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CENTRO UNIVERSITÁRIO PLANALTO DO DISTRITO FEDERAL – UNIPLAN CURSO: ENGENHARIA CIVIL PROFª: Mª BEATRIZ SENA BRIGNOL DISCIPLINA: CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS – CFVV
MATERIAL DE ESTUDO PARA APLICAÇÃO DA NP2 Página 1
Gradiente e suas várias aplicações: 1. Medida da declividade de um terreno. 2. Medida da variação de determinada característica de
um meio (tais como a pressão atmosférica, a temperatura, etc.) de um ponto para outro desse meio. 3. Cálculo Vetorial: vetor resultante
do produto do operador Nabla por uma função escalar de ponto. [Abrev.: grad.] 4. Eng. Civ. Linha que representa a diretriz de uma
estrada, composta de uma sequência de retas com declividades permitidas, que o projetista traça sobre o perfil longitudinal do terreno. 5.
Med. Coeficiente de modificação de temperatura, pressão, etc. 6. Met. Expressão numérica da diferença de pressão entre dois locais,
expressa em milímetros, ou a distância entre esses dois lugares, expressa em graus de latitude. Gradiente termométrico vertical. Met.
Decréscimo da temperatura em consequência das diferenças de altitude(contado de 100 em 100m). 7. Nabla: Operador vetorial que,
multiplicado por uma função escalar, forma o gradiente da função, e por uma vetorial, o rotacional. 8. Arco: Geom. Seguimento de uma
curva; medida linear de um segmento de curva. 9. Normal: Geom. Anal. Reta perpendicular a uma curva ou superfície. 10. Vetores
Ortogonais: Cálc. Vet. Vetores cujo produto escalar é nulo. Num espaço tridimensional, as retas suportes desses vetores são ortogonais.
11. Vetor tangente: Geom. Anal. Vetor unitário t definido como a derivada ⁄ onde r é o vetor posição de um ponto de uma curva de
elemento de arco ds. 12. Ortogonal: Geom. Que forma ângulos retos (90°). 13. Escalar: Diz-se de qualquer grandeza que pode ser
caracterizada exclusivamente por um número, dimensional ou não.
DERIVADA DIRECIONAL E O GRADIENTE
1. Consideremos uma função f(x,y) definida em D ⊂ ℜ2 e seja (x0,y0) um ponto de D; já sabemos calcular nesse ponto a taxa de variação de f em relação a 𝒳, mantido 𝒴 fixo, e a taxa de variação de f em relação a 𝒴 mantido 𝒳 fixo. Estas taxas são as derivadas parciais de f em relação a 𝒳 e a 𝒴 respectivamente. 2. Geometricamente elas descrevem o comportamento de f(x,y) (crescimento ou decrescimento) quando, a partir do ponto (x0,y0) caminhamos na direção do eixo 𝒳 [fx(xo,yo)] e na direção do eixo 𝒴[fy(xo,yo)].
3. Assim, por exemplo, fx(xo,yo)= +3, isto significa que caminhando a partir de (xo,yo) na direção do eixo 𝒳 no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) aumentar de aproximadamente 3 unidades para cada unidade de 𝒳 percorrida; Se fy(xo,yo)= −4, isto significa que, a partir de (xo,yo) caminhando na direção do eixo 𝒴 no sentido positivo, veremos os valores de f(x,y) diminuir aproximadamente de 4 unidades para cada unidade de 𝒴 percorrida. y y
r α r
y0 y0 α α
r r
0 x0 x 0 x0 x
4. Queremos agora descrever o comportamento de f(x,y) quando, a partir de (xo,yo), caminhamos numa
direção qualquer determinada pela reta orientada 𝓇 que forma com o eixo 𝒳 o ângulo orientado α. A
taxa de variação de f em relação à distância percorrida na direção de 𝓇 será chamada derivada direcional
de f(x,y) no ponto (x0,y0), na direção de α, e representaremos por fα(x0,y0).
5. Derivada pela Definição: Vamos definir, de um modo mais formal, a derivada direcional fα:
Inicialmente, determinemos as equações paramétricas de 𝓇, tomando como parâmetro o comprimento
de arco 𝒮:
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𝓇 = { 𝒮
y S r
α Ssenα
y0 Scosα
0 x0 x
Agora vamos calcular f(x,y) nos pontos da reta 𝓇, ou seja, vamos compor a função f(x,y) com a s funções
{
Então, quando 𝒮 = 0, temos
f(0) = f(x0,y0); a derivada de F(𝒮) no ponto 𝒮 = 0 é a Derivada Direcional de f(x,y) no ponto (x0,y0) e na
direção α:
⇒
⇒
Também é comum a notação: =
.
