Sumario

APLICACOES DA INDUCAO

Luciana Santos da Silva Martinolulismartino.blogspot.com.br

lulismartino@gmail.com

PROFMAT - Colegio Pedro II

23 de setembro de 2016

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Sumario

1 Definicao por Recorrencia

2 Binomio de Newton

3 Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Outline

1 Definicao por Recorrencia

2 Binomio de Newton

3 Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia

Resultado: Para definir uma expressao En para todo n ∈ Ncom n ≥ a, basta definirmos Ea e mostrar como obter En+1 a

partir de En, para todo n ∈ N com n ≥ a

Nesse caso, dizemos que En foi definido por recorrencia

Algumas vezes, definiremos uma expressao En por recorrenciaatraves de uma dada funcao avaliada em varios termosanteriores, En−1, En−2,..., En−r . Isto definira, sem ambiguidade,En, desde que se conhecam as expressoes de E1,...,Er

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia

Exemplo 2.1: Seja (an) uma sequencia de elementos de umconjunto munido de duas operacoes sujeitas as leis basicas daaritmetica. Para dar sentido as somas

Sn = a1 + a2 + ...+ an =n∑

i=1

ai

basta por S1 = a1 e, supondo Sn definido, definir

Sn+1 = Sn + an+1

Exemplo 2.2: Define-se o fatorial de um numero inteiro n ≥ 0,denotado por n!, como:0! = 1! = 1 e (n + 1)! = n!.(n + 1), se n ≥ 1

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia

Exemplo 2.3: Seja a um elemento de um conjunto A munidodas duas operacoes sujeitas as leis basicas da aritmetica.Vamos definir as potencias an, com n inteiro, n ≥ 0, porrecorrencia.Ponhamos a1 = a e a0 = 1, se a 6= 0. Supondo an definido,defina

an+1 = an.a

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia

Proposicao 2.4: Sejam a,b ∈ A e m,n ∈ N. Entao,i) am.an = am+n

ii) (am)n = amn

iii) (a.b)n = an.bn

Lema 2.5: Sejam a e b dois numeros naturais com a > 1.Entao existe um numero natural n tal que an > b

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Outline

1 Definicao por Recorrencia

2 Binomio de Newton

3 Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Binomio de Newton

Considere a expressao (1 + X )n, onde X e uma indeterminada e n umnumero natural. O desenvolvimento dessa potencia e um polinomio de graun em X cujos coeficientes sao numeros naturais:

(1 + X )n = a0 + a1X + a2X 2 + ...+ an−1X n−1 + anX n

O coeficiciente ai , i = 0, ..., n, sera denotado pelo sımbolo ai =

(ni

)e

sera chamado de numero binomial

Se X = 1 temos a identidade das linhas:

2n =

(n0

)+

(n1

)+ ...+

(nn

)

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Binomio de Newton

Queremos agora determinar formulas explıcitas para esses numerosbinomiais(

n0

)=

(nn

)= 1

Se i > n, e comodo definir(

ni

)= 0

Relacao de Stifel

Lema 2.6: Para todo n ∈ N e todo i ∈ N ∪ {0}, tem-se que

(ni

)+

(n

i + 1

)=

(n + 1i + 1

)

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Binomio de Newton

Lema 2.7: Para todos n, i ∈ N, com 1 ≤ i ≤ n, tem-se que

i!(

ni

)= n(n − 1)...(n − i + 1)

Segue-se daı que, para n, i ∈ N com 1 ≤ i ≤ n, vale a seguinte formula paraos coeficientes binomiais(

ni

)=

n(n − 1)...(n − i + 1)i!

=n!

i!(n − i)!

