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ANOVA 2 fatores (two-way)
Introduo
Em muitos trabalhos, que envolvem a realizao de experimentos, comum os
pesquisadores se depararem com a questo: como avaliar se os resultados obtidos so
confiveis? Sabemos que qualquer medida realizada sempre afetada por erros. Erros muito
pequenos no traro grandes implicaes. Contudo, se forem significativos, podero prejudicar
seriamente os resultados levando a falsas concluses. Portanto conhecer a natureza dos erros e
preparar planejamentos que possam minimiz-los uma estratgia que deve estar presente no
dia-a-dia de todo pesquisador.
Existem dois tipos de erros, o erro sistemtico e o erro aleatrio. O primeiro tem como
caracterstica afetar os resultados dos experimentos sempre na mesma direo, seja para mais
ou para menos. Um exemplo simples deste tipo de situao o caso de uma balana
descalibrada que pode indicar sempre massas maiores que as reais. Mas vale notar que os erros
sistemticos podem ser identificados e, portanto, evitados. Por outro lado, h um tipo de erro
que afeta as medidas sem nenhuma tendncia clara. As medidas podem oscilar, ora para mais,
ora para menos. Este tipo e erro chamado de erro aleatrio e, infelizmente, sempre estar
presente em maior ou menor grau.Ao fazer um estudo sempre interessante fazer replicatas, repeties, pois permite que o
erro presente nas medidas seja investigado. Alm disso, com a realizao de vrias replicatas
aumentam as chances de se aproximar mais do valor exato. Isto evidenciado por um
importante princpio da estatstica: o teorema do limite central, que comprova que o erro no
valor mdio menor que o erro de uma observao individual (referncia: Barros Neto, B,
Scarminio, I.S., Bruns, R.E. Como fazer experimentos: pesquisa e desenvolvimento na cincia e na indstria.
Ed. da Unicamp; Campinas, 2001).
Muitas vezes as caractersticas do procedimento experimental dificultam muito a
execuo de replicatas autnticas. No correto simplesmente realizar duas medidas do
mesmo experimento de forma seqencial, pois um erro que afetar a primeira medida
certamente ir, de forma sistemtica, afetar a seguinte.
nessa introduo as idias expostas foram copiadas do artigo: Conseqncias da anlise incorreta de experimentos
blocados, sob autoria de Joo Alexandre Bortoloti e Roy Edward Bruns. Artigo publicado na revista Qumica Nova, vol.30, n 2, pgs. 436-440, 2007.
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No so raros os casos em que o ajuste das condies experimentais extremamente
trabalhoso ou lento. Portanto, parece haver um dilema, realizar medidas com duplicatas e arcar
com o custo do trabalho envolvido, mas garantir a qualidade das medidas, ou evitar um grande
esforo no laboratrio, mas correr o risco de ter todo o seu trabalho prejudicado. nestecontexto que surge uma interessante possibilidade, a blocagem dos experimentos.
continuao da aula sobre Anova 1 fator
Ao analisar os dados classificados em dupla-entrada, temos de aplicar o mtodo da
classificao 1 fator duas vezes: - uma vez para cada sistema de classificao. Em resumo, a
anova 1 fator duas vezes (uma vez para o fator na coluna e uma vez para o fator na linha).
Veremos a aplicao desse mtodo (anova 2 fatores) em dois tipos de delineamentos:CRD e CRBD sob presena ou ausncia de repeties, replicatas. Por repetio (replicata) se
entende um teste completo de todos os tratamentos no experimento (a replication is a
complete run for all treatments to be tested in theexperiment).
1) experimento inteiramente ao acaso (completely randomized design, CRD) sem
repeties;
2) experimento em blocos ao acaso (randomized complete block design (CRBD) sem
repeties;
3) experimento em blocos ao acaso (CRBD) com repeties;
4) experimento inteiramente casualizado (CRD) com repeties.
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1) CRD. Experimento inteiramente ao acaso , sem repeties.
Exemplo 1.
Por exemplo, 12 jovens foram classificados em trs grupos de acordo com a idade deles.
Ao mesmo tempo eles foram classificados de acordo com o sexo em dois grupos: masculino efeminino. Assim, cada jovem esteve sujeito a dois sistemas de classificao simultaneamente,
Tabela 1.
Tabela 1. Dados obtidos no experimento tipo CRD.
colunas
linhas
1 2 3 4 total
linha
mdia
linha
efeito
linha
1 6 2 9 3 20 5 -2
2 8 9 11 12 40 10 +3
3 4 4 10 6 24 6 -1total coluna 18 15 30 21 84
mdia coluna 6 5 10 7 7efeito coluna -1
-2 +3 0 0
(-1) = efeito coluna = mdia coluna 1(=6) mdia geral (=7)
(+3)= efeito linha = mdia linha 2(=10) mdia geral (=7)
Anlise dos dados segundo a classificao do fator linha.anova 1 fator.SQ linha = 4{(-2)2 + (3)2+ (-1)2} = 56
Anlise dos dados segundo a classificao do fator coluna.anova 1 fator.
SQ coluna = 3{(-1)2 + (-2)2+ (3)2+(0)2} = 42
Clculo da Soma de Quadrados TotalSQ Total*= x2 (X)2 / n =
* deduo dessa frmula = SQ = (x-)2 = (x2-2x +2) = (x2)-2x +(2)= x2-22n +n 2 =x2- n2 =
x2- n(x)2/ n2 = x2 (x)2 / n que a forma usual do clculo da soma de quadrados total.
