Post on 11-Nov-2018
[Cristóvão R M Rincoski] p. 001
13. Oscilações Eletromagnéticas (baseado no Halliday, 4a edição)
Nova Física − Velha Matemática
Aqui vamos estudar:
1) como a carga elétrica q varia com o tempo num circuito constituído por um
indutor (L), um capacitor (C) e um resistor (R).
2) como a energia é transferida do campo elétrico do capacitor para o campo
magnético do indutor e, vice-versa, sendo dissipada gradualmente no resistor →
oscilador amortecido.
13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
O que já foi visto:
1) em um sistema mecânico oscilante, constituído por um bloco de massa m, umamola de constante elástica k com a massa imersa em um fluido viscoso (tal comoóleo) → o deslocamento x varia no tempo.
2) neste sistema a energia oscila entre a cinética da massa oscilante e a energiapotencial da mola, sendo dissipada gradualmente (fluido viscoso) em energiatérmica → oscilador amortecido.
Então existe um paralelo entre os dois sistemas idealizados:
a) as equações diferenciais são idênticas, e
b) vamos simplesmente trocar os símbolos das variáveis prestando atenção àsituação física.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Oscilações LC: Estudo Qualitativo
Elementos de circuito: resistência R, capacitância C e a indutância L → desteselementos estudamos até agora o circuito RC e RL.
RC e RL → a carga e a corrente elétrica crescem e decrescem exponencialmenteno tempo → constantes de tempo capacitivas (C = RC) e indutivas (L = L/R).
Nos falta portanto estudar LC e RLC.
LC → a carga e a corrente elétrica não variam exponencialmente (com umaconstante de tempo ), mas senoidalmente (com uma frequência angular ).
“A carga e a corrente elétrica, no circuito LC, oscilam → ‘o circuito oscila’.”
Circuito LC
A) Inicialmente o capacitor está totalmente carregado com carga elétrica q, e acorrente elétrica i no indutor, é zero (a corrente no circuito é zero).
CL+ + + +
− − − −E
UB UE
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
B) O capacitor começa a se descarregar no indutor (i = dq/dt).
a) A energia armazenada no campo elétrico do capacitor:
ouC
qU E
2
2
=2
02
1EuE =
b) A energia armazenada no campo magnético do indutor é zero pois a corrente ézero:
ou2
2
1iLU B =
2
02
1BuB
=
a) A energia armazenada no campo elétrico do capacitor diminui (q diminui).
b) Esta energia é transferida para o campo magnético do indutor (i está crescendo).
“o campo elétrico diminui, o campo magnético aumenta e a energia é transferida docampo elétrico para o campo magnético.”
+ + + +
− − − −
i
i
CL EB
UB UE
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
C) Agora, o capacitor está totalmente descarregado.
a) Então, q = 0 C, E = 0 N/C, e a energia associada ao campo elétrico UE = 0 J.
b) A energia foi totalmente transferida ao campo magnético do indutor e a correnteelétrica é máxima (i = dq/dt).
CLB
UB UE
i
i
D) A corrente intensa do indutor, continua a transportar carga para o capacitor.
a) A carga positiva começa a acumular na parte inferior do capacitor (portanto anegativa fica na parte superior) aumentando o campo elétrico e a energia nocapacitor.
b) A energia agora flui do indutor para o capacitor.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
− − − −
+ + + +
i
i
CL EB
UB UE
E) O capacitor fica totalmente carregado, e a corrente elétrica do indutor cessa (i =0 A).
Quase voltamos à condição inicial, pois agora, o capacitor está carregadoinversamente, e ele começa a descarregar novamente no indutor (no sentidocontrário ao anterior).
− − − −
+ + + +
CL E
UB UE
F) O capacitor começa a se descarregar novamente no indutor.
a) Agora a corrente está no sentido contrário do caso B.
b) O campo magnético cresce no indutor, mas no sentido contrário do caso B.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
− − − −
+ + + +
i
i
CL EB
UB UE
G) O capacitor descarregará totalmente (q = 0 C, E = 0 N/C, UE = 0 J), e a correnteelétrica (mas com sentido contrário) e a energia do campo magnético no indutorserá máxima.
CLB
UB UE
i
i
H) O indutor volta a carregar o capacitor com a mesma polaridade do caso A,reiniciando o processo, novamente.
Associado a esta repetição (ciclo), podemos definir uma freqüência f ( = 2 f). Umavez iniciada as oscilações, numa situação ideal, estas se manteriamindefinidamente → contínua troca de energia entre o campo elétrico e o magnético.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Este problema (circuito LC ideal) é similar ao que acontece com o sistema massa-mola (sem amortecimento).
