Post on 14-Sep-2015
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Chapter 1
Aplicaes da Integral Simples
1.1 rea de regies planares
Seja R a regio limitada pelo grfico da funo y = f(x), as retas x = a, x = b e o
eixo x, sendo f(x) 0 para todo [a, b]. A rea da regio R dado pela frmula:
A =
ba
f(x)dx.
x
y
O
R
ba
y = f(x)
x
y
O b = xna x1 x2 xi xi+1
y = f(x)
DEMONSTRAO
Tomemos nmeros x0, x1, x2, , xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < < xn = b e,x1, x
2, , xn tais que xi [xi1, xi]. Ento
A = (x1 x0) x1
f(x1) + (x2 x0) x2
f(x2) + + (xn xn1) xn
f(xn) =ni=1
xif(xi )
2
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares
A = limmaxxi0
ni=1
xif(xi ) =
ba
f(x) dx
Resumindo:
Seja R a regio delimitada pela curva y = f(x), f contnua em [a, b], pelas retasverticais x = a e x = b, e eixo x, ento a rea A de R dado por
A =
ba
|f(x)|dx.
Em particular se R a regio delimitada pela curva y = f(x), pelas retas verticaisx = a e x = b, e eixo x, tais que f contnua em [a, b], f(x) 0 para a < x < c ef(x) 0 para c < x < b ento a rea A de R dado por
A =
ba
|f(x)|dx = ca
f(x)dx+
bc
f(x)dx.
Seja R a regio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], pelas retashorizontais y = c e y = d, e eixo y, ento a rea A de R dado por
A =
dc
|g(y)|dy.
Seja R a regio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) interceptando nospontos com abscissas x = a e x = b, ento a rea A de R dado por
A =
ba
|f1(x) f2(x)| dx.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 3
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planares Seja R a regio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) interceptando nospontos com ordenadas y = c e y = d, ento a rea A de R dado por
A =
dc
|g1(y) g2(y)|dy.
Exemplo 1.1. Calcular a rea da figura do plano limitada pela curva y = tg x e o
eixo x e tal que /3 x /4.
Soluo
A =
pi/4pi/3
|tg(x)|dx = 0pi/3
tg(x)dx +
pi/40
tg(x)dx
A = [ ln( cos x)]0pi/3 + [ ln( cos x)]pi/40A =
3
2ln(2).
x
y
/3/4
Exemplo 1.2. Calcular a rea da figura do plano limitada pela curva y = log2(x) e o
eixo x e tal que 1/2 x 4.
Soluo
A =
41/2
| log2(x)|dx = 11/2
log2(x)dx +
41
log2(x)dx
Usando integrao por partes
A =15 ln(2) 5
2 ln(2).
x
y
1/2
1 4
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planaresExemplo 1.3. Calcular a rea da figura do plano limitada pelas curvas
f(x) = 2x2 + 10 e g(x) = 4x+ 16 de modo que 2 x 5.
Soluo
Para determinar os limites de integrao
fazemos a interseo das curvas:
y = 2x2 + 10 e y = 4x+ 16
2x2 + 10 = 4x+ 16 x = 1, 3.x
y
2 1 3 5
A =
12
[(2x2+10)(4x16)]dx+ 31
[(4x+16)(2x2+10)]dx+ 53
[(2x2+10)(4x+16)]dx
A =142
3.
1.1 Observao. Se f e g so funes contnuas em R, para calcular a rea da regio entre
as curvas y = f(x) e y = g(x) necessitamos apenas conhecer os pontos de interseo entre
as curvas e o sinal de f(x) g(x). No h necessidade de mais detalhes sobre o grficode f ou de g.
Exemplo 1.4. Calcular a rea da figura do plano limitada pelas curvas
y1 = x5 x3 + 2x2 x+ 3 e y2 = x4 + x3 + 2x2 x+ 3.
Soluo
Intersees: y1 = y2 x5 x4 2x3 = 0 x3(x2 x 2) = 0 x3(x+ 1)(x 2) = 0 x = 0 ou x = 1 ou x = 2.Sinal de y1 y2 = x3(x+ 1)(x 2) :
1 0 2 +++ +++
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.1: rea de regies planaresLogo,
A =
01
(y1y2)dx 20
(y1y2)dx = 01
(x5x42x3)dx 20
(x5x42x3)dx = 11630
.
Exemplo 1.5. Calcular a rea da figura do plano limitada pelas curvas y2+y1x = 0e y x = 0.
