Post on 01-Dec-2018
8.5 Centro de massa
Posio do centro de massa de um sistema de N partculas:
Mdia, ponderada pelas massas, das posies das partculas
=
==++++++
= N
ii
N
iii
N
NNcm
m
rm
mmmrmrmrmR
1
1
21
2211
......
0
1
2
i
ir
Em componentes:
=
==++++++
= N
ii
N
iii
N
NNcm
m
xm
mmmxmxmxmX
1
1
21
2211
...... (idem para y e z)
21
2211
mmxmxmX CM +
+=
(c) Em geral, o centro de massa um ponto intermedirio entre x1 e x2: 2CM1 xXx > x xCM
2x
Exemplos em 1D: 2 partculas
Kits LADIF
Exemplo: sistema de 3 partculas em 2D
CM
CM
01+ 02 + 44x = m = 2,3 m1+ 2 + 4
01+ 32 + 04y = m = 0,9 m1+ 2 + 4
Distribuies contnuas de massa (qualitativo)
Objeto homogneo com centro geomtrico: CM no centro Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto
Movimento do centro de massa
N
NNcm mmm
rmrmrmR++++++
=......
21
2211
Velocidade do centro de massa:
N
NNcmcm mmm
vmvmvmdtRdV
++++++
==......
21
2211
Massa total: NmmmM +++= ...21
PvmvmvmVM NNcm
=+++= ...2211 (momento linear total)
Momento linear total igual massa total multiplicada pela velocidade do centro de massa
Como vimos na aula passada, se a resultante das foras externas for nula, ou se o sistema for isolado:
constante=P
constante= cmV
Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5 Exemplo: Y&F 8.14
E se houver fora externa resultante no-nula?
NNcm vmvmvmVM
+++= ...2211Derivando mais uma vez:
dtvdm
dtvdm
dtvdm
dtVdM NNcm
+++= ...2211
NNcm amamamAM
+++= ...2211
NNcm amamamAM
+++= ...2211
Pela 2 Lei de Newton:
=+++= FFFFAM Ncm
...21
Somatrio de todas as foras que atuam sobre todas as partculas
+= intFFF ext
Soma das foras externas
Soma das foras internas
Como vimos na aula passada, pela 3 Lei de Newton: (pares ao e reao se cancelam)
0int =F
Assim: cmext AMF
=
O centro de massa se move como uma partcula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ao da resultante das foras externas
Vdeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6
Ou: ( )
dtPd
dtVMd
dtVdMF cmcm
ext
===
Colises no referencial do centro de massa: ausncia de foras externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela coliso referencial do c.m. inercial Mostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html
Av
B A
Bv
Referencial do c.m.
AuA B
Bu
Bv
Av
A B
Referencial do laboratrio
Trajetria do c.m.
C.m. est parado
Au
Bu
A B
Velocidades no referencial do centro de massa:
=
=
=
=
cmBB
cmAA
cmBB
cmAA
Vvu
Vvu
Vvu
Vvu
Conservao do momento linear:
BBAABBAA vmvmvmvm +=+
( ) ( ) ( ) ( )cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum
+++=+++
BBAABBAA umumumum +=+
Momento linear tambm se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)
Energia cintica no referencial do lab: Antes:
22
21
21
BBAAc vmvmE +=
Mudana de variveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:
==++
=
l)referencia do (independe BABArelBA
BBAAcm
uuvvvmm
vmvmV
Invertendo, obtemos:
+=
++=
relBA
AcmB
relBA
BcmA
vmm
mVv
vmm
mVv
22
21
21
BBAAc vmvmE +=
Substituindo na expresso para a energia cintica:
22
21
21
+
+
+
+= relBA
AcmBrel
BA
BcmAc vmm
mVmvmm
mVmE
Aps alguma lgebra (quadro negro):
( ) 2221
21
relBA
BAcmBAc vmm
mmVmmE+
++=
Definindo: (massa total) e (massa reduzida)
BA mmM +=
BA
BA
mmmm+
=
Obtemos finalmente:
22
21
21
relcmc vMVE +=
Energia cintica do movimento do centro de massa
Energia cintica do movimento relativo
Anlise:
1. Parece com a expresso da energia cintica de duas partculas
2. No referencial do c.m., temos: Ou seja, a energia cintica depende do referencial, e a energia cintica mnima aquela calculada no referencial do c.m.
0) c.m. do vel.(21 2 == rel
cmc vE
3. Antes e depois de uma coliso, a velocidade do c.m. no varia, de modo que a variao da energia cintica : Ou seja, a variao de energia cintica no depende do referencial (como esperado)
22
21
21
relrelc vvE =
4. Em uma coliso elstica, temos: Ou seja, o mdulo da velocidade relativa no alterado pela coliso
relrelrelrelc vvvvE ===0
21
21 22
5. A perda mxima de energia cintica (coliso totalmente inelstica), ocorre quando: Desta forma, explica-se porque as partculas ficam grudadas depois de uma coliso totalmente inelstica
222
21
21
21
relrelrelc vvvE ==
0
8.6 Propulso de um foguete Exemplo de movimento de um sistema de massa varivel:
Instante t
v
Massa m
Instante t + dt
vdv +
m +dm dm < 0
exv
-dm
Velocidade de exausto dos gases relativa ao foguete
http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4
Conservao do momento linear:
( ) ))(()()()(
exvvdmdvvdmmdttPmvtP
+++=+=
( ) ))(()( exvvdmdvvdmmmv +++=
dmvvdmdmdvvdmmdvmvmv ex++++=
Infinitsimo de ordem superior dmvmdv ex=
dtdmvF
dtdmv
dtdvm exex ==
Fora de propulso do foguete (proporcional taxa e velocidade de exausto)
Note que, ainda que a fora seja supostamente constante, a acelerao aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente
Clculo da velocidade:
dmvmdv ex= mdmvdv ex=
=
m
mex
v
v mmdvvd
00
00 ln m
mvvv ex=
mmvvv ex 00 ln+=
Exemplo: Y&F 8.16
Prximas aulas:
4a. Feira 26/10: Aula de Exerccios (sala A-327)
6a. Feira 28/10: Feriado
4a. Feira 02/11: Feriado
6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8
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