli a seguinte frase:

“Existem mentiras, diabólicas mentiras e

estatísticas. A escolha é nossa.”

Média, Variância e Desvio padrão

• μx é a média (“mean”) ou valor esperado de x é, por definição:

onde é a PDF da variável aleatória

x x E x x p x dx

• Se g(x) é uma função real, G = g(x) é uma nova variável aleatória cujo valor médio (“average”) ou valor esperado é, por definição:

2g g x E g x g x p x dx

• σx

2 , variância (“variance”) de x é média da função (x- μx)2:

2 2 22 : 3x x x xV x x E x x p x dx

• σ , desvio padrão (“standard deviation”) de x é raiz

quadrada positiva da variância: 2: 4x x V x

Média e Desvio Padrão de uma PDF uniforme

2 2 21 11 : : 0

2 2 2 4.

x a ade x E x x p x dx x dxa a a

32 2 22

33 3 22

1 13 : : 02. 2. 3

2 .6 6. 3 3

x x xa a

xde E x V x x p x dx x dxa a

a a a a aa a

1/(2a)

Função densidade de probabilidade (distribuição)

uniforme

p = 57,735%

DISTRIBUIÇÃO TRIANGULAR

Função triangular

1 1 21 2

2 3 43 4

/ 2 2 1/ / 2 1

1/ 1/,1/

1/,1/0,0

Área da PDF:

1 ponto:2 ponto:

TA base altura a a

cc c aa a bp x c c xa c c b ab a c

ca c c bb ap x c c x

c c aa

Variávelaleatória-a a

Probabilidade de ocorrência

p1(x)p2(x)

PDF triangular

0 ,1 1/ ,

1 1/ ,

xa a b

de x E x x p x dx x p x dx x p x dx x p x dx

E x x p x dx x p x dx x p x dx

x aap x x a x b

a b a bp x

ap x x b x aa b a b

Probabilidade de ocorrência1/a

p1(x)p2(x)

Média de uma PDF triangular

2 32 3 2 2 3 3

2 3 2 2 3 32

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 3 4

2 3 2 3

b bb b b

a a a a a

x x b a b ax c c x dx c xdx c x d

b a b a a b a b

x c c c c

c c c c

aa b a

1 1 12

aa b a b

a aa b a b a b a b

a b a a ba b a ba b

b a a a b

a bb a

3 3 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2

2 23 3 3 2

2 2 2 2 2

2 / / / /3

2 2 / 2 2 2 233 3

a b a b

b b a b a b b a a a b b a a b a ba b a b

b ab b a a b ba b b bb b b ba b a b a b

Média de uma PDF triangular

p1(x)p2(x)

• Nesse caso se observarmos que b é o ponto central e que as intersecções são –a e +a implica que o valor de b é 0 (zero)

• Observando a forma geométrica da PDF, a média é igual b = 0 (zero)

/ 2 2 1/ / 2 1Área da PDF: TA base altura a a

Desvio padrão de uma PDF triangular

2 2 22

2 221 2

1 1/ 1 1/3 3

Neste problema

x x x xa

x x xa b

de V x E x x p x dx x p x dx

x p x dx x p x dx

b a b ax x dx x x dxa b a b a b a bb

0 0 2 3 2 32

2 2 2 20 0

0 0 3 4 3 43 4 3 4 3 4 22

2 2 2 2 20 0

2 23 4 3 4 3 4 3 4 3 4 6

x x x xx dx x x dx dx dxa a a a a a a

a a a ax x x x a a aa a a a a a a a a a

p1(x)p2(x)

Média e desvio padrão de uma PDF

triangular

p1(x)p2(x)

variância de uma PDF tria

ia de uma PDF triangular

vio padrão de uma PDF tr

ngular:

iangula

Função densidade de probabilidade (distribuição)

triangular

64,983%

Exercício:

x p x dx

exp exp

Integral indefinida por partes:

Integral definida por partes: b b

u x dv x u x v x u x dv x

u x v x dx u x v x u x v x dx

u x u x v x xu x xv x v x

u x v x

exp exp exp1 1exp

1 1 1 1exp exp exp exp exp

1 1 1 1exp exp exp exp

x dx x

x dx x x

x x xx

x x x x x

0 0 E AGORA?x

Exercício:

• A função exponencial é sempre crescente• Vamos testar para ver se é uma PDF

x p x dx

expexp

exp exp

exp não é uma PDF !

PDF p x dx dx

Exercício:

• Todo esse tempo e trabalho jogado fora!

• Antes de fazer mecanicamente, PENSE!17

x p x dx

expexp

exp exp

exp não é uma PDF !

