Post on 10-Nov-2018
LAJE - SISTEMAS ESTRUTURAIS DE LAJES MACIÇAS E LAJES NERVURADAS
Lajes Maciças Lajes Nervuradas
Laje maciça com vigas Laje nervurada com vigas
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje cogumelo nervurada
Laje maciça com capitel Laje cogumelo maciça
Laje nervurada com vigas integradas
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 65
LAJE - VÃO EFETIVO DE LAJES
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 67
LAJE - CRITÉRIO SIMPLIFICADO DE ENGASTAMENTO DE LAJES CONTÍNUAS COM APOIOS LINEARES Esquema 1
Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1
Esquema 2
Engastar L1 em L2 Engastar L2 em L1 se 0,8a2 < a1 e x > 2y/3
Engastar L3 em L2 Exemplo [MUSSO]
L2L1
a1 <
4 m
L1 L3
5 m
5m
vazio
L4
1 m
laje
em
ba
lanç
o
7m
6 m
L2
a2 a2
L1
a1 < a2
L2
a2
x y
vazio
L3
a3
laje
em
ba
lanç
o
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 68
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 69
LAJE - ÁREAS PARA FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES
[MUSSO]
a b
45o 45o
45o 45oa/
2 a/
2
[ab-
a2 /2]/2
a2/4
a2/4
[ab-
a2 /2]/2
a/2 a/2
a
b
30o 45o
30o 45o
[(3-
31/2 )a
b-(2
.31/
2 -3)a
2 ]/2
(31/
2 -1)a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
(31/2-1)a2/4
(31/
2 -1)a
/2
(31/2-1)a2/4 [(31/
2 -1)a
b-(2
-31/
2 )a2 ]/2
b/a > 31/2-1 4
a
b
30o 30o
30o 30o
[ab-
31/2 a2 /6
]/2
[ab-
31/2 a2 /6
]/2
31/2a2/12
31/2a2/12
31/2 a/
631/
2 a/6
a/2 a/2
b/a > 31/2/3 7
a
b
30o 45o
45o 60o
(3-3
1/2 )[
ab/2
-a2 /4
]
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
(31/2-1)a2/4
(31/
2 -1)a
/2
(3-31/2)a2/4
(31/
2 -1)[
ab/2
-a2 /4
]
a
b
45o 60o
45o 60o
[(3-
31/2 )a
b-3(
2-3
1/2 )a
2 ]/2
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
(3-31/2)a2/4
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a2/4
[(31/
2 -1)a
b-(2
.31/
2 -3)a
2 ]/2
b/a > 1 b/a > 3-31/2 5 6a
b
a
45o 30o
45o 30o b/
2 b/
2
b2 /4
b/2
31/2 b2 /1
2
[ab-(31/2+3)b2/12]/2
31/2b/6
[ab-(31/2+3)b2/12]/2
b/a < 3-31/2 6b
a
b
30o 30o
45o
[ab-
(31/
2 +3)
a2 /12]
/2 31/2a2/12
31/2 a/
6a/
2[ab-
(31/
2 +3)
a2 /12]
/2
a2/4
45o
a/2 a/2
a
b
45o 45o
45o 45o
a/2
a/2
[ab-
a2 /2]/2
a2/4
a2/4
[ab-
a2 /2]/2
a/2 a/2
b/a > (31/2+3)/6 b/a > 1 8 9
b
a
30o 30o
30o 30ob/
2 b/
2
31/2 b2 /1
2
31/2b/6
31/2 b2 /1
2
[ab-31/2b2/6]/2
31/2b/6
[ab-31/2b2/6]/2
b/a > 31/2 b/a < 31/2 3a 3b a
b
60o 60o
60o 60o
31/2 a/
2
[ab-
31/2 a2 /2
]/2
31/2a2/4
31/2a2/4
31/2 a/
2
[ab-
31/2 a2 /2
]/2
a/2 a/2
a
b
45o 45o
60o60o
a/2
31/2 a/
2
[ab-
(31/
2 +1)
a2 /4]/2
a2/4
31/2a2/4
a/2 a/2
[ab-
(31/
2 +1)
a2 /4]/2
b
a
45o 45o
30o 30o
(31/
2 -1)b
/2
(3-3
1/2 )b
/2
(31/
2 -1)b
2 /4
(31/2-1)b/2
(31/
2 -1)b
2 /4
[(3-31/2)ab-(2.31/2-3)b2]/2
[(31/2-1)ab-(2-31/2)b2]/2
(31/2-1)b/2
b/a > 1 b/a > (31/2+1)/2 b/a < (31/2+1)/2 1 2a 2b
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LAJE - FORÇA CORTANTE EM LAJES COM CARGA UNIFORME E APOIOS LINEARES ( = b/a)
[MUSSO]
a b
45o 45o
45o 45oa/
2 a/
2
pa[1
-1/(
2)]
/2
pa/4
pa/4
a/2 a/2
> 31/2-1 a
b
30o 45o
30o 45o
pa[(
3-31/
2 )-(2
.31/
2 -3)/]
/2
(31/
2 -1)a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
pa(31/2-1)/4
(31/
2 -1)a
/2
pa(31/2-1)/4
pa[(
31/2 -1
)-(2
-31/
2 )/]
/2
4
a
b
30o 30o
