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A Experiencia de Stern-Gerlach e o Spin do Eletron
Bruno Felipe Venancio
UFPR
28 de Abril de 2014
Bruno Felipe Venancio
A Experiencia de Stern-Gerlach e o Spin do Eletron
Figura: Placa Comemorativa.
Bruno Felipe Venancio
A Experiencia de Stern-Gerlach e o Spin do Eletron
ela foi realizada em 1922;
ela investiga os possıveis valores do momento de dipolomagnetico, ~µ, de um atomo de prata;
ela explora a dinamica do dipolo magnetico formado peloatomo na presenca de um campo magnetico externo, ~B, naouniforme;
a nao uniformidade de ~B gera forcas diferentes em cada polomagnetico;
a forca resultante sobre o atomo desloca o atomo na presencade ~B.
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A Experiencia de Stern-Gerlach e o Spin do Eletron
Figura: Comportamento de um dipolo magnetico na presenca de umcampo magnetico nao uniforme.
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A Experiencia de Stern-Gerlach e o Spin do Eletron
Figura: Em cima temos o perfil do resultado previsto pela fısica classica eabaixo o perfil obtido.
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Momento magnetico classico em campo externo
Corpusculo com momento de dipolo magnetico ~µ imerso em umcampo magnetico ~B:
U = −~µ.~B energia potencial (1)
~F = −∇U = ∇(~µ.~B) forca (2)
Na regiao central do ıma podemos escrever:
Fz =∂
∂z(~µ.~B) = µz
∂Bz
∂z. (3)
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Momento magnetico classico
Modelo classico simples para um atomo de Bohr de 1 eletron emuma orbita circular:
~µ = − e
2m~L (4)
onde ~L e o momento angulardo atomo.
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O atomo de parata
Configuracao eletronica
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10 5s1
O momento angular total dos orbitais internos:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 4d10
e zero. Assim o atomo de prata pode ser aproximado para umatomo de um eletron, logo
Fz ≈∂
∂z(~µ.~B) = µz
∂Bz
∂z. (5)
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Como µz = − e2mL cos θ, entao
Fz ≈ −e
2mL cos θ
∂Bz
∂z. (6)
Assim, segundo a teoria classica, deverıamos observar uma manchacontınua na placa fotografica, mas o resultado do experimento e:
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Esses resultados indicam que deve haver algum momentomagnetico no atomo que nao foi considerado. Se, como propostopor Bohr e Sommerfeld, o eletron possui um momento angularintrınseco ~S , denominado de Spin. Assim, o momento angulartotal de um atomo sera:
~J = ~L + ~S , (7)
com~µs = − ge
2m~S . (8)
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hoje, sabe-se que, a medida da componente Sz do momentoangular intrınseco do eletron resulta em dois valores discretos,±~
2 ;
o spin do eletron e uma propriedade puramente quantica quenao tem nenhum analogo classico, e e previsto a partir de umtratamento relativıstico da teoria quantica de Schrodinger;
nao podemos medir simultaneamente as tres componentes de~S , (Sx , Sy e Sz), pois elas estao associados a operadores quenao comutam entre si.
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Descricao Teorica
O Observavel Sz
A componente µz do momento magnetico intrınseco do eletronassociamos um observavel Sz , tal que
Sz |±〉 = ±~2|±〉. (9)
com1 =
∑σ=±|σ〉〈σ|, (10)
〈σ|σ′〉 = δσσ′ . (11)
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Descricao Teorica
O estado mais geral do eletron associado a seu Spin pode e dadopor
|ψ〉 = α|+〉+ β|−〉, (12)
com|α|2 + |β|2 = 1 (13)
Na base {|+〉, |−〉} Sz e representado por
Sz =~2
(1 00 −1
). (14)
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Descricao Teorica
Outros observaveis: Sx e Sy
Na base dos autovetores de Sz , {|+〉, |−〉} Sx e Sy , saorepresentados por
Sx =~2
(0 11 0
). (15)
Sy =~2
(0 −ii 0
). (16)
Alem disso, pode se mostrar que seus autovalores sao ±~2 , e
auto-vetores dados por
|±〉x =1√2
(|+〉 ± |−〉) , (17)
|±〉y =1√2
(|+〉 ± i |−〉) . (18)
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Descricao Teorica
Caso Geral: S~u
S~u = ~S .~u = Sx sin θ cosϕ+ Sy sin θ sinϕ+ Sz cos θ (19)
S~u =~2
(cos θ sin θe−iϕ
sin θe iϕ cos θ
). (20)
|+〉~u = cos(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ sin(θ/2)e iϕ/2|−〉 (21)
|−〉~u = − sin(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ cos(θ/2)e iϕ/2|−〉 (22)
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Aplicacao dos Postulados no Caso de um Spin 1/2
Preparando o Estado do Sistema
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Aplicacao dos Postulados no Caso de um Spin 1/2
Realizando medidas de spin
E facil verificar que o valor medio de Sz para cada experiencia edado por:
1o experimento : 〈+|Sz |+〉 = ~2 ,
2o experimento : ~u〈+|Sz |+〉~u = ~2 cos θ,
(23)
lembrando que para ϕ = 0, |+〉~u = cos(θ/2)|+〉+ sin(θ/2)|−〉.
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Aplicacao dos Postulados no Caso de um Spin 1/2
Valor Medio 〈Si 〉, i = z , x , y
O estado mais geral para representar o sistema e dado por
|ψ〉 = α|+〉+ β|−〉,
com|α|2 + |β|2 = 1.
Pode-se mostrar, que a menos de um fator de fase global, se
cos θ/2 = |α|, e sin θ/2 = |β|,
temos
|ψ〉 = |+〉~u = e−iξ/2(
cos(θ/2)e−iϕ/2|+〉+ sin(θ/2)e iϕ/2|−〉).
(24)Bruno Felipe Venancio
Aplicacao dos Postulados no Caso de um Spin 1/2
Assim, pode se mostrar que
~u〈+|Sz |+〉~u =~2
cos θ, (25)
~u〈+|Sx |+〉~u =~2
sin θ cosϕ, (26)
~u〈+|Sy |+〉~u =~2
sin θ sinϕ. (27)
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