PDF p x dx dx

Exercício:

• A função exponencial é sempre crescente• Vamos testar para ver se é uma PDF

x p x dx

expexp

exp exp

PDF p x dx dx

Média e desvio padrão de uma PDF exponencial

exp , 0; ; 0

0 , 0x x

2 2 22

1 : : exp

3 : : exp

x E x x p x dx x x dx

V x E x x p x dx x x dx

Média de PDF exponencial

exp , 0; ; 0

xde x x E x x p x

x xp x

xx x dxd

expexp

exp' ' expexp

Integral indefinida por partes:

u x dv x u x v x u x dv x

u xu x x u x v x x

v x u x v xv xx

exp exp exp exp exp

expexp ex 1ep xp

b b bb b

a aa a a

x dx x dx x dxx x x x x

xx dx x x dx xx x

Desvio padrão de PDF exponencial

exp , 0; ; 0

exp3 : :de x x x xE x x p x dx x dx

x xp x

' 2exp2exp

exp' exp ' 2 exp

exp exp

u x xu x x u x v x x x

xv x xv x x u x v x x x

x x dx x

exp exp 2 exp 2 exp

exp 22exp exp exp exp

b b bb

x x xa

bb b b xx x aa

x x x dx

x x dx x x x x dx x dx

xx x dx x x x x

exp2exp exp

exp2 2exp

exp 0 exp

xxx x x x xxdx

2 22 22

2 2exp exp 0

exp 00exp 0

1 1; expx x x x x

x p x dx x x dx

Distribuição Gaussiana (Normal)

1 1, : ; , exp22

1 1exp 68,27%22

xX x x X x x

X x x x x x x x

xN p x

P X x x dx

p = 68,27%

Interpretação do desvio padrão

PDF Área correspondente a

Uniforme ou retangular 57,74 %

Triangular 64,98 %

Normal ou gaussiana 68,27 %

NÍVEL DE CONFIANÇA

Nível de Confiança e Nível de Significância

• NC: nível de confiança = probabilidade de acerto• NC: área sobre a curva da PDF• NS = 100 - NC : nível de significância

Problema unicaudal X bicaudal

• Problema unicaudal: Nx( X < x | μx , σxx )

• Problema bicaudal: Nx( xi < X < xs | μx , σxx )

1 1, , exp22

X x x X x xxx

F x N X x d

1 1, exp22

X s x x X i x x X i s x x

X i s x xxx x

F x F x N x X x

N x X x d

PDF normalProblema unicaudal Problema bicaudal

Código MATLAB para gráfico da lâmina anterior

clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ; GL = 1e3 ;NC = 95 ; % Nível de confiança = área em baixo da PDF% tipo_de_problema = 'unicaudal' ;tipo_de_problema = 'bicaudal' ;NS = 100 - NC ; % Nível de significânciaif strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') x.Normal = norminv(NC/100,media,desvio_padrao) ; x.Normal = [ -10 x.Normal ] ;else x.Normal = norminv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],media,desvio_padrao) ;endabscissa = -10:0.1:+10 ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;plot(abscissa,p.Normal,'b','LineWidth',2) ; hold onabscissa = min(x.Normal):0.1:max(x.Normal) ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;stem([ min(x.Normal) abscissa max(x.Normal) ] , [ 0 p.Normal 0 ] , '.' )xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','PDF']) ; title(['\fontsize{16}','PDF normal'])texto_1 = [ 'Problema ' tipo_de_problema ] ;texto_2 = [ 'Nível de confiança: ' num2str(NC) ' %'] ;texto_3 = [ 'Valor superior de x: ' num2str(max(x.Normal)) ] ;if strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') texto_4 = [ 'Valor inferior de x: -infinito' ] ;else texto_4 = [ 'Valor inferior de x: ' num2str(min(x.Normal)) ] ;endtext(-8,0.30,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_1],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.27,['\fontsize{16}','\color{black}',texto_2],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 0])text(-8,0.24,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_3],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])text(-8,0.21,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_4],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])

CDF - Cumulative distribuition fuction

• Função de distribuição acumulada• Função de densidade de probabilidade

F xF x P X x p x dx dx

:e : X

X XX X

F xPDF f x p xP

xF x X x

• Ex.: para NX(µx,σxx) :

1 1, , exp22

X x x X x xxx

F x N X x d

clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ;x = -1e1:0.1:+1e1 ; CDF_G = cdf('Normal',x,media,desvio_padrao) ;plot(x,CDF_G,'r','LineWidth',2)axis([-11 +11 -0.1 +1.1] )legend(['\fontsize{16}','Normal(0;1)'])xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','CDF']) ; title(['\fontsize{16}','Função de distribuição acumulada']) ; gridtexto.G = [ 'Valor acumulado para N = ',num2str(CDF_G(end)) ] ;text(-8,0.70,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto.G ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor' ,... [.9 .9 .9])

iCDF: Inverse of the cumulative distribution function or

inverse distribuition function orpercent point function (PPF)

• Função de distribuição acumulada:– Para uma certa PDF, dado um x obtém-se a

probabilidade p = PX ( X < x ) = FX ( x )

• Função inversa de distribuição acumulada– Para uma PDF, dada uma probabilidade PX obtém-

se o valor x tal que a probabilidade seja p

1Xx F p x F x p

PDF normal inversa• Função normal inversa de distribuição acumulada

X x x X x x

x F p x F x p

OUTRAS PDFs

• Trapezoidal: variância =– PDF triangular: β = 0 – PDF uniforme: β = 1

• Gama• Beta• t-Student.