{(52+22+92+32+82+92+112+122+42+42+102+62)-(5+2+9+3+8+9+11+12+4+4+10+6)2 / 12 }=SQTotal = 120
Clculo da Soma de Quadrados Resduo (h dois mtodos)a) por meio da diferena (mtodo mais fcil)
Denomina-se experimento inteiramente ao acaso quando os tratamentos (fatores) so designados s unidades
experimentais sem qualquer restrio. Esse tipo de delineamento s pode ser conduzido quando as unidades experimentais(corpos-de-prova, pessoas, etc...) so similares. Por similares deve-se entender: no no sentido de igualdade, mas nosentido de que essas unidades respondem ao tratamento da mesma forma.
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SQ Total = SQ LINHA + SQ COLUNA + SQ RESDUO
assim, SQ RESDUO = SQ Total (SQ LINHA + SQ COLUNA)
SQ RESDUO = 120 (56+42) = 120 98 = 22
b) por meio do clculo direto (mtodo mais trabalhoso)
22+(-1) 2+12+(-2)2+(-1)2+12+(-2)2+22+(-1)2+02+12+02 = 4+1+1+4+1+1+4+4+1+0+1+0 = 22
Clculo dos Graus de Liberdade (gl)
Fator Linha = Blocos = b-1 e no nosso exemplo 3 1 = 2
Fator Coluna = G-1 e no nosso exemplo 4 1 = 3
Total N-1 e no nosso exemplo 12 1 = 11
Resduo ( N-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = ( BK-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = (B-1)(G-1)e no nosso exemplo o gl resduo igual a 11-(2+3) = 6 = (3-1)(4-1) = (2)(3)
Tabela 2. ANOVA 2 fatores para os dados da Tabela 1.
Efeito(ou fonte de
variao)
gl SQ QM razo F p-valor
Linhas 3-1= 2 56 56/2= 28 28/3,67= 7,64 0,0224150*
Colunas 4-1=3 42 42/3= 14 14/3,67= 3,82 0,0764059
Resduo 6 22 22/6= 3,67Total 12-1= 11 120
*p
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2) CBRD. Experimento em blocos ao acaso, sem repeties.
Vamos considerar, agora, os experimentos casualizados. Nesse delineamento os
tratamentos so designados s unidades experimentais com certa restrio: so sorteados
dentro de cada bloco.Neste item ao considerar os CBRD vamos estudar os casos sem repetio, ou seja, com
apenas uma aplicao dos tratamentos s unidades experimentais.
Para a anlise dos dados em planejamentos desse tipo, convm recordar o que foi dito
anteriormente: ao analisar os dados classificados em dupla-entrada, temos de aplicar o
mtodo da classificao 1 fator duas vezes: - uma vez para cada sistema de classificao. Em
resumo, a anova 1 fator duas vezes (uma vez para o fator na coluna e uma vez para o fator na
linha).
Quando as unidades experimentais no so similares, devia ser intuitivamente claro que
as variaes nas unidades por si mesmas poderiam ofuscar (obscurecer) os verdadeiros efeitos
do tratamento. O mtodo de blocagem considera forma de avaliar as unidades heterogneas
em todos os tipos de experimentao.
O CBRD um delineamento no qual as unidades - s quais os tratamentos so aplicados - so subdivididas em grupos
homogneos (chamados de blocos), de modo que o nmero de unidades em um bloco seja igual ao nmero (ou algummltiplo do nmero) de tratamentos que esteja sendo estudado. Os tratamentos so ento designados ao acaso s unidadesexperimentais dentro de cada bloco. Deve-se enfatizar que cada tratamento aparece em cada um dos blocos, e cada blocorecebe cada um dos tratamentos em estudo. Assim, cada um dos blocos inclui todos os tratamentos. Dentro de cada blocoos tratamentos so atribudos s parcelas inteiramente ao acaso. Para que o experimento seja eficiente (aumente empreciso, diminuio da varincia erro ou resduo), dever cada bloco ser to uniforme quanto possvel, mas os blocospodero diferir bastante uns dos outros.O pesquisador s deve optar por experimento tipo CRD quando dispe de nmero suficientemente grande de unidadesexperimentais similares. Como isso nem sempre acontece na prtica, preciso um delineamento que permita compararadequadamente os tratamentos, mesmo que as unidades apresentem certa heterogeneidade. Unidades similares soagrupadas (d-se o nome de blocos a esse conjunto de unidades similares). Os experimentos em blocos ao acaso surgiramna rea agrcola. O campo era dividido em blocos e os blocos eram divididos em parcelas que recebiam os tratamentos(adubo, por exemplo) em investigao. Ento o termo bloco designava originalmente, uma faixa de terra de mesma
fertilidade. Esse tipo de delineamento surgiu em 1925 na Inglaterra por R. A. Fisher que foi, tambm, o idealizador domtodo ANOVA.O bloco pode ser uma faixa de terra, uma ala de estufa, um perodo de tempo, uma ninhada, uma partida de produtosindustriais, uma faixa de idade tudo depende do que est em experimentao. O CBRD pode ser empregado de formamuito eficiente quando um experimento deve ser efetuado em mais de um laboratrio (blocos) ou quando vrios dias(blocos) so necessrios para a sua realizao.O essencial que os blocos renem unidades similares e que haja variabilidade entre blocos. No teria sentido organizaresses blocos se no houvesse variabilidade entre eles. Quem vai decidir se a variabilidade entre as unidades justifica ou noa formao de blocos o pesquisador, no o estatstico. Embora o bloco deva reunir unidades similares, isso no significaque essa reunio deva ser fsica. Por exemplo, se um mdico pretende comparar duas drogas hipotensoras, A e B, econsiderar que a presso arterial do paciente, no incio do tratamento, importante na resposta do paciente droga, deveorganizar blocos. Cada bloco ser formado por um par de pacientes com presses arteriais similares, mas, para formar osblocos, o mdico no precisa colocar seus pacientes em fila, nem junt-los aos pares. Basta reunir os dados numricos.