30o 30o
pa[1
-31/
2 /(6
)]/2
pa[1
-31/
2 /(6
)]/2
pa31/2/12
pa31/2/12
31/2 a/
631/
2 a/6
a/2 a/2
> 31/2/3 7
> 3-31/2 a
b
30o 45o
45o 60o
pa(3
-31/
2 )[1/
2-1/
(4
]
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
pa(31/2-1)/4
(31/
2 -1)a
/2
pa(3-31/2)/4
pa(3
1/2 -1
)[1/
2-1/
(4
]
a
b
45o 60o
45o 60o
pa[(
3-31/
2 )-3(
2-31/
2 )/]
/2
(3-3
1/2 )a
/2
(3-31/2)a/2 (31/2-1)a/2
pa(3-31/2)/4
(3-3
1/2 )a
/2
pa(3-31/2)/4 pa[(
31/2 -1
)-(2
.31/
2 -3)/]
/2
> 1 5 6a
b
a
45o 30o
45o 30o b/
2 b/
2
pa/
4
b/2
pa31/
2 /1
2
pa[-(31/2+3)2/12]/2
31/2b/6
pa[-(31/2+3)2/12]/2
< 3-31/2 6b
a
b
30o 30o
45o
pa[1
-(31/
2 +3)
/(1
2)]
/2 pa31/2/12
31/2 a/
6a/
2
pa[1
-(31/
2 +3)
/(1
2)]
/2
pa/4 45o
a/2 a/2
a
b
45o 45o
45o 45o
a/2
a/2
pa[1
-1/(
2)]
/2
pa/4
pa/4
pa[1
-1/(
2)]
/2
a/2 a/2
> (31/2+3)/6 > 1 8 9
< 31/2 b
a
30o 30o
30o 30o b/
2 b/
2
pa31/
2 /1
2
31/2b/6
pa31/
2 /1
2
pa[-31/22/6]/2
31/2b/6
pa[-31/22/6]/2
> 31/2 3a 3b a
b
60o 60o
60o 60o
31/2 a/
2
pa[1
-31/
2 /(2
)]/2
pa31/2/4
pa31/2/4
31/2 a/
2
pa[1
-31/
2 /(2
)]/2
a/2 a/2
a
b
45o 45o
60o60o
a/2
31/2 a/
2
pa[1
-(31/
2 +1)
/(4
)]/2
pa/4
pa31/2/4
a/2 a/2
< (31/2+1)/2
b
a
45o 45o
30o 30o
(31/
2 -1)b
/2
(3-3
1/2 )b
/2
pa(3
1/2 -1
)/4
(31/2-1)b/2
pa(3
1/2 -1
)/4
pa[(3-31/2)-(2.31/2-3)2]/2
pa[(31/2-1)-(2-31/2)2]/2
(31/2-1)b/2
> 1 > (31/2+1)/2 1 2a 2b
pa[1
-1/(
2)]
/2
pa[1
-(31/
2 +1)
/(4
)]/2
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES ( = 0,2) multiplicar
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 71
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES ( = 0,2) dividir
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 72
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - ( = 0,0)
[CZERNY]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 73
LAJE - ESFORÇOS E FLECHAS EM LAJE RETANGULAR COM APOIOS LINEARES - ( = 0,15)
[BARES]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 74
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON
[BARES]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 75
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON
[BARES]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 76
LAJE - INFLUENCIA DO MÓDULO DE POISSON
[BARES]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 77
LAJE - MOMENTOS E FLECHAS EM LAJE COM APOIOS INTERNOS PONTUAIS - PAINEL DE CANTO
[EISENBIEGLER]
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7.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO NO ESTADO LIMITE ÚLTIMO (ELU)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 79
LAJE - DIMENSÕES LIMITES DE LAJES
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 80
7.3.1 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À MOMENTO FLETOR (ELU-M)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 81
LAJE - FORMULÁRIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÂO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR (ELU-M) As área da seção da armadura longitudinal fyk resistência característica de escoamento do aço tracionada h altura da seção transversal
sA área da seção da armadura longitudinal Md 1,4(MG + MQ) momento fletor de cálculo comprimida Md,lim momento fletor de cálculo máximo com
