8.5 – Centro de massa

Posição do centro de massa de um sistema de N partículas:

Média, ponderada pelas massas, das posições das partículas

N

ii

N

iii

N

NNcm

m

rm

mmm

rmrmrmR

1

1

21

2211

...

...

0

1

2

i

ir

Em componentes:

N

ii

N

iii

N

NNcm

m

xm

mmm

xmxmxmX

1

1

21

2211

...

... (idem para y e z)

21

2211

mm

xmxmXCM

(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:

2CM1 xXx

Lm

LmmXCM 3

2

3

20

x

xCMmx=0

2mx=L

2/3 1/3

(a)2

2121

xxxmm CM

x

xCM

1x 2x

(b) 121 xxmm CM x

xCM

2x

Exemplos em 1D: 2 partículas

Kits LADIF

Exemplo: sistema de 3 partículas em 2D

CM

CM

0×1+ 0×2 + 4×4x = m = 2,3 m

1+ 2 + 40×1+ 3×2 + 0×4

y = m = 0,9 m1+ 2 + 4

Distribuições contínuas de massa (qualitativo)

Objeto homogêneo com centro geométrico: CM no centro

Objeto com eixo de simetria: CM ao longo do eixo

Note que o c.m. pode estar localizado fora do objeto

Movimento do centro de massa

N

NNcm mmm

rmrmrmR

...

...

21

2211

Velocidade do centro de massa:

N

NNcmcm mmm

vmvmvm

dt

RdV

...

...

21

2211

Massa total: NmmmM ...21

PvmvmvmVM NNcm

...2211 (momento linear

total)

Momento linear total é igual à massa total multiplicada pela velocidade do centro de

massa

Como vimos na aula passada, se a resultante das forças externas for nula, ou se o sistema for isolado:

constanteP

constante cmV

Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 5

Exemplo: Y&F 8.14

E se houver força externa resultante não-nula?

NNcm vmvmvmVM

...2211

Derivando mais uma vez:

dt

vdm

dt

vdm

dt

vdm

dt

VdM N

Ncm

...2

21

1

NNcm amamamAM

...2211

NNcm amamamAM

...2211

Pela 2ª Lei de Newton:

FFFFAM Ncm

...21

Somatório de todas as forças que atuam sobre todas as partículas

intFFF ext

Soma das forças externas

Soma das forças internas

Como vimos na aula passada, pela 3ª Lei de Newton:

(pares ação e reação se cancelam)

0int F

Assim: cmextAMF

O centro de massa se move como uma partícula que concentrasse toda a massa do sistema, sob ação da

resultante das forças externas

Vídeo: Physics Demonstrations in Mechanics: Part II, No. 6

Ou:

dt

Pd

dt

VMd

dt

VdMF cmcm

ext

Colisões no referencial do centro de massa:

• ausência de forças externas, velocidade do c.m. permanece inalterada pela colisão

• referencial do c.m. é inercialMostrar applet: http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Applets/Collision/jarapplet.html

Av

BA

Bv

Referencial do c.m.

AuA B

Bu

Bv

Av

A B

Referencial do laboratório

Trajetória do c.m.

C.m. está parado

Au

Bu

A B

Velocidades no referencial do centro de massa:

cmBB

cmAA

cmBB

cmAA

Vvu

Vvu

Vvu

Vvu

Conservação do momento linear:

BBAABBAA vmvmvmvm

cmBBcmAAcmBBcmAA VumVumVumVum

BBAABBAA umumumum

Momento linear também se conserva no referencial do centro de massa (como esperado, pois trata-se de um referencial inercial)

Energia cinética no referencial do lab:

Antes: 22

2

1

2

1BBAAc vmvmE

Mudança de variáveis para velocidade do c.m. e velocidade relativa:

l)referencia do (independe BABArel

BA

BBAAcm

uuvvv

mm

vmvmV

Invertendo, obtemos:

relBA

AcmB

relBA

BcmA

vmm

mVv

vmm

mVv

22

2

1

2

1BBAAc vmvmE

Substituindo na expressão para a energia cinética:

22

2

1

2

1

relBA

AcmBrel

BA

BcmAc v

mm

mVmv

mm

mVmE

Após alguma álgebra (quadro negro):

22

2

1

2

1rel

BA

BAcmBAc v

mm

mmVmmE

Definindo: (massa total) e

(massa reduzida)

BA mmM

BA

BA

mm

mm

Obtemos finalmente:

22

2

1

2

1relcmc vMVE

Energia cinética do movimento do centro de massa

Energia cinética do movimento relativo

Análise:

1. Parece com a expressão da energia cinética de duas “partículas”

2. No referencial do c.m., temos:

Ou seja, a energia cinética depende do referencial, e a energia cinética mínima é aquela calculada no referencial do c.m.

0) c.m. do vel.(2

1 2 relcmc vE

3. Antes e depois de uma colisão, a velocidade do c.m. não varia, de modo que a variação da energia cinética é:

Ou seja, a variação de energia cinética não depende do referencial (como esperado)

22

2

1

2

1relrelc vvE

4. Em uma colisão elástica, temos:

Ou seja, o módulo da velocidade relativa não é alterado pela colisão

relrelrelrelc vvvvE

02

1

2

1 22

5. A perda máxima de energia cinética (colisão totalmente inelástica), ocorre quando:

Desta forma, explica-se porque as partículas ficam “grudadas” depois de uma colisão totalmente inelástica

222

2

1

2

1

2

1relrelrelc vvvE

0

8.6 – Propulsão de um foguete

Exemplo de movimento de um sistema de massa variável:

Instante t

v

Massa m

Instante t + dt

vdv

m +dmdm < 0

exv

-dm

Velocidade de exaustão dos gases relativa ao foguete

http://www.youtube.com/watch?v=sJj1WpbvxM4

Conservação do momento linear:

))(()()(

)(

exvvdmdvvdmmdttP

mvtP

))(()( exvvdmdvvdmmmv

dmvvdmdmdvvdmmdvmvmv ex

Infinitésimo de ordem superiordmvmdv ex

dt

dmvF

dt

dmv

dt

dvm exex

Força de propulsão do foguete (proporcional à taxa e à velocidade de exaustão)

Note que, ainda que a força seja supostamente constante, a aceleração aumenta com o tempo, pois a massa diminui continuamente

Cálculo da velocidade:

dmvmdv exm

dmvdv ex

m

m

ex

v

v m

mdvvd

00

00 ln

m

mvvv ex

m

mvvv ex

00 ln

Exemplo: Y&F 8.16

Próximas aulas:

4a. Feira 26/10: Aula de Exercícios (sala A-327)

6a. Feira 28/10: Feriado

4a. Feira 02/11: Feriado

6a. Feira 04/11: Aula Magna (sala A-343) e Testes do Cap. 8