24/5/13 Valdemar W. Setzer – Algoritmos 1 ALGORITMOS E SUA ANÁLISE: UMA INTRODUÇÃO À CIÊNCIA...

24/5/13Valdemar W. Setzer – Algoritmos 1

ALGORITMOS E SUA ANÁLISE:

UMA INTRODUÇÃO

À CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

Valdemar W. Setzer

Depto. de Ciência da Computação da USP

Ver artigo e esta apresentação em

www.ime.usp.br/~vwsetzer

google: valdemar setzer home

TÓPICOS1. Introdução2. O problema a ser resolvido

3. Soluções obtidas4. O que é um algoritmo?

5. Qual dos 3 é o melhor algoritmo?6. É possível melhorar a eficiência?7. Algoritmo ótimo8. Conclusão

1. Introdução Algoritmos são usados há milhares de

anos Soma armada Algoritmo de Euclides (máximo divisor comum (séc. 3 a.C.)

Tornaram-se essenciais na computação

Todos os programas que funcionam implementam algoritmos

1. Introdução (cont.) Vamos ver o que são algoritmos Vamos aprender o que é um tipo de

sua análise Verificar que essa análise é essencial

constituindo portanto uma parte fundamental da ciência da computação

Usaremos um problema fundamental da computação:

Ordenação de números, palavras, etc.

TÓPICOS 1. Introdução 2. O problema a ser resolvido

5. Qual é o melhor algoritmo?6. É possível melhorar a eficiência?7. Algoritmo ótimo8. Conclusão

2. O problema a ser resolvidoOrdenar n númerosMaterial Cartolinas com 8 compartimentos Cada compartimento tem uma tira Em cada tira há um número Ordenar esses 8 números em ordem

crescente seguindo as seguintes regras

(Pode ser feito sem cartolinas, com as tiras sobre a mesa)

2. O problema a ser resolvido (cont.)Regras

R1: Pode-se levantar um pouco uma tira de seu compartimento, e ver seu conteúdo

R2: Se uma tira estiver abaixada, seu número está invisível (é desconhecido)

R3: No máximo 2 tiras podem estar levantadas ao mesmo tempo

R4: O conteúdo de 2 tiras pode ser comparado para saber qual o maior

R5: Duas tiras podem ser trocadas de compartimento

3. Soluções obtidas Notar algumas dificuldades

Seguir estritamente as regras Por exemplo, não memorizar os conteúdos

das tiras Descrever o processo Descrever qual o critério de término do

processo

Método de seleção

(Compara o 1o. com cada um dos outros, troca quando ele for maior; depois compara o 2o. com cada um dos outros, etc.)

5 10 3 7 15 2 1 9 1 10 5 7 15 3 2 9

5 10 3 7 15 2 1 9 1 5 10 7 15 3 2 9

3 10 5 7 15 2 1 9 1 3 10 7 15 5 2 9

2 10 5 7 15 3 1 9 1 2 10 7 15 5 3 9

1 10 5 7 15 3 2 9 1 2 10 7 15 5 3 9

1 2 9 7 15 5 3 10

3. Soluções obtidas (cont.) MÉTODO DE SELEÇÃO (em cada varrida, seleciona-se o menor)

5 10 3 7 15 2 1 93 10 5 7 15 2 1 92 10 5 7 15 3 1 91 10 5 7 15 3 2 91 10 5 7 15 3 2 9

1 5 10 7 15 3 2 91 3 10 7 15 5 2 91 2 10 7 15 5 3 9

1 2 7 10 15 5 3 91 2 5 10 15 7 3 91 2 3 10 15 7 5 9

1 2 3 7 15 10 5 91 2 3 5 10 15 7 9

1 2 3 5 7 15 10 9...

1 2 3 5 7 9 10 15

Método da bolha

(Compara o 1o com o 2o, troca se o 1o for maior; depois compara o 2o com 3o e troca se for maior etc.)

