Halliday

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Fundamentos de Física

Volume 3

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Capítulo 28

Campos Magnéticos

O Que Produz um Campo Magnético?

Os campos magnéticos podem ser produzidos de

duas formas.

A primeira forma é usar partículas eletricamente

carregadas em movimento, como os elétrons

responsáveis pela corrente elétrica em um fio, para

fabricar um eletroímã. A corrente produz um campo

magnético.

A outra forma de produzir um campo magnético é

usar partículas elementares, como os elétrons, que

possuem um campo magnético intrínseco.

Em alguns materiais, os campos magnéticos dos

elétrons se somam para produzir um campo magnético

no espaço que cerca o material. É por isso que um

ímã permanente possui um campo magnético

permanente.

Na maioria dos materiais, por outro lado, os campos

magnéticos dos elétrons se cancelam e o campo

magnético em torno do material é nulo.

A Definição de B

Podemos fazer uma analogia direta com a definição de campo elétrico.

A Definição de B

Podemos definir um campo magnético B fazendo uma partícula carregada passar

pelo ponto onde queremos definir o campo, usando várias direções e velocidades

para a partícula e medindo a força que age sobre a partícula nesse ponto. B é

definido como uma grandeza vetorial cuja direção coincide com aquela para a qual

a força é zero.

A força magnética que age sobre uma partícula carregada, FB, é definida através da

equação

onde q é a carga da partícula, v é a velocidade da partícula e B é o campo

magnético. O módulo da força é, portanto,

onde é o ângulo entre os vetores v e B.

Determinação da Força Magnética

A unidade de campo magnético do SI é o tesla

(T), que equivale a um newton por coulomb-

metro por segundo ou um newton por

ampère-metro:

Uma unidade antiga de campo magnético,

que não pertence ao SI mas ainda é usada na

prática, é o gauss (G). A relação entre o gauss

e o tesla é a seguinte:

A Definição de B

Linhas de Campo Magnético

• A direção da tangente a uma linha de campo

magnético em qualquer ponto do espaço fornece a

direção de B nesseponto.

• O espaçamento das linhas representa o módulo de B ;

quanto mais intenso é o campo, mais próximas estão

as linhas, e vice-versa.

Exemplo: Força Magnética sobre uma Partícula em Movimento

Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron

1. Com E = 0 e B = 0 o ponto luminoso não sofre deflexão.

2. Aplicar o campo elétrico E e medir a deflexão resultante do feixe.

3. Mantendo E, ligar agora B e ajustar o seu valor até que o feixe retorne

à posição sem deflexão.

Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron

Substituindo ay e t, obtemos

Quando os dois campos são ajustados para que a força elétrica e a força magnética se

cancelem mutuamente, temos:

Campos Cruzados: A Descoberta do Elétron

Campos Cruzados: O Efeito Hall

A figura mostra uma fita de cobre percorrida por uma corrente i e submetida a um campo

magnético. (a) Situação logo depois que o campo magnético é aplicado, mostrando a

trajetória curva de um elétron. (b) Situação após o equilíbrio ser atingido, o que acontece

rapidamente. Observe que cargas negativas se acumulam do lado direito da fita, deixando

cargas positivas não compensadas do lado esquerdo. Assim, o potencial é maior do lado

esquerdo. (c) Para o mesmo sentido da corrente, se os portadores de carga fossem positivos,

tenderiam a se acumular no lado direito, que ficaria com um potencial maior.

Campos Cruzados: O Efeito Hall

Ao campo elétrico E que se estabelece entre as bordas da fita está associada uma diferença de

potencial

onde d é a largura da fita. Quando as forças elétrica e magnética estão em equilíbrio,

onde vd é a velocidade de deriva. Além disso,

onde J é a densidade de corrente, n é o número de cargas por unidade de volume e A é a área da

seção reta dada pela expressão

Assim,

onde l = A/d é a espessura da fita.