Dois pacientes do mesmo bloco no precisam nem mesmo se conhecer.O objetivo do CBRD isolar e remover do termo resduo (erro) a variao atribuvel aos blocos, aumentando assim apreciso do experimento sem aumentar o nmero de unidades experimentais.
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Historicamente, os blocos casualizados o primeiro delineamento vlido para estimar o
erro experimental e testar a significncia dos efeitos de tratamento apesar da heterogeneidade
das unidades experimentais sobre as quais as observaes so realizadas. Esse delineamento
revolucionou os experimentos na agricultura no mundo todo. No seria um exagero afirmarque ele ainda a espinha dorsal do delineamento da cincia experimental. Porm, nenhum
delineamento torna-se popular e aceito para uso geral, no importa quo bem fundamentado do
ponto de vista estatstico que ele seja, se for complicado e difcil de empreend-lo. A beleza
desse planejamento em blocos a feliz combinao de validade, simplicidade e flexibilidade.
O planejamento em blocos consiste de duas etapas. A primeira a de coletar, reunir, as
unidades afins, similares para juntas formarem um grupo homogneo; esse grupo formado
chamado de bloco. Essa operao conhecida como blocagem. A segunda etapa a de
designar os vrios tratamentos ao acaso s unidades dentro de cada bloco. Essa a principal
diferena entre o delineamento em blocos e o delineamento inteiramente casualizado. Em
termos de casualizao pode-se considerar que, em blocos, h uma restrio.
Veremos, a seguir, a aplicao desse mtodo para um experimento onde a unidade
experimental a pessoa que vira bloco. Ela recebe, sob aplicao aleatria, dois tratamentos
A e B. Convm recordar que, experimentos desse tipo, onde a unidade experimental a pessoa
que recebe todos os tratamentos em comparao, um caso especial de experimento em blocos
casualizados. Toda vez que a pessoa que participa do experimento recebe todos os
tratamentos em comparao, essa pessoa um bloco no uma unidade. Esse tipo de
experimento muito criticado. Por exemplo, a diferena que se mede na pessoa, antes e depois
de uma srie de exerccios fsicos, s seria explicada pelos prprios exerccios fsicos? De
qualquer forma, so feitos experimentos em que cada pessoa um bloco. O pesquisador
precisa apenas estar alerta para o fato que possvel de a pessoa se modificar por qualqueroutro motivo, que no o tratamento. Embora os experimentos em que se toma cada indivduo
como bloco sejam bastante comuns preciso muito senso crtico para planej-los. Muitas
vezes esses experimentos no tm qualquer validade.
O pesquisador planeja um experimento em blocos ao acaso quando pretende eliminar
uma causa de variao. Por exemplo, para testar o efeito de um hormnio sobre o crescimento
Muitas idias aqui apresentadas foram selecionadas do livro: Estatstica Experimental. Autores: S. Vieira & R.Hoffmann. Ed. Atlas. Ano 1989.
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de ratos se os ratos disponveis so de diferentes idades o pesquisador deve organizar
blocos que correspondam s idades.
Os blocos tambm ampliam a validade da concluso. Por exemplo, se um entomologista
quer comparar a eficincia de diversos inseticidas, tanto pode usar insetos de uma nicaespcie como fazer a comparao usando insetos de vrias espcies. O experimento seria em
blocos ap acaso se cada espcie fosse um bloco. Os blocos teriam a vantagem de ampliar a
validade da concluso. Isto porque o entomologista poderia, com base em um s experimento,
estabelecer concluses para vrias espcies.
Em termos de eficincia, ou seja, de uma comparao de tratamentos qual seria o melhor
delineamento: CRD ou CBRD? Qual seria a conseqncia de uma m escolha? Para responder
temos de considerar o nmero de graus de liberdade do resduo. Vamos, ento, realizar uma
comparao entre o nmero de graus de liberdade do resduo de um experimento CRD frente a
um experimento tipo CRBD. Na tabela ANOVA obtm-se um valor igual a (k-1)(r-1) para um
experimento em blocos; enquanto, para um experimento CRD, o gl do resduo ser igual a k(r-
1), onde r o nmero de rplicas (ou repeties). Se k for igual a 3 e r = 20, ento, o gl de
resduo do CBRD seria igual a (3-1)(20-1) = 2 x 19 = 38 e o gl do CRD seria igual a 3(20-1) =
3 x 19 = 57. Essa diferena de 57 38 = 19 representa r-1 graus de liberdade, em geral.
Em termos de notao, temos inicialmente no CRD k(r-1) e depois no CBRD (k-1)(r-1),
isto ,
k(r-1) (k-1)(r-1) = r-1 graus de liberdade a menos sob a escolha de um possvel mau
delineamento. Como o valor de F na tabela (F, de valores crticos) aumenta quando diminui o
nmero de graus de liberdade de resduo, fcil entender que o uso indevido de blocos torna o
teste menos sensvel.
Fcalculado = QM Trat / QM resduo ; assim, quanto menorFcalc e maior o F tabela mais difcil paraque se estabelea a condio de rejeitar Ho, ou seja, de que Fcalc > F tabelado .
