Universidade do Minho

Carlos Alípio Quintas Vaz Nº57320

Pedro Filipe Marquês Martins Nº 52855

Controlo Digital

Modelização de Sistemas

Modelização de Sistemas Controlo Digital

Na sequência da Unidade Curricular de Controlo Digital, ministrada no Mestrado Integrado

em Engenharia Electrónica Industrial e Computadores da Universidade do Minho, foi

proposto um trabalho que consistiu na modelização de um sistema de 3ª ordem ou superior.

Para tal, numa primeira instância, escolheu-se um sistema de 5 tanques em série

sem interacção, o que resulta num sistema de quinta ordem, exemplificado na imagem:

.

Recorrendo à análise do sistema, retira-se o modelo matemático que dita que:

- O fluxo de entrada (Fe) tem que ser igual à soma do fluxo de saída (Fs) com a quantidade

acumulada (𝑑𝑉

𝑑𝑡);

- O fluxo de saída (Fs) vai ser a razão entre o nível do líquido do tanque (h) com a resistência

imposta pela válvula (R);

- A variação do volume do tanque no tempo (𝑑𝑉

𝑑𝑡) é igual ao produto da área da base do

tanque (A) pela variação do nível do líquido do tanque no tempo( 𝑑ℎ

𝑑𝑡);

- O fluxo de saída do tanque 1 (Fs1) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 2 (Fe2);

- O fluxo de saída do tanque 2 (Fs2) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 3 (Fe3);

- O fluxo de saída do tanque 3 (Fs3) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 4 (Fe4);

- O fluxo de saída do tanque 4 (Fs4) vai ser igual ao fluxo de entrada do tanque 5(Fe5);

FIGURA 1- CINCO TANQUES EM SÉRIE SEM INTERAÇÃO.

Modelização de Sistemas Controlo Digital

O próximo passo é, portanto, utilizando as equações deduzidas de cada tanque, colocar as

equações em ordem às derivadas para assim ser mais fácil passar para a notação de espaço

de estados.

Para o Tanque 1 : Fe =ℎ1

𝑅1+ A1

𝑑ℎ1

𝑑𝑡

Para o Tanque 2: ℎ1

𝑅1=

ℎ2

𝑅2+ A2

𝑑ℎ2

𝑑𝑡

Para o Tanque 3: ℎ2

𝑅2=

ℎ3

𝑅3+ A3

𝑑ℎ3

𝑑𝑡

Para o Tanque 4: ℎ3

𝑅3=

ℎ4

𝑅4+ A4

𝑑ℎ4

𝑑𝑡

Para o Tanque 5: ℎ4

𝑅4=

ℎ5

𝑅5+ A5

𝑑ℎ5

𝑑𝑡

Já em notação de espaço de estados deverá ficar da seguinte forma:

X’ = A X + B U

[ dh1

dtdh2

dtdh3

dtdh4

dtdh5

dt ]

=

[

−1

𝑅1𝐴10 0 0 0

1

𝑅1𝐴2

−1

𝑅2𝐴20 0 0

01

𝑅2𝐴3

−1

𝑅3𝐴30 0

0 01

𝑅3𝐴4

−1

𝑅4𝐴40

0 0 01

𝑅4𝐴5

−1

𝑅5𝐴5]

.

[ h1h2h3h4h5]

+

[

1

A1

0000 ]

[Fe]

Modelização de Sistemas Controlo Digital

Passando agora para a simulação, através da ferramenta Simulink do Matlab:

FIGURA 2 – DIAGRAMA DA SIMULAÇÃO

Para melhor se verificar o tempo que cada tanque demorou a encher, optou-se pela

utilização de valores iguais nas resistências das válvulas, tal que R1 = R2 = R3 = R4 = R5.

FIGURA 3 – SCOPE DA PRIMEIRA SIMULAÇÃO

Modelização de Sistemas Controlo Digital

Neste primeiro caso, pode-se observar, através da ferramenta scope do Simulink, os tanques,

representados por ordem, desde o primeiro (gráfico mais acima) até ao quinto (gráfico mais

abaixo). Notou-se também, devido à resistência que as próprias válvulas exerceram, um

desfasamento entre o enchimento dos 5 tanques, perceptível na Figura 3.

Numa segunda “corrida” da simulação foi diminuida a resistência das válvulas para metade

(de igual forma em todas as válvulas), o que permitiu verificar que o tempo necessário para

cada tanque encher encurtou.

FIGURA 4 – SCOPE DA SEGUNDA SIMULAÇÃO