Post on 13-Aug-2015
Professor Everton Cangussú
Análise Combinatória 1. Princípio Fundamental da Contagem
1.1 Princípio Aditivo “Se um evento pode ocorrer por m ou n maneiras distintas e independentes entre si, para ocorrer esse evento existem (m + n) possibilidades.”
1.2 Princípio Multiplicativo “Se um evento pode ser dividido em duas etapas, em que para realizar a 1º etapa existem m maneiras e para realizar a 2º etapa, n maneiras, então para a ocorrência desse evento existem (m.n) possibilidades.” Exemplos:
01. Um hospital tem quatro portas de entrada que dão para um amplo saguão em que há cinco elevadores. Qual o número de maneiras diferentes de uma pessoa entrar no hospital e tomar um
dos elevadores?
02. Uma bandeira é formada por 7 listras que devem ser coloridas usando apenas as cores verde, azul e cinza. Se cada listra deve ter
apenas uma cor e não se pode usar cores iguais em listras adjacentes, de quantos modos se pode colorir a bandeira?
03. (UFMG – 1998) Observe o diagrama.
Quantas ligações distintas há entre X e Z. a) 41 b) 45 c) 35 d) 39
2. Fatorial
O fatorial de um número natural n, representado por n! (lê-se: n fatorial ou fatorial de n), é um número definido por:
0! 1
! .( 1).( 2). .3.2.1n n n n
, ∀𝑛 ∈ 𝑁∗.
Exemplos. 01. Calcular.
a) 5! = b) 21!
19!
02. Calcule o valor de n em (n – 7)! = 120.
03. Resolver a equação (3x – 5)! = 1. 3. Arranjos Simples.
Seja A um conjunto com n elementos e k um número natural menor ou igual a n. Chamam-se arranjos simples k a k, dos n
elementos de A, aos agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus
elementos.
,
!
!n k
nA
n k
.
Exemplos. 01. Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um
presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de quantas maneiras pode-se formar uma diretoria?
02. De quantas maneiras podemos escolher um pivô e um ala num
grupo de 12 jogadores de basquete?
03. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar?
04. Com os algarismos 3, 5, 7 e 9 foram formados todos os números naturais possíveis de 3 algarismos e colocados em ordem crescente.
Qual posição do número 739?
4. Permutações Simples Seja A um conjunto com n elementos. Os arranjos simples
de n a n, dos n elementos de A, são chamados permutações simples de n elementos.
!nP n .
Exemplos: 01. Responda: a) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO?
b) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam com O?
02. De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas sempre juntas, em
qualquer ordem?
5. Combinações Simples
Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor
ou igual a n. Chamam-se combinações simples k a k, dos n elementos de A, aos agrupamentos, de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos.
,
!
! !n k
nC
k n k
Exemplos: 01. Quantas comissões de 3 elementos podemos formar com um grupo de 8 pessoas?
02. Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidade
de 4 doces cada uma. Sabendo-se que ele fabrica 10 tipos diferentes de doces, pergunta-se: quantos tipos de embalagens com 4 doces
diferentes ele poderá oferecer? 03. O conselho desportivo de uma escola é formado por 2
professores e 3 alunos. Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito?
04. Após uma reunião de negócios, foram trocados um total de 15
apertos de mão. Sabendo-se que cada executivo cumprimentou todos os outros, qual é o número de executivos que estavam presentes nessa reunião?
6. Permutação com Repetição.
A permutação de n elementos dos quais são de um
tipo, de outro e de outro, com n , é chamada
de permutação com elementos repetidos.
, , !
! ! !n
nP
.
Exemplos: 01. Quantos são os anagramas da palavra ARARA?
02. Quantos anagramas da palavra CAMARADA começam pela letra A?
7. Permutação Circular. Dados n elementos agrupados em forma circular, temos
que, o número de agrupamentos que podemos formar será dado por:
1 !C nP n
Exemplo. De quantas maneiras podemos colocar quatro pessoas em quatro posições ao redor de uma mesa redonda?