6. Exemplo 1.
Calcular a (1,2) para a função =
𝓇={
∴𝓇={
√
√
⇒ ( √
√
) (
√
)
√
⇒
2( √
)
√
(
√
) (
√
)
√
⇒
√
√
. Logo,
(1,2) , e isto significa que, se a partir do ponto (1,2) caminharmos na direção da reta
orienta 𝓇 que forma 450 com o eixo 𝒳, então veremos os valores de f(x,y) aumentar de
aproximadamente 2 unidades para cada unidade percorrida.
Método de Cálculo da Derivada Direcional: Necessitamos, agora, de um método de cálculo da
Derivada Direcional que nos dispense de ter que recorrer sempre à definição. Este método é estabelecido
pelo seguinte Teorema: f(x,y) é diferenciável no ponto (xo,yo) então: f(x,y) tem derivadas direcionais neste
ponto em qualquer direção α, e vale: (
Obs.: O número que chamamos de derivada direcional de f(x,y) em (xo,yo) na direção α fornece, de fato,
uma caracterização do comportamento de f(x,y) na direção e no sentido determinados por α, e α
determina a direção e o sentido em que nos moveremos a partir de (xo,yo).
8. Exemplo 2. A temperatura de uma chapa é dada por onde 𝒳 e 𝒴 são as coordenadas
de um ponto, em cm, e T em 0C. Calcule de quanto varia, aproximadamente, a temperatura se
caminharmos 1 cm a partir do ponto (3,4) na direção: (a) α = 300
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(a) α = 300
Temos{ ⇒
⇒ ⇒ (3,4)= 6.cos300 + 8.sen300 = 6.
√
+ 8.
= 3√ + 4 9,2
∴ (3,4) 9,2 0c/cm; a temperatura deverá aumentar de 9,20c por cm aproximadamente.
(b) α’= 2100
Temos{ ⇒
⇒ ⇒ (3,4)= 6.cos2100 + 8.sen2100 = −6.
√
+ 8.−
= −5,19 −4 −9,2
∴ (3,4) −9,2 0c/cm; a temperatura deverá diminuir de 9,20c por cm aproximadamente.
9. FORMA VETORIAL – O GRADIENTE: A partir de um ponto (x0,y0) estamos determinando uma
direção(direção e sentido) através de um ângulo α
r r α r r
y0 α y0 y0 α y0
α
0 x0 0 x0 0 x0 0 x0
Podemos determinar uma direção através de um vetor : y y
y
y0 yo yo yo
0 x0 0 x0 0 x0 0 x0
Este vetor ter um módulo qualquer (comprimento), mas é comum indicarmos uma direção
através de um vetor unitário (de módulo 1) , chamado versor da direção. Assim, o versor do eixo 𝒳
é o vetor , o versor do eixo 𝒴 é o vetor
, e um vetor
,qualquer, pode ser representado por
+
onde são as componentes de nos eixos 𝒳 e 𝒴 respectivamente.
4
yo 3 yo 3
3 + 4 4
0 x0 x0 3 − 4
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O vetor unitário da direção de pode ser obtido a partir de
dividindo-se
por ‖
‖, onde
‖
‖ √
∴
‖
‖ Como tem módulo 1, as componentes de
{
resultando em:
10. A derivada Direcional de f(x,y) no ponto (xo,yo) e na direção α, esta direção pode ser determinada
através do versor onde temos:
(
O vetor +
é chamado GRADIENTE de f(x,y) no ponto (xo,yo) e é
representado por (grad f)(xo,yo) ou f(xo,yo) [lê-se “nabla” f no ponto (xo,yo)]:
f(
Notamos, então que a derivada direcional
pode ser expressa em termos do gradiente e do versor
11. Lembrando que : − resulta que o vetor oposto do gradiente
− f(xo,yo), determina a direção em que a derivada direcional é mínima, tendo valor simétrico ao da
direção do gradiente: derivada direcional máxima = ‖ ‖
derivada direcional mínima = −‖ ‖. Portanto, o gradiente indica, em cada
ponto, a direção (e o sentido) em que a derivada direcional é máxima; o vetor oposto ao gradiente
indica a direção em que a derivada direcional é mínima; nos dois casos, o módulo da derivada
direcional é o módulo do gradiente. Por outro lado, em cada ponto (x0,y0), o vetor unitário , normal
ao gradiente(perpendicular ao gradiente), determina uma direção em que a derivada direcional é nula,
pois: f( ‖ ‖cos 90° = 0. Isto significa que, nesta direção a
taxa de variação de f(x,y) em relação à distância percorrida é nula, e que, caminhando nesta direção
f(x,y) é praticamente constante. Então podemos dizer que, em cada ponto (x0,y0), o vetor normal
ao gradiente, é o vetor tangente à curva de nível de f(x,y) que passa pelo ponto (x0,y0).