As,mín área mínima da seção da armadura longitudinal armadura simples tracionada MG momento fletor da ação permanente G
As,lim área da seção da armadura tracionada MQ momento fletor da ação variável Q correspondente a Md,lim T força de tração na armadura longitudinal b largura da seção transversal x profundidade da linha neutra no estádio 3 (ELU) C força de compressão no concreto xlim profundidade máxima da linha neutra para d altura útil da seção transversal ruptura dúctil da seção (ruptura com aviso) distância do centróide da armadura tracionada à z braço de alavanca (braço do binário) borda comprimida da seção transversal c encurtamento da fibra extrema de concreto
d distância do centróide da armadura comprimida yd fyd/Es deformação de escoamento do aço à borda comprimida da seção transversal s alongamento da armadura tracionada
d h - d s encurtamento da armadura comprimida dlim altura útil mínima com armadura simples x/d profundidade da linha neutra adimensional Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço 0,8 coeficiente de redução da altura comprimida fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à da seção (diagrama retangular x parabólico) compressão 0,85 coeficiente de redução da resistência de
fck resistência característica do concreto à cálculo do concreto à compressão compressão aos 28 dias Md/(bd2fcd) momento fletor adimensional
fyd fyk/1,15 resistência de cálculo de escoamento sd tensão de compressão na armadura longitudinal do aço
A – Momento fletor de cálculo máximo com armadura simples (dados b, d e fck, obter Md,lim)
Modelo resistente à momento fletor no estado limite último
fck < 35 MPa > 35 MPa Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim) xlim 0,5d 0,4d A1
Md,lim cd2fbd272,0 cd
2fbd22848,0 A2
As,lim ydcd f/bdf34,0 ydcd f/bdf272,0 A3
B – Altura útil mínima da seção com armadura simples (dados Md e b, obter dlim)
fck < 35 MPa > 35 MPa
dlim cd
d
bf272,0
M
cd
d
bf22848,0
M B1
C - Dimensionamento da armadura longitudinal (dados Md, b, d, fck e fyk, obter As e As’) Armadura simples (seção com As; Md < Md,lim; x < xlim)
cd2
d
fbd425,0
M11d25,1x C1
ydcds f/bxf68,0A C2
bhf/f035,0%;15,0máximoA ydcdmín,s C3
fck MPa 20 25 30 35
(a) )2/xd(fxb)x(fCzM cdd
(b) ydcdscdyds f/fxbAoufxbCfAT
:fbd)a( cd2
d2
x1
d
x
fbd
M
cd2
d ou
cd2
dd
22
fbd
M211
d)M(fxou211)c(
0)(2/)(2/)()(2/1
As,mín/(bh) 0,150% 0,150% 0,173% 0,201% Armadura dupla (seção com As e ; Md > Md,lim; x = xlim) sA
b
Armadura dupla (seção com As e ; Md > Md,lim; x = xlim) sA
)dd(f
MMAA
yd
lim,ddlim,ss
C4
)dd(
MMA
sd
lim,dds
C5
ydsydsd sef ; ydssssd seE C6
fck < 35 MPa > 35 MPa
s )d/d5,0(007,0 )d/d4,0(00875,0 C7fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ C8
(d) lim,ddlim,dd MMMouMMM
(e) )]dd(/[MAou)dd(AM sdssds
(f) ydsdslim,sssdsydlim,syds f/AAAouAfAfA
[MUSSO]
x
Md
x
T = Asfyd
C = bxfcd
2/xdz
fcd
h d
As LN
fcd
d
xlim
Md
Asfyd
sdsA
=
sdsA
sdsA
M
d-d´
As,limfyd
Md,lim
xlim
+
fcd fcd
d
b
As
LN
d
sAc = 3,5‰
d
xlim
s
d s
d
lim
lim
s
x
‰5,3
dx
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 82
LAJE - PARÂMETROS ADIMENSIONAIS DE DIMENSIONAMENTO A MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 83
