Post on 17-Apr-2015
Álgebra Linear e
Geometria Analítica
8ª aula
Valores Próprios
e
Vectores Próprios
Definição:
Seja um número real e A uma matriz quadrada nn. Diz-se que é um valor próprio da matriz A se existir uma matriz coluna não nula Xn1 tal que
A X = XÀ matriz coluna X chama-se vector próprio associado ao valor próprio .
Exemplo:
1
13
3
3
1
1
41
12
3 é valor próprioUm vector próprio associado é
1
1
Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0
00
XIA
IXAXXAXXAX
Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0
00
XIA
IXAXXAXXAX
Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0
Definições:
(A - I) – matriz característica de A
det (A - I) – polinómio característico de A
det (A - I) = 0 – equação característica de A
Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0 XIA Este sistema homogéneo tem que ser indeterminado pois queremos X0
então
det (A - I) = 0
Como determinar os valores próprios e os vectores próprios de uma matriz?
0 XIA det (A - I) = 0
entãoOs valores próprios são as raízes do polinómio característico.
41
12A
10
01
41
12det)det( IA
41
12A
41
12det
10
01
41
12det)det( IA
41
12A
14241
12det
10
01
41
12det)det(
IA
41
12A
22 396
14241
12det
10
01
41
12det)det(
IA
41
12A
23
41
12AOs valores próprios de
são as raízes de
3 é a única raiz deste polinómio:tem multiplicidade 2
23
41
12AOs valores próprios de
são as raízes de
3 é a única raiz deste polinómio:tem multiplicidade 2
Diz-se que é valor próprio com multiplicidade algébrica 2
Como encontrar o vector próprio associado?
030
03
41
12
0)3(
X
XIA
Como encontrar o vector próprio associado?
030
03
41
12
0)3(
X
XIA
011
11
X
b
aX Deve ser tal que – a + b = 0
O conjunto de todos os vectores
próprios associados ao mesmo valor
próprio é um subespaço vectorial que
se designa por subespaço próprio
associado a e se representa por E
No exemplo:
41
12Tem um valor próprio = 3
Os valores próprios associados
têm que ser da forma
com
– a + b =
0
b
aX
1,1
:,
:, 23
aaa
babaE
No exemplo:
1,13 E
1dim 3 E
Definição:
Chama-semultiplicidade geométrica
de um valor próprio à dimensão do subespaço próprio associado
Teorema:
A multiplicidade algébrica
de um valor próprio é maior ou igual à sua
multiplicidade geométrica
677
787
776
677
787
776
677
787
776
det
677
787
776
677
011
776
det
677
787
776
det
677
787
776
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
677
787
776
67
01det11
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
21
677
787
776
6111
67
01det11
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
21
677
787
776
616111
67
01det11
607
001
716
det
677
011
776
det
677
787
776
det
2
21
677
787
776
A 61 2
= 6 é valor próprio de A com
multiplicidade algébrica 1
= -1 é valor próprio de A com
multiplicidade algébrica 2
Determinação dos subespaços próprios:
677
787
776
A 1
00
777
777
777
321
3
2
1
xxx
x
x
x
XIA
1,0,1,0,1,1
,:,,
:,,
0:,,
323232
3213
321
3213
3211
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxE
Determinação dos subespaços próprios:
677
787
776
A 6
3231
3
2
1
3
2
1
0
000
110
101
0
077
7147
770
xxxx
x
x
x
x
x
x
XIA
1,1,1
:,, 32313
3216
xxxxxxxE
677
787
776
A
1,1,16 E 1,0,1,0,1,11 E
1,1,1,1,0,1,0,1,1
É uma base de 3
)1,1,1()1,0,1()0,1,1(,, cbazyx
zyxc
yxb
zyxa
zcb
yca
xcba 2
Valores próprios e invertibilidade:
• Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então:det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0Conclusão: a matriz não é invertível.
Valores próprios e invertibilidade:
• Seja A uma matriz que tem o valor próprio = 0 então:det(A – 0 I) = 0 det(A) = 0Conclusão: a matriz não é invertível.
TEOREMA: Uma matriz é invertível se e só se não tem o valor próprio 0.
Diagonalização de matrizes
Definição: Uma matriz A diz-se semelhante a uma matriz B se existir uma matriz invertível P tal que B = P-1 A P. Se A é semelhante a B então B é semelhante a A. PBP-1 = PP-1 A PP-1 PBP-1 = A
Definição: Uma matriz A diz-se diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal, isto é se houver uma matriz diagonal D e uma matriz invertível P tais que: D = P-1 A P
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) =
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 I P ) = det(P-1 (A - I ) P ) =
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =det(P-1) det (A - I) det(P)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =det(P-1) det (A - I) det(P) =det(P-1) det(P) det (A - I)
Teorema: Duas matrizes semelhantes têm os mesmos valores próprios
det(B - I) = det(P-1 A P - I) = det(P-1 A P - P-1 P ) = det(P-1 (A - I) P ) =det(P-1) det (A - I) det(P) =det(P-1) det(P) det (A - I) =det (A - I)
Teorema: A matriz A-1 tem os valores próprios inversos dos valores próprios de A
Seja valor próprio de A. Então:A X = X A-1 A X = A-1 X X = A-1 X Se A é invertível todos os valores próprios são diferentes de 0 X = A-1 X
XXAouXAX11 11
Valores próprios de uma matriz diagonal:
Os valores próprios de uma matriz diagonal são os elementos da diagonal.EXEMPLO:
300
010
002
)3)(1)(2(
300
010
002
det
Teorema: Uma matriz quadrada de ordem n é semelhante a uma matriz diagonal se e só se existir uma matriz invertível P cujas colunas são vectores próprios da matriz
D = P-1 A P PD = APAP = [ AP1 AP2 . . . APn]
AP1 = 1P1 AP2 = 2P2 . . . APn = nPn
Teorema: Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, existe uma matriz invertível cujas colunas são vectores próprios de A se e só se a soma das multiplicidades algébricas dos valores próprios de A é n e as multiplicidades algébricas e geométricas coincidem.
677
787
776
A
110
101
111
P
111
011
1211P
110
101
111
677
787
776
111
011
1211APP
677
787
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A
110
101
111
P
111
011
1211P
110
101
111
677
787
776
111
011
1211APP
610
601
611
111
011
1211APP
677
787
776
A
110
101
111
P
111
011
1211P
110
101
111
677
787
776
111
011
1211APP
610
601
611
111
011
1211APP
600
010
0011APP
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
32 vezes
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 =
32 vezes
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =
32 vezes
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P = P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
32 vezes
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =P-1 D I D P . . . P-1 D I D P =
32 vezes
Uma aplicação:Calcular A32
A32 = A A A . . . A A A A
A32 = (P-1 D P) 32 = P-1 D P P-1 D P . . . P-1 D P =P-1 D (P P-1 )D P . . . P-1 D (P P-1 )D P =
P-1 D I D P . . . P-1 D I D P = P-1 D32 P
32 vezes
677
787
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A
110
101
111
P
111
011
1211P
600
010
0011APP 11 PDPADAPP
677
787
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A
110
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111
P
111
011
1211P
600
010
0011APP
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600
010
001
110
101
111
677
787
7763232
32A
11 PDPADAPP
677
787
776
A
110
101
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P
111
011
1211P
600
010
0011APP
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010
001
110
101
111
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001
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3232
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11 PDPADAPP