Podemos determinar a carga e a corrente elétricas em função do tempo
a) Carga elétrica: usando um voltímetro medimos a d.d.p. vC (variável no tempo)entre as placas do capacitor, então
e vC é proporcional a q → assim, podemos calcular q.
qC
vC
=
1
“Aqui supomos R muito pequena para que seu efeito sobre o comportamento docircuito seja desprezível.”
b) Corrente elétrica: inserindo uma pequena resistência R, em série no circuito,podemos medir a d.d.p vR (variável no tempo) nesta resistência
e vR é proporcional a i → assim, podemos calcular i.
iRvR =
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
A C E G A C E G A C E G
v C(=
q/C
)v R
(= R
i)
Ao lado → as variações de q e i (ou maisprecisamente de vC e vR) no tempo.
A, C, E e G → diferentes estágios de oscilaçãoconforme o exposto anteriormente.
“Num circuito LC real, as oscilações não continuamindefinidamente, pois existe uma resistência presenteque retira gradualmente a energia dos camposelétrico e magnéticos → dissipando sob a forma deenergia térmica.”
Compare esta figura, decaimento das oscilações, com as oscilações mecânicasamortecidas, de um sistema bloco-mola (massa-mola) causado pelo atrito.
Analogia com o Movimento Harmônico Simples
Aqui vamos estudar a analogia entre o sistema LC e o sistema bloco-mola.
Analogia sob o ponto de vista matemático (tabela abaixo):
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Sistema Mecânico Sistema Eletrônico (LC)
Elemento Energia Elemento Energia
Mola U = k x2 / 2
Bloco K = m v2 / 2
v = dx / dt
Capacitor UE = q2 / 2 C
Indutor UB = L i2 / 2
i = dq / dt
Mola estendida ou comprimida→ energia potencial elástica.
Bloco em movimento → energia cinética.
Sob o ponto de vista matemático:
“O capacitor é o análogo a uma mola e, um indutor a uma massa, bem como asalgumas grandezas eletromagnéticas correspondem a certas grandezas mecânicas
q corresponde a x,i corresponde a v,C corresponde a 1 / k,L corresponde a m.”
[Cristóvão R M Rincoski] p. 010
13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Este resultado está correto como veremos a seguir.
A frequência angular natural de oscilação de um sistema bloco-mola
corresponde am
k=
LC
1=
Oscilações LC: Estudo Quantitativo
Aqui vamos deduzir a equação para a frequência angular das oscilações LC.
E estreitar a analogia entre as oscilações LC e as oscilações bloco-mola.
U → energia mecânica total (antes era usado E, mas para comparação...)Ub → energia cinética do bloco em movimentoUk → energia potencial da mola esticada ou comprimida
O Oscilador Bloco-Mola
Equação diferencial que governa a transferência de energia do osciladorbloco-mola.
(onde vamos fazer uma mudança de letras das variáveis para simplificar acomparação)
22
2
1
2
1xkvmUUU kb +=+=
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Para sistemas sem atrito (sistemas conservativos) U permanece constante, logo
onde e .2
2
dt
xd
dt
dv
dt
dxv ==0
2
1
2
1 22=+=
+=
dt
dxxk
dt
dvvmxkvm
dt
d
dt
dU
X → amplitude das oscilações mecânicas → frequência angular das oscilações → constante de fase
Equação diferencial fundamental que governa as oscilações bloco-mola
(oscilações bloco-mola)
Com deslocamento x(t) dada por
02
2
=+ xkdt
xdm
)cos()( += tXtx
O Oscilador LC
Vamos analisar → circuito LC sem resistência, da mesma forma que acima.
C
qiLUUU EB
22
1 22 +=+=
U → energia em qualquer instante no circuitoUB → energia potencial armazenada no campo magnético do indutorUE → energia potencial armazenada no campo elétrico do capacitor
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Como não temos resistência no circuito (sistema conservativo) U permanececonstante, logo
onde e .2
2
dt
qd
dt
di
dt
dqi ==0
22
1 22 =+=
+=
dt
dq
C
q
dt
diiL
C
qiL
dt
d
dt
dU
Q → amplitude das variações da carga → frequência angular das oscilações eletromagnéticas → constante de fase
Equação diferencial fundamental que descreve um circuito LC
(oscilações LC)
Como as equações são matematicamente idênticas, sua solução também deve ser
01
2
2
=+ qCdt
qdL
)cos()( += tQtq
Para testar a resposta, podemos fazer
e então
e
)cos()( 2
2
2
+−=+−== tQdt
qdtsenQi
dt
dq
CLtQ
CtQL
10)cos(
1)cos(2 ==+++−
[Cristóvão R M Rincoski] p. 013
13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Obs.: 1) notar que obtivemos o mesmo valor de que o obtido por comparação.
2) a constante de fase é determinada pelas condições iniciais para t = 0s.
