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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENS
CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO BÁSICO
PROFESSOR: JOSÉ MARIA NASCIMENTO
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENS
CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS
Em uma empresa, o setor de manutenção mecânica desenvolve um
importante papel na continuidade do fluxo da produção. Após o
diagnóstico do defeito, realizam-se a desmontagem, limpeza dos
componentes, substituição dos elementos danificados, montagem,
lubrificação e ajustes finais da máquina. No entanto, muitas vezes
não existem peças de reposição disponíveis para consertar a
máquina, principalmente quando ela é antiga. Por causa disso, o
setor de manutenção de muitas empresas possui algumasmáquinas
operatrizes destinadas a produzir elementos mecânicos para a
reposição de peças de máquinas sob manutenção.
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ELEMENTOS DE MÁQUINAS – ENGRENAGENS
CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
Para a sua construção é necessário considerar uma série
de dados, a saber:
l número de dentes (Z)
l diâmetro externo (de)
l módulo (m)
l diâmetro primitivo (dp)
l diâmetro interno (di)
l altura do dente (h)
l altura da cabeça (a)
l altura do pé do dente (b)
l passo (p)
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO MÓDULO
O módulo (m) de uma engrenagem é a medida que representa a
relação entre o diâmetro primitivo (dp) dessa mesma engrenagem e
seu número de dentes (Z). Essa relação é representada
matematicamente do seguinte modo:
m = dp / z ; dp = m. z ; z = dp / m
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO( de )
O diâmetro externo é igual ao diâmetro primitivo (dp) mais duas
vezes a altura da cabeça do dente (a) que, por sua vez, é igual a um
módulo. Isso é fácil de verificar, se você observar o desenho a seguir.
de = dp + 2.m
dp = de – 2.m
m= (de – dp) / 2
de = m( z + 2 ) em
Função de m e z
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
1 - Calcular o diâmetro primitivo de uma engrenagem cilíndrica de
dentes retos, sabendo que m = 3 e Z = 90.
2 - Calcule o número de dentes da engrenagem que tenha um diâmetro
primitivo (dp) de 240 mm e um módulo igual a 4.
3 - Calcular o módulo de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos cujo
diâmetro externo (de) é igual a 45 mm e o número de dentes (Z) é 28.
4 - Qual é o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica de dentes
retos cujo módulo (m) é igual a 3,5 e o número de dentes (Z) é igual a 42.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE
A altura total (h) do dente de uma engrenagem cilíndrica de dentes retos é
igual a 2 módulos mais 1/6 de um módulo. O desenho a seguir ilustra esta
definição. Observe
Isso pode ser representado matematicamente:
h = 1 m+1 m+1/6m
h = 6/6 m+ 6/6 m+ 1/6 m
h = 13/6 m
h = 2,166 · m
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE
A altura total do dente da engrenagem é, também, a soma da altura
da cabeça do dente (a) mais a altura do pé do dente (b), ou seja,
h = a + b
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
5 - Calcule a altura total (h) dos dentes de uma engrenagem cujo módulo é 1,75.
6 - Calcule o módulo de uma engrenagem cuja altura total (h) do dente é
4,33 mm.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA ALTURA DO PÉ DO DENTE
A altura do pé do dente da engrenagem (b) é 1m+1/6 m, ou
seja:
b = 1 m+1/6m
b = 6/6 m + 1/6 m
b = 7/6 m
b = 1,166.m
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
7 - Calcule a altura do pé dente (b) de uma engrenagem cilíndrica,
sabendo que o módulo é igual a 1,5.
8 - Calcule o módulo de uma engrenagem cilíndrica, sabendo que a altura do
pé do dente (b) é de 3,498 mm.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO DIÂMETRO INTERNO
O diâmetro interno (di) é igual ao diâmetro primitivo (dp) menos 2 vezes a
altura do pé do dente (b).
