1ª aulaApresentação e séries de Taylor (Revisão).

Calculo de derivada temporais usando Séries de Taylor

Com Apoio de :Marcos Mateus e Guillaume Riflet

Objectivos da Disciplina

• O que é um modelo,• Os modelos matemáticos,• Elementos que constituem um modelo,• Os processos de transporte e as equações de

evolução,• Os métodos Numéricos,• Programação/Linguagens gráficas,• Gestão Ambiental, Modelos, Monitorização e

Estudos de processos.

Programa

• Conceitos básicos de métodos numéricos,• Programação em Visual Basic,• Programação em PowerSim / Matlab,• Modelos Presa-Predador• Modelos Ecológicos,• Modelos Hidrodinâmicos,• Modelos de Transporte de Sedimentos.

Conhecimentos requeridos

• Mecânica dos Fluidos e Processos de Transporte,

• Programação,• Ecologia e funcionamento dos ecossistemas,• Ciclo dos Elementos e Ecologia,• Fluxos de massa e de Energia através de um

ecossistema.

Dificuldades Encontradas em Anos Anteriores

• Programação é a grande dificuldade.• Mecânica dos Fluidos é uma dificuldade

adicional, mas menor.

• Soluções: Acelerar o processo de aprendizagem de programação.

Equações que vamos resolver• Conservação da massa:

• Num modelo Hidrodinâmico também a equação de Transporte de Quantidade de Movimento:

)( kkjjj

kjk PFx

c

xx

cu

t

c

)( GravidadePressãox

u

xx

uu

t

u

j

i

jj

ij

i

Onde aparecem os conceitos requeridos

• Equação de Evolução (ou de Transporte),• Na equação de Transporte de Quantidade de

Movimento,• Em(F-P) • Se isto fosse conhecido bem como a

programação, a disciplina poderia ser chamada de “Mecânica dos Fluidos Computacional….”

Como se resolvem as equações

• Métodos Numéricos:• Diferenças finitas/Volumes Finitos• Elementos Finitos/Elementos de Fronteira.

• Como se constrói o método das diferenças finitas?

• Série de Taylor:t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

O que representa a série de Taylor?

t

i

n

nnt

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t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Como usar para calcular as derivadas?t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

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c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

tt

cc

t

c

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ctcc

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tti

t

i

t

i

ti

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tt

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tt

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c

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t

ct

t

ct

t

ctcc

!

....!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

tt

cc

t

c

tt

ctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

tti

ti

Método Explícito

Método Implícito

Outro Método

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

Subtraindo uma da outra:

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

c

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t

t

ct

t

ct

t

ctcc

22/

32/

2/

2/

tt

cc

t

c

tt

ctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

ti

tti

Este método calcula a derivada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica

O que representa a série de Taylor?

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Método ImplícitoMétodo Explícito

Método Diferenças Centrais

• 2ª aula:• Uso das séries de Taylor para o cálculo das

derivadas espaciais. 1ª derivada e 2ª derivada. Diferenças centrais e diferenças descentradas.

• Forma geral da equação. Métodos explícitos, implicitos e semi-implicitos (de Crank-Nicholson)

Derivadas no espaço?t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

xx

cc

x

c

xt

cxcc

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txi

t

i

t

i

ti

txi

Método downwind

Método upwind

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

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n

x

x

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x

cx

x

cxcc

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!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

xx

cc

x

c

xt

cxcc

txi

ti

t

i

t

i

ti

txi

Subtraindo uma equação da outra

)(2

)(2

2

3

xx

cc

x

c

xt

cxcc

txi

txi

t

i

t

i

txi

txi

Diferenças centrais

Derivadas no espaço?**

3

33*

2

22***

!....

!3!2i

n

nn

iiiixi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

**

3

33*

2

22***

!....

!3!2i

n

nn

iiiixi x

c

n

x

x

cx

x

cx

x

cxcc

)(2

)(2

22

****

2

2

4

*

2

22***

xx

ccc

x

c

xt

cxccc

xiixi

i

i

ixixi

Adicionando:

Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas

aproximações:

• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ªno tempo.

• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.

22

2 2

2x

x

cccx

x

ccut

t

cc txx

tx

txx

txx

txx

txx

tt

22

2/2/2/2

2/2/2 2

2x

x

cccx

x

ccut

t

cc ttxx

ttx

ttxx

ttxx

ttxx

txx

tt

O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Explícito Upwind

• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.

