Problemas de Alocação e Alocação Capacitada (Assignment Problem)

Problema de alocaçãoFormulação

Um problema de transporte de dimensão (nxn), em que:

1º. As variáveis de decisão xij podem tomar valores 0 ou 1;2º. Todas as ofertas e as procuras são unitárias

Exemplo típico: Distribuir n trabalhadores por n tarefas de forma que cada trabalhador execute apenas uma tarefa, e que cada tarefa seja executada apenas por um trabalhador, sendo conhecidos os custos da realização de cada tarefa por cada trabalhador.

Problema de alocaçãoFormulação

Difícil encontrar a solução ótima por

tentativas: por exemplo, para um problema com 5

tarefas o número de soluções possíveis seria 5! = 120, e

para um problema de 10 tarefas o

número de soluções possíveis seria

3 620 800

O problema de alocação envolve a determinação de n! alocações (soluções) possíveis;

Cada possível alocação que consiste em alocar o trabalhador i à tarefa ti, i=1,2,...,n pode ser entendida como uma permutação de 1,2,...n onde a solução ótima pode ser a permutação para a qual o custo total é mínimo

Problema de alocaçãoFormulação

n trabalhadoresn trabalhadoresn trabalhadores n origensn origensn origens

n destinosn destinosn destinosn tarefasn tarefasn tarefas

Cada trabalhador i é indicado a uma tarefaCada trabalhador i é Cada trabalhador i é

indicado a uma tarefaindicado a uma tarefa ai=1, i=1,2,...,naaii=1=1, , i=1i=1,2,...,n,2,...,n

Cada tarefa j é executada por um trabalhador

Cada tarefa j é executada por Cada tarefa j é executada por um trabalhadorum trabalhador bj=1,j=1,2,...,nbbjj=1=1,,j=1j=1,2,...,n,2,...,n

Cij - custo de alocaçãotrabalhador i

tarefa j

CCijij -- custo de alocaçãocusto de alocaçãotrabalhador itrabalhador i

tarefa j tarefa j cij custo unitário de

transporte da origem i para o destino j

ccijij custo unitário de custo unitário de transporte da origem transporte da origem i i

para o destinopara o destino jj

Xij=1, se o trabalhador i for alocado pela tareja j, caso

contrário xij=0

XXijij=1=1, se o trabalhador i for , se o trabalhador i for alocado pela alocado pela tarejatareja j, caso j, caso

contrário contrário xij=0xij=0Xij unidades a distribuir da origem i para o destino j;

xij=0,1

XXij ij unidades a distribuir da unidades a distribuir da origem i para o destino j;origem i para o destino j;

xij=0xij=0,1,1

Problema de alocaçãoFormulação como problema de transporte

∑∑= =

=n

i

n

jijij xcz

1 1

Minimizar

sujeito a:

∑=

=n

jijx

11 ni ,...,2,1 , =

Cada trabalhador é alocado a uma

só tarefa

0≥ijx nj ,...,2,1 , =

nj ,...,2,1 , =Cada tarefa é

executada apenas por um

trabalhador∑=

=n

iijx

11

ni ,...,2,1 , =

Problema de alocaçãoFormulação como problema de transporte

DestinoOrigem

1 2 … n1 2 … n Oferta

11

22......

n

1

1......

1

Procura 1 1 ……

cc1111 cc1212 cc1n1n

cc2121 cc2222 cc2n2n

ccm1n1 ccm2n2 ccmnnn

xx1111 xx1212 xx1n1n……

xx2121 xx2222 xx2n2n……

xxm1n1 xxm2n2 xxmnnn……

..

..

..

..

..

..

..

..

..