Matematicamente isso é o mesmo que: di = dp - 2b
Como b é igual a 1,166 · m, podemos escrever:
di = dp - 2 · 1,166 · m
Portanto:
di = dp - 2,33 · m
Como dp = m · Z, também é possível fazer a
substituição:
di = m · Z - 2,33 · m
Reescrevendo,temos:
di = m (Z - 2,33)
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
9 - Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica que tem um
diâmetro primitivo de 75 mm e um módulo igual a 1,5.
10 - Calcule o diâmetro interno de uma engrenagem cilíndrica com 50
dentes e módulo igual a 1,5.
11 - Calcule o módulo de uma engrenagem da qual você conhece o diâmetro
interno (di = 37,67 mm) e o número de dentes (Z = 40).
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO PASSO
O passo é a medida do arco da circunferência do diâmetro primitivo que
corresponde a um dente e a um vão da engrenagem.
Ele é calculado a partir do perímetro
da circunferência do diâmetro
primitivo (dp · p) dividido pelo número
de dentes da engrenagem, porque o
número de dentes corresponde ao
número de passos.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DO PASSO
Matematicamente isso dá:
p = (dp · pi)/Z Como dp = m · Z,
podemos escrever:
p = (m· Z · pi)/Z
P = m . pi
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
12 - Calcule o passo de uma engrenagem cujo módulo é 3.
13 - Sabendo que o passo de uma engrenagem é 12,56 mm, calcule seu módulo.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE EIXOS
Uma engrenagem jamais trabalha sozinha. Tendo isso em mente, dá para
perceber que, além das medidas que já calculamos, precisamos conhecer
também a distância entre os centros dos eixos que apóiam as engrenagens.
Essa medida se baseia no ponto de contato entre as engrenagens. Esse
ponto está localizado na tangente das circunferências que correspondem
aos diâmetros primitivos das engrenagens.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
CÁLCULO DA DISTÂNCIA ENTRE EIXOS
Assim, a distância entre os centros (d) é igual à metade do diâmetro
primitivo da primeira engrenagem dp1 mais a metade do diâmetro
primitivo da segunda engrenagem dp2, divido por dois.
d= (dp1 + dp2)/2
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS
PRÁTICA ORIENTADA
14 - Sabendo que o número de dentes da engrenagem 1 é 60 e o da
engrenagem 2 é 150 e que seus módulos são iguais a 2, calcule a distância
entre seus centros.
15 - Calcule dp, de, di, h, a, b e p de uma engrenagem cilíndrica de dentes
retos com 45 dentes e módulo 4.
16 - Sabendo que o diâmetro externo de uma engrenagem cilíndrica é de 88
mm e que ela tem 20 dentes, calcule m, dp, di, h, a, b e p.
17 - Calcule a distância entre centros das duas engrenagens dos exercícios
15 e 16.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CONCEITUAÇÃO
Engrenagens com dentes helicoidais são usadas em sistemas mecânicos,
como caixas de câmbio e redutores de velocidade, que exigem alta
velocidade e baixo ruído.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS
Esta engrenagem tem passo normal (Pn) e passo circular (Pc), e a hélice
apresenta um ângulo de inclinação (b).
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS
Para identificar a relação entre o
passo normal (Pn), o passo circular
(Pc) e o ângulo de inclinação da hélice
(b), você deve proceder da seguinte
forma: retire um triângulo retângulo da
última ilustração, conforme segue.
A
B
C
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CARACTERÍSTICAS E CÁLCULOS ENGRENAGENS COM DENTES HELICOIDAIS
A
B
C
Neste triângulo temos:
Cos c = Pn / Pc ( 1 ); mas Pn = Mn . pi ( 2 ) e Pc = Mf . Pi ( 3 )
Substituindo as equações ( 2 ) e ( 3 ) na equação ( 1 )
Teremos: Mn = Mf . Cos c e Mf = Mn / cos c
C = ângulo beta, ângulo de inclinação da hélice;
Mn = módulo normal;
Mf = módulo frontal;
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DO DIÂMETRO PRIMITIVO
O diâmetro primitivo (Dp) da engrenagem helicoidal é calculado pela
divisão do comprimento da circunferência primitiva por p (3, 14). O
comprimento da circunferência primitiva (Cp) é igual ao número de dentes
(Z) multiplicado pelo passo circular (Pc).