22

2 2x

x

cccx

x

ccut

t

cc txx

tx

txx

txx

tx

tx

ttx

Como se obtém o valor em (t+Δt/2)?

• Adicionando as equações!

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

2/2/

3

332/

2

222/2/

!

2/....

!3

2/

!2

2/2/

tt

i

n

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

22/

2/

2

222/

2/2

.....2/2

tcc

c

t

ctccc

tti

titt

i

tt

i

tti

ti

tti

• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver

Forma geral da Equação )(11 1111 PFcfcecdcfcecd t

iitii

tii

ttii

ttii

ttii

ti

ti

ti

tti c

x

t

x

tuc

x

tc

x

t

x

tuc 12212 2

21

2

Explicito, diferenças centrais:

x

tuCr

2

ºx

tDifN

Números de Courant e de Difusão

Upwind )(11 1111 PFcfcecdcfcecd t

iitii

tii

ttii

ttii

ttii

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Explicito, upwind:

x

tuCr

2

ºx

tDifN

Números de Courant e de Difusão

Qual é o melhor método?

• Se o erro de truncatura fosse o único indicador seria Crank-Nicholson, com diferenças centrais!

• Mas não é o único. Temos também que ver a consistência com os processos que estamos a estudar.

• Como se faz fisicamente a Advecção (propriedade transportiva) e a Difusão?

• O método upwind respeita transportividade.

• 3ª aula:• Resultados de modelos hidrodinâmicos,

qualidade da água e transporte de sedimentos: Apresentação feita na Universidade de Pau, em França.

• Difusão numérica e estabilidade de um método numérico. Ilustração das hipóteses físicas violadas no cálculo.

Problema unidimensional

Ci

Ci-1

Ci+1

Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3

0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0 12 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 13 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 04 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0

Time stepGrid point number Total

amount

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)

Cr=1, implica uma célula por passo => a aolução é exacta

Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3

0 0 0 0 1 0 0 0 1.001 0 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0 1.002 0 0.00 0.00 0.25 0.50 0.25 0 1.003 0 0.00 0.00 0.13 0.38 0.38 0 0.884 0 0.00 0.00 0.06 0.25 0.38 0 0.695 0 0.00 0.00 0.03 0.16 0.31 0 0.506 0 0.00 0.00 0.02 0.09 0.23 0 0.347 0 0.00 0.00 0.01 0.05 0.16 0 0.238 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.11 0 0.149 0 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0 0.09

10 0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0 0.05

Time stepGrid point number Total

amount

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?

O que aconteceu?

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 0.25 0.5 0.25 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 0.125 0.375 0.375 0.125

O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.

O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

Explícito, Upwind, Cr=2

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 -1 2 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 +1 -4 4 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 -1 10 -16 8

ti

ti

ti

tti c

x

tc

x

t

x

tuc

x

t

x

tuc 12212

21

Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos

• Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar.

• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o

volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no ínicio. Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema.

• (ver Patankar, Fluid Flow)

1D explicit central differences Courant=1

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3

0 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 -0.50 1.00 0.50 0.00 0 12 0 0.25 -1.00 0.50 1.00 0.25 0 13 0 0.75 -1.13 -0.50 1.13 0.75 0 14 0 1.31 -0.50 -1.63 0.50 1.31 0 15 0 1.56 0.97 -2.13 -0.97 1.56 0 16 0 1.08 2.81 -1.16 -2.81 1.08 0 17 0 -0.33 3.93 1.66 -3.93 -0.33 0 18 0 -2.29 2.94 5.59 -2.94 -2.29 0 19 0 -3.76 -1.00 8.52 1.00 -3.76 0 1

10 0 -3.26 -7.14 7.52 7.14 -3.26 0 111 0 0.31 -12.54 0.38 12.54 0.31 0 1

Total amount

Grid point numberTime step

Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

ti

ti

ti

tti c

x

t

x

tuc

x

tc

x

t

x

tuc 12212 2

21

2

• 5ª aula:• Conclusão da aula anterior. Introdução ao

método dos volumes finitos como resposta à necessidade de maior relação entre os métodos numéricos e o princípio de conservação em que se baseia a equação de advecção-difusão.

Porque é instável?

• Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também.

• Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos.

• Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas

Porque é que adicionando difusão o método fica estável?

Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

Sumário• Séries de Taylor e erro de truncatura,• Estabilidade e crescimento do erro,• Positividade dos coeficientes,• Courant e nº de difusão.• Difusão numérica, e Passo Espacial• Propriedade Transportiva e Upwind,• Diferenças Centrais e Reynolds da Malha,• Conservação da massa.• Métodos implícitos e explícitos.• Será isto suficiente para percebermos o que estamos a

fazer?

Método dos volumes-finitos

ConsumoFontesSaiEntraaçãoTaxaAcumul

A equação de onde começámos é:

Esta equação resulta do princípio de conservação:

)( kkjjj

kjk PFx

c

xx

cu

t

c

Processos

• Taxa de acumulação:

• Fluxos:• Advectivo: (porquê o sinal “-”)?

• Difusivo:

vol

volcdt

ulaçãoTaxadeAcum

dAnucA

.

dAncA

.

Adicionando

PFdAncdAnuccdt AAvol

vol

..

Fácil de resolver se:1.Volume suficientemente pequeno para que as propriedades possam ser consideradas uniformes no seu interior e por isso que a concentração média seja representativa do que se passa no seu interior. 2.Se as áreas das faces forem suficientemente pequenas para que as concentrações sejam uniformes em cada uma das faces.

Para um volume rectangular de dimensões elementares

t

cVolcVol

t

cdcd

cdt

ttt

t

vol

vol

tt

vol

vol

vol

vol

******

1

.. zzzzzzyyyyyyxxxxxx

n

ii

A

dAcudAcudAcudAcudAcudAcudAnucdAnuc

***. zzzyyyxxx

A

ccccccdAnc

*

2/2/

*

2/2/

*

2/2/.

z

cc

z

cc

y

cc

y

cc

x

cc

x

ccdAnc zzz

zzzzz

zzyyy

yyyyy

yyxxx

xxxxx

xx

A

zyxVol Se o volume for constante no tempo a equação pode ser dividida pelo volume.

Fazendo convergir o volume para zero

)( kkjjj

kjk PFx

c

xx

cu

t

c

Obtém-se a equação diferencial de Advecção-Difusão

Que representa o princípio de conservação para um ponto.

Aplicando o princípio de conservação a um volume de dimensões finitas percebe-se onde (sobre o volume) é que cada propriedade deve de ser calculada.

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos calculados sobre as faces

* 2/*

2/ xxxx cQucdA * 2/*

2/ xxxx cQucdA

tx

tx

ttx

ttx VolcVolc

*

2/

***

2/

xx

xxxxx dA

x

cc

*

2/

***

2/

xx

xxxxx dA

x

cc

Upwind 0:

0:

0:

0:

*2/

**2/

*2/

**2/

*2/

**2/

*2/

**2/

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

usecc

usecc

usecc

usecc

Diferenças Centrais

*

*2/

**

2/

2

2

xxxxx

xxxxx

ccc

ccc

Revisitando o Courant

x

tuCr

Quando Cr>1, o que passou no ínicio de Δt pela face da esquerda já ultrapassou a da direita. Ou, dizendo de outro modo, quando Cr>1 retiramos de uma célula numa iteração mais do lá estava para sair.

E o número de difusão?

2º

x

tDifN

O que é a difusividade?lu '

O que é a velocidade e o que é o u’?

Conceito de meio contínuo.

O que é a velocidade ?

• A velocidade num escoamento é o caudal por unidade de área.

• Tem as mesmas unidades do deslocamento por unidade de tempo.

• Cada molécula (num gás) tem a sua velocidade e cada grupo de moléculas (num líquido) tem a sua velocidade.

• Velocidade é “zero” significa deslocamento médio das moléculas nulo.

O movimento não representado pela velocidade

Cx Cx+∆x

Ver texto sobre propriedades dos fluidos e do campo de velocidades

bllld ucc l

clcc lll

Mas,

l

cul bd

.A difusividade é o produto da diferença entre a velocidade de uma porção de fluido e a usada na advecção pelo comprimento do deslocamento.

Porque é que o nº de difusão tem como limite 0.5 para estabilidade?

Quanto vale a difusividade num modelo?

• Será a difusividade molecular?• Será a difusividade Turbulenta?• Será dependente do passo espacial?

x

A difusividade é proporcional ao produto da velocidade pelo passo espacial.

