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Análise da propagação de incerteza nos cálculos
O efeito sobre um erro na medição, tratando de forma individual, pode ser
estimado por analogia com a derivada de uma função. (Fox, W.R., 2004).
δRi = ∂R∂xiδxi(A1)
A variação relativa em R é
δRi
R= 1
R∂R∂xiδxi = xi
R∂R∂xi
δxixi
(A2)
Introduzindo a notação de incerteza relativa temos
uRi = xiR∂R∂xi
uxi (A3)
Onde o melhor resultado para esta incerteza é
uR = ± ��x1R
∂R∂x1
ux1
2� + �x2
R∂R∂x2
ux2
2� + ⋯+ �xn
R∂R∂xn
uxn
2��
1/2(A4)
A.1. Incerteza na vazão mássica
A vazão mássica esta em função de
m = m(Cd, d,ρ,∆P) = (cte. )xCdxd2x�2xρx∆P(A5)
As derivadas parciais são
∂m∂Cd
= (cte. )xd2x�2xρx∆P
∂m∂d = (cte. )xCdx2xdx�2xρx∆P
∂m∂ρ = (cte. )xCd xd2�2xρx∆Px
12 xρ−1/2
98
∂m∂∆P = (cte. )xCdxd2�2xρ x
12 x∆P−1/2
Onde obtemos as incertezas relativas
um Cd =δmCd
m =Cd
m∂m∂Cd
uCd = uCd
umd =δmd
m =dm∂m∂Cd
uCd = 2udCd
um,ρ =δmρ
m =ρm∂m∂ρ uCd =
12 uρ
um,∆P =δm∆P
m =ρm∂m∂∆P u∆P =
12 u∆P
A equação da incerteza no cálculo da vazão é
um = ± ��uCd �2
+ (2ud)2 + �uρ2�
2+ (u∆P)2�
1/2(A6)
Onde, para o Cp (Bean 1971) é ± 2%, e a incerteza do diâmetro é estimada
em ± 0,05/d.
A massa específica está em função de
ρ = ρ(P, R, T) = PRxT
(A8)
Diferenciando e considerando as incertezas dos termopares de ( ± 0,75)
obtemos
uρ = ±[(uP)2 + (−uT)2]1/2 = ±[(±0,001)2 + (±0,0075)2]1/2 = ±0,76%
Onde obtemos a equação válida para as incertezas de ar úmido e gás natural
uρ = ± �(0,02)2 + �0,1d�
2+ (0,00762) + (0,00052)�
1/2(A9)
99
A.2. Incerteza na vazão de ar seco
A vazão mássica de ar seco é dada a partir da seguinte equação
mar _s = mar _s�mar _u , w� = m ar _u1+w
(A10)
Diferenciando
dmar _s = ∂m ar _s∂m ar _u
dmar _u + ∂mar _s∂w
dw(A11)
Temos que
∂mar _s
∂mar _u=
11 + w
∂mar _s
∂w = −mar _u
(1 + w)2
Calculando as incertezas relativas
um ar _s ,m ar _u =mar _u
mar _s
∂mar _s
∂mar _uum ar _s = um ar _s ,
um ar _s ,w =w
mar _s
∂mar _s
∂w uw =w
1 + w uw
Onde obtemos que a equação para o cálculo de ar seco é
um ar _s = ± ��um ar _s�2
+ �− w1+w
uw�2�
1/2(A12)
A equação da umidade é
w = w(Ur, Psat , Par ) =0,622x U r
100 xPsat
Par −�U r100 xPsat �
(A13)
Diferenciamos e desprezamos a incerteza relativa Psat
100
uw = ± �� Par
Par −�U r100 xPsat �
uUr�2
+ � Par
Par −�U r100 xPsat �
uPsat �2
�1/2
(A14)
Substituindo as incertezas da umidade relativa ( ± 2%) e da pressão
barométrica ( ± 0,1) obtemos
uw = ±� 0,145Par
Par −�U r100 xPsat �
�(A15)
Finalmente
um ar _s = ± �(0,0215)2 + � 0,145 Par
(1+w)�Par −�U r
100 xPsat ���
2
�1/2
(A16)
A.3 Incerteza na taxa de substituição
Na equação:
TS = TS�mD_O , mD� = 100 �mD _O−m DmD _O
�(A17)
Diferenciamos
TS = TS�mD_O , mD� = 100�mD_O − mD
mD_O�dTS =
∂TS∂mD_O
dmD,O +∂TS∂mD
dmD
= �100mD
m2D_O
�dmD_O + �−100
mD_O�dmD
Onde resultam as incertezas relativas
uTS .mD _O =mD_O
TS∂TS∂mD_O
umD_O =mD
�mD_O − mD�um D _O
uTS .m D =mD_O
TS∂TS∂mD
umD = −mD
�mD_O − mD�um D
A incerteza do medidor de vazão é ± 0,1, depois temos que a incerteza
relativa é
101
uTS = ± 0,0028 m Dm D _O−m D
(A18)
A.4. Incerteza na razão de equivalência
Na operação Diesel-Gás a relação de equivalência é calculada por
RET = RET�mar _s , mD,mg� = 14,99xm D +16,99xm g
m ar _s (A20)
Diferenciando e calculando as incertezas relativas
dRET =∂RET
∂mar _sdmar _s +
∂RET
∂mDdmD +
∂RET
∂mgdmg
= �14,99xmD + 16,99xmg
m2 ar _s� dmar _s + �
14,99mar _s
�dmD
+ �16,99mar _s
�dmg
uRE T ,m ar _s =mar ,s
RET
∂RET
∂mar _sumar _s = −umar _s
uRE T ,m D =mar ,s
RET
∂RET
∂mar _sum ar _s = −umar _s
Onde a equação da incerteza da razão de equivalência é
uRE T = ± ��−um ar _s�2
+ � 0,02998 m D14,99xm D +16,99x m g
�2
+ � 0,400964 m g
14,99xm D +16,99x m g�
2�
1/2
(A21)
Na operação de diesel puro, a razão de equivalência, junto à incerteza
relativa é
RET = RET�mar _s , mD� =14,99xmD
mar _s
RET = ± �(0,002)2 + �−umar _s�2�
1/2(A22)
102
A.5 Incertezas nas emissões específicas de CO, HC e NO2
Na operação Diesel- Gás, as emissões são calculadas em função de
(exemplo medida de CO)
(CO)s = (CO)s�COC_S , mD , mg , mar _ s , mar ,_u , P�
= �P−1x0,000966. COC_Sx �1 − 1.85x�mD
mar _s�
− 3.82x�mg
mar _s�� �mar _u + mD + mg��
Diferenciamos
d(CO)s =∂s(CO)s∂COC_S
dCOC_S +∂s(CO)s∂mD COC_S
dmD +∂s(CO)s∂mD COC_S
dmg
+∂s(CO)s∂mD COC_S
dmar _ s +∂s(CO)s∂mD COC_S
dmar _u +∂s(CO)s∂mD COC_S
dP
u(CO )s.CO C _S =COC_S
(CO)s∂(CO)s∂COC_S
uCO C _S = uCO C _S
Onde as incertezas relativas são
u(CO )s.m g = m g
(CO )s∂(CO )s∂m g
umg =
��
m gm ar _s
��m ar _s−3,82mar _u —5,67m D−7,64m g �
�1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m gásm ar _s
���m ar _u +m D +m g ��umg (A24)
u(CO )s.m ar _s =mar _s
(CO)s∂(CO)s∂mar _s
um ar _s
=
⎩⎨
⎧ � 1mar _s
� �1,85mD − 3,82mg�
�1 − 1,85x � mDmar _s
� − 3,82x �mg
mar _s��⎭⎬
⎫um ar _s
u(CO )s.mar _u =mar _u
(CO)s∂(CO)s∂mar _u
um ar _u = �mar _u
mar _u + mD + mg�umar _s
103
u(CO )s.P = P(CO )s
∂(CO )s∂P
uP = −uP(A25)
O cálculo da incerteza da potência relativa, onde leva-se em conta as
incertezas do voltímetro e amperímetro (uV= ± 0,0016 e uI= ± 0,0021), potência
em kW, temos a equação em função de
P = P(V, I) = V × I × √3(A26)
Onde as incertezas das leituras dos aparelhos de medição são
uP = uI + uV = 0,0037
Logo, para termos a equação das incertezas relativas para a medição de