Assim, Cp = Z · Pc.
Logo, o diâmetro primitivo é dado por Dp = Cp / pi.
Como Cp = Z · Pc podemos escrever DP = Z×Pc / pi
Como Pc = Mf · pi, temos Dp = Z×Mf ×pi / pi. Simplificando, temos:
Dp = Z · Mf ou Dp = Mf · Z ; Como Mf = Mn / cos c ( c = ângulo de hélice )
teremos
Dp = Z . Mn / cos c
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO
O diâmetro externo (De) é calculado somando o diâmetro primitivo a dois
módulos normais.
De = Dp + 2 . Mn
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DE Mn EM FUNÇÃO DE De, d,
d = dp1 + dp2 / 2; De = dp + 2 . Mn
Mn = (De1 + De2 - 2d ) / 4
Com essa fórmula podemos calcular o
módulo normal. Os valores de De1
(diâmetro externo da engrenagem 1), De2
(diâmetro externo da engrenagem 2) e d
(distância entre os centros) podem ser
medidos.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PRÁTICA ORIENTADA
1 - Calcular o módulo normal (Mn), o diâmetro primitivo (dp), o ângulo de
inclinação da hélice (b), módulo frontal ( Mf ), passo normal ( Pn ) e o passo
circular ( Pc ) de uma engrenagem helicoidal, sabendo que o diâmetro
externo medido é De1 = 206,54 mm e tem 56 dentes, o diâmetro externo da
engrenagem acoplada é De2 = 125,26 mm e a distância entre os centros é
d = 160,4 mm.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DA ALTURA DO PÉ DO DENTE
A altura do pé do dente (b) depende do
ângulo de pressão (A) da engrenagem.
Veja, a seguir, a localização do ângulo
de pressão .
A
A
b
a
h
Os ângulos de pressão mais comuns
usados na construção de engrenagens
são: 14º30', 15º e 20º.
Para A = 14º30' e 15º, usa-se a fórmula
b = 1,17 · Mn
Para A = 20º, usa-se b = 1,25 · Mn
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CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DO DIÂMETRO INTERNO
A
A
b
a
h
Di = dp – 2 . b
Di = dp – 2,50 . Mn ( para A = 20º
Di = dp – 2,34 . Mn ( para A = 14º30´
e A = 15º
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
CÁLCULO DA ALTURA TOTAL DO DENTE
A
A
b
a
h
h = a + b
a = 1 . Mn
Para A = 20º
h = Mn + 1,25 . Mn = 2,25 . Mn
Para A = 14º30´e A = 15º
h = 1. Mn + 1,17 . Mn = 2,17 . Mn
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES HELICOIDAIS
PRÁTICA ORIENTADA
2 – Calcular a altura do pé do dente (b) para a engrenagem helicoidal de
módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão  = 15º.
3 – Calcular o diâmetro interno (Di) para a engrenagem helicoidal de módulo
normal Mn = 2,75, diâmetro primitivo Dp = 201,04 mm e ângulo de pressão
 = 14º30'.
4 – Calcular a altura total do dente (h) de uma engrenagem helicoidal de
módulo normal Mn = 2,75 e ângulo de pressão  = 20º.
5 – Calcular Mf, dp, De, Pn, Pc, Di, b e h de uma engrenagem helicoidal com
32 dentes, Mn = 3, ângulo de inclinação da hélice C = 19º30' e ângulo de
pressão A = 20º.
6 – Calcular Mf, dp, De, Pn,Pc, Di, b e h de uma engrenagem helicoidal com
44 dentes, Mn = 3, ângulo de inclinação da hélice C = 30º e ângulo de
pressão A = 15º.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO DE ENGRENAGENS CÔNICAS
INTRODUÇÃO
Para grandes problemas, grandes soluções.