LAJE - GRÁFICO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 84
LAJE - TABELA DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR À MOMENTO FLETOR
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 85
LAJE - DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T À MOMENTO FLETOR (ELU-M) (hf < xlim ; = 0,8 ; = 0,85) A - Momento fletor resistido pela mesa comprimida (MRf) B - Momento fletor máximo com armadura simples (Md,lim)
)2/hd(fhbCzM fcdffRf A1 )2/xd(fxb)2/hd(fh)bb(
zCzCMMM
limcdlimwfcdfwf
wwaalim,walim,d
B1
C - Profundidade limite da linha neutra (xlim) xlim = 0,5d se fck < 35 MPa xlim = 0,4d se fck > 35 MPa C1 D - CASO 1 – Seção T com Md < MRf (parte da mesa comprimida) G - Armadura mínima para seção T (As,mín)
armadura simples seção retangular com Md e b = bf A)f/f024,0%;15,0(máximoA ydcdmín,s G1
bf bf
fck MPa 20 25 30 35 As,mín/A 0,15% 0,15% 0,15% 0,15%
hbh)bb(A wfwf (área da seção T) G2
H - Tensão na armadura comprimida )( sd
)(f ydsydsd ; )(E ydssssd H1
fck < 35 MPa > 35 MPa
s
d
d5,0007,0
d
d4,000875,0 H2
cd2
f
d
fdb425,0
M11d25,1x D1
fyk 250 MPa 500 MPa 600 MPa
sA
mín,sydcdfs Af/xfb68,0A D2 yd 1,035‰ 2,070‰ 2,484‰ H3
E - CASO 2 - Seção T com MRf < Md < Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)
abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura simples )2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa E1 adw MMM E4
ff h25,1
hx
E2
cd2
w
w
fdb425,0
M11d25,1x E5
was AAA
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A E3 ydcdww f/xfb68,0A E6
F - CASO 3 - Seção T com Md > Md,lim (toda mesa e parte da alma comprimidas) Superposição de efeitos (abas comprimidas + parte da alma comprimida)
abas (seção retangular com Ma e b = bf - bw) alma (seção retangular com Mw e b = bw) armadura dupla
)2/hd(fh)bb(zCM fcdfwfaaa F1 adw MMM F4
)2/xd(fxbM limcdlimwlim,w F5
ydcdlimwlim,w f/fxb68,0A F6 f
f h25,1h
x
F2
)dd(
MA
sds
; lim,ww MMM F7
was AAA
sA
ydcdwfa f/xf)bb(68,0A F3 ydsdslim,ww f/AAA F8
[MUSSO]
x
MRf
x = hf
T = Asfyd
C = bf hffcd
z = d - hf /2
fcd
h d
As
LN
bw
hf xlim
Md,lim
xlim
T = As,limfyd
Ca = (bf - bw)hffcd
za = d - hf /2
fcd
h d
As LN
bw
hfa w aCw = bwxlimfcd
zw = d - xlim /2
bf bf
h d
bf
As
bw
hf
Md Ma
bf - bw
Aa
hf
d
bw
Aw
x
Mw d
Ma
bf - bw
Aa
hf
d
h d
As
bw
hf
Md d
As
x
Md
bf bw
h d
As
bw
hf
Md d
sA
Aw
xlim
Mw
sA
d
d
sdsA
sdsA
M
d-d´+Aw,limfyd Mw,lim
bwxlimfcd
=
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 86
LAJE - LARGURA COLABORANTE DA MESA DE SEÇÃO T
[NBR 6118]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 87
7.3.2 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À FORÇA CORTANTE (ELU-V)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 88
LAJE - VERIFICAÇÃO DA RESISTÊNCIA À FORÇA CORTANTE SEM ARMADURA TRANSVERSAL (ELU-V)
As área da seção da armadura longitudinal tracionada k1 1,6 – d > 1 d em m parâmetro k1
b largura da seção transversal 100 cm no caso de laje maciça 100bn/en no caso de laje nervurada
Vd 1,4(VG + VQ) força cortante solicitante de cálculo
bn largura da nervura, no caso de laje nervurada VRd1 força cortante resistente de cálculo por tração diagonal do concreto