SoluoNeste exemplo convm tomar y como varivel
independente e as funes
x = f(y) = y2 + y 1 e x = g(y) = yAs intersees da parbola e da reta
x = y2 + y 1 e x = yso os pontos (1,1) e (1, 1).A =
11|y (y2 + y 1)|dy =
11
(y2 + 1)dy
A =4
3.
x
y
1
1
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.2: Exerccios1.2 Exerccios
[1] Determine a rea da regio do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas:
(1.1) y = ln x, x = 2 e o eixo Ox (1.2) x = 8 + 2y y2, y = 1, y = 3 e x = 0
(1.3) xy = 4 e x+ y = 5 (1.4) y = 2x, y = 2x x2, x = 0 e x = 2
(1.5) y = 2x, y = 1 e y =2
x(1.6) y = |x2 4| e y = 2
(1.7) y = x3 3x e y = 2x2 (1.8) y = 9x, y = 9x e y = x
(1.9) f(x) = x|x| e g(x) = x3 (1.10) x = y2 2 e x = 6 y2
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos1.3 Volume de slidos
Introduo
Volume de um cilindro reto
Admitiremos inicialmente a definio de volume para cilindros retos:
Tomemos um plano e uma regio R deste plano,
com rea A limitada por uma curva fechada C.
Consideremos uma reta r perpendicular ao plano
e tomemos a superfcie cilndrica tal que C seja
sua diretriz e r uma geratriz (isto , obtida pela
reunio de todas as retas paralelas a r passando
por algum ponto de C).Consideremos um plano, , paralelo a . A regio do espao limitada pela superfcie
cilndrica e pelos dois planos um cilindro de base R e altura h, sendo h a distncia entre
os dois planos. O volume do cilindro , V = A.h.Dado um slido, tomemos um
eixo orientado OX e, para todo
nmero real x, o plano perpen-
dicular a OX em x (isto pas-
sando pelo ponto de abscissa x
do eixo). Suponhamos que:
Para todo x R, o planoem x intercepta o slido
se, e somente, se x [a, b].
Se x [a, b] a interseco uma regio desse plano
com rea que indicaremos
por A(x).
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosSe a funo A(x), definida em [a, b], contnua ento o volume do slido :
V =
ba
A(x) dx
Deduo da frmula:
Tomemos nmeros x0, x1, x2, ..., xn [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b enmeros a1, a2, ..., an tais que ai [xi1, xi].O cilindro cuja base a interseco do plano perpendicular ao eixo OX em ai com o
slido e cuja altura (xi xi1) tem volume igual a A(ai)(xi xi1) e ento
V = (x1 x0) x1
A(a1) + (x2 x1) x2
A(a2) + + (xn xn1) xn
A(an) =ni=1
xiA(ai)
V = limmaxxi0
ni=1
xiA(ai) =
ba
A(x) dx
Chamaremos as interseces do slido com os planos perpendiculares ao eixo de
sees planas do slido transversais ao eixo OX ou de sees planas.
Exemplo 1.6. Calcular o volume de uma pirmide cuja base um quadrado de lado 2
e cuja altura 3.
Soluo
Tomemos o eixo OY perpendicular ao
plano da base da pirmide, ortogonal a
um dos lados da base e sua origem e
orientao como indicados na figura ao
lado.
Para todo y [0, 3] a seo plana transversal a OY um quadrado cujo lado varia com ye que indicaremos por L. Ento a seo plana tem rea A = L2 e o volume da pirmide
dado por V = 30
L2 dy.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos
Para relacionarmos L e y, tomemos:
Um plano perpendicular ao planoda base, paralelo a um dos lados
dessa base e contendo o eixo.
A projeo da pirmide nesteplano (veja figura ao lado).
Usando semelhana de tringulos temos
3 yL
=3
2 L = 6 2y
3
Logo,
V =
30
(6 2y3
)2dy =
1
9
30
(3624y+4y2) dy = 4
Vemos aqui uma confirmao da proposio apresentada no Ensino Mdio:
O volume da pirmide de base A e altura h V =Ah
3.
Exemplo 1.7. Calcular o volume de uma esfera de raio igual a 2.
Soluo
Podemos escolher um eixo OY qualquer.
Como indicado na figura ao lado, escolhemos
um eixo tal que o plano perpendicular a ele
na origem passa pelo centro da esfera.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosPara todo y [2, 2] a seo plana transver-sal a OY um crculo cujo raio varia com y e
que indicaremos por r. Ento a seo plana
tem rea A = r2 e o volume da esfera
dado por
V =
22r2 dy
Ou usando a simetria da esfera
V = 2
20
r2 dy
Para relacionarmos r e y, tomemos a inter-
seco da esfera com um plano que contenha
o eixo e passe pelo seu centro.
Pelo Teorema de Pitgoras (veja figura ao
lado),
r2 + y2 = 22 r =
4 y2
Logo,
V = 2
20
(4 y2
)2dy = 2
20
(4y2) dy = 323
.
Vemos aqui uma confirmao de outra proposio apresentada no Ensino Mdio:
O volume da esfera de raio R : V =4R3
3.
Exemplo 1.8. Represente graficamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano
z = 1 e a superfcie de equao z = x2 + y2.
Soluo
Representao grfica:
Dado um plano de equao z = c, c constante, (isto perpendicular a OZ), para obtermos
sua interseco com a superfcie, substitumos z = c na equao z = x2 + y2, obtendo,
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosLogo, a interseco
Se c > 0, um crculo no plano z = c deequao x2+y2 = c. Portanto com raioc.
Se c = 0, o ponto (0, 0)
Se c < 0, vazia
Logo trata-se de uma superfcie de revoluo
em torno de OZ.