Por exemplo: qual a saída para o setor de projeto e construção
de uma empresa em que o setor de manutenção necessita fazer
a manutenção de uma máquina importada, cujo reparo exige a
compra de uma engrenagem que não está disponível no
mercado. A saída é construir a peça. Vamos conhecer os
cálculos para a construção de engrenagens cônicas.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
INTRODUÇÃO
Numa engrenagem cônica, o diâmetro externo (De) pode ser medido, o número
de dentes (Z) pode ser contado e o ângulo primitivo (d) pode ser calculado. Na
figura a seguir podemos ver a posição dessas cotas.
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO DIÂMETRO EXTERNO( de ) Â
O diâmetro externo (de) é dado pela
fórmula de = dp + 2 · m · cos Â, onde dp é
o diâmetro primitivo e m é o módulo.
De =dp + 2 . m . cos Â
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO DIÂMETRO PRIMITIVO - dp Â
O diâmetro primitivo (dp) é dado por
Dp = m . z
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO ÂNGULO PRIMITIVO Â
Â
O ângulo primitivo  é dado pela fórmula
tan  = z / za
Onde z é o número de dentes da
engrenagem que será construída e za
é o número de dentes da engrenagem
que será acoplada.
Ângulo Â
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CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
PRÁTICA ORIENTADA
Â
1 - Calcular o módulo de uma engrenagem cônica
a ser construída, de 30 dentes, sabendo que seu diâmetro
é igual a 63,88 e o número de dentes da engrenagem
que será acoplada nesta é igual a 120 dentes
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULOS DOS ÂNGULOS DA CABEÇA DO DENTE E DO PÉ DO DENTE
Â
Â
B
C
B
C
ÂNGULO DA CABEÇA DO DENTE
tan c = 2. sen  / z
ÂNGULO DO PÉ DO DENTE
tan B = 2,33 . sen B / z
Para ângulo de pressão
igual 14º30´ou 15º
tan B = 2,50 . Sen B / z
Para ângulo de pressão igual
20º
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
PRÁTICA ORIENTADA
Â
Â
B
C
B
C
2 – Conhecendo o ângulo primitivo  calculado
no exercício 1, calcular o ângulo da cabeça do
dente( C ) e o do pé do dente( B ).
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO ÂNGULO EXTERNO( Ê )
Ê
Â
Mais dois ângulos são necessários para a
construção da engrenagem cônica. Um
deles é o ângulo Ê , que será utilizado para o
torneamento da superfície cônica do
material da engrenagem.
O ângulo Ê é o ângulo de inclinação do carro
superior do torno para realizar o
torneamento cônico do material.
Ê = Â + C
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DO ÂNGULO INTERNO( Î )
Â
Î
Î = Â - B
 = ângulo primitivo
B = ângulo do pé do dente
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
CÁLCULO DE h, a e b
h = a + b
a = m
b = 1,25 . m; para ângulo de
pressão igual 20º
B = 1,17 . m; para ângulo de
pressão 14º30´e 15º
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CÁLCULO BÁSICO
CÁLCULO PARA ENGRENAGENS CÔNICAS
PRÁTICA ORIENTADA
3 – Calcular as dimensões para construir uma engrenagem cônica de módulo 2,
número de dentes Z = 120, número de dentes da engrenagem que será acoplada Za =
30, ângulo de pressão a= 14º30' e ângulo dos eixos a 90º.
Dimensões: dp, de, Â, a, b, h, ângulo C, Ê e Î.
4 – Calcular as dimensões de uma engrenagem cônica, módulo 4, com eixos a 90º, com
número de dentes Z = 54, número de dentes da engrenagem que será acoplada Za =
18 e ângulo de pressão a = 14º30'.
Dimensões: dp, de, Â,a, b, h, ângulo C, Ê e Î.