QM resduo = SQ res / gl res ; assim, quanto menorgl res implicaaumento deQM resduo que
traz como conseqncia uma diminuio de Fcalc.
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Exemplo 1. Experimento em blocos (CBRD), sem repeties.
Numa pesquisa sobre o efeito do leo de milho no teor de colesterol do sangue, o mdico
Dr. Bem Hur obteve os seguintes dados, de 7 pacientes, Tabela 3.
Tabela 3. Teor de colesterol no sangue, em mg por 100g, de sete pacientes.
Pacientes
Tratamentos (dois tipos de dietas) Totais dos blocos Mdias dosblocosA B
1 270 175 445 222,52 410 308 718 359,03 350 248 598 299,04 360 231 591 295,5
5 350 196546 273,0
6 430 190 620 310,07 268 252 520 260,0
Totais de Tratamentos 2438 1600Mdias de Tratamentos 348,286 228,571
A anlise feita tomando-se os pacientes como blocos. Para casos desse tipo, pode-se
dizer em termos gerais, que a mesma anlise dos delineamentos tipo ANOVA de medidas
repetidas e, nesse especial caso, a mesma anlise que se obtm com o teste t- Student de
amostras pareadas (estatstica t = 4,66; vale a relao estatstica F da anova igual ao valor da
estatstica t-Studentao quadrado, ou seja, F = t2 = 4,662 = 21,71).
Pelo mesmo procedimento do caso anterior obtm-se o seguinte resultado do teste
ANOVA 2 fatores, Tabela 4.
Tabela 4. ANOVA 2 fatores pata os dados da Tabela 3.
Efeito(ou fonte de
variao)
gl SQ QM razo F p-valor
Blocos 7-1= 6 22000,40 22000,40/6= 3666,70Tratamentos 2-1=1 50160,30 50160,30/1= 50160,30 50160,30/2310,
50= 21,710,003*
Resduo 6 13862,70 13862,70/6= 2310,50Total 14-1= 13 86023,40
*p
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clculo de F para blocos desnecessrio. Os experimentos tipo CRBD so feitos, essencialmente, para
comparar tratamentos a comparao de blocos secundria.
Exemplo 2. Experimento em blocos (CBRD), sem repeties.Um experimento foi delineado para estudar o desempenho de quatro diferentes
detergentes de tecidos de roupas. Os seguintes ndices de limpeza, Tabela 5, foram obtidos
(maior o ndice maior a limpeza) por meio de um instrumento especial para trs diferentes
tipos comuns de manchas. A hiptese da pesquisa saber se h diferena entre os detergentes?
Tabela 5. ndice de limpeza de 12 tecidos manchados segundo tipo de detergente e tipode mancha.
Manchas Detergentes Total (mdia: x )1 2 3 4
1 45 47 48 42 182 (45,50)2 43 46 50 37 176 (44,00)3 51 52 55 49 207 (51,75)
Total
(mdia: x )
139 145 153 128 565
46,333 48,333 51,000 42,667 mdia geral:565/12 = 47,083
ResoluoVamos aplicar a mesma frmula, porm, com outra forma
, mais direta, para se obter
as somas de quadrados entre grupos (referente s colunas e/ou s linhas).
SQE = (T2/n) - (FC); onde T... o total da coluna (ou linha); n ... o tamanho daamostra e FC o chamado fator de correo dado pela soma dos valores ao quadradodividido pelo tamanho amostral total, ou seja, FC = (x)2 / N.
Anlise dos dados segundo a classificao do fator Detergente coluna.anova 1 fator.
SQ coluna = [ (1392/3) + (1452/3) +(1532/3)+(1282/3) ] (182+176+207)2/12 =SQ coluna = 26713,000 26602,083 = 110,917
Anlise dos dados segundo a classificao do fator Mancha linha (blocos).anova 1 fator.
SQ linha = 1822/4 + 1762/4 +2072/4 (182+176+207)2/12 = 135,167
Clculo da Soma de Quadrados TotalSQ Total = x2 FC = x2 (x)2 / n
SQ = (x-)
2
= (x2
-2x +2
) = (x2
)-2x +(2
)= x2
-22
n +n 2
=x2
- n2
= x2
- n(x)2
/ n2
= x2
(x)2 / n que a forma usual do clculo da soma de quadrados total. Dessa forma usual vemSQfator coluna = n(x -)2 = nx 2 (x)2 / n = n(x)2/n2 (x)2 / n = (Total)2/n (x)2 / n = (T2 /n) FC.
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SQ Total = (452+432+512+472+462+522+482+502+552+422+372+492 ) (565)2/12 = 264,917SQ Total = 26867,000 26602,083 = 264,917
SQ Total = SQ LINHA + SQ COLUNA + SQ RESDUOassim, SQ RESDUO = SQ Total (SQ LINHA + SQ COLUNA)
SQ RESDUO = 264,917 (135,167+110,917) = 264,917 246,084 = 18,833
Tabela 6. ANOVA 2 fatores para os dados da Tabela 5.Efeito gl SQ QM F P
Detergente 3 110,917 36,972 11,78 0,006*
Manchas 2 135,167 67,583
Erro 6 18,833 3,139
Total 11 264,917
*p
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* mdias seguidas de letras diferentes diferem estatisticamente
Alfa (nvel de significncia) 0,05 Valor Crtico Q 4,897Valor Crtico para Comparao = dms = HSD = 5,0095Graus de liberdade do termo Erro (resduo) = 6
Concluso:Grupos 1 e 4 (letra A e AB) no diferem entre si (letra B comum).Grupo 4 (letra B) difere dos grupos 2 e 3 (letra A).Grupo 1 (letra AB) no difere do grupo 4 e, tambm, no difere dos grupos 2 e 3, ou seja,
o detergente 1 ocupa um comportamento intermedirio em relao aos outros trs detergentes.