d altura útil da seção transversal distância do centróide da armadura tracionada à borda comprimida da seção transversal
VRd2 força cortante resistente de cálculo máxima por compressão diagonal das bielas de concreto
en espaçamento entre nervuras, no caso de laje nervurada
VG força cortante da ação permanente G
fcd fck/1,4 resistência de cálculo do concreto à compressão
VQ força cortante da ação variável Q
fck resistência característica do concreto à compressão aos 28 dias
0,6(1 – fck/250); fck em MPa coeficiente de redução da resistência do concreto fissurado por força cortante
fctd fctk/1,4 resistência de cálculo do concreto à tração
1 As/(bd) < 0,02 taxa geométrica de armadura longitudinal tracionada
fctk 0,7fctm resistência característica do concreto à tração
Rd 0,25fctd tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento
fctm 0,3fck2/3 (fck em MPa)
resistência média do concreto à tração ângulo das bielas comprimidas de concreto
h altura da seção transversal A – Força cortante resistente de cálculo por tração do concreto (dados b e d, obter VRd1; Vd < VRd1) VRd1 bd)402,1(kV 11Rd1Rd A1
Rd 3/2
ckctd f0375,0f25,0 (fck em MPa) A2
k1 1d6,1 d em m A3
1 02,0bd
A s A4
fck MPa 20 25 30 35 40 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 3,509 fctk MPa 1,547 1,795 2,028 2,247 2,456 fctd MPa 1,105 1,282 1,448 1,605 1,754 Rd MPa 0,2763 0,3206 0,3621 0,4012 0,4386 B – Força cortante resistente de cálculo por compressão do concreto (dados b e d, obter VRd2; Vd < VRd2)
cálculo simplificado (�= 45o)
refinado ( = 30o-45o)
VRd2 cdfbd45,0 2senfbd45,0 cd B1
fck MPa 20 25 30 35 40 0,552 0,540 0,528 0,516 0,504
bd
V 2Rd 45o 0,355 0,434 0,509 0,581 0,648
bd
V 2Rd 30o 0,307 0,376 0,441 0,503 0,561
obs.: VRd2/(bd) em kN/cm2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 89
7.3.3 - LAJE - DIMENSIONAMENTO À PUNÇÃO
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 90
LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO (ELU-PUNÇÃO) O que é punção? Punção é a ruptura local por cisalhamento, resultante de uma força concentrada (carga ou reação) atuando em uma área relativamente pequena, chamada de “área carregada” Ruptura por punção de laje em concreto armado
Sistemas estruturais de lajes onde se deve verificar a resistência à punção
Laje maciça lisa Laje nervurada com capitel Laje maciça com capitel
Ensaio de resistência à punção
1908 2006
Modelo para verificação da resistência à punção
Corte Planta
Perímetros básicos u1 típicos em torno de áreas carregadas
O perímetro básico u1 geralmente é definido a uma distância 2d da área carregada e deve ser construído de modo a minimizar seu comprimento [MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 91
LAJE - ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RESISTÊNCIA À PUNÇÃO - COMPARAÇÂO ENTRE NORMAS
[MUSSO]
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7.4 - LAJE - VERIFICAÇÃO NO ESTADO LIMITE DE SERVIÇO (ELS)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 93
7.4.1 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA (ELS-DEF)
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 94
LAJE - VERIFICAÇÃO DE FLECHA EM LAJE DE SEÇÃO RETANGULAR (ELS-DEF) As área da seção da armadura longitudinal Lbal comprimento do balanço tracionada MG momento fletor da ação permanente G