1

Problema de alocaçãoExemplo1

Máquina/Empregado

1 2 3

1 25 31 35

2 24 17 16

3 15 23 18

Admita que em uma fábrica foram instalados três novas máquinas e admitidos três novos empregados. É objetivo da direção estabelecer uma alocação máquina-empregado recíproca e exclusiva com esta finalidade. Após vários testes estimou-se a seguinte matriz de custos:

Formule o problema de alocação, com o objetivo de minimizar os custos de trabalho

Máquina/Empregado

1 2 3

1 25 31 35

2 24 17 16

3 15 23 18

Problema de AlocaçãoExemplo

Formulação

Minimizar z = 25 x11 + 31 x12 + 35 x13 +24 x21 + 17 x22 + 16 x23 +15 x31 + 23 x32 + 18 x33

sujeito a:x11 + x12 + x13 = 1

x21 + x22 + x23 = 1x31 + x32 + x33 = 1

x11 + x21 + x31 = 1x12 + x22 + x32 = 1

x13 + x23 + x33 = 1

xij≥ 0 ( i=1, 2, 3; j = 1, 2, 3 )

Resolução no LINDOMin 25x11 + 31x12 + 35x13 + 24x21 + 17x22 + 16x23 + 15x31 + 23x32 + 18x33

S.t.

x11 + x12 + x13 = 1

x21 + x22 + x23 = 1 Restrições de Máquinas

x31 + x32 + x33 = 1

x11 + x21 + x31 = 1

x12 + x22 + x32 = 1 Restrições de Empregados

x13 + x23 + x33 = 1

Problema de alocaçãoExemplo 2

Considere a necessidade de se alocar 5 trabalhadores a 5 tarefas. A matriz dos custos associados à realização de cada tarefa por trabalhador é a seguinte:

1 2 3 4 5

1 17,5 15 9 5,5 12

2 16 16,5 10,5 5 10,5

3 12 15,5 14,5 11 5,5

4 4,5 8 14 17,5 13

5 13 9,5 8,5 12 17,5

Formule o problema de alocação, com o objetivo de minimizar os custos de trabalho

Resolução no LINDOMin 17.5x11 + 15x12 + 9x13 + 5.5x14 + 12x15 + 16x21 + 16.5x22 + 10.5x23 + 5x24 + 10.5x25 + 12x31 + 15.5x32 + 14.5x33 + 11x34 + 5.5x35 + 4.5x41 + 8x42 + 14x43 + 17.5x44 + 13x45 + 13x51 + 9.5x52 + 8.5x53 + 12x54 + 17.5x55S.t. x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1

x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1

x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 1 Restrições de Trabalhadores

x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 1

x51 + x52 + x53 + x54 + x55 = 1

x11 + x21 + x31 + x41 + x51 = 1

x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 1

x13 + x23 + x33 + x43 + x53 = 1 Restrições de Tarefas

x14 + x24 + x34 + x44 + x54 = 1

x15 + x25 + x35 + x45 + x55 = 1

Problema de alocação generalizadaIntrodução

Dado n tarefas, m servidores e a capacidade de cada servidor, o problema de alocar essas tarefas aos

servidores, sem exceder a capacidade de cada

fornecedor, é denominada problema de alocação

generalizada.

Modelos de programação matemática utilizados em processos complicados de processos de roteamento de veículos tem obtido importantes resultados, inclusive com significativa redução de custos logísticos. Uma variante do problema de alocação, denominada problema de alocação capacitada, tornou-se uma eficiente ferramenta para auxiliar a solucionar problemas de roteamento de

veículos(vehicle routing).

Problema de alocação generalizadaModelagemModelagem

Parâmetros:

nn –– número de tarefas requeridas;mm –– número de servidores; ccijij –– custo de alocar uma tarefa i ao servidor j;bbjj –– unidades de recursos disponíveis para

servidor j;aaijij –– unidades do servidor i requeridas para

executar a tarefa j;

Problema de alocação generalizadaFormulação

∑∑= =

=n

i

m

jijij xcz

1 1

Minimizar

sujeito a:

∑=

=m

jijx

11 ni ,...,2,1 , =

Cada tarefa é executada apenas por um servidor

∑=

≤n

ijijij bxa

1

mj ,...,2,1 , =O requerimento da

capacidade do servidor não é excedido

},1,0{∈ijx nj ,...,2,1 , =ni ,...,2,1=

Problema de alocação generalizadaFormulação

Nesta formulação xij = 1 se a “tarefa” i está assinalada ao “servidor” j, caso contrário xij = 0 . A função objetivo cijrepresenta o custo de alocar uma tarefa i ao servidor j. O primeiro conjunto de restrições obriga que toda tarefa seja executada por exatamente um servidor e, finalmente, o segundo conjunto de restrições garante que a capacidade disponível no servidor j não seja ultrapassada.

O problema de alocação generalizada tem sido usado em vários problemas, tais como: localização capacitada, roteamento de veículos, roteamento de remoção de neve,

problema do caixeiro viajante e problema de alocação do vigor de vendas(sales force allocation).

Problema de alocação capacitadaAplicação

Uma importante aplicação deste problema na área de roteamento de veículos é alocar clientes a caminhões. Cada caminhão j é um “servidor” com a capacidade de bj e aij unidades (capacidade de caminhões) que serão utilizadas quando o cliente i for assinalado ao caminhão j. Um cliente é alocado ao caminhão se a rota for necessária ao caminhão. Por simplicidade, assume-se um caminhão com capacidade infinita e o objetivo é encontrar a rotade custo mínimo para que o caminhão saia do depósito de origem, percorra as n cidades, e retorne ao depósito inicial.

Problema de alocaçãoExemplo1

Sabendo-se que se n=4, m=2, b1=13 e b2=10,

Cji 1 2 3 4

1 2 7 20 5

2 11 7 2 5

Aji 1 2 3 4

1 3 6 5 7

2 2 4 10 4

Formule o problema de alocação generalizada, com o objetivo de minimizar os custos cij.

Problema de alocação generalizadaExemplo1 - Resolução

min 2x11 + 11x12 + 7x21 + 7x22 + 20x31 + 2x32 + 5x41 + 5x42

s.t.x11 + x12 = 1x21 + x22 = 1 Restrições dos Clientesx31 + x32 = 1x41 + x42 = 1

3x11 + 6x21 + 5x31 + 7x41 <= 13 Restrições dos Caminhões2x12 + 4x22 + 10x32 + 4x42 <= 10

EndINT 8

Problema de alocação capacitadaMatriz de restrições do problema

A matriz das restrições do problema e alocação capacitada para oexemplo apresenta a seguinte estrutura:

x11 x12 x13 x14 x21 x22 x23 x24 x31 x32 x33 x34

A=A=

Problema de alocação generalizadaExemplo1 - Resolução

Problema de alocaçãoExercício1

Um especialista em planejamento de viagens precisa alocar 4 caminhões à 3 rotas distintas que levam ao mesmo destino. Sabe-se que devido ao tráfego, no máximo 2 caminhões podem percorrer a mesma rota. A tabela a seguir mostra o custo de cada caminhão i percorrer a rota j.

O custo do caminhão i em percorrer a rota j é decorrente do pedágio pago na rota, do combustível gasto pelo caminhão,

e da localização inicial do caminhão.

Problema de alocaçãoExercício1

Rota / Rota / CaminhãoCaminhão

1 2 3

1 10 20 30

2 5 8 8

3 4 6 10

4 20 40 80

Formule o problema de alocação generalizada, com o objetivo de minimizar os custos do roteamento dos veículos.

Resolução usando o LINDOMin 10x11 + 20x12 + 30x13 + 5x21 + 8x22 + 8x23 + 4x31 + 6x32 + 10x33 + 20x41 + 40x42 + 80x43

S.t.

x11 + x12 + x13 = 1

x21 + x22 + x23 = 1

x31 + x32 + x33 = 1

x41 + x42 + x43 = 1

x11 + x21 + x31 + x41 <= 2

x12 + x22 + x32 + x42 <= 2

x13 + x23 + x33 + x43 <= 2