Quanto limpeza o pior detergente o tipo 4.Os detergentes tipo 1, 2 e 3 no apresentaram diferena do ponto de vista estatstico.
........................................................................................................................................................
Exemplo 3. Experimento em blocos (CBRD), sem repeties.
Supe-se que a impureza de um produto qumico afetada pela presso. Optou-se por utilizar a
temperatura como fator de blocagem. Os dados so apresentados na Tabela 7 mostrada a seguir.
Tabela 7. Quinze valores de impureza, sob condies de temperatura (C) e presso (mmHg),
obtidos num experimento em blocos ao acaso.Temperatura Presso Total Mdia x
25 30 35 40 45
100 5 4 6 3 5 23 4,60125 3 1 4 2 3 13 2,60150 1 1 3 1 2 8 1,60Total 9 6 13 6 10 44 geral: 2,93
Mdia x 3,00 2,00 4,33 2,00 3,33
Resoluo
FC = fator de correo da soma de quadrados = (44)2/15 = 129,067SQ Total = SQ Total = x2 (X)2 / n = 166 (44)2/15= 166 129,067 = 36,933SQ linha = SQ temperatura = SQ blocos = (232+132+82) / 5 FC = 152,400-129,067 = 23,333
SQ coluna = SQ presso = (92+62+132+62+102) / 3 FC = 140,667-129,067 = 11,600
SQ Total = SQ LINHA + SQ COLUNA + SQ RESDUOassim, SQ RESDUO = SQ Total (SQ LINHA + SQ COLUNA)
SQ RESDUO = 36,933 (23,333+11,600) = 36,933 34,933 = 2,000
Clculo dos Graus de Liberdade (gl)
Fator Linha = Blocos = b-1 e no nosso exemplo 3 1 = 2
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Fator Coluna = Presso = G-1 e no nosso exemplo 5 1 = 4
Total N-1 e no nosso exemplo 15 1 = 14
Resduo ( N-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = ( BG-1 ) - [ (B-1) +(G-1) ] = (B-1)(G-1)
e no nosso exemplo gl resduo = 14-(2+4) = 8 = (3-1)(5-1) = (2)(4)
Clculo da estatstica F
Varincia Efeito Coluna (presso) = QM colunas / gl colunas = (11,600/4) = 2,900
Varincia Resduo = QM resduo / gl resduo = (2,00/8) = 0,250
F calculado = Var Coluna / Var resduo = Var Presso/ Var resduo = 2,900/0,25 = 11,60
Comando no Minitabpara se obter o p-valor associado ao F calculado
aps Edit >> Command Line Editor (ou Ctrl+L) digitamoscdf 11.60 k1;
F 4 8.let k2 = 1-k1
print k2K2 0.00206337
clicar no (X) Submit Commands
Tabela 8. ANOVA 2 fatores para os dados da Tabela 7.Efeito gl SQ QM F P
Presso 4 11,600 2,900 11,60 0,002*
Temperatura 2 23,333 11,667
Erro 8 2,000 0,250
Total 14 36,933
*p
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3) experimento em blocos ao acaso (CRBD) com repeties
Nesse item vamos considerar trs situaes. A primeira com os blocos apresentando o
mesmo valor mdio em cada tratamento; na segunda situao, temos uma diferena constante
entre os valores mdios de cada bloco; e na terceira valores desiguais entre os valores mdios
dos blocos em cada tratamento. Entende-se melhor o que queremos explicar por meio dos
exemplos.
Primeira situao. Valores mdios iguais dos blocos.
Exemplo 1. Dados de um experimento em blocos ao acaso com repeties.
Blocos
Tratamentos Total daslinhas
Mdia dosblocosA B C D
I
22 31 30 39
408 3426 38 31 42
30 36 38 45
Mdias dosblocos
26 e 26 35 e 35 33 e 33 42 e 42
II
25 34 32 41
408 3426 35 33 42
27 36 34 43
Total 156 210 198 252 Total geral:816
Mdiageral: 34
Resoluo.
Segue-se o mesmo procedimento dos casos anteriores, ou seja, clculo do fator de
correo; clculo da soma de quadrados total; clculo da soma de quadrados devido ao fator
coluna (tratamentos); clculo da soma de quadrados do fator linha (blocos) e, enfim, onde est
a novidade. A resposta, para essa justificada pergunta, a relao:
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SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ RESDUO.
Clculo da Soma de Quadrados dos Tratamentos
SQ trat = {1562
+2102
+1982
+2522
)/6} (816)2
/24 = 780,00Clculo da Soma de Quadrados dos Blocos
SQ blocos = {4082+4082)/12} (816)2/24 = 27744-27744 = 0
Clculo da Soma de Quadrados dos Resduos
SQ resduo= (x - x )2 onde x o valor de cada clula (casela) e x a mdia de cada caselaSQ resduo = {42+02+42}+{42+32+12}+{32+22+52}+{32+02+32} referente ao bloco I
+{12+02+12}+{12+02+12}+{12+02+12}+{12+02+12} referente ao bloco II=
= {32+26+38+18}+{2+2+2+2} = 114 + 8 = 122Nesse nosso exemplo os nmeros calculados indicam:
902,00 = 780,00 + 0 + 122
902,00 = 902,00 relao de igualdade.