5 10 3 7 15 2 1 9 1 5 7 10 3 2 15 9

5 10 3 7 15 2 1 9 1 5 7 10 3 2 9 15

3 5 10 7 15 2 1 9 1 5 7 10 3 2 9 15

2 5 7 10 15 3 1 9 1 5 7 10 3 2 9 15

1 5 7 10 15 3 2 9 1 5 7 10 3 2 9 15

1 5 7 10 3 15 2 9 1 5 7 3 10 2 9 15

3. Soluções obtidas (cont.) MÉTODO DA BOLHA (em cada varrida, compara-se e troca-se de 2 em 2)

5 10 3 7 15 2 1 95 3 10 7 15 2 1 95 3 7 10 15 2 1 95 3 7 10 15 2 1 95 3 7 10 2 15 1 95 3 7 10 2 1 15 95 3 7 10 2 1 9 153 5 7 10 2 1 9 153 5 7 2 10 1 9 153 5 7 2 1 10 9 153 5 7 2 1 9 10 153 5 2 7 1 9 10 153 5 2 1 7 9 10 153 2 5 1 7 9 10 152 3 5 1 7 9 10 15

2 3 1 5 7 9 10 152 1 3 5 7 9 10 151 2 3 5 7 9 10 15

Método de inserção

(Compara cada par consecutivo; quando houver troca, compara para trás e troca se necessário)

5 10 3 7 15 2 1 9 3 5 7 10 15 2 1 9

5 10 3 7 15 2 1 9 3 5 7 10 2 15 1 9

5 3 10 7 15 2 1 9 3 5 7 2 10 15 1 9

3 5 10 7 15 2 1 9 3 5 2 7 10 15 1 9

3 5 7 10 15 2 1 9 3 2 5 7 10 15 1 9

3 5 7 10 15 2 1 9 3 2 5 7 10 1 15 9

3. Soluções obtidas (cont.)MÉTODO DA INSERÇÃO (compara-se de 2 em 2; se houver troca, compara para

trás)

5 10 3 7 15 2 1 95 3 10 7 15 2 1 93 5 10 7 15 2 1 93 5 7 10 15 2 1 93 5 7 10 2 15 1 93 5 7 2 10 15 1 93 5 2 7 10 15 1 93 2 5 7 10 15 1 92 3 5 7 10 15 1 92 3 5 7 10 1 15 92 3 5 7 1 10 15 92 3 5 1 7 10 15 92 3 1 5 7 10 15 92 1 3 5 7 10 15 91 2 3 5 7 10 15 91 2 3 5 7 10 9 151 2 3 5 7 9 10 15

4. O que é um algoritmo?Uma sequência de passos

Cada um, com uma ação matematicamente bem definida

FinitaUsa conjuntos matematicamente bem

definidos de dados de entradaTermina para qualquer conjunto de

dados de entrada (isto é, não fica executando algumas ações indefinidamente)

4. O que é um algoritmo? (cont.) Uma descrição de como trocar um

pneu é um algoritmo? E uma descrição do que se deve fazer

ao acordar de manhã? Nada disso é um algoritmo!

Pois os passos não são matematicamente

bem definidos

4. O que é um algoritmo? (cont.) E o problema de ordenar as tiras?

NÃO! Ações físicas não são matematicamente bem

definidas

E ordenar números em um computador? Sim! Computador é uma máquina matemática Dados e as instruções executadas pela

máquina são matematicamente bem definidos! As regras R1...R5 foram feitas para se poder

processar a ordenação em um computador

4. O que é um algoritmo? (cont.) Regras (recordação)

R1: Pode-se levantar um pouco uma tira de seu compartimento, e ver seu conteúdo

R2: Se uma tira estiver abaixada, seu número está invisível (é desconhecido)

R3: No máximo 2 tiras podem estar levantadas ao mesmo tempo

R4: O conteúdo de 2 tiras pode ser comparado para saber qual o maior

R5: Duas tiras podem ser trocadas de compartimento

4. O que é um algoritmo? (cont.) Regras para um computador

R1: É possível examinar (abrir) uma posição de ‘memória’ contendo um número

R2: Sem examinar uma posição de ‘memória’, o seu conteúdo é desconhecido

R3: No máximo 2 posições de ‘memória’ podem ser examinadas ao mesmo tempo

R4: Os conteúdos de 2 posições de ‘memória’ podem ser comparados para saber qual o maior

R5: Pode-se trocar o conteúdo de duas posições de ‘memória’

4. O que é um algoritmo? (cont.) Regras para um computador (cont.)

Na verdade, nos computadores modernos A comparação é feita entre o conteúdo de um

registrador (fora da ‘memória’) e uma posição de ‘memória’, ou entre dois registradores O movimento de dados sempre se dá

Da memória para um registrador De um registrador para a memória Entre registradores Da memória para a memória, em bloco