2 ²(1 β),β6x

Distribuição Gamma (, )

xf x x e

Distribuição Beta

;0 1 0 ; 0

f x x x

PDF t de Student

MATLAB: p = tpdf ( x , v )p = tpdf ( 0, 1:6 )

p = 0.3183 0.3536 0.3676 0.3750 0.3796 0.3827

p x vv v x

Valores para a distribuição t de Student

Unicaudal 75% 80% 85% 90% 95% 97,5% 99% 99,5% 99,75% 99,9% 99,95%Bicaudal 50% 60% 70% 80% 90% 95% 98% 99% 99,5% 99,8% 99,9%GL = 1 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,71 31,82 63,66 127,3 318,3 636,6GL = 2 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 14,09 22,33 31,60GL = 3 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,21 12,92GL = 4 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,610GL = 5 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869GL = 6 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959GL = 7 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408GL = 8 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041GL = 9 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 3,690 4,297 4,781GL = 10 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587GL = 15 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073GL = 20 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,850GL = 25 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,078 3,450 3,725GL = 30 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,030 3,385 3,646GL = 40 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551GL = 50 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 2,937 3,261 3,496GL = 60 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 2,915 3,232 3,460GL = 80 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 2,887 3,195 3,416GL = 100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 2,871 3,174 3,390GL = ∞ 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 2,807 3,090 3,291

• Função de distribuição acumulada• Função de densidade de probabilidade

:e : X

X XX X

F xPDF f x p xP

xF x X x

1 12 2 1

v vtF x v T X x v dt dt

v vvv tvv

• Ex.: para t-Student para v > 1 :

clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ;x = -1e1:0.1:+1e1 ; CDF_G = cdf('Normal',x,media,desvio_padrao) ;GL = 5 ; CDF_t5 = tcdf(x,GL) ;GL = 1 ; CDF_t1 = tcdf(x,GL) ;plot(x,CDF_G,'r',x,CDF_t5,'g',x,CDF_t1,'b','LineWidth',2)legend(['\fontsize{16}','Normal(0;1)' ], ['\fontsize{16}','t com GL = 5'],['\fontsize{16}','t com GL = 1'])xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','CDF']) ; title(['\fontsize{16}','Função de distribuição acumulada']) ; gridtexto.G = [ 'Valor acumulado para N = ',num2str(CDF_G(end)) ] ;texto.t5 = ['Valor acumulado para t5 = ',num2str(CDF_t5(end))] ;texto.t1 = ['Valor acumulado para t1 = ',num2str(CDF_t1(end))] ;text(-8,0.70,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto.G ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor' ,... [.9 .9 .9]) text(-8,0.60,['\fontsize{16}','\color{green}',texto.t5 ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',... [.0 .0 .0])text(-8,0.50,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto.t1 ],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',... [.9 .9 .9])

PDF t de StudentProblema unicaudal Problema bicaudal

clear all ; close hidden all ; clcmedia = 0 ; desvio_padrao = 1 ; GL = 3 ; NC = 95 ; % Nível de confiança = área em baixo da PDFtipo_de_problema = 'unicaudal' ;% tipo_de_problema = 'bicaudal' ;NS = 100 - NC ; % Nível de significânciaif strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') x.Normal = norminv(NC/100,media,desvio_padrao) ; x.Normal = [ -10 x.Normal ] ; x.t = tinv(NC/100,GL) ; x.t = [ -10 x.t ] ;else x.Normal = norminv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],media,desvio_padrao) ; x.t = tinv([(NS/2)/100 (NC+NS/2)/100],GL) ; endabscissa = -10:0.1:+10 ; p.Normal = pdf('Normal',abscissa,media,desvio_padrao) ;plot(abscissa,p.Normal,'r','LineWidth',2) ; hold onp.t = pdf('t',abscissa,GL) ; plot(abscissa,p.t,'b','LineWidth',2)abscissa = min(x.t):0.1:max(x.t) ; p.t = pdf('t',abscissa,GL) ; stem([ min(x.t) abscissa max(x.t) ] , [ 0 p.t 0 ] , '.' )xlabel(['\fontsize{16}','x']) ; ylabel(['\fontsize{16}','PDF']) ; title(['\fontsize{16}','PDF t de Student'])texto_N = 'PDF normal' ; texto_t = [ 'PDF t com ' num2str(GL) ' graus de liberdade'] ; texto_1 = [ 'Problema ' tipo_de_problema ] ; texto_2 = [ 'Nível de confiança: ' num2str(NC) ' %'] ; texto_3 = [ 'Valor superior de x: ' num2str(max(x.t)) ] ;if strcmp(tipo_de_problema,'unicaudal') ; texto_4 = [ 'Valor inferior de x: -infinito' ] ; else texto_4 = [ 'Valor inferior de x: ' num2str(min(x.t)) ] ; endtext(-8,0.36,['\fontsize{16}','\color{red}' ,texto_N],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.33,['\fontsize{16}','\color{black}',texto_2],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[1 1 0])text(-8,0.30,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_t],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.27,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_1],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9]) text(-8,0.24,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_3],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])text(-8,0.21,['\fontsize{16}','\color{blue}' ,texto_4],'HorizontalAlignment','left','BackgroundColor',[.9 .9 .9])