Professor Everton Cangussú
Exercícios
01. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos
assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a:
a) 16 b) 24 c) 32 d) 46 e) 48
02. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos de modo
que as duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é igual a: a) 2 b) 4 c) 24 d) 48 e) 120
03. (ESAF) O número de maneiras diferentes que 3 rapazes e 2
moças podem sentar-se em uma mesma fila de modo que somente as moças fiquem todas juntas é igual a: a) 6 b) 12 c) 24 d) 36 e) 48
04. (ESAF) Em um grupo de dança participam dez meninos e dez
meninas. O número de diferentes grupos de cinco crianças, que podem ser formados de modo que em cada um dos grupos participem três meninos e duas meninas é dado por:
a) 5.400 b) 6.200 c) 6.800 d) 7.200 e) 7.800
05. (ACAFE) Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um
presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:
a) 120 b) 360 c) 60 d) 150 e) 300
06. (ESAF) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile
determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou
Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:
a) 420 b) 480 c) 360 d) 240 e) 60 Considerando que as equipes A, B, C, D e E disputem um torneio que premie as três primeiras colocadas, julgue os itens a seguir. 07. (Cespe/UnB) O total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações é 58.
08. (Cespe/UnB) O total de possibilidades distintas para as três
primeiras colocações com a equipe A em primeiro lugar é 15.
09. (Cespe/UnB) Se a equipe A for desclassificada, então o total de possibilidades distintas para as três primeiras colocações será 24. Supondo que André, Bruna, Cláudio, Leila e Roberto sejam, não necessariamente nesta ordem, os cinco primeiros classificados em um concurso, julgue os itens seguintes.
10. (Cespe/UnB) Existem 120 possibilidades distintas para essa classificação.
11. (Cespe/UnB) Com André em primeiro lugar, existem 20 possibilidades distintas para a classificação.
12. (Cespe/UnB) Com Bruna, Leila e Roberto classificados em
posições consecutivas, existem 36 possibilidades distintas para classificação.
13. (Cespe/UnB) O número de possibilidades distintas para a classificação com um homem em último lugar é 144.
Probabilidade
1. Espaço Amostral e Evento Chamamos de espaço amostral (E) de um experimento aleatório o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer.
Chamamos de evento (A) qualquer subconjunto de um espaço amostral.
2. Probabilidade de um Evento
Chama-se probabilidade do evento A o número P(A) tal que:
n A n deresultados favoráveisP A
n E n deresultados possíveis ,
Onde:
n E : número de elementos de E;
n A : número de elementos de A;
0 1P A ;
Quando A E (evento certo), então 1P A ;
Quando A (evento impossível), então 0P A .
Exemplos.
01. Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual
a probabilidade que ela seja vermelha? 02. Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um número par?
03. Ao arremessar um dado não viciado, qual a probabilidade de sair
um número maior que 6? 3. Probabilidade Complementar
Seja E um espaço amostral finito e não-vazio e A um evento de E. Chamamos complementar de A em relação a E o evento
A .
e 1P A P A .
Exemplo.
Uma urna contém apenas bolas vermelhas, azuis, brancas e pretas. Retirase ao acaso uma bola da urna. A probabilidade de sair uma
bola vermelha é 5/17. Qual é a probabilidade de sair uma bola que não seja vermelha?
4. Adição de Probabilidades Seja E um espaço amostral finito e não-vazio, e A e B dois
eventos de E. Como n A B n A n B n A B , então:
A B P A B P A P B P A B ;
A B P A B P A P B , dizemos que
A e B são mutuamente exclusivos.
Exemplos.
01. Uma urna contém exatamente vinte bolas, numeradas de 1 a 20. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é a probabilidade de se obter uma bola com um número múltiplo de 2 ou de 3?
Professor Everton Cangussú
02. Uma urna contém cinco bolas vermelhas, três bolas azuis e quatro bolas brancas. Retira-se, ao acaso, uma bola da urna. Qual é
a probabilidade de sair uma bola vermelha ou uma bola azul?
5. Probabilidade Condicional e Multiplicação de Probabilidades Seja E um espaço amostral finito e não-vazio e A um evento não-vazio de E. A probabilidade condicional de B em relação
a A, é dada por:
.
P B AP B A
P A
Quando os eventos A e B são independentes, temos:
P A B P A P B .