Concluso: valeu nesse caso a relao:
SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ RESDUO.
Ser que essa relao, na presena de repeties, sempre vlida?
Segunda situao. Valores mdios dos blocos diferem de uma constante.
Exemplo 2. Dados de um experimento em blocos ao acaso com repeties.
Blocos
Tratamentos Total daslinhas
Mdia dosblocosA B C D
22 31 30 39
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I 408 3426 38 31 42
30 36 38 45Mdias dos
blocos
26 e 30 35 e 39 33 e 37 42 e 46
II
29 38 36 45
456 3830 39 37 46
31 40 38 47
Total 168 222 210 264 Total geral:864
Mdiageral: 36
Tratamentos N Mdia DP
1 6 28,00 3,41
2 6 37,00 3,223 6 35,00 3,58
4 6 44,00 2,97
Nesse caso, tambm, vale a relao:
SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ RESDUO.
998,00 = 780,00 + 96 + 122
Terceira situao. Vai aparecer o fator interao!Valores desiguais entre os valores mdios dos blocos em cada tratamento
Exemplo 3. Dados de um experimento em blocos ao acaso com repeties.
Blocos
Tratamentos Total daslinhas
Mdia dos
blocosA B C D
I
22 31 30 39
408 3426 38 31 42
30 36 38 45Mdias dos
blocos26 e 32
difere de 635 e 51
difere de 1633 e 45
difere de 1242 e 48
difere de 6
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II
27 47 42 44
528 4434 50 45 47
35 56 48 53
Total dascolunas
174 258 234 270 Total geral:936 Mdiageral: 39
Tratamentos N Mdia DP
A 6 29,00 4,98
B 6 43,00 9,51
C 6 39,00 7,38
D 6 45,00 4,77
Nesse caso, tambm, vale ainda a relao:
SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ RESDUO.1874,00 = 912,00 + 600,00 + 254,00 ?? no (esse caso difere dos outros dois)
1874,00 = 1766,00 ?? Para que seja vlida essa relao de igualdade temos de acrescentar o
valor diferena = 1874,00 1766,00 = 108
Esse valor acrescentado ser denominado de SQ interao : soma de quadrados do fator interao
que aparece devido presena de repeties e da diferena entre os valores mdios dos blocos nos
tratamentos.
O grfico de mdias ajuda-nos a observar (e a verificar) a existncia do efeito interao.
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Grupos
mdias
DCBA
50
45
40
35
30
25
Blocos
1
2
6
16
12
6
Figura 1. Grfico de mdias referente s seis condies experimentais.Ilustrao do efeito interao entre as duas variveis em estudo.
Para avaliar se essa diferena, entre os quatro valores diferenas, difere estatisticamente temos de
aplicar verificar se a razo F do efeito interao estatisticamente significante. Em um experimento
em blocos o efeito interao, em geral, no um efeito interessante, ou seja, avaliado. H uma
suposio inicial da inexistncia desse efeito interao.
Tabela W. ANOVA dois fatores para os dados do exemplo 3, terceira situao.Efeito gl SQ QM F P
Blocos 1 600,00 600,00 37,80 0,001
Tratam 3 912,00 304,00 19,15 0,001
Interao 3 108,00 36,00 2,27 0,120
Erro 16 254,00 15,88
Total 23 1874,00
Por meio do resultado do teste ANOVA 2 fatores, Tabela W, pde-se verificar que o efeitointerao estatisticamente no significante (p = 0,120 >0,05). Ento, podemos desconsiderar o valor
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Soma da Soma de Quadrados correspondente ao efeito interao (no caso foi de 108) e, assim,obtemos uma outra tabela ANOVA, a usual em experimento em blocos ao acaso, que desconsidera oefeito interao, Tabela Z mostrada a seguir.
Tabela Z. ANOVA dois fatores para os dados do exemplo 3, terceira situao.
Efeito gl SQ QM F PBLOCOS 1 600,00 600,000
TRATAM 3 912,00 304,000 15,96 0,0001
Erro 19 362,00 19,053
Total 23 1874,00
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4) experimento inteiramente casualizado (CRD) com repeties.
Nesse item vamos considerar os experimentos que seguem um delineamento fatorial. No vamos
considerar fatores como blocos. Blocagem, agora, no nos interessa por um motivo de didtica,apenas.
Vamos considerar dois fatores, duas variveis experimentais, cujos efeitos sobre a unidade
experimental so avaliados pela varivel resposta. Esses efeitos, dessas duas variveis, nos interessam.
Queremos avali-los isoladamente, efeitos principais e, tambm, se houver repeties (caso mais
freqente, comum) vamos ter de nos enfrentar com o efeito interao. Que significa saber se h ou no
diferena entre as diferenas. O termo interao no apresenta, no jargo da estatstica, o mesmo
significado quando empregado na cincia biolgica. A Farmacologia, por exemplo, que considera a
interao entre as drogas, o efeito da mistura, da ao conjunta entre vrios medicamentos sobre a
pessoa em comparao com a ao individual desses medicamentos sobre a pessoa.
Considera-se, agora, como exemplo de um delineamento fatorial o mesmo exemplo anterior, mas
com uma alterao apenas. Dessa vez, no houve blocagem. No h o fator blocos. A casualizao dos
tratamentos no foi restrita aos blocos. No houve restrio alguma quanto ao sorteio dos tratamentos
s unidades experimentais. Porm, a forma de anlise dos dados anloga, ou seja, o mesmo
procedimento. O novo fator ser denominado de Termociclagem Mecnica, por exemplo, indicado por
TCM que apresentar dois nveis. O nvel I como ausncia e o nvel II como presena de TCM.