emissões (incerteza de concentrações ± 5% PPM) obtemos a incerteza parcial
para emissões específicas de CO
u(CO )s =
��0,002 � m D
m a rs��ma rs−1,85m aru− 3,7m D−5,67m g �
�1−1,85x� m Dm a rs
�−3,82x�m gsm a rs
���m aru +mD +mg ��
2
+
�0,0236 �
m gm a rs
��m ars−3,82m aru− 5,67m D−7,64m g �
�1−1,85x� m Dm a rs
�−3,82x�m gsm a rs
���m aru +mD +m g ��
2
+ �� 1
m ars��1,85m D +3,82m g �
1−1,85x� m Dm a rs
�−3,82x�m g
m ars�
um ars�
2
+
� 0,0215 m a rum aru +m D +mg
�2
+ [0,05]2 + [1 + 0,015V + 0,02I]2�
12
(A28)
Analogamente, temos para ES emissões específicas de HC e NO2
(concentrações de HC= ± 10% PPM, e NO2= ± 5%PPM) onde
u(HC )s =
±��0,002� m D
m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D−5,67m g �
�1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m g
m ar _s���mar _u +m D +m g �
�2
+
104
�0,0236 �
m gm ar _s
��m ar _s−3,82m ar _u− 5,67m D−7,64mg �
�1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m gásm ar _s
���m ar _u +m D +m g ��
2
+
�� 1
m ar _s��1,85m D +3,82mg �
1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m g
m ar _s�
umar _s �2
+ � 0,0215 m ar _um ar _u +m D +m g
�2
+ [0,1]2 + [1 + 0,015V +
0,02I]2�
1/2
(A29)
u(NO 2)s =
±��0,002� m D
m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D−5,67m g �
�1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m gásm ar _s
���mar _u +m D +m g ��
2
+
�0,0236 �
m gásm ar _s
��m ar _s−3,82m ar _u− 5,67m D−7,64mg �
�1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m g
m ar _s���m ar _u +m D +m g �
�
2
+
�� 1
m ar _s��1,85m D +3,82mg �
1−1,85x� m Dm ar _s
�−3,82x�m g
m ar _s�
umar _s �2
+ � 0,0215 m ar _um ar _u +m D +m g
�2
+ [0,05]2 + [1 +
0,015V + 0,02I]2�
1/2
(A30)
Agora, para a operação diesel, repetimos o cálculo para calcular as emissões
específicas, tendo em vista que a vazão de gás natural = 0.
u(CO _D)s = ±��0,002� m D
m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D �
�1−1,85x� m Dm ar _s
���m ar _u +m D ��
2
+ �0,0215 m ar _um ar _u mD
�2
+
��1,85m D
m ar _s�
1−1,85x� m Dm ar _s
�umar _s �
2
+ [0,05]2 + �0,002 + 0,5N�
2�
1/2
(A31)
u(HC _D)s = ±��0,002� m D
m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D �
�1−1,85x� m Dm ar _s
���m ar _u +m D ��
2
+ �0,0215 m ar _um ar _u mD
�2
+
��1,85m D
m ar _s�
1−1,85x� m Dm ar _s
�umar _s �
2
+ [0,05]2 + �0,002 + 0,5N�
2�
1/2
(A32)
105
u(NO 2D )s = ±��0,002 � m D
m ar _s��m ar _s−1,85m ar _u− 3,7m D �
�1−1,85x� m Dm ar _s
���m ar _u +mD ��
2
+ �0,0215 m ar _um ar _u m D
�2
+
��1,85m D
m ar _s�
1−1,85x� m Dm ar _s
�umar _s �
2
+ [0,05]2 + �0,002 + 0,5N�
2�
1/2
(A33)