PDF normal ou gaussiana univariada

• Figura 1(a) : A PDF normal de média populacional t = 100oC e desvio padrão populacional = 1,5oC.0

95 100 105t /oC

) / o C

p = 68,27%

t – t – t

Normal multivariada

1 1 1 2 11

2 2 1 2 2 2

1/ 2/ 2 1

1; , 2 exp2

: número de variáveis

m m m m m

x x x x x xx

x x x x x x x

m x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x μ σ μ Σ

x μ Σ Σ x - μ Σ x - μ

x μ Σ

aleatórias: vetor das variáveis aleatórias

: vetor das médias das variáveis aleatórias

: matriz de covariância das variáveis

: determinante da matriza de convariância das variáveis

x xx x

σ σ ΣΣ

Normal multivariada• Sem correlação

• Com correlação0,25 0,000,00 1,00

xΣ0, 25 0,400, 40 1,00

Normal multivariadaclc ; clear all ; close allmu = [0 0];Sigma = [ 0.25 0.40 ; 0.40 1.00 ];% Sigma = [ 0.25 0.00 ; 0.00 1.00 ];% Sigma = [ 0.50 0.00 ; 0.00 0.50 ];x1 = -3:.1:3; x2 = -3:.1:3;[X1,X2] = meshgrid(x1,x2);F = mvnpdf([X1(:) X2(:)],mu,Sigma);F = reshape(F,length(x2),length(x1));surf(x1,x2,F);caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]);axis([-3 3 -3 3 0 .4])xlabel(['\fontsize{16}','x_1'])ylabel(['\fontsize{16}','x_2'])zlabel(['\fontsize{16}','PDF'])title(['\fontsize{16}','PDF normal bivariada'])figurecontour(x1,x2,F);xlabel(['\fontsize{16}','x_1'])ylabel(['\fontsize{16}','x_2'])title(['\fontsize{16}','Curvas de nível de uma BDF normal bivariada'])grid

Matriz de covariância e matriz de correlação

• Covariância:matriz_covariancia = cov(matriz.dados) ;

• Correlação (linear) de Pearson:[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Pearson','rows','all','tail','ne') ; % Padrão (default)

• Correlação (monotônica) de Spearman[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Spearman','rows','all','tail','ne') ;

• Correlação de Kendall[ rho , pval ] = corr(matriz.dados,'type','Kendall','rows','all','tail','ne') ;

PDF multivariada• X é uma variável aleatória contínua e

x é um valor de X• Y é uma variável aleatória contínua e

y é um valor de Y• pXY(x,y) é a função de densidade de probabilidade

conjunta de X e Y• FXY(x,y) é a função de distribuição acumulada

conjunta de X e Y

XYXY XY

F x y P X x Y y

F x yf x y p x y

CDF conjuntaFunção de distribuição acumulada conjunta

Cumulative Distribuition Function

PDFJoint Probability Density Function

Função de densidade de probabilidade conjunta

PDF conjunta = PDF condicional X PDF marginal

PDF condicional• PDF multivariada que atende a

uma condição• Para PDF bivariada: quando

condiciono a PDF multivariada a um valor da outra variável, obtenho uma PDF univariada

PDF marginal• PDF univariada• Integro em todas as variáveis,

menos a de interesse

/ /, X y Y xY XXY f y f xx f ff y

f x f x y dy

f y f x y dx

/ /e, ,XY XY

X y Y xY X

f x y f x yf x f y

f y f x

Y X XY

PDFs marginais

PDFs condicionais

fXY(x,y)

fXY ( x | y = -1 )

Alguns resultados

Seja com cons nte

g xE g x E a x a x p x dx a x p x dx a E x a

g x a x a

2 22 2

2 22 2 2 2 4.2 .

g g x g x

E g x g x p x dx

a x a p x dx a x p x dx

a x p x dx a E x a V x

2 2 22 3x x x xV x x E x x p x dx

Mais resultados

Seja com cons

E g x E a x a x p x dx

a p x dx x p x dx

g x a x a

a E x a

2 22 4.4

g g x g x

E g x g x p x dx

a x a p x dx a x a p x dx

x p x dx E x V x

2 2 22 3x x x xV x x E x x p x dx

Outras definições: mn - momento de ordem n

• A média é o momento de 1ª ordem:

5nnm x

11 6xm x

• A variância é o momento de 2ª ordem centrado na média:

2 22 8xx

• O momento de 2ª ordem de x é:

2 2 22 7x xm x

Demonstração:

c. q. d.