O outro fator, tratamentos, pode ser considerado como Tratamentos Superficiais apresentando
quatro diferentes nveis: Controle, Alumina, Rocatec e New.
A varivel resposta o resultado do teste de trao (em megapascal, MPa) obtido numa mquina
de ensaio universal.
A unidade experimental o corpo de prova em forma de cilindro.
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Exemplo 1. Dados de resistncia a trao (MPa) de um experimento fatorial (tipo 4 x 2)com trs repeties.
TCM
Tratamentos Superficiais Total daslinhas
Mdia dosnveis do
fator TCMA: controle B: alumina C: rocatec D: new
I: ausncia
22 31 30 39
408 3426 38 31 42
30 36 38 45mdias dos
nveis26 e 32
difere de 6
35 e 51difere de 16
33 e 45difere de 12
42 e 48difere de 6
II: presena
27 47 42 44
528 4434 50 45 4735 56 48 53
Total das
colunas
174 258 234 270Total geral:
936Mdia
geral: 39
Tratamentos N Mdia DP
A 6 29.00 4.98
B 6 43.00 9.51
C 6 39.00 7.38
D 6 45.00 4.77
Nesse caso, com repeties, vlida a seguinte relao entre as somas de quadrados:SQ Total = SQ COLUNA + SQ LINHA + SQ Interao + SQ RESDUO.1874,00 = 912,00 + 600,00 + 254,00 + SQ Interao
Assim SQ interao = 108.
Com o mesmo procedimento dos casos anteriores obtm-se a Tabela Y referente ao teste
ANOVA (2 fatores) dos dados.
Clculo dos Graus de Liberdade (gl)
Fator Linha = TCM = L-1 e no nosso exemplo 2 1 = 1
Fator Coluna = Tratamentos = G-1 e no nosso exemplo 4 1 = 3
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Total N-1 e no nosso exemplo 24 1 = 23 = (LCR) 1
onde R o nmero de repeties
Fator Interao determinado pelo produto dos graus de liberdade do fator na linha
pelo fator coluna = (L-1)(G-1) = (2-1)(4-1) = 3.O gl resduo dado pela diferena entre o gl do total em relao aos outros fatores, ou
seja, (24-1)-{(2-1)+(4-1)+(2-1)(4-1)) = 23- (1+3+3) = 23-7 = 16.
Ou o gl resduo dado pela frmula gl resduo = (LC)(R 1) onde R o nmero de
repeties; assim gl resduo = (2 x 4)(3-1) = 8 (2) = 16.
Tabela Y. ANOVA (2 fatores) dos dados de resistncia a trao (MPa) de um experimentofatorial (tipo 4 x 2) com trs repeties.
Efeito gl SQ QM F P
Tratamento 3 912,00 304,000 19,15 0,0001*TCM 1 600,00 600,000 37,80 0,0001*
Interao 3 108,00 36,000 2,27 0,1198
Erro 16 254,00 15,875
Total 23 1874,00
* p
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O efeito interao estatisticamente no significante. Assim, o relacionamento entre os nveis
do fator Termociclagem expressa mediante a perda de resistncia (diferena entre presena menos
ausncia) obtido no grupo controle praticamente a mesma perda de resistncia obtida nos demais
tipos de tratamentos superficiais, Figura Z.
Tratamentos Superficiais
M
Pa
DCBA
50
45
40
35
30
25
TCM
ausncia
presena
Figura Z. Grfico de mdias referente s seis condies experimentais. Perda de resistncia(indicada pela seta) devido ao da Termociclagem mecnica, TCM, em cada tipode tratamento.
Pode-se concluir mediante o resultado do teste ANOVA, Tabela Y, que h diferena
estatisticamente significante entre os quatro Tratamentos.
Para o fator Tratamentos, a hiptese H0(1 = 2 = 3 = 4 ) rejeitada.
Os valores mdios diferem!
Teste de comparao mltipla de Tukey (5%) para o efeito Tratamento Superficial
Por meio do Teste de Tukey (5%) obtm-se o valor HSD
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MSW = QM resduo = 15,875 ; n = 6; q crtico = 4,047; HSD = 6,5824
valores das diferenas a serem comparadas com o valor HSD ou dms.(=6,5824)Tratamentos Mdia A B C
A 29,000 ----B 43,000 14,000* ----
C 39,000 10,000* 4,000 ----
D 45,000 16,000* 2,000 6,000
Alfa (nvel de significncia) 0,05Valor Crtico Q 4,047Valor Crtico para Comparao = 6,5824Graus de liberdade do termo Erro (resduo) = 16
Formao de grupos homogneos aps a aplicao do teste de Tukey(5%)Tratamentos Mdia Grupos Homogneos*
D 45,000 AB 43,000 A
C 39,000 A
A 29,000 B
* mdias seguidas de letras diferentes diferem estatisticamente
Pode-se concluir, ainda, mediante o resultado do teste ANOVA, Tabela Y, que h diferena
estatisticamente significante entre os dois nveis entre o fator Termociclagem mecnica (TCM).
Assim, como so apenas dois nveis desse fator, no h necessidade de se efetuar um teste de
comparao mltipla como o teste de Tukey. Se os dois nveis diferem pode-se estabelecer que acondio de ausncia de Termociclagem menos resistente (34,006,77MPa) que a condio de
presena de Termociclagem (44,008,37MPa).