Exemplo: Diferença de Potencial em um Condutor em Movimento

Exemplo: Diferença de Potencial em um condutor em movimento (continuação)

Uma Partícula Carregada em Movimento Circular

Considere uma partícula de carga |q| e massa m que

se mova com velocidade v perpendicularmente a

um campo magnético uniforme de módulo B.

A força magnética age continuamente sobre a

partícula; como B e v são sempre perpendiculares,

a força faz a partícula descrever uma trajetória

circular.

O módulo da força magnética que age sobre

a partícula é

No caso do movimento circular,

Elétrons circulando em uma câmara que contém uma

pequena quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é

o anel claro). Na câmara existe um campo magnético

uniforme que aponta para fora da tela. A força

magnética aponta para o centro do anel. (Cortesia de

John Le P. Webb, Sussex University, Inglaterra)

Uma Partícula Carregada em Movimento Circular

Elétrons circulando em uma câmara que contém uma pequena

quantidade de gás (a trajetória dos elétrons é o anel claro). Na

câmara existe um campo magnético uniforme que aponta para

fora da tela. A força magnética aponta para o centro do anel.

(Cortesia de John Le P. Webb, Sussex University, Inglaterra)

Substituindo o raio, temos

Trajetórias Helicoidais

Fig. 28.11 (a) Uma partícula carregada se move na presença de um campo magnético uniforme B com a velocidade

da partícula fazendo um ângulo com a direção do campo. (b) A partícula descreve uma trajetória helicoidal de

raio r e passo p. (c) Uma partícula carregada se move em espiral na presença de um campo magnético não

uniforme. (A partícula pode ser aprisionada, passando a descrever um movimento de vaivém entre as regiões em

que o campo é mais intenso.) Observe que nas duas extremidades a componente horizontal da força magnética

aponta para o centro da região.

O vetor velocidade de uma partícula pode ser separado em duas componentes, uma paralela e outra

perpendicular ao campo magnético, . A componente paralela determina

o passo p da hélice (distância entre espiras sucessivas na Fig. 28-11b). A componente perpendicular

determina o raio da hélice.

Na Fig. 28-11c, o espaçamento menor das linhas de campo nas extremidades mostra que o campo é mais

intenso nessas regiões. Se o campo for suficientemente intenso, a partícula será “refletida” de volta para o

centro. Quando a partícula é refletida nas duas extremidades, dizemos que está aprisionada em uma

garrafa magnética.

Exemplo: Movimento Helicoidal de uma Partícula em um Campo

Magnético

Exemplo: Movimento Circular Uniforme

de uma Partícula em um Campo Magnético

28.7 Cíclotrons

Suponha que um próton, injetado pela fonte S situada no centro do

cíclotron na Fig. 28-13, esteja inicialmente se movendo em direção ao

dê da esquerda, negativamente carregado. O próton é atraído pelo dê e

entra nele. Depois de entrar, fica isolado do campo elétrico pelas

paredes de cobre do dê; em outras palavras, o campo elétrico não

penetra nas câmaras. O campo magnético, porém, não está sujeito aos

efeitos das paredes de cobre (um metal não magnético) e, portanto,

age sobre o próton, fazendo com que descreva uma trajetória

semicircular cujo raio, que depende da velocidade, é dado por r =

mv/|q|B).

Suponha que no instante em que o próton chega ao espaço central,

proveniente do dê da esquerda, a diferença de potencial entre os dois

dês seja invertida. Nesse caso, o próton é novamente atraído por um

dê negativamente carregado e é novamente acelerado. O processo

continua, com o movimento do próton sempre em fase com as

oscilações do potencial, até que a trajetória em espiral leve a partícula

até a borda do sistema, onde uma placa defletora a faz passar por um

orifício e deixar um dos dês.