sA área da seção da armadura longitudinal MQ momento fletor da ação variável Q comprimida MQP MG + 2MQ momento fletor da ação quase
b largura da seção transversal permanente pQP (momento positivo no vão; d altura útil da seção transversal momento no engaste, no caso de balanço) distância do centróide da armadura tracionada Mr Wcfctf momento fletor de fissuração à borda comprimida da seção transversal n Es/Ecs razão entre os módulos de elasticidade
d distância do centróide da armadura comprimida do aço e do concreto à borda comprimida da seção transversal pQP G + 2Q ação quase permanente
d h - d Q ação variável Ecs 4760fck
1/2 MPa módulo de elasticidade secante x2 profundidade da linha neutra no estádio 2 do concreto xc profundidade da linha neutra da seção bruta
Es 210000 MPa módulo de elasticidade do aço distância do centróide da seção bruta à fibra fck resistência característica do concreto à extrema comprimida compressão aos 28 dias t tempo que se deseja calcular a flecha (meses)
fctf fctm resistência do concreto à tração na flexão to idade do concreto ao entrar em carga (meses) fctm 0,3fck
2/3 (fck em MPa) resistência média do yt h - xc distância do centróide da seção bruta à concreto à tração fibra extrema tracionada
fdiferida flecha do efeito da fluência do concreto Wc Ic/yt (bh2/6 para seção retangular) felástica flecha obtida com p = pQP, E = Ecs e I = Ic módulo resistente da seção bruta fimediata flecha da viga ao entrar em carga 1,0 (EC2); 1,5 seção retangular (NBR 6118) flimite flecha máxima para limitar efeito visual f coeficiente para levar em conta a fluência do
desagradável concreto no cálculo da flecha diferida ftot al fimediata + fdiferida flecha total 2 0,3 para edifícios residenciais G ação permanente 0,4 para edifícios comerciais, de escritórios, h altura da seção transversal estações e edifícios públicos I2 momento de inércia da seção no estádio 2 0,6 para bibliotecas, oficinas e garagens Ic bh3/12 para seção retangular fator de redução da ação variável para momento de inércia da seção bruta combinação de ação quase permanente
Ie momento de inércia efetivo da seção ’ As’/(bd) taxa geométrica de armadura L vão entre apoios longitudinal comprimida
A – Flecha elástica F - Parâmetros auxiliares
elásticaf fck MPa 20 25 30 35 (ver flechas em diversos sistemas)
A1 fctm MPa 2,210 2,565 2,896 3,210
B – Flecha imediata fctf,EC2 MPa 2,210 2,565 2,896 3,210 Ecs MPa 21287 23800 26072 28161 n = Es/Ecs 9,865 8,824 8,055 7,457
e
celásticaimediata I
Iff B1
G – Seção equivalente (seção fissurada – estádio 2) seção fissurada (MQP > Mr)
2
3
QP
rc
3
QP
re I
M
M1I
M
MI
(BRANSON) B2
seção não fissurada (MQP < Mr)
ce II B3
C – Flecha diferida
imediatafdiferida ff C1
seção real seção equivalente de concreto
'501
)t()t( of
C2
b
)a2/(]aa4aa[x 1312
222 G1
)meses70t( 32,0t t)996,0(68,0 2/ba1 G2
)meses70t( 2 C3
ss2 A)1n(nAa G3
t meses 1 3 6 12 > 70 dA)1n(dnAa ss3 G4
(t) 0,68 0,95 1,18 1,44 2,00 D – Flecha total
itelimdiferidaimediatatotal ffff D1
22s
22s
32
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bxI G5
E – Flecha limite