Note que os termos extremos nas igualdades acima tem sentido e sao iguaisquando i = 0

Da formula acima, decorre imediatamente, para todo n ∈ N e todo icom 0 ≤ i ≤ n, a seguinte identidade fundamental:(

ni

)=

(n

n − i

)

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Binomio de Newton

Binomio de Newton

Teorema 2.8: Sejam a e b numeros reais e seja n ∈ N. Tem-se que

(a + b)n = an +

(n1

)an−1b +

(n2

)an−2b2 + ... +

(n

n − 1

)abn−1 + bn

Corolario 2.9: Sejam a e b numeros reais e seja n ∈ N. Tem-se que

(a− b)n = an −(

n1

)an−1b +

(n2

)an−2b2 + ... + (−1)n−1

(n

n − 1

)abn−1 + (−1)nbn

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Outline

1 Definicao por Recorrencia

2 Binomio de Newton

3 Aplicacoes Ludicas

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

A Torre de HanoiExemplo 2.11: A Torre de Hanoi e o Fim do MundoO jogo consiste de n discos de diametros distintos com um furo no seucentro e uma base onde estao fincadas tres hastes. Numa das hastes estaoenfiados os discos de modo que nenhum disco esteja sobre um outro dediametro menor

O jogo consiste em transferir a pilha de discos para uma outra hastedeslocando um disco de cada vez, de modo que, a cada passo, sejaobservada a regra de que nenhum disco esteja acima de um de raio menor

1 O jogo tem solucao para cada n ∈ N?2 Caso afirmativo, qual e o numero mınimo jn de movimentos para

resolver o problema com n discos?

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

O Enigma do Cavalo de Alexandre, o Grande

Exemplo 2.12: O Enigma do Cavalo de Alexandre, o GrandeNum mosaico romano, Bucefalo, o cavalo de Alexandre, oGrande, e representado como um fogoso corcel cor de bronze.Nesse exemplo vamos “provar” que isso e uma falacia

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

O Problema da Moeda Falsa

Exemplo 2.12: O Problema da Moeda Falsa

Tem-se 2n moedas, sendo uma delas falsa, com peso menordo que as demais. Dispoe-se de uma balanca de dois pratos,mas sem nenhum peso. Vamos mostrar, por inducao sobre n,que e possıvel achar a moeda falsa com n pesagens

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Os Coelhos de FibonacciExemplo 2.12: Os Coelhos de Fibonacci

Problema proposto e resolvido por Leonardo de Pisa em seu livro, LiberAbacci, de 1202: Quot paria coniculorum in uno anno ex uno pariogerminenturObra responsavel pela introducao na Europa do sistema de numeracaoindo-arabico e pelo posterior desenvolvimento da algebra e da aritmetica noocidente

Um casal de coelhos recem-nascidos foi posto em um lugar cercado.Determinar quantos casais de coelhos ter-se-ao apos um ano, supondo que,a cada mes, um casal de coelhos produz outro casal e que um casal comecaa procriar dois meses apos o seu nascimento

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Os Coelhos de Fibonacci

Se denotarmos o numero de coelhos existentes no n-esimomes por un, temos, entao, que

un = un−1 + un−2, u1 = u2 = 1

Tais relacoes definem por recorrencia, uma sequencia denumeros naturais, chamada de sequencia de Fibonacci, cujoselementos, chamados de numeros de Fibonacci, possuempropriedades aritmeticas notaveis

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Aplicacoes Ludicas

Quando e dada uma recorrencia, um problema importante edeterminar uma formula para o termo geral da sequencia semrecorrer aos termos anteriores. No caso da sequencia deFibonacci, existe uma formula chamada formula de Binet, queapresentamos a seguir

Formula de BinetProposicao 2.15: Para todo n ∈ N, tem-se que

un =

(1+√

52

)n−(

1−√

52

)n

√5

Definicao por Recorrencia Binomio de Newton Aplicacoes Ludicas

Aplicacoes Ludicas

A fim de evitar ter que fazer restricoes sobre os ındices nasformulas envolvendo numeros de Fibonacci,convencionaremos que u0 = 0

Proposicao 2.16: Para todo par de numeros n e m, temos que

un+m = unum+1 + un−1um