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Introduc ¸˜ ao Diferenciabilidade Derivada - Parte 1 - Introduc ¸˜ ao Wellington D. Previero [email protected] http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero Universidade Tecnol´ ogica Federal do Paran´ a - UTFPR Cˆ ampus Londrina Wellington D. Previero Derivada 1 / 33
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Introducao Diferenciabilidade
Derivada - Parte 1 - Introducao
Wellington D. [email protected]
http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero
Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina
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Introducao Diferenciabilidade
Sumario
1 Introducao
2 Diferenciabilidade
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Introducao Diferenciabilidade
1 Introducao
2 Diferenciabilidade
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
Objetivo
Dado grafico de uma funcao (ou equacao) e um pontoP(x0, f (x0) no seu grafico, determine o coeficiente angular dareta tangente ao grafico em P.
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
Objetivo
Dado grafico de uma funcao (ou equacao) e um pontoP(x0, f (x0) no seu grafico, determine o coeficiente angular dareta tangente ao grafico em P.
Wellington D. Previero Derivada 4 / 33
Introducao Diferenciabilidade
Introducao
Quais dessas duas retas estao tangenciando o grafico?
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
A reta em vermelho e a reta tangente ao grafico da funcao?Mas ela esta tocando o grafico da funcao em mais do que um
ponto! E agora?
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
A reta em vermelho e a reta tangente ao grafico da funcao?Mas ela esta tocando o grafico da funcao em mais do que um
ponto! E agora?
Wellington D. Previero Derivada 6 / 33
Introducao Diferenciabilidade
Introducao
Devido as duvidas surgidas anteriormente, devemos ter umadefinicao mais precisa do conceito de reta tangente ao grafico
da funcao num ponto dado.
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
rsec : reta secante que passa pelos pontos P(x0, f (x0)) eQ(x0 + ∆x , f (x0 + ∆x)).
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
rsec : reta secante que passa pelos pontos P(x0, f (x0)) eQ(x0 + ∆x , f (x0 + ∆x)).
msec =f (x0 + ∆x)− f (x0)
∆x
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
rsec : reta secante que passa pelos pontos P(x0, f (x0)) eQ(x0 + ∆x , f (x0 + ∆x)).
Wellington D. Previero Derivada 8 / 33
Introducao Diferenciabilidade
Introducao
rsec : reta secante que passa pelos pontos P(x0, f (x0)) eQ(x0 + ∆x , f (x0 + ∆x)).
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
rsec : reta secante que passa pelos pontos P(x0, f (x0)) eQ(x0 + ∆x , f (x0 + ∆x)).
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
Quando o ponto Q seaproxima do ponto P, areta secante vaiinclinando ate atingiruma posicao limite. Essaposicao limite e o quechamamos de retatangente.
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
limQ→Prsec = rtang
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
lim∆x→0rsec = rtang
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
mtang = lim∆x→0msec
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Introducao Diferenciabilidade
Introducao
mtang = lim∆x→0f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
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Introducao Diferenciabilidade
Exercıcio 1Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico dafuncao f (x) = x2 + 1 nos pontos (0,1) e (−1,2).
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Introducao Diferenciabilidade
Exercıcio 1Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico dafuncao f (x) = x2 + 1 nos pontos (0,1) e (−1,2).
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Introducao Diferenciabilidade
Exercıcio 1Determine o coeficiente angular da reta tangente ao grafico dafuncao f (x) = x2 + 1 nos pontos (0,1) e (−1,2).
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
Definicao
A derivada de uma funcao f em relacao a variavel x e a funcaof ′ dada por
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)
hdesde que o limite exista.
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
O processo de achar a derivada de uma funcao echamado de derivacao;Se f ′(x) existe para um determinado valor de x , dizemosque f e derivavel em x ;Outras notacoes: y ′, dy
dx , ddx [f (x)];
Derivada em no ponto x = a: y ′(a), df/dx |x=a.
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Definicao da derivada
Exercıcio 2Usando a definicao, calcule a derivada das funcoes abaixo:
a) f (x) = x3 + 2xb) f (x) = x
x−1
c) f (x) =√
x , para x > 0
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Definicao da derivada
Exercıcio 3Dado o grafico da funcao y = f (x), conforme a figura abaixo,determine o grafico de f ′(x).
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
Exercıcio 3Dado o grafico da funcao y = f (x), conforme a figura abaixo,determine o grafico de f ′(x).
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
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Introducao Diferenciabilidade
Definicao da derivada
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Introducao Diferenciabilidade
1 Introducao
2 Diferenciabilidade
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Introducao Diferenciabilidade
Diferenciabilidade
Quando uma funcao nao apresenta derivada em um ponto?
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de bico
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de bico
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de bico
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de bico
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de tangencia vertical
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de tangencia vertical
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de descontinuidade
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de descontinuidade
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de descontinuidade
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Introducao Diferenciabilidade
Ponto de descontinuidade
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Introducao Diferenciabilidade
Diferenciabilidade
Teorema 1Se f for diferenciavel em x = a, entao f e contınua em a.
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