1 Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis...

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Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias

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Variável aleatóriaVariável aleatória

“Uma variável aleatória é uma função que associa números aos eventos do espaço amostral.

X = número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda;

= {(cara, cara), (cara, coroa), {coroa, cara), (coroa, coroa)}

X:

0 1 2x

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Exemplos de variáveis Exemplos de variáveis aleatóriasaleatórias

Vida útil (em horas) de um televisor;

Número de peças com defeito em um lote produzido;

Número de veículos que passam num pedágio num determinado dia;

Numero de Caras no lançamento de 3 moedas

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Uma variável aleatória, X, é uma função que associa um valor numérico aos possíveis resultados de um experimento probabilístico.

Variáveis aleatóriasVariáveis aleatórias

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Tipos de variáveis Tipos de variáveis aleatóriasaleatórias

1. Uma variável aleatória é DISCRETA se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado.

Ex: número de mulheres em uma sala de aula;

2. Uma variável aleatória é CONTÍNUA se o número de resultados possíveis não pode ser listado.

Ex: Tempo que uma lâmpada demora para queimar;

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Variáveis aleatóriasVariáveis aleatóriasvariável aleatória

discreta

os possíveis resultados estão contidos em um

conjunto finito ou enumerável

contínua

os possíveis resultados abrangem todo um intervalo

de números reais

0 1 2 3 4 ... 0número de defeitos em ... tempo de resposta de ...

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Distribuição Binomial: modelo probabilístico para variáveis aleatórias discretas

Modelos de Distribuição de Modelos de Distribuição de ProbabilidadeProbabilidade

Distribuição Normal: modelo probabilístico para variáveis aleatórias contínuas

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Experimento Experimento binomialbinomial

consiste de n ensaios;

cada ensaio tem somente dois resultados: “sucesso” /

“fracasso”;

os ensaios são independentes, com P(sucesso) = p (0

< p < 1 constante ao longo dos ensaios);

====> X = número de sucesso nos n ensaios

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ExemplosExemplos

Número de caras em 3 lançamentos de uma moeda;

Número de itens defeituosos numa amostra de 15 peças de uma linha de produção (supondo amostragem aleatória de uma população muito grande).

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Cálculo das Cálculo das probabilidades em probabilidades em

experimentos binomiaisexperimentos binomiaisEXEMPLO 1

Seja:X = número de caras em 3 lançamentos de uma moeda com P(cara) = p;

X = {0, 1, 2, 3}

P(X=1)=?

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experimentos binomiaisexperimentos binomiaisSeja:

Cara = C Coroa = K

X = 0 se ocorrer KKK;X = 1 se ocorrer CKK, KCK ou KKC;X = 2 se ocorrer CCK, CKC ou KCC;X = 3 se ocorrer CCC;

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experimentos binomiaisexperimentos binomiais

P(X = 1) = 3 p (1 - p)2

P(X = 1) =P(CKK)+P(KCK)+P(KKC)

Como:

P(CKK)=P(KCK)=P(KKC)=p(1-p)2

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experimentos binomiaisexperimentos binomiaisAnalogamente pode-se obter P(X=0), P(X=2), P(X=3)

P(X=0)= (1-p)3

P(X=1)= 3p(1-p)2

P(X=2)= 3p(1-p)2

P(X=3)= 3p3

P(X=0)= 1 p0(1-p)3

P(X=1)= 3 p1(1-p)2

P(X=2)= 3 p2(1-p)1

P(X=3)= 1 p3(1-p)0

Número de maneiras distintas de se obter “x” caras em 3 lançamentos de moedas

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De uma maneira geral:

)!(!

!

xnx

n

x

n

No nosso caso em particular n = 3:

)!1(!

!33

xxx



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xnx ppx

xXP

1

3)(



Considere p=0,5 e use a formula acima para calcular P(X=1)

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O modelo binomialO modelo binomial

xnx ppx

nxXP

1)(

Para um “n” qualquer

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1. Qual é o 11o dígito depois do ponto decimal de um número irracional e?(a) 2 (b) 7 (c) 4 (d) 5

2. Qual foi o Índice Dow Jones em 27 de fevereiro de 1993?(a) 3.265 (b) 3.174 (c) 3.285 (d) 3.327

3. Quantos jovens do Sri Lanka estudaram em universidades norte-americanas entre 1990 e 1991?(a) 2.320 (b) 2.350 (c) 2.360 (d) 2.240

4. Quantos transplantes de rins foram feitos em 1991?(a) 2.946 (b) 8.972 (c) 9.943 (d) 7.341

Tente adivinhar as Tente adivinhar as respostasrespostas

e = 2.718281828459045

5. Quantos verbetes há no dicionário Aurélio?(a) 60.000 (b) 80.000 (c) 75.000 (d) 83.000

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Resultados do testeResultados do teste

Conte o número de questões a que você respondeu corretamente. Chamemos esse número de x.

Que tipo de experimento acabamos de realizar?

Quais são os valores de n, p e q?

n=5, p=0,25, q= 0,75

Quais são os valores possíveis de x? X={1,2,3,4,5}

As respostas corretas são:1. d 2. a 3. b 4. c 5. b

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Probabilidades Probabilidades binomiaisbinomiais

Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.

P(X=3) = 0,088 P(X=4) = 0,015 P(X=5) = 0,001

237,075,025,00

5)0( 50

XP

396,075,025,01

5)1( 41

XP

264,075,025,02

5)2( 32

XP

Verifique que a soma das

probabilidades e igual a 1

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Calcule a probabilidade de alguém não acertar nenhuma questão, exatamente uma, duas, três, quatro ou todas as cinco questões do teste.

P(3) = 0,088 P(4) = 0,015 P(5) = 0,001

P(X=0)=0,237

P(X=1)= 0,396

P(X=2)= 0,264

50

5

4

5

1

0

5)0(

XP 237,0

5

4

5

1

)!05(!0

!5)0(

50

XP

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Esperança e variância!!!!

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MMédia ou Esperança édia ou Esperança MatemáticaMatemática

Média

Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:

E(X) = np

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VarianciaVariancia

Caso a Variável aleatória X tenha distribuição Binomial:

var(X) = npq

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ExerciciosExercicios

Sabe-se que 90% dos pacientes submetidos a uma determinada cirurgia sobrevivem. Se onze pacientes realizarem a cirurgia, qual é a probabilidade que

a) todos sobrevivam;b) ninguém sobreviva;c) nove ou mais sobrevivam;d) no mínimo oito sobrevivam?

Quais são as pressupostos que você assumiu para poder usar distribuição binomial?

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