3. Soluções obtidas 4. O que é um algoritmo?

5. Qual dos 3 é o melhor algoritmo? Critério de complexidade:

Número de comparações em função do número de dados de entrada

Indica a eficiência pela rapidez, ou o tempo que leva para ser executado

Poderia ser outroPor exemplo, num computador, o

número de instruções executadas

Não vai dar diferença em termos do ‘melhor’

5. Qual é o melhor algoritmo? (cont.)

MÉTODO DA SELEÇÃO (em cada varrida, seleciona-se o menor)

5 10 3 7 15 2 1 93 10 5 7 15 2 1 92 10 5 7 15 3 1 91 10 5 7 15 3 2 91 10 5 7 15 3 2 9

1 5 10 7 15 3 2 91 2 10 7 15 5 3 9

1 2 7 10 15 5 3 91 2 5 10 15 7 3 91 2 3 10 15 7 5 9

1 2 3 7 15 10 5 91 2 3 5 10 15 7 9

1 2 3 5 7 15 10 9...

1 2 3 5 7 9 10 15

1a. varrida: 7 comparações 2a. varrida: 6 comparações 3a. varrida: 5 comparações ... 7a. Varrida: 1 comparação Resulta, para as 8 tiras, uma P.A.

7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 7 (7 + 1) / 2 = 8 (8 – 1) / 2 = 28

Para n números: n (n – 1) / 2 pode ser provado por indução finita

MÉTODO DA BOLHA (em cada varrida, compara-se de 2 em 2)

5 10 3 7 15 2 1 95 3 10 7 15 2 1 95 3 7 10 15 2 1 95 3 7 10 15 2 1 95 3 7 10 2 15 1 95 3 7 10 2 1 15 95 3 7 10 2 1 9 153 5 7 10 2 1 9 153 5 7 2 10 1 9 153 5 7 2 1 10 9 153 5 7 2 1 9 10 153 5 2 7 1 9 10 153 5 2 1 7 9 10 153 2 5 1 7 9 10 152 3 5 1 7 9 10 15

2 3 1 5 7 9 10 152 1 3 5 7 9 10 151 2 3 5 7 9 10 15

Melhor caso: sequência já ordenada Ex:

1 2 3 5 7 9 10 15

n – 1 comparações

Pior caso: ordem contrária Ex:

15 10 9 7 5 3 2 1

n (n – 1) / 2

MÉTODO DA INSERÇÃO (compara-se de 2 em 2; se houver troca, compara para trás, inserindo no lugar correto até o ponto já ordenado)

5 10 3 7 15 2 1 95 3 10 7 15 2 1 93 5 10 7 15 2 1 93 5 7 10 15 2 1 93 5 7 10 2 15 1 93 5 7 2 10 15 1 93 5 2 7 10 15 1 93 2 5 7 10 15 1 92 3 5 7 10 15 1 92 3 5 7 10 1 15 92 3 5 7 1 10 15 92 3 5 1 7 10 15 92 3 1 5 7 10 15 92 1 3 5 7 10 15 91 2 3 5 7 10 15 91 2 3 5 7 10 9 151 2 3 5 7 9 10 15

Melhor caso: sequência já ordenada Ex:

1 2 3 5 7 9 10 15

n – 1 comparações

Pior caso: ordem contrária Ex:

15 10 9 7 5 3 2 1

n (n – 1) / 2

Portanto, no pior caso todos dão

n (n – 1) / 2

Para n muito grande (caso assintótico) tem-se praticamente

Notação:

O(n2) “ordem de n2”

Significa que, assintoticamente (n grande), dobrando-se o número de elementos a serem ordenados, o tempo de ordenação quadruplicará

6. É possível melhorar a eficiência? Vejamos o método

Binary merge sort

Ordenação por intercalação binária

Ordenação por gente preguiçosa

6. É possível melhorar? (cont.)

6. É possível melhorar? (cont.) Notar que as regras R1 a R5 podem ser

seguidas, se as operações são feitas sequencialmente. Estrutura de dados em forma de

ÁRVORE BINÁRIA Níveis

RaizNós

Folhas

Altura

6. É possível melhorar? (cont.)Número de comparações:

Seja um maço inicial com n cartões Cada pessoa P, em um nível v, recebe e intercala

cartões de seus dois ajudantes do nível v+1

O último cartão não é comparado, é por construção o maior e é colocado no fim do maço construído por P

O número total de comparações feitas pelo total das pessoas no nível v com os cartões dos ajudantes do nível v+1 é então

n – (número de pessoas em v)Ex. de melhor caso: P no nível 1, intercalando 2 maços com os

números1, 2, 3, 4 e 5, 6, 7, 8

dá 3 comparações a menos (4 em lugar de 7, o pior caso)Quantas pessoas existem e quantas comparações são feitas em

cada nível, no pior caso?