2 2 2 2 2 2 2 2 2 10E x E x E x x x

2 2 2 2 2 15x xE x Então

2 2 2 2 2 22 9x xm x E x

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 11E x E x x x E x x E x

22 22 12E x E x E x E

2 2 22 13E x x p x dx p x dx

2 2 2 2 22 2 14E x x p x dx p x dx

Demonstração:

c. q. d.

2 2216 : :x xx

2 2 2 2217 : 2x x p x dx x x p x dx

2 2218 : 2 .x p x dx x p x dx p x dx

2 2 2 2219 : 2 2x xp x dx p x dx x

2 2 215 : x 2 2 2 2221 : x De

2 2 2 2 2220 : 2x x

Regras para nomenclatura

Parâmetro População Amostra

Média μx x

Desvio padrão σx Sx

Variância σx² Sx² = Sxx

Covariância σxy Sxy

A média aritmética é um estimador não tendencioso da

média da populaçãoDemonstração: 22x

111 24

i iiiiii

x p x dxE xxE x E

x p x dxE x

• Então a esperança ou valor esperado de x é a média da população

c. q. d.

Hipóteses para

H1) A amostra seja representativa

H2) n relativamente grande.

Desvio padrão da média é o desvio padrão da população

divido por raiz de nDemonstração: 27 : x

228 : x x V x 2 2 229 : 2x x xV x x x x

2 2 2 2 2 230 : 2 2 2x x x x x x xV x x x x x x

2 231 : xV x x

12 12 2

1 1 1 1

1 132 : . ,

ji n n n nji

i j i ji j i j

xxx x x x x x x

n n n n

divido por raiz de n (continuação)Demonstração: 27 : x

12 12 2

1 1 1 1

1 132 : . ,

ji n n n nji

i j i ji j i j

xxx x x x x x x

n n n n

• Existem n pares com i = j e n(n-1) pares independentes com i ≠ j então:

222.:34 xiii xxx

235 : . .i j i j x x xx x x x

• Se i = j então e de {9} :

• Hipótese: Se com i ≠ j então as variáveis são independentes (não auto-correlacionadas):

2 2 2 2 22

136 : . . 1 . . xx x xx x x n n n

divido por raiz de n (continuação)Demonstração: 27 : x

2 236 : xxx

Substituindo

2 231 : xV x x

e {37} este em {28} :

Hipótese para {27} ser válida: independência entre os xi e xj

obtém-se 2 2

2 237 : x xx xV x

c. q. d.

Hipóteses para

H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grandeH3) as observações sejam independentes.

Variância de variáveis contínuas, discretas e de amostras

• Variância de uma variável contínua:

• Variância de uma variável discreta:

• ”A variância experimental das observações, que estima a variância σ2 da distribuição de probabilidade de q, é dada por:” (GUM, 4.2.2)

22x xx p x dx

A estatística δ2 é um estimador da variância da população (σ2)?

Demonstração: 2

2 2138 : :

2 .2..2..2

2 .2...2:40 xn

22 2 2 2

212 2 2 2 21 1 141 :

nn n n

ii i x xii i i x

xx xx x x

n n n n n

2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2142 : x x x x x x x

x x x x x x

n n nn n n n n n

A estatística δ2 é um estimador da variância da população (σ2)? - continuação

Demonstração: 2

2 2138 : :

2 2142 : xn

• De {42} conclui-se que a estatística δ2 NÃO É UM ESTIMADOR da variância da população (σ2), ou seja, δ2 é um ESTIMADOR TENDENCIOSO ou VICIADO de σ2

• Ainda de {42} conclui-se que multiplicando a estatística (δ2) por n/(n-1) obtém-se um estimador não tendencioso da variância da população (σ2).

Estimador não tendencioso da variância

2 2 2 2

2 21 1

2 2 2 21

143 :1

i ii i

x x x x

n nn n

x x x xn

x xS S

Avaliação da variância experimentalsegundo o 4.2.2 do GUM

Demonstração: 2

2 2144 :1

• De {43} e {45} conclui-se que S2 é um estimador NÃO TENDENCIOSO ou NÃO VICIADO da variância da população (σ2)

2 2 21 145 :1 1 1

i ii i

x x x xn nS

n n n n

De {43} e {44} :

• {44} é válida para n grande (n>23) segundo a inferência bayesiana.