12. A temperatura de uma chapa plana é dada por = (T em OC 𝒳 𝒴 .
(a) Determine o gradiente da temperatura no ponto (3,4):
O gradiente de T(x,y) é o vetor:
= no ponto
(3,4) temos:
(b) Determine, a partir do ponto (3,4), a direção em que a temperatura cresce o mais
rapidamente possível, e qual a taxa de crescimento:
O gradiente indica a direção em que a taxa de variação da temperatura (derivada direcional) é
máxima, logo: para a temperatura crescer o mais rapidamente possível devemos seguir, a partir de
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(3,4), na direção do gradiente, ou seja, na direção =
‖ ‖ =
√ =
A derivada direcional nesta direção é igual ao módulo do gradiente: = =
‖ ‖ = 10; Portanto, a taxa de variação é 10°C por cm, aproximadamente.
(c) Determine, a partir do ponto (3,4), a direção em que a temperatura decresce o mais
rapidamente possível, e qual a taxa de decrescimento:
O vetor oposto do gradiente indica a direção em que a temperatura decresce o mais rapidamente
possível (derivada direcional mínima):
Direção de máximo decrescimento: − = − −
Taxa de decrescimento: f− (3,4)=−f (3,4) − A temperatura decresce de
aproximadamente 10°C por cm.
(d) Determine, a partir do ponto (3,4), em que direção devemos seguir a fim de que a
temperatura permaneça constante:
Na direção do vetor , normal ao gradiente, a temperatura permanece constante:
(pois é perpendicular a ∴ ( ) ( ∴
∴
=
= −
Como ‖
‖ 1 ;
+ e então (−
) + = 1 ∴
ou
− .
Segue que =− Então − ou = − )
Os vetores são tangentes à curva de nível de T(x,y) que passa pelo ponto (3,4):
T(3,4) = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 ∴ (circunferência de centro (0,0) e raio 5).
(e) Calcular T30°(3,4):
Temos: { ⇒ ⇒
∴ ⇒ 6.√
+ 8.
9,2 ℃/cm
NOTA: T30°(3,4) < (3,4)
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13. Derivada Direcional de um Campo Escalar:
Problema 01. Suponha que um pássaro esteja pousado em um ponto A de uma chapa R cuja
temperatura T é função dos pontos dela. Se o pássaro se deslocar em uma determinada direção, ele
vai “sentir” aumento ou diminuição de temperatura?
R
A
A resposta a esta pergunta será encontrada mediante a análise da taxa de variação da temperatura em
relação à distância, no ponto A, quando o pássaro se move na direção dada. Logo, devemos encontrar
a derivada direcional da função temperatura.
Problema 2. Suponha que, em outra situação, podemos conhecer a temperatura do ar nos pontos do
espaço por meio de uma função T(x,y,z). Um pássaro localizado em um ponto P deseja resfriar-se o
mais rapidamente possível. Em que direção e sentido ele deve voar?
A resposta a esta pergunta será possível se, grad T ≠ 0 em P, para se resfriar o mais rápido possível, o
pássaro deve voar na direção e sentido de – grad T(P).
14. Encontrar o gradiente dos campos escalares:
(a) f(x,y,z) 2( ) − (b) g(x,y)
Utilizando a definição do vetor gradiente, para duas ou mais variáveis, obtemos:
(a) grad f =
∴ 4x
−
(b) grad g =
∴
15. Calcular o gradiente de f(𝒳,𝒴) = , em P(2,−1).
Temos{
−
−
16. Seja f(x, y, z) = − −
(a) Estando em (1, 1, 2), que direção e sentido devem ser tomados para que f cresça mais
rapidamente?
Estando em (1, 1, 2), devemos tomar a direção e o sentido do vetor ∇f(1, 1, 2) = −2 −2
+
para que
f cresça o mais rapidamente possível.