6. É possível melhorar? (cont.)Nível No nós No comp.

0 20=1 n-1

1 21=2 n-2

2 22=4 n-4

3 23=8 n-8

... ... ...

m-1 2m-1 n-n/2

m 2m n-n=0

6. É possível melhorar? (cont.)Portanto, o número total de comparações

C = (n-1) + (n-2) + (n-4) + (n-8) + ... + (n-n/2)Como são m (0 a m-1) termos a serem somados, onde m é a altura da árvore,

C = mn – (1 + 2 + 4 + 8 + ... + n/2)

Precisamos calcular o número de nós de uma árvore binária com n folhas

No. de nós de uma árvore com n/2 folhas

6. É possível melhorar? (cont.) Número total de nós de uma árvore binária

Com n/2 folhas, a árvore tem 2(n/2) – 1 = n – 1 nós

NívelNo. nós

Totalde nós

3 8 15

... ... ...

m-1 2m-1 2m-1

m 2m 2m+1-1

6. É possível melhorar? (cont.) Como tínhamos

C = mn – (1 + 2 + 4 + 8 + ... + n/2) então

C = mn – (n – 1) = mn – n + 1

6. É possível melhorar? (cont.) Resta calcular m, a altura da árvore, em função

de n, No de elementos a ordenar (número de folhas)Nível No. nós

... ...

m-1 2m-1

Portanto, n = 2m e então m = log2 n

6. É possível melhorar? (cont.) Como

C = mn – n + 1 e m = log2 n

No nosso caso, n = 8; portanto no pior caso

C = 8 3 – 8 + 1 = 17 comparações Comparar com o quadrático: 28 comparações

Portanto, a ordenação por intercalação binária tem complexidade O(n log n) Será que ela é muito melhor do que a O(n2)?

C = n log2n – n + 1

6. É possível melhorar? (cont.) n n(n-1)/2 nlog2n - n + 1

8 28 17

16 120 49

32 496 129

64 2.016 321

128 8.028 769

256 32.640 1.793

512 130.816 4.097

1024 523.776 9.217

2048 2.096.128 20.481

4096 8.386.560 45.057

8192 33.550.336 98.305

6. É possível melhorar? (cont.) Numa lista telefônica

Assinantes Quadrático Intercal. binária

131.072 8.589.869.056 2.097.153

1.048.576 549.755.813.888 19.922.945 Computador que faz 1.000.000 de

comparações por segundo: só nas comparações,

6 dias 20 s

6. É possível melhorar? (cont.) Espaço requerido

Não é preciso usar a árvore Solução simples: usar uma única fileira

adicional (mais n posições de memória) Há métodos n log n que não requerem

espaço adicional Um desses é o usado normalmente, Quicksort

(mas usa uma pilha de recursão) Ver vários vídeos no youtube, por exemplo

vizualization of quicksort

5. Qual é o melhor algoritmo? 6. É possível melhorar a eficiência?

7. Algoritmo ótimo8. Conclusão

7. Algoritmo ótimo Existem métodos ainda mais rápidos

que os n log n? É possível provar formalmente que

não existe algoritmo de ordenação por comparação entre os objetos, com complexidade melhor do que n log n.

5. Qual é o melhor algoritmo? 6. É possível melhorar a eficiência? 7. Algoritmo ótimo

8. Conclusão

Vimos alguns tópicos da análise de algoritmos

uma área fundamental da ciência da computação

que visa a descoberta de algoritmos eficientesa comparação de algoritmos quanto à eficiênciaa prova de que algum algoritmo é ótimoa prova formal de que um algoritmo está corretoe muito mais!

8. Conclusão (cont.)

A computação, do ponto de vista algorítmico, está muito mais para a matemática do que para qualquer outra ciência

Portanto, no ensino médio, a disciplina correta

para se introduzir noções de ciência da computação e interessar alunos por ela é a matemática

Pode-se usar o método que foi aqui descrito

Ciência da computação não é saber usar um computador!

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