FACULDADES INTEGRADAS “CAMPOS SALLES”

Prof. Ms. Paulo Cezar Pagnossin

ESTIMANDO FUNÇÕES COM O MÉTODO DOS MÍNIMOS

QUADRADOS

Oficina de Matemática

Oficina de Matemática

•Estimando funções com o Método dos Mínimos Quadrados:• Funções;• Dados Reais;• Regressão;• Diagrama de Dispersão;• O Método dos Mínimos Quadrados;• Prática.

Estimando funções com o Método dos Mínimos Quadrados

• PRODUTO CARTESIANO:• Dado o conjunto A e o conjunto B, o

produto cartesiano A X B é definido como:

• RELAÇÃO:• É qualquer subconjunto de um Produto

Cartesiano.• FUNÇÕES:

• É toda Relação em que todos os elementos do domínio tem uma e somente uma imagem no contradomínio.

• Exemplo: • Dados os conjuntos A = {1, 2, 3} e

B = {2, 4, 6}• PRODUTO CARTESIANO:

• E = A X B = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) }

• RELAÇÃO:• C = { (1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6) }• D = { (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6) }

• FUNÇÃO: y = f(x) = 2.x• G = { (1, 2), (2, 4), (3, 6) }

• DADOS REAIS• São os dados observados na vida

real, como por exemplo os preços praticados de um determinado produto, a quantidade vendida de um produto, a quantidade fabricada, os custos de um produto, os impostos praticados etc.

• Esses dados são colhidos nos registros históricas das empresas, em entidade de classe, em órgãos oficiais de pesquisa etc.

• EXEMPLO DE DADOS REAISCotação mensal do ovo extra branco no atacado – caixa de 30 ovos – Brasília - 2007 e 2008.

• EXEMPLO DE DADOS REAIS

• REGRESSÃO• Em estatística, Regressão é uma técnica que

permite explorar e inferir a relação de uma variável dependente (variável de resposta) com variáveis independentes específicas (variáveis explicatórias).

• A Análise da Regressão pode ser usada como um método descritivo da análise de dados (como, por exemplo, o ajustamento de curvas) sem serem necessárias quaisquer suposições acerca dos processos que permitiram gerar os dados. 

• Regressão designa também uma equação matemática que descreva a relação entre duas ou mais variáveis.

• O método de estimação mais amplamente utilizado é o MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS ORDINÁRIOS.

• DIAGRAMA DE DISPERSÃO

• O Diagrama de Dispersão é um gráfico onde pontos no espaço cartesiano XY são usados para representar simultaneamente os valores de duas variáveis quantitativas medidas em cada elemento do conjunto de dados.

• EXEMPLO DE DIAGRAMA DE DISPERSÃO

• O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS• MODELO DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

Onde: Y é a variável dependente e X é a variável independente ou de controle.O método do mínimos quadrados irá estimar o valor de , transformando o nosso modelo em:

Onde: é uma estimativa de Yé uma estimativa de é uma estimativa de

• O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS• Devemos encontrar uma reta Y = a +

b.X que torne os desvios o menor possível, ou seja, que nossa equação seja o mais próxima possível do conjunto de pontos reais, isto equivale a querermos minimizar a discrepância total entre os pontos observados e a reta estimada.

• Em linguagem matemática:= mínimo seja mínimo

• Derivando M em relação a a e b, temos

• Derivando M em relação a a e b, temos

• Para que M seja mínimo e dever ser ambos igualado a zero.

Ou seja

Para encontrarmos os valores de a ou b, resolvemos o sistema acima ou utilizamos as formulas:

Para encontrarmos os valores de a ou b, resolvemos o sistema anterior ou utilizamos as formulas (extraídas do sistema):

• Sendo:• e

• PRÁTICA: Consultando os dados históricos de uma determinada empresa encontramos para a demanda de um produto os dados abaixo. Estime uma função de primeiro grau utilizando o Método dos Mínimos Quadrados.Quantidade

Demandada (X) Preço (Y)15 8418 8319 7920 8530 7035 6042 5945 5347 51

Diagrama de Dispersão

10 15 20 25 30 35 40 45 5040

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

Preço

Quantidade Demandada X

Preç

o Y

Diagrama de Dispersão

10 15 20 25 30 35 40 45 5040

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

QuantidadeDemandada

(X)Preço

(Y) X2 Y2 X.Y

15 84

18 83

19 79      20 85      30 70      35 60      42 59      45 53      47 51      

QuantidadeDemandada

(X)Preço

(Y) X2 Y2 X.Y

15 84 225 7.056 1.26018 83 324 6.889 1.49419 79  .  . . 20 85  .  .  .30 70  .  .  .35 60  .  .  .42 59  .  .  .45 53  .  .  .47 51  . .   .

QuantidadeDemandada (X)

Preço(Y) X2 Y2 X.Y

15 84 225 7.056 1.26018 83 324 6.889 1.49419 79 361 6.241 1.50120 85 400 7.225 1.70030 70 900 4.900 2.10035 60 1.225 3.600 2.10042 59 1.764 3.481 2.47845 53 2.025 2.809 2.38547 51 2.209 2.601 2.397

271 624 9.433 44.802 17.415

• O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS• Para estimarmos uma função de

segundo grau utilizamos a Regressão Linear Multipla

Onde: Y é a variável dependente e X é a variável independente ou de controle.O método do mínimos quadrados irá estimar o valor de , transformando o nosso modelo em:

Onde: é uma estimativa de Yé uma estimativa de é uma estimativa de é uma estimativa de

Aplicando o mesmo método dos mínimos quadrados chegamos às seguintes formulas:

Sendo: ; e

• PRÁTICA: Consultando os dados históricos de uma determinada empresa encontramos para a produção de um produto os dados abaixo. Estime uma função de segundo grau utilizando o Método dos Mínimos Quadrados.Quantidade Produzida

(X) Custo Total (Y)16 46520 63519 58025 88027 99033 137041 199046 245244 2260

Diagrama de Dispersão

15 20 25 30 35 40 45 500

500

1000

1500

2000

2500

Custo

Quantidade

Produzida (X)

CustoTotal (Y)

X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2

16 46520 63519 580

25 880

27 990

33 1.370

41 1.990

46 2.452

44 2.260

Quantidade

Produzida (X)

CustoTotal (Y)

X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2

16 465 256 216.225 7.440 4.096 65.536 119.04

03.459.6

0020 635 400 403.22

5 12.700 8.000 160.000

254.000

8.064.500

19 580

25 880

27 990

33 1.370

41 1.990

46 2.452

44 2.260

Quantidade

Produzida (X)

CustoTotal (Y) X2 Y2 X.Y X3 X4 X2.Y X.Y2

16 465 256 216.225 7.440 4.096 65.536 119.040 3.459.600

20 635 400 403.225 12.700 8.000 160.000 254.000 8.064.500

19 580 361 336.400 11.020 6.859 130.321 2.09.380 6.391.600

25 880 625 774.400 22.000 15.625 390.625 550.000 19.360.000

27 990 729 980.100 26.730 19.683 531.441 721.710 26.462.700

33 1.370 1.089 1.876.900 45.210 35.937 1.185.92

11.491.93

061.937.70

0

41 1.990 1.681 3.960.100 81.590 68.921 2.825.76

13.345.19

0162364.1

00

46 2.452 2.116 6.012.304 112.792 97.336 4.477.45

65.188.43

2276.565.9

84

44 2.260 1.936 5.107.600 99.440 85.184 3.748.09

64.375.36

0224.734.4

00

271 11.622 9.193 19.667.254 418.922 341.641 13.515.1

5716.255.0

42789.340.5

84