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(b) Qual é o valor máximo de
(1, 1, 2)? O valor máximo de
(1, 1, 2) é dado por |∇ |=
‖ ‖ =
√ =
17. PROBLEMAS APLICADOS RESOLVIDOS
(a) Seja − − − uma distribuição de temperatura em uma região do espaço.
Uma partícula P1 localizada P1(2, 3, 5) necessita esquentar-se o mais rápido possível. Outra partícula P2
localizada em P2(0, -1, 0) necessita resfriar-se o mais rapidamente possível. Pergunta-se:
1º) Qual a direção e o sentido que P1 deve tomar?
Solução:
Temos:
{
− − −
− −
−
−
− −
−
−
−
Como P1 necessita esquentar-se o mais rapidamente
possível − − −
2º) Qual a direção e o sentido que P2 deve tomar?
Como P2 necessita resfriar-se o mais rapidamente
possível − − − −
− − −
∴ − − −
3º) Qual é a taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 e qual é a taxa máxima de
decrescimento da temperatura em P2?
A taxa máxima de crescimento da temperatura em P1 é dada por |∇ |=
‖ ‖ =
√ = √ = √ .
A taxa máxima de decrescimento da temperatura em P2 é dada por |∇ − |= 2.
‖ ‖ =
√ = √ = .
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(b) Um alpinista vai escalar uma montanha, cujo formato é aproximadamente o do gráfico de
− − , com Se ele parte do ponto P0(4, 3, 0), determinar a trajetória a ser
descrita, supondo que ele busque sempre a direção de maior aclive.
Solução:
Seja (t) = [x(t), y(t), z(t)] a equação da trajetória do alpinista. Inicialmente, vamos determinar a
projeção [x(t), y(t), z(t)] de
→
da montanha é dada por ∇f, onde f = 25 − − . Como o
alpinista deve se deslocar na direção de maior aclive, o ∇f deve ser tangente à projeção da
trajetória. Fazemos, então: → = grad f[
=[
]= [(−2x(t), −2y(t)]. Resolvendo a equação,
vem:
= −2x(t) e
= −2y(t) onde
e . Particularizando as constantes C1
e C2, lembramos que o ponto de partida do alpinista, correspondente a t = 0, é P0(4, 3, 0). Portanto,
x(0) = 4 e y(0) = 3 e, desta forma, C1 = 4 e C2 = 3. Logo, a projeção de (t) é
= ) e
a trajetória é dada por:
= − )2− ]= −
z
25
5 5 y
x P0
(c) O gráfico abaixo mostra as curvas de nível da temperatura T(x,y) da superfície do oceano de
uma determinada região do globo terrestre. Supondo que T(x,y) é aproximadamente igual a
−
−
, pergunta-se:
1º) Qual é a taxa de variação da temperatura nos pontos P0(2,3) e P1(4,1), na direção nordeste?
A taxa de variação da temperatura é dada pela derivada direcional. Considerando que um vetor
unitário na direção nordeste é(
√ ,
√ ) e que grad f = (1−
, -
vem que:
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(Po)=
(2,3)= ∇f(2,3). (
√ ,
√ ) = −
.3). (
√ ,
√ ) = −
√ e
(P1)=
(4,1)= ∇f(4,1). (
√ ,
√ ) = −
√
2º) Se não conhecermos a forma da função T(x,y), como poderemos encontrar um valor
aproximado para a taxa de variação do item (1º)?
Se não conhecermos a forma da função T(x,y), poderemos calcular a taxa de variação média da
temperatura na direção nordeste no ponto P0. Basta observar a figura abaixo e assinalar as
temperaturas a nordeste: - 1°, e a sudeste: 0°. A seguir faz-se o quociente
onde 1 km é a
distância aproximada entre os dois pontos cujas temperaturas foram observadas. Portanto, −1
grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da temperatura, em P0, na direção nordeste.
Analogamente, temos que
= −2,5 grau/km é o valor aproximado da taxa de variação da
temperatura em P1, na direção nordeste. Observamos que os valores encontrados em (1º) são
aproximadamente os mesmos encontrados em (2º).
3º) Qual é a taxa máxima de variação da temperatura em P0?
A taxa máxima de variação da temperatura em P0 é dada por | | = √ −
=
5 -4°
4 -3°
3 P0 -1° -2°
2 0°
1 1° P1
0 1 2 3 4 5 x
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18. LISTA DE EXERCÍCIOS:
I - Se Z = − , encontre (a) ∇Z, (b) O valor de ∇Z no ponto (2, -3), e (c) A Derivada
Direcional no ponto (2, -3) e na direção do vetor unitário
= (cos
)
+ (sen
)
II - Se f = , encontre (a) ∇f(1,2), (b) onde
é o vetor
unitário na direção de =
−
.