Desvio padrão experimental da média (4.2.3 do GUM)

• Mostrou-se que nnxx

1:45 x

• Substituindo {45} em {33} e extraindo a raiz quadrada obtém-se o desvio padrão experimental da média que é um estimador não tendencioso do desvio padrão da média de uma população a partir de uma amostra:

S nSn n

c. q. d.

Hipóteses para

H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grandeH3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx .

S nSn n

Avaliação do Tipo A da incerteza de medição

• Se o Valor da Medição (VM) for dado pela média aritmética das n observações do mensurando e n>23 :

• Se o Valor da Medição (VM) for dado pela média aritmética das observações do mensurando n<23 :

u s nnn

Avaliação do Tipo A da incerteza de medição

• Se o Valor da Medição (VM) for dado por um ponto qualquer das n observações do mensurando e n>23 :

• Se o Valor da Medição (VM) for dado por um ponto qualquer das observações do mensurando n<23 :

x xu s

Efeito da correção de Bayes

Fonte: LIRA, I., KYRIAZIS, G., 1999, “Bayesian inference from measurement information”, Metrologia, v. 36, n. 3, pp. 163–169. 79

N Correção de Bayes N Correção de Bayes1 5.4985 (extrapolado) 16 1.07422 3.6097 (extrapolado) 17 1.06903 2.4090 (extrapolado) 18 1.06464 1.7321 19 1.06075 1.4142 20 1.05726 1.2910 21 1.05417 1.2247 22 1.05138 1.1832 23 1.04889 1.1547 24 1.0465

10 1.1339 25 1.044511 1.1180 26 1.042612 1.1055 27 1.040813 1.0954 28 1.039214 1.0871 29 1.037715 1.0801 30 1.0364

Hipóteses para

H1) A amostra seja representativaH2) n relativamente grande (n>23)H3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx

H5) A avaliação do Tipo A da incerteza é apropriadamente quantificada pelo desvio padrão experimental da média.

xA x x

S nu Sn n

Hipóteses para

H1) A amostra seja representativaH2) n razoavelmente grande (n>4)H3) as observações sejam independentesH4) Sx→σx

H5) A avaliação do Tipo A da incerteza é apropriadamente quantificada pelo desvio padrão experimental da média.

1 1 1 13 3 3

xA x x

Sn n n nu Sn n nn n

GUM e suas variações

Item Valor do mensurando

Desvio padrão da grandeza de entrada

Desvio padrão da média da entrada

Estatística da população

Estatística da amostra

Incerteza pelo GUM LPU

alternativa 1

alternativa 2

GUM LPU com Correção de Bayes

LPU em torno de um ponto específico

μx – média da população

σy– desvio padrão da população

– desvio padrão da média

Média .aritmética

alternativa 1

alternativa 2

1 2, , ,m my f x x x

, , ,i i i

f x x xy

u S nnn

my y ou 1 1

n nnu nS

μx – média da população

σy– desvio padrão da população

– desvio padrão da média

Média .aritmética

alternativa 1

alternativa 2

Um ponto específico.

Exemplo: moda.

u S nnn

my y ou 1 13 3

Snn nn

1 13 3 MA x xu S Sn n

1 2, , ,m my f x x x

, , ,i i i

f x x xy

PROPAGAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO

Propagação da incerteza de medição

• Considere w = w(x,y,z)• x, y e z são medidas n vezes• As variâncias e médias de x, y e z são conhecidas• Com os n valores das grandezas de entrada,

calcula-se os n valores da grandeza de saída, wi = w(xi,yi,zi)

• Então a média da grandeza de saída pode ser estimada:

,z,y,xw

11 :{47}

Propagação da incerteza de medição

(continuação)• Expandindo wi = w(xi,yi,zi) em série de potências, ou

série de Taylor, em torno dos valores das médias:

zzyyzw

zzxxzw

xwyyxx

zzzwyy

xwzyxww

iizyxzyx

,,,,,,,,

,,,,,,

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares

• Se a primeira derivada é aproximadamente uma constante, então a segunda deriva é aproximadamente zero

• A primeira derivada será constante se a função for linear ou afim

• Então de {48}:

zz.zwyy.

xwz,y,xww i

z,y,xi

zz.zwyy.

xwz,y,xw

z,y,xi

11 :{50}

z,y,xw

zz.zwyy.

xwz,y,xw.n

Propagação da incerteza de medição de funções quase lineares (continuação)

• De {49}:

2 :{53}

zz.zwyy.

xwww i

z,y,xi

zz.zwyy.

xwz,y,xww i

z,y,xi

zzxxzw

xwyyxx

zzzwyy

iizyxzyx

..2..2

,,,,,,,,

2 :{54}

• De {49} e {51} e elevando ao quadrado:

iizyxzyx

zzyyzw

zzxxzw

xwyyxx

zzzwyy

ww1i1i

..2..2

,,,,,,,,

• Aplicando o somatório em n a equação {54}:

• Dividindo por (n-1) :.

