1

Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias

2

Variável aleatóriaVariável aleatória

“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral.

X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}

X:

0 1 2x

3

Exemplos de variáveis Exemplos de variáveis aleatóriasaleatórias

Vida útil (em horas) de um televisor;

Número de peças com defeito em um lote produzido;

Número de veículos que passam num pedágio num determinado dia;

Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

4

Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias

5

Tipos de variáveis Tipos de variáveis aleatóriasaleatórias

1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado.

Ex: número de mulheres em uma sala de aula;

2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado.

Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

6

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatóriasvariável aleatória

discreta

os possíveis resultados estão contidos em um

conjunto finito ou enumerável

contínua

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo

de números reais

0 1 2 3 4 ... 0número de defeitos em ... tempo de resposta de ...

7

Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas

Modelos de Distribuição de Modelos de Distribuição de ProbabilidadeProbabilidade

Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas

8

Experimento Experimento binomialbinomial

consiste de n ensaios;

cada ensaio tem somente dois resultados: “sucesso” /

“fracasso”;

os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p (0

< p < 1 constante ao longo dos ensaios);

====> X = número de sucesso nos n ensaios

9

ExemplosExemplos

Número de caras em 3 lançamentos de uma moeda;

Número de itens defeituosos numa amostra de 15 peças de uma linha de produção (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).

10

Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiaisEXEMPLO 1

Seja:X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p;

X = {0, 1, 2, 3}

P(X=1)=?

11

Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiaisSeja:

Cara = C Coroa = K

X = 0 se ocorrer KKK;X = 1 se ocorrer CKK, KCK ou KKC;X = 2 se ocorrer CCK, CKC ou KCC;X = 3 se ocorrer CCC;

12

Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiais

P(X = 1) = 3 p (1 - p)2

P(X = 1) =P(CKK)+P(KCK)+P(KKC)

Como:

P(CKK)=P(KCK)=P(KKC)=p(1-p)2

13

Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiaisAnalogamente pode-se obter P(X=0), P(X=2), P(X=3)

P(X=0)= (1-p)3

P(X=1)= 3p(1-p)2

P(X=2)= 3p(1-p)2

P(X=3)= 3p3

P(X=0)= 1 p0(1-p)3

P(X=1)= 3 p1(1-p)2

P(X=2)= 3 p2(1-p)1

P(X=3)= 1 p3(1-p)0

Número de maneiras distintas de se obter “x” caras em 3 lançamentos de moedas

14

De uma maneira geral:

)!(!

!

xnx

n

x

n

No nosso caso em particular n = 3:

)!1(!

!33

xxx

Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiais

15

xnx ppx

xXP

1

3)(

Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiais

Considere p=0,5 e use a formula acima para calcular P(X=1)

16

O modelo binomialO modelo binomial

xnx ppx

nxXP

1)(

Para um “n” qualquer

17

1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5

2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327

3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991?(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240

4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341

Tente adivinhar as Tente adivinhar as respostasrespostas

e = 2.718281828459045

5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000

18

Resultados do testeResultados do teste

Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x.

Que tipo de experimento acabamos de realizar?

Quais são os valores de n, p e q?

n=5, p=0,25, q= 0,75

Quais são os valores possíveis de x? X={1,2,3,4,5}

As respostas corretas são:1. d 2. a 3. b 4. c 5. b

19

Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais

Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.

P(X=3) = 0,088 P(X=4) = 0,015 P(X=5) = 0,001

237,075,025,00

5)0( 50

XP

396,075,025,01

5)1( 41

XP

264,075,025,02

5)2( 32

XP

Verifique que a soma das

probabilidades e igual a 1

20

Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais

Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.

P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001

P(X=0)=0,237

P(X=1)= 0,396

P(X=2)= 0,264

50

5

4

5

1

0

5)0(

XP 237,0

5

4

5

1

)!05(!0

!5)0(

50

XP

21

Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais

Esperança e variância!!!!

22

MMédia ou Esperança édia ou Esperança MatemáticaMatemática

Média

Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:

E(X) = np

23

VarianciaVariancia

Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:

var(X) = npq

24

ExerciciosExercicios

Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizarem a cirurgia, qual é a probabilidade que

a) todos sobrevivam;b) ninguém sobreviva;c) nove ou mais sobrevivam;d) no mínimo oito sobrevivam?

Quais são as pressupostos que você assumiu para poder usar distribuição binomial?