III - Encontre (a) O valor máximo da derivada direcional e (b) O vetor unitário da direção para
qual esse valor máximo é obtido para f = no ponto (1, 0).
IV - A temperatura T em graus C em um ponto de uma placa de metal aquecida é dada por
T =
onde são medidos em centímetros. (a) Que direção tomar a partir do ponto
(-4, 3) a fim de que a T aumente mais rapidamente? (b) Qual a velocidade de T quando alguém se
move a partir do ponto (-4, 3) na direção do item (a)?
V - Seja f = − , encontre a derivada direcional de f em (1, -1, 2) na direção
do vetor =
−
.
VI - O potencial elétrico V em volts no ponto P = no espaço é dado por V =
⁄ , onde são dados em centímetros. Qual a taxa de variação de V no
instante que passamos por = − na direção de = (4, 3, 0)?
VII - Seja f = Encontre (a) O valor máximo da derivada direcional de f
em (8, -1, 4); (b) O vetor unitário da direção para a qual essa derivada direcional máxima ocorre.
VIII - Nos problemas de 1 a 4, encontre (a) O gradiente ∇Z de cada campo escalar, (b) O valor de ∇Z
no ponto ( , (c) A derivada direcional em ( na direção do vetor unitário
.
1. Z = − , ( = (1, 1); =
√
2. Z = , ( = (2, -1); =
√
√
3. Z = − , ( = (0, 0); =
, =
4. Z = , ( = (1, 1);
, =
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IX - Nos problemas de 5 a 8, encontre (a) ∇f( e (b) O valor da derivada direcional de f em
( na direção indicada.
5. f = = , ( = (1, 2) na direção do vetor unitário = −
√
6. f = =
⁄ , ( = (-2, 1) na direção de (-2, 1) para (-6, -2).
7. f = =
, ( = (3, 2) na direção do vetor unitário =
8. f = = √ , ( = (3, -1) na direção do vetor unitário = 4
X - Nos problemas 9 e 10, um campo escalar é dado no plano Encontre a taxa de
variação desse campo escalar quando nos movemos da direita para a esquerda a partir do ponto (
dado ao longo da reta que faz o ângulo indicado com o eixo positivo dos
9. Z = − , ( = (3, 1); =
10. Z = , ( = (π, 1); =
XI - Nos problemas de 11 a 14, determine (a) O valor máximo da derivada direcional e (b) Um vetor
unitário na direção da derivada direcional máxima para cada função no ponto indicado.
11. f = − , em ( = (1, -1)
12. f = − +(3x-y-6)2, em ( = (1, 1)
13. f = − − , em ( = (1,
)
14. f = , em ( = (0,
)
XII - A temperatura T no ponto de uma placa de metal circular aquecida com centro na
origem é dada por T =
onde T é medido em graus C e são medidos em centímetros.
(a) Que direção tomar a partir do ponto (1, 1) a fim de que a T aumente o mais rapidamente
possível? (b) Qual a velocidade do aumento de T quando alguém se move a partir do ponto (1, 1) na
direção escolhida no item (a)?
XIII - Nos problemas de 15 a 18, encontre (a) O valor máximo da derivada direcional e (b) Um vetor
unitário na direção em que a derivada direcional máxima for obtida, para cada função no ponto
indicado.
15. −
16. −
17.
18.
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XIV - Calcular, usando a definição, a derivada direcional do campo escalar no ponto indicado
e na direção
19.
20. −
21.
XV - Nos exercícios 22 a 31, calcular o gradiente do campo escalar dado.
22.
23.
24. −
25. √
26. − √
27.
28.
29.
30. √
31.
XVI - Em que direção devemos nos deslocar partindo de Q(1, 1, 0) para obter a taxa de maior
decréscimo da função − −
XVII - Em que direção a derivada direcional de −
XVIII - Em que direção e sentido a função dada cresce o mais rapidamente no ponto dado? Em que
direção e sentido decresce o mais rapidamente?
32.
33. −
XIX - Determinar a derivada direcional da função √ na
direção do vetor =
+ 4
.
XX - Calcule o gradiente de
XXI -A temperatura em graus Celsius na superfície de uma placa de metal é − −
onde são medidos em centímetros. Em qual direção a partir de (2, -3) a temperatura cresce
mais rapidamente? Qual a taxa de crescimento?