A excepção é a difusividade vertical em modelos 3D onde o passo horizontal é maior do que a profundidade.

Difusividade Vertical

A velocidade vertical calculada pelo modelo seria nula neste caso. Normalmente é muito menor que a velocidade local.

O maior vórtice tem diâmetro igual à profundidade. Mais perto do fundo ou da superfície li

O que são modelos implícitos?

• Porque são incondicionalmente estáveis?

tt

xxxttxx

tt

xxxttxx

ccc

ccc

2

2

2/

2/

O que representa a série de Taylor?

t

i

n

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

c

n

t

t

ct

t

ct

t

ctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Conclusões

• Séries de Taylor - volume finito, • Estabilidade e positividade dos coeficientes,

Nº de Courant e de Difusão,• Métodos implícitos e valores nas faces das

células (volumes)• Difusão numérica e erro de truncatura (o

método QUICK)• Difusividade e velocidade.

Dinâmica de populações

nkct

c

(n=0) => decaimento/crescimento de

ordem zero(n=1) => 1ª ordem……..

ktecc 0c0

c

t

K>0

K<0No caso de (n=1) => 1ª ordem:K >0 implica crescimento exponencialK<0 decaimento assimptótico para zero.

No caso de (n=1) => 1ª ordem:A solução analítica é:

Solução “Logística”

maxmax0 / ccckk

kct

c n

C0

c

t

Cmax

A solução designada por “Logística admite que o crescimento exponencial não é sustentável. Admitindo que há uma população máxima K deverá ser variável.

Solução Numérica (explícito)

maxmax0 / ccckk

kct

c n

*kct

cc ttt

kttk

k

/101

0

ttt ctkc 1Se usarmos um método explicito vem:

Discretizando a derivada temporal obtém-se:

Se k<o então o parênteses pode ser negativo e nesse caso a nova concentração ficaria negativa e o método ficaria instável:

Nesta passagem o sinal da desigualdade troca quando de divide por k<0

Solução Numérica (implícito)

maxmax0 / ccckk

kct

c n

tkcc

kct

cc

ttt

ttt

1/

*

kttk

k

/101

0

Se usarmos um método implícito a equação fica:

Neste caso o método pode instabilizar no caso de k>0:

Critérios de estabilidade

• Quando temos mortalidade, se o método for explícito o número de indivíduos que morre é função do valor que tínhamos no início do passo de tempo. Isso implica que o valor seja calculado por excesso. Se o passo no tempo for demasiado grande poderemos eliminar mais indivíduos do que os existentes e ficamos com um valor negativo (o mesmo se pode dizer para a concentração).

• Quando temos natalidade o problema coloca-se com o método implícito porque fisicamente o número de filhos é proporcionalmente ao número de pais e por isso o cálculo deve de ser explícito. O cálculo implícito seria equivalente a dizer que “os filhos já nasceriam grávidos”.

Generalizando poderemos dizer que:

• As fontes devem de ser calculadas explicitamente e os poços implicitamente. Se isso for possível evitam-se instabilidades no modelo.

• Se o modelo for estável qual deve de ser o passo espacial? O menor possível para que a solução numérica não se afaste da solução analítica. x

c0

c

t

K>0

K<0

implícito

explícito

Modelo Presa-Predador•Na equação:

Só a logística é que limita o crescimento. Na realidade aparece sempre um predador que cresce com a presa.

maxmax0 / ccckk

kct

c n

zmzzpggz

zpgppp

ckccket

c

cckckt

c

Equações de Lotka-Volterra

zpg cck

Problemas do modelo de Lotka Volterra

• Não conserva a massa. A Natureza precisa de pelo menos 3 variáveis de estado:

• Poderá kp ser constante? Será razoável que a presa consuma detritos? Precisamos de mais variáveis...

zmzzpggppD

zmzzpggz

zpgppp

ckcckeckt

c

ckccket

c

cckckt

c

1

Modelos Ecológicos

• Consultar teses de:• Pedro Pina• Sofia Saraiva• Marcos Mateus• .....• www.maretec.mohid.com • Livro do Valiela?

Tipos de modelos

• Relações de Redfield:• C:N:P = 116:16:1 átomos.• Relações fixas ou variáveis?• Quantos produtores primários?• Quantos produtores secundários?• E as bactérias?• E a mineralização da Matéria Orgânica?