250
Lf itelim (L = 2Lbal, no caso de balanço) E1
profundidade da l. neutra
iii AAxx
momento de inércia
)AI(I 2iii
[MUSSO]
d
As
LN
d b
sA x2
d
nAs
LN
d
x2(n-1) sA
d-x2
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 95
LAJE - SEÇÃO EQUIVALENTE DE CONCRETO (SEÇÃO HOMOGENEIZADA OU TRANSFORMADA)
No estado limite de serviço de deformações (ELS-DEF), tanto o concreto quanto o aço tem comportamento linear. Assim, a área [A+(n-1)As] é uma área fictícia só de concreto (seção equivalente), que quando submetida a tensão c resulta na mesma carga P que atua na seção real composta de concreto e aço
MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO BRUTA IC E MOMENTO DE INÉRCIA DA SEÇÃO FISSURADA I2 Seção real Seção bruta de concreto Seção fissurada (estádio 2 puro)
Arm
adur
a S
impl
es
)a2/(]aa4aa[x 131
2222 (3)
2/ba1
s2 nAa
dnAa s3
22s
32
2 )xd(nA3
bxI (4)
Arm
adur
a D
upla
2
hxc (1)
12
bhI
3
c (2)
)a2/(]aa4aa[x 131
2222 (5)
2/ba1
ss2 A)1n(nAa
dA)1n(dnAa ss3
22s
22s
32
2 )dx(A)1n()xd(nA3
bxI
(6)
Arm
adur
a S
impl
es
f131
2222 h)a2/(]aa4aa[x (9)
2/ba w1
sfwf2 nAh)bb(a
dnA2/h)bb(a s2
fwf3
22s
2f
2fwf
3fwf
32w
2
)xd(nA2
hxh)bb(
12
h)bb(
3
xbI
(10)
Arm
adur
a D
upla
fwfw
2fwf
2w
c h)bb(hb
h)bb(hb
2
1x (7)
2f
cfwf
3fwf
2
cw
3w
c
2
hxh)bb(
12
h)bb(
x2
hhb
12
hbI
(8)
f131
2222 h)a2/(]aa4aa[x (11)
2/ba w1
ssfwf2 A)1n(nAh)bb(a
dA)1n(dnA2/h)bb(a ss2
fwf3
22s
2f
2fwf
3fwf
32w
2
)xd(nA2
hxh)bb(
12
h)bb(
3
xbI
22s )dx(A)1n(
(12)
Obs.: )AI(inérciademomentoI;A/Aixneutralinhadadeprofundidax 2iiiii
[MUSSO]
d h As
b
d h
As’
As
b
d´
bw
As
bf
hf d h
h
b
xc
LN
bw
bf
hf
h
xc
LN
bw
As
bf
hf d d´
h
As’
bw
nAs
bf hf
d d´
x2
(n-1)As’
LN
dnAs
b
x2
LN
bw
nAs
bf
hf d
x2
LN
d
(n-1)As’
nAs
b
d´x2
LN
cs
scc
cs
ss
cs
cc
s
ss E
Enonden
E
E
EE
]A)1n(A[)nAA(AnAAAP scsccscccsscc
nAs
P As
Ac A
(n-1)As
P Ac
s = c A
equivalente real s
Es 1
s aço
c
Ecs 1
c concreto
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LAJE - TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA E POSIÇÃO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE SEÇÃO T
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 97
LAJE - GRÁFICO DE PROFUNDIDADE DA LINHA NEUTRA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 98
LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÃO RETANGULAR NO ESTÁDIO 2
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 99
LAJE - GRÁFICO DE MOMENTO DE INÉRCIA EFETIVO DE SEÇÃO RETANGULAR - BRANSON
[MUSSO]
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 100
7.4.2 - LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
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LAJE - VERIFICAÇÃO DE ABERTURA DE FISSURA (ELS-W)
Momento de Fissuração Mr,w Momento Fletor de Cálculo MF É o valor do momento fletor que produz na seção bruta (secão de concreto desprezando armadura) uma tensão igual a fct,f na fibra extrema tracionada
MF = MGk + 1MQ1k + n2jMQjk (1)
(combinação freqüente) W,ctcW,r fWM (2)
MGk parcela permanente Wc módulo resistente da seção bruta em relação a 1MQ1k parcela variável principal fibra extrema tracionada (3) tc y/I
)gulartanreseção(f05,1 ctm