22 22 2 2

, , , ,, ,2

, , , , , ,, ,

. . .1 1 1

{56}: 2. . 2. .1 1

x y z x y zx y zn

ii i i

x y z x y z x y zx y z

x x y y z zw w wx n y n z n

w w x x y y xw w w wn x y n x z

, ,, ,

x y zx y z

x z zn

y y z zw wy z n

• Da definição de variância:

, , , ,, ,2

, , , , , ,, ,

{57}: 2. .cov , 2. .cov ,1

x y z x y zx y zn

w w wV x V y V zx y z

w ww w w wV w x y x z

n x y x z

.cov ,x y z

w y zz

• Da definição de incerteza:

w wu V w u

• Da definição de variância:

, , , ,, ,

, , , , , ,, ,

, ,, ,

{58}: 2. .cov , 2. .cov ,

x y z x y zx y z

cx y z x y z x y zx y z

x yx y z

w w w wu x y x zx y x z

w wy z

.cov ,z

{58} é a incerteza padrão de w no caso em que as três (3) grandezas de entrada (x,y,z) atendem as hipóteses abaixo :Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativaHipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constanteHipótese 3:Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variável (estado estacionário, variáveis não auto-correlacionadas).

{51}: , ,w w x y z

• Se as variáveis x, y e z são estatisticamente não correlacionadas

• Repetindo {57}:

i 1 i 1 , , , ,, ,

{59}: . . .n n

ix y z x y zx y z

w w ww w V x V y V zx y z

• ou

, , , ,, ,2

, , , , , ,, ,

{57}: 2. .cov , 2. .cov ,1

x y z x y zx y zn

w ww w w wV w x y x z

n x y x z

.cov ,x y z

w y zz

i 1 i 1 , , , ,, ,

{60}: . . .n n

i xx yy zzx y z x y zx y z

w w ww w S S Sx y z

Propagação da incerteza de medição de funções de variáveis

não correlacionadas• Reescrevendo {60}:

2 2 2 2

, , , ,, ,

{61}: w x y zx y z x y zx y z

w w wS S S Sx y z

• Portanto o desvio padrão (incerteza) de w é:

22 2 2 2 2 2

{62}: .x y z

w w x w y w z i ii

S c S c S c S c u

• {62} é a incerteza padrão de w no caso em que as NE

grandezas de entrada atendem as hipóteses abaixo:Hipótese 1: A média das grandezas de entrada é representativaHipótese 2: Primeira derivada é aproximadamente constanteHipótese 3:Hipótese 4: Independência entre os elementos de uma mesma variávelHipótese 5: Grandezas de entrada não correlacionadas.

{51}: , ,w w x y z

Hipóteses para a avaliação da incerteza padrão combinada

(uc)1. Comportamento do mensurando

fracamente não-linear2. Erro sistemático e sua incerteza conhecidos3. A média aritmética corrigida é o RB do

mensurando4. Independência entre os

elementos de uma amostra (estado estacionário, não auto-correlacionadas)

5. As grandezas de entrada (não) correlacionadas.

1. Assuma o modelo preliminar para a variável X = x2. Acrescente a x contribuições (uma para cada

incerteza tipo B) com média 0 (zero) e desvio padrão uBi: X = x + B1 + B2 + ... + BNB com Bi ~ (0,σi

2)=(0, uBi 2)

3. Por ser um modelo linear, com soma de parcelas com coeficientes iguais a 1, não há correlação entre as variáveis x, B1, B2, ... e BNB

4. De {58}: .

Porque a incerteza combinada de uma grandeza de entrada é dada pelo

produto interno do vetor formado pelas incertezas tipo A e tipo B?

c A Bi

22 dqcuuuuuNB

iBxc iiX

Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite

• A variância de um mensurando (y) com NE=m grandezas de entrada (xi) não correlacionadas é dada por:

2 2 2 2 2 2 21 1 1 263 : . . .m mu w c u x c u x c u x

• A variância da variância do mensurando (w) é:

2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 264 : . . . .m mu u w u c u x c u x c u x

Demonstração da fórmula de Welch-Satterthwaite (cont.)

2 2 4 2 2 4 2 21 1 2 2

66 : . .

u u w c u u x c u u x

c u u x

• Admitindo que as incertezas não são correlacionadas e operando o lado direito de {64}:

• Admitindo que as grandezas de entrada (xi) tem PDF aproximadamente Gaussiana:

442 2 2.2.67 : ii

u xu u x

2 2 2 2 2 2 2 21 165 : . .m mu u w u c u x u c u x

24 42 2 4 41 2

1 21 2

2. 2.68 : .

u x u xu u w c c

• Substituindo {67} em {66} :

• Admitindo que a grandezas de saída (wi) tem PDF aproximadamente Gaussiana, de {67}:

442 2 2.2.