A frequência f com a qual a partícula circula sob o efeito do campo

magnético (e que não depende da velocidade) pode ser igual à

frequência fosc do oscilador elétrico, ou seja,

O Síncrotron

O cíclotron não funciona bem no caso de prótons com uma energia maior que

50 MeV. Além disso, para prótons de 500 GeV e um campo magnéticode

1,5 T, o raio da circunferência é 1,1 km, o que exigiria um eletroímã de

tamanho descomunal.

O síncrotron foi criado para resolver esses dois problemas. Em vez de possuírem

valores fixos como no cíclotron, o campo magnético e a frequência do oscilador

variam com o tempo enquanto as partículas estão sendo aceleradas.

Quando isso é realizado de forma correta,

(1) a frequência de revolução das partículas permanece em fase com a

frequência do oscilador;

(2) as partículas descrevem uma trajetória circular em vez de espiral.

Mesmo assim, no caso de partículas de alta energia, o raio da trajetória não pode

deixar de ser grande. O síncrotron do Fermi National Accelerator Laboratory

(Fermilab), em Illinois, desligado em 2011, tinha uma circunferência de 6,3 km

e podia produzir prótons com uma energia da ordem de 1 TeV (= 1012 eV).

Exemplo: Acelerando uma Partícula Carregada em um Cíclotron

Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente

Considere um trecho de fio de comprimento L.

Após um intervalo de tempo t = L/vd, todos os

elétrons de condução desse trecho passam pelo

plano xx da Fig. 28.15.

A carga que passa pelo plano nesse intervalo é

dada por

Nesse caso,

Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente

Para qualquer orientação de B em relação a vd obtemos

Em módulo, podemos escrever

Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente

Para um fio curvo, podemos calcular a força dFB em uma porção

infinitesimal dL do fio.

Exemplo: Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente

Torque em uma Espira Percorrida por Corrente

As duas forças magnéticas, F e –F, produzem um torque que faz a

espira girar em torno do eixo central.

Torque em uma Espira Percorrida por Corrente

Para definir a orientação da espira mostrada em (a) em relação ao campo magnético, usamos um vetor

normal n que é perpendicular ao plano da espira. A figura (b) ilustra o uso da regra da mão direita para

determinar a orientação de n . Na figura (c), o vetor normal é mostrado fazendo um ângulo com a direção do campo magnético.

No lado 2 da espira, o módulo da força é

mas essa força é cancelada pela força a que está submetido o lado 4.

O módulo das forças que agem sobre os lados 1 e 3 é o mesmo,

Torque em uma Espira Percorrida por Corrente

mas, como é mostrado em (c), as duas forças não estão aplicadas ao longo da mesma reta e por isso produzem um torque, dado por

No caso de uma bobina formada por N espiras de área A = ab, o torque total que age sobre a bobina é

Onde

É o momento de dipolo magnético da espira

Torque em uma Espira Percorrida por Corrente

Sendo assim, podemos escrever

Que em notação vetorial pode ser escrito como

O que é análogo ao torque sobre um dipolo elétrico

O Momento Magnético Dipolar

Como no caso do dipolo elétrico, um dipolo magnético

submetido a um campo magnético externo tem uma energia

que depende da orientação relativa entre o momento

magnético dipolar e o campo magnético:

A energia do dipolo magnético tem o valor mínimo

(−B cos 0 = −B), quando o momento dipolar aponta na

direção do campo magnético, e o valor máximo (−B cos

180° = +B) quando o momento dipolar aponta na direção

oposta.

Definição:

onde N é um número de espiras da bobina, i é a corrente na bobina e A é a área

envolvida pelas espiras da bobina.

Direção: O momento magnético dipolar aponta na direção da normal ao plano da bobina.

A definição de torque pode ser escrita na forma

O Momento Magnético Dipolar

De acordo com as equações acima,

a unidade de momento dipolar

magnético pode ser o ampère-

metro quadrado (A.m2) ou o joule

por tesla (J/T).