n2jMQjk demais parcelas variáveis Ic momento de inércia da seção bruta yt distância do centróide à fibra ext. tracionada
Tabela 1 – Coeficientes 1 e 2 fct,W resistência do concreto à tração na flexão Finalidade da Estrutura
Seção não Fissurada (Estádio 1) wk = 0
Módulo de Elasticidade do Aço Es e Módulo de Elasticidade Secante do Concreto Ecs
aço Es = 210.000 MPa (11) concreto MPa (12) 2/1ck
2/1ckcics f4760f)5600(85,0E85,0E
Verificação da Segurança ELS-W
wk < wlim (15)
[MUSSO]
1 2 (módulo de ruptura) (MPa) edifício residencial 0,4 0,3 (NBR 6118) (4a) edifício comercial 0,6 0,4 )Tseção(f84,0 ctm (NBR 6118) (4b) biblioteca; oficina; garagem 0,7 0,6
)2EC(fctm (4c)
MF < Mr,w ? Não Sim
Seção Fissurada (Estádio 2)
)6(454
E5,12w);5(
f
3
E5,12w
rs
s
12
ctm
s
s
s
11
)w;w(mínimow 21k
Área de Envolvimento Acr (7)
wk abertura de fissura característica diâmetro da barra da armadura longitudinal 1 coeficiente de conformação superficial da barra s tensão no aço tracionado no estádio 2 Es módulo de elasticidade do aço fctm resistência média do concreto à tração = 0,3fck
2/3 (MPa) (8) r taxa de armadura As na região de envolvimento Acr
= As/Acr (9) As área de aço da armadura longitudinal tracionada Acr área da região de envolvimento
Acr = mín[(y+7,5; h/2].b (10)
d h Acr
b
7,5
< h/2 y
Tabela 2 - Coeficiente de Conformação Superficial 1Tensão no Aço Tracionado na Tipo de Barra 1 Seção Fissurada s (Estádio 2 puro)
)xd(I
Mnn 2
2
Fcs lisa (CA-25) 1,00 (14)
n razão Es/Ecs (13) MF momento fletor para combinação frequente
entalhada (CA-60) 1,40
I2 momento de inércia da seção no estádio 2 alta aderência (CA-50) 2,25 d altura útil da seção x2 profundidade da linha neutra no estádio 2
x2; I2 (ver ELS-DEF)
Tabela 3 - Abertura de Fissura Limite wlim Classe de
wlim (mm) Agressividade Agressividade Tipo de Ambiente Ambiental
I fraca rural ou submerso 0,4 II moderada urbano
0,3 III forte marinho ou industrial IV muito forte indústrias químicas ou respingos de maré 0,2
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7.5.1 - LAJE MACIÇA - EXEMPLOS
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LAJE MACIÇA QUADRADA COM APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA QUADRADA COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA QUADADA COM APOIOS ENGASTADOS
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA RETANGULAR COM APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA RETANGULAR COM DOIS APOIOS ADJACENTES ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE MACIÇA RETANGULAR COM APOIOS ENGASTADOS
[MUSSO]
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7.5.2 - LAJE NERVURADA - EXEMPLOS
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LAJE NERVURADA QUADRDA COM APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE NERVURADA QUADRADA COM DOIS APOIOS ADJAC. ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE NERVURADA QUADRADA COM APOIOS ENGASTADOS
[MUSSO]
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LAJE NERVURADA RETANGULAR COM APOIOS SIMPLES
[MUSSO]
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LAJE NERVURADA RETANGULAR COM DOIS APOIOS ADJAC. ENGASTADOS E DOIS APOIOS SIMPLES
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