69 : .w

u wu u w

24 4 44 41 21 2

2. 2. 2.70 : .

u w u x u xc c

• Substituindo {69} em {68} :

• Ou melhor

ceff n

c. q. d.

Avaliação da Incerteza Expandida

Hipóteses adicionais:1. Grandezas de entrada independentes2. Incertezas independentes3. Grandezas de entrada tem PDF t-Student4. Grandeza de saída tem PDF t-StudentConhecida a PA (Probabilidade de Abrangência)É possível avaliar os graus de liberdade efetivos

(veff) pela equação W-S (Welch-Satterthwaite).

FATOR DE ABRANGÊNCIA: t = k• Se a PDF do mensurando for t-Student, conhecido o

Probabilidade de Abrangência:

• No excel: k = t = invt( 1-PA ; veff)

• MATLAB: k = t = -tinv( (1-PA)/2 , veff)• Lembrando das hipóteses para validade da

fórmula de W-S (Welch-Satterthwaite):1.Grandezas de entrada não correlacionadas2. Incertezas não correlacionadas3.Grandezas de entrada tem PDF t-Student4.Grandeza de saída tem PDF t-Student.

k (fator de abrangência) para vários GL (graus de liberdade) e PA (probabilidade de abrangência)

GL | PA 50,00% 68,27% 90,00% 95,00% 95,45% 99,00% 99,80%1 1,00 1,84 6,31 12,71 13,97 63,66 318,312 0,82 1,32 2,92 4,30 4,53 9,92 22,333 0,76 1,20 2,35 3,18 3,31 5,84 10,214 0,74 1,14 2,13 2,78 2,87 4,60 7,175 0,73 1,11 2,02 2,57 2,65 4,03 5,896 0,72 1,09 1,94 2,45 2,52 3,71 5,217 0,71 1,08 1,89 2,36 2,43 3,50 4,798 0,71 1,07 1,86 2,31 2,37 3,36 4,509 0,70 1,06 1,83 2,26 2,32 3,25 4,30

10 0,70 1,05 1,81 2,23 2,28 3,17 4,1420 0,69 1,03 1,72 2,09 2,13 2,85 3,5530 0,68 1,02 1,70 2,04 2,09 2,75 3,3940 0,68 1,01 1,68 2,02 2,06 2,70 3,3150 0,68 1,01 1,68 2,01 2,05 2,68 3,2660 0,68 1,01 1,67 2,00 2,04 2,66 3,2380 0,68 1,01 1,66 1,99 2,03 2,64 3,20

120 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,62 3,16150 0,68 1,00 1,66 1,98 2,02 2,61 3,15250 0,68 1,00 1,65 1,97 2,01 2,60 3,12500 0,67 1,00 1,65 1,96 2,01 2,59 3,11

1000 0,67 1,00 1,65 1,96 2,00 2,58 3,10

Incerteza na Reconciliação de Dados e Covariância

• Covariância (“covariance”) dos vetores x e y é:

xy x y

xy y y y y

σ x - μ y - μ x y x y

σ x y x - μ y - μ x - μ y - μ

• Se VM é vetor das vazões medidas e VR é o vetor das vazões reconciliadas de um balanço hídrico, as matrizes variâncias covariâncias dessas variáveis são U2

M e U2R e as relações

entre elas são:

TT T T

R M M R M M M

RM M M

V S V U S U S

VS I - U A AU A AV

Demonstração:

• O problema de reconciliação de dados de um balanço hídrico é dado por:

sujeito a:

RM R M M RV

V - V U V - V

AV = 0

TR M MV S V

• A solução analítica desse problema quadrático pode ser obtida aplicando o método dos Multiplicadores de Lagrange:

derivando a lagrangeana (matriz L) em relação a e a ,igualando a zero e resolvendo o SEAL, obtemos:

M M R RV λ

M M MV I - U A

V - V U V - V λ AV

AU A A V S

c. q. d.

Demonstração: • Por definição:

M M M M M

R R R R R

U V V V V

2 2TR M M MU S U S

12 2T T T R M M M M MV I - U A AU A A V S V

• Então:

TTT T T T

TTT T T

TT T T T

M M M M M M M M

M M M M M M

R M M M M M M M M

M M M M M M M MR

M M M M M M M M

S V S V S

U S V S V S V S V

S V V S S V V SU

S V V S S V V S

V S VU

S V S V S V S V

• Mas:

Demonstração: 2 2TR M M MU S U S

• Lembrando que a matriz de sensibilidade é constante:

M M M M M

M M M MR M

R M M M

M M MR

M M M M M M M M

S V V S S V V SU

S V V S S V V S

V V V VU S S

V V V V

V V V S

c. q. d.

Avaliação da incerteza• De acordo com o VIM a incerteza é

avaliada, NÃO é calculada, nem determinada, muito menos estimada.

• O que se estima é a grandeza de medição.• A incerteza é avaliada.

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