Quando se comparam as seis condies experimentais entre si, pelo teste de Tukey, obtm-se,
por exemplo, que a condio Tratamento A(controle) sem TCM a menos resistente (mdia igual a
26MPa) enquanto as mais resistentes so as condies Tratamentos B (alumina) e D(new) com TCM.
Outras consideraes podem ser ainda obtidas.
Trata TCM Mdia Grupos Homogneos*B 2 51 A
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D 2 48 A
C 2 45 AB
D 1 42 ABC
B 1 35 BCD
C 1 33 CD
A 2 32 CDA 1 26 D
* mdias seguidas de letras diferentes diferem estatisticamenteAlfa (nvel de significncia) 0,05Valor Crtico Q 4,903Valor Crtico para Comparao = 11,278Graus de liberdade do termo Erro (resduo) = 16
...............................................................................................................
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Apndice
Clculo direto da Soma de Quadrados do Fator InteraoExperimento inteiramente casualizado. Planejamento fatorial (com repeties).
Experimento inteiramente casualizado. Planejamento fatorial.Mdicos psiquiatras de um centro de Trauma desenvolveram um programa para ajudar as
vtimas de danos cerebrais a conseguirem alcanar certo nvel aceitvel de independncia.No experimento participaram 27 pessoas com o mesmo grau de dano cerebral.O objetivo foi comparar diferentes combinaes de tratamentos psiquitricos e de
fisioterapias.Para cada pessoa foi designada uma das 9 diferentes combinaes de trs tratamentos
psiquitricos e de trs programas de fisioterapias. Houve trs sujeitos para cada combinao.A varivel resposta o nmero de meses de durao entre o indivduo da terapia e o tempo
no qual o paciente foi capaz de voltar a agir com independncia. Os resultados foram apresentados naforma de tabela mostrada a seguir.
Valores obtidos por 27 pessoas submetidas ao teste psiquitrico e ao programa de fisioterapia.
Programa defisioterapia
Tratamento psiquitrico
A B C
1 9 10 11 10 11 12 13 11 132 10 11 12 11 12 15 15 12 153 10 12 15 12 14 16 13 15 17
soma 100 113 124mdia 11,11 12,55 13,78
Soma geral = 337 ; Mdia geral = 12,48
vamos dispor os dados de uma forma conveniente para o clculo da SQ interaoPrograma
Fisioterapia
= Fator B
Tratamento Psiquitrico = fator ATotal
1 2 3
19
1011
101112
131113
100
total a1b1: 30 total a2b1: 33 total a3b1: 37
2
10 11 1511311 12 12
12 15 15total a1b2: 33 total a2b2: 38 total a3b2: 42
3
10 12 1312412 14 15
15 16 17total a1b3: 37 total a2b3: 42 total a3 b3: 45
100 113 124 337
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J sabemos - procedimento visto anteriormente -, como efetuar o clculo da SQ das linhas edas colunas. Ou seja, somo o total da coluna (ou da linha) e elevo ao quadrado e esse valor deve ser
dividido pelo nmero de elementos (tamanho da amostra, nmero de repeties) e, dessa soma geralsubtramos o fator de correo, FC = (X)2 / N).Agora, o procedimento bem parecido para se obter a SQ do fator interao.
O procedimento o seguinte:
1) Clculo da SQ AB ou SQ Tratamentos AB
as 9 condies experimentais (os 9 tratamentos: 3 x 3)
a1b1 a2b1 a3b1 a1b2 a2b2 a3b2 a1b3 a2b3 a3b3N 3 3 3 3 3 3 3 3 3
Total: T 30 33 37 33 38 42 37 42 45T2 900 1089 1369 1089 144 1764 1369 1764 2025
T2 = 12813,00(12813,00) / 3 = 4271,00FC = (X)2 / N) = (337)2/27 = 4206,2593
SQ tratam AB = 4271,00 - (337)2/27 = 4271,00 4206,2593 = 64,7407
2) Clculo da SQ A. Clculo da SQ B.
Temos de obter essas somas porque a SQ interao obtida pela diferena entre o valorcalculado antes (SQ tratam AB) e a soma (SQA+SQB).SQ A ={(1002+1132+1242) / 9 FC} = (38145,00/9) 4206,2593 =4238,3333 - 4206,2593 = 32,0740
SQ B = {(1002+1132+1242) / 9 FC} = (38145,00/9) 4206,2593 =4238,3333 - 4206,2593 = 32,0740
3) Clculo da SQ interaoSQ trata AB = SQ A + SQ B + SQ interao SQ interao = SQ trata AB { SQ A + SQ B}
SQ interao = 64,7407 - {32,074 + 32,074} = 64,7407 - 64,148 = 0,593aprox.
SQ interao = 0,593Varincia do fator interao = { SQ interao = 0,593} / gl interao
O nmero de graus de liberdade (gl) do fator interao dado pelo produto (a-1)(b-1)no nosso exemplo, gl inter = (3-1)(3-1) = 4Portanto Varincia do fator interao = 0,593/4 = QM inter = 0,1481
Frmula do nmero de graus de liberdade (gl) na ANOVA 2 fatores de um experimento fatorial
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Efeito gl no nosso exemplo
A: a-1 3 -1 = 2
B: b-1 3 -1 = 2
Interao (A x B): (a-1)(b-1) (3-1)(3-1) = 2 x 2 = 4
Erro ab(r -1) (3)(3)[3-1] = 9 x 2 = 18
Total: N-1= abr-1 27-1 = 3(3)(3) 1 = 26r... corresponde ao nmero de repeties (no nosso exemplo 3)
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