Ex.: se = 0 para t = 0 s, temos q = Q e i = 0 A. (situação A)
Energia elétrica armazenada no circuito LC
)(cos22
222
+== tC
Q
C
qU E
Energia magnética armazenada no circuito LC
comoCL
tsenQLiLU B
1)(
2
1
2
1 2222 =+==
)(2
22
+= tsenC
QU B
En
erg
ia
Tempo0 T/2 T
Q2/2CU (= UB+UE)
UE(t)
UB(t)
Note: 1) a soma das energias permanececonstante e T é o período da oscilação.
2) para o caso de = 0
a) UE e UB têm como valor máximo Q2/2C.b) UE + UB = constante.c) Quando UE é máximo, UB é zero, e vice-versa.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Oscilações Amortecidas num Circuito RLC
Quando uma resistência R está presente em, um circuito LC, a energia
eletromagnética total não é mais constante → transformada em energia térmica no
resistor.
A energia total é dada por →
Como U não é mais constante, isto é, ela diminui com o tempo, numa taxa
C
qiLUUU EB
22
1 22 +=+=
Ridt
dU 2−=
Derivando a energia total →
Como e
Ridt
dq
C
q
dt
diiL
dt
dU 2−=+=
2
2
dt
qd
dt
di
dt
dqi ==
(equação do circuito RLC)01
2
2
=++ qCdt
dqR
dt
qdL
Equação diferencial que descreve as oscilações amortecidas, no domínio do tempo.
Fazendo R = 0 , temos a equação diferencial do circuito LC não amortecido.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
A solução geral da equação diferencial, do circuito RLC amortecido
)'cos(2/ += − teQq LtR
Na qual → eLC
LR1
)2/('2
=−=
Onde a → a frequência do oscilador harmônico amortecidob → constante de amortecimentoxm → amplitude máxima
A equação q = q(t), acima, é idêntica à equação para o deslocamento em função dotempo num movimento harmônico simples (MHS) amortecido
)cos()( 2/ += − textx amtb
m
Na qual → e para 04 2
2
==−= bm
k
m
b
m
ka
Q e-Rt/2L
Q e-Rt/2L
q(t) 10) A frequência angular ’ é sempre menor que (verequações acima).
20) Consideraremos apenas os casos onde R é muitopequeno a ponto de podermos fazer ’ = , semcometer erro apreciável.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
Oscilações Forçadas e Ressonância
Discutimos → oscilações livres de um circuito LC.
→ oscilações amortecidas de um circuito RLC.
→ para amortecimento pequeno ambos os tipos de oscilações têm
frequência angular dada por:
(chamaremos de frequência angular natural dosistema oscilante)LC
10 =
A mudança → 0, porque agora o circuito está submetido a uma fem:
tsenm =
m → amplitude da fem → frequência angular propulsora
1) Oscilações forçadas: oscilações resultantes de carga, corrente e potencialneste circuito.
2) Correntes transientes: assim que essa fem é aplicada, surgem no circuito ascorrentes transientes.
Estamos interessados na corrente senoidal que se estabelece no circuitodepois que as correntes transientes cessam.
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
“Qualquer que seja a frequência natural 0, as oscilações da carga, da corrente eda diferença de potencial no circuito, ocorrem com a frequência angular propulsora.”
F =Fm sen t
V
k
m
b
C
L
R
G
=m sen t
F → força externa alternada (senoidal)V → elemento vibrador externok → constante elástica da molam → massab → constante de amortecimento
→ fem alternada (senoidal) externa à RLCG → gerador de fem externo à RLCC → capacitânciaL → indutânciaR → resistência
As correspondências são praticamente as mesmas de antes:F → V → Gk → Cm → Lb → R
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
As oscilações forçadas em um circuito RLC serão examinadas no próximo capítulo(Corrente Alternada).
Agora vamos apenas analisar alguns resultados gráficos.
Assim como a fem podemos afirmar que a corrente também segue umaequação parecida
)( −= tsenIi
I → amplitude da corrente → medida da resposta do circuito à fem aplicada → frequência angular propulsora
Condição de ressonância: I será máximo quando a frequência propulsora, , forigual à frequência natural, 0:
(ressonância)0 =
10) Gráficos de I = I (/0).20) Cada gráfico corresponde a um valor de Rdiferente, mas para os mesmos valores de L eC.30) Cada curva apresenta um pico na condiçãode ressonância.40) A medida que R diminui, o pico fica maisacentuado.
/0
I
1,0
R = 10
R = 30
R = 100
L e C fixos
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13. Oscilações Eletromagnéticas Capítulo 13
As curvas de ressonância → explicam como sintonizamos uma estação de rádio:
Ao “girarmos o botão” de sintonia, estamos ajustando a frequência natural 0
do circuito LC (interno do rádio) à frequência , do sinal externo transmitidopela emissora → estamos buscando a ressonância.
Numa região metropolitana, onde existem muitas frequências próximas → aagudeza da sintonização torna-se muito importante (largura média mais estreita).