Exemplos. 01. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, qual é a probabilidade de sair um “ás vermelho” sabendo que ela é de “copas”?
02. Qual a probabilidade de se obter cara ao se jogar duas vezes uma moeda, isto é, cara na primeira e cara na segunda jogada?
Exercícios.
01. (Enem-2001) Um município de 628 km² é atendido por duas
emissoras de rádio cujas antenas A e B alcançam um raio de 10 km do município, conforme mostra a figura:
Para orçar um contrato publicitário, uma agência precisa avaliar a probabilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo município, encontrar-se na área de alcance de pelo menos uma das
emissoras. Essa probabilidade é de, aproximadamente, (A) 20%. (B) 25%. (C) 30%. (D) 35%. (E) 40%.
02. (Enem-2007) A queima de cana aumenta a concentração de dióxido de carbono e de material particulado na atmosfera, causa
alteração do clima e contribui para o aumento de doenças respiratórias. A tabela abaixo apresenta números relativos a
pacientes internados em um hospital no período da queima da cana.
Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nesse hospital
por problemas respiratórios causados pelas queimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é igual a
A) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação de medidas que reforcem a atenção ao idoso internado com problemas respiratórios.
B) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dos problemas respiratórios que atingem a população nas regiões das
queimadas. C) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúde infantil
pode ser negligenciado. D) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas de conscientização que objetivem a eliminação das queimadas.
E) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreas atingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimento hospitalar no setor de
pediatria seja reforçado. 03. Uma loja de material de construção possui 2 caixas de conexões.
Na primeira, das 30 conexões 11 são defeituosas. Na segunda caixa, de 12 conexões, 4 apresentam defeitos. Uma conexão é retirada
aleatoriamente de cada caixa. Calcule a probabilidade de: a) Apenas uma ser defeituosa
b) Ambas serem defeituosas
c) Ambas não serem defeituosas
04. O risco de uma pessoa sofrer um acidente em uma atividade durante a sua vida profissional é de 1/50. Se três pessoas
trabalharem nessa atividade, determine: a) a probabilidade das três pessoas se acidentarem
b) a probabilidade de nenhuma pessoa sofrer um acidente c) a probabilidade de pelo menos uma pessoa se acidentar
05. Um aluno chega atrasado em 40% das aulas e esquece o material didático em 18% das aulas. Supondo eventos independentes, calcule
a probabilidade de: a) O aluno chegar na hora e com material b) Não chegar na hora e ainda sem material
06. Um pesquisador estudou o comportamento de consumo de
bebidas lácteas no Brasil. Analisou a classe econômica do consumidor e o principal aspecto determinante da escolha a marca.
Os dados obtidos estão tabulados na tabela a seguir:
Qual a probabilidade de um consumidor escolhido o acaso: a) Priorizar o preço, dado que é da classe alta.
b) Priorizar a qualidade, dado que é da classe media. c) Ser da classe baixa, dado que atribui maior importância ao fator
qualidade. Uma pesquisa, realizada com 900 pessoas que contraíram empréstimos bancários e tornaram-se inadimplentes, mostrou a seguinte divisão dessas pessoas, de acordo com a faixa etária.
A partir da tabela acima e considerando a escolha, ao acaso, de uma pessoa entre as 900 que participaram da referida pesquisa, julgue os itens subseqüentes. 07. (Cespe/UnB) A probabilidade de essa pessoa não ter menos de 41 anos de idade é inferior a 0,52.
08. (Cespe/UnB) A probabilidade de essa pessoa ter de 41 a 50 anos
de idade, sabendo-se que ela tem pelo menos 31 anos, é superior a 0,5.
09. (Cespe/UnB)A probabilidade de a pessoa escolhida ter de 31 a 40 anos de idade é inferior a 0,3.
10. (Cespe/UnB) A chance de a pessoa escolhida ter até 30 anos de
idade ou mais de 50 anos de idade é superior a 30%.
11. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser
escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a
probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: a) 4/5 b) 10/25 c) 12/25 d) 3/5 e) 4/5
12. (MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por
João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a
sopa e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?
“A persistência é o caminho do êxito.”
(Charles Chaplin)