Para considerar a interseco da superfcie
com o plano Y OZ, substitumos x = 0 na
equao z = x2 + y2 obtendo a equao da
parbola z = y2. Portanto a superfcie ger-
ada pela rotao desta parbola em torno de
OZ ( um parabolide de revoluo).
Na figura ao lado temos um esboo do slido
limitado pela superfcie e pelo plano z = 1.
Clculo do volume:
Para todo z [0, 1] a seo plana transversala OZ um circulo cujo raio
z. Ento a
seo plana tem rea A = (z)2 = z e o
volume do slido dado por
V =
10
z dz =
2
[z2]10=
2.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.9. Represente graficamente e calcule o volume do slido limitado pelo plano
z = 1 e a superfcie de equao z =x2
4+y2
9()
Soluo
Representao grfica:
Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com
a superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao (*), resultandox2
4+y2
9= c
Logo, a interseco :
Vazia , se c < 0.
(0, 0) , se c = 0.
Uma elipse no plano z = c, de equao x2
(2c)2
+y2
(3c)2
= 1 e portanto com
semi-eixos 2c e 3
c se c > 0.
Para considerar a interseco da superfcie com o plano Y OZ e com o plano XOZ,
substitumos x = 0 e y = 0 na equao () obtendo as parbolas z = y2
9e z =
x2
4.
Trata-se de um parabolide elptico. Ou seja, a representao grfica semelhante
do parabolide de revoluo - basta substituir os crculos por elipses.
Clculo do volume:
Para todo z [0, 1] a seo plana transversal a OZ uma elipse com semi-eixos 2ze 3z. Ento essa seo plana tem rea A = (2
z)(3
z) = 6z e o volume do slido
dado por
V = 6
10
z dz = 3[z2]10= 3.
Exemplo 1.10. Represente graficamente e calcule o volume do elipside de equao
x2
4+y2
9+ z2 = 1 ().
Soluo
Representao grfica:
Como no exemplo anterior, a interseco de um plano de equao z = c, c constante, com
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosa superfcie, obtm-se substitumos z = c na equao () resultando na equao,
x2
4+y2
9+ c2 = 1
0 x2
4+y2
9= 1 c2
De acordo com o sinal de 1 c2, temos que a interseco :
Vazia, se c > 1 ou c < 1.
(0, 0) , se c = 1 ou c = 1
Uma elipse no plano z = c, de equaox2(
21 c2
)2 + y2(31 c2
)2 = 1 eportanto com semi-eixos 2
1 c2 e
31 c2, se 1 < c < 1
As sees transversais a OX tambm so elipses, de equaes
z2(1 c
2
4
)2 + y2(3
1 c
2
4
)2 = 1,
obtidas fazendo-se x = c na equao (), para 2 < c < 2. De modo anlogo temos queas sees transversais a OY so elipses.A seguir temos um esboo do slido
Clculo do volume:
Para todo z [1, 1] a seo plana transver-sal a OZ uma elipse com semi-eixos
21 c2 e 31 c2. Ento essa seo plana
tem rea
A = (21 z2)(3
1 z2) = 6(1 z2)
e o volume do slido dado por
V = 6
11
(1z2) dz = 6[z z
3
3
]11
= 8.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidos
Exemplo 1.11. Calcule o volume do slido
que interseco dos cilindros
x2 + y2 = 1 e x2 + z2 = 1 (figura ao lado)
Soluo
Clculo do volume:
Tomemos o eixo OX e as interseces de cada um dos cilindro com planos perpendiculares
a esse eixo. Para o cilindro x2 + y2 = 1, fazendo x = c, c constante, na equao desse
cilindro obtemos
c2 + y2 = 1 y = 1 c2
Logo a interseco com o plano
x = c :
Vazia, se c > 1 ou c < 1.
A reta do plano x = c deequao y = 0 , se c = 1ou c = 1
A regio do plano x = c lim-itada pelas duas retas parale-
las y = 1 c2 se1 < c 1 ou c < 1.
A reta do plano x = c de equao z = 0 , se c = 1 ou c = 1
A regio do plano x = c limitada pelas duas retas paralelas z = 1 c2 se1 < c < 1
Portanto a interseo dos dois cilindros com o plano x = c vazia se c > 1 ou c < 1e um quadrado (veja figura anterior) de lado L = 2
1 c2 e o volume do slido
V =
11L2 dx =
11
(21 x2)2 dx = 4
11
(1 x2) dx = 163.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.12. Calcular o volume do slido cuja base um crculo de raio 3 e cujas
sees transversais a um dimetro da base so quadrados.
SoluoTomemos um eixo orientado cuja
origem o centro do crculo e que
contm o dimetro (figura ao lado).
A seo transversal em x um
quadrado de lado L que varia com
x. Logo, sua rea igual a A = L2,
o volume do slido
V =
33L2 dx = 2
30
L2 dx (usando simetria)
e(L
2
)2+ x2 = 32 L2 = 4(9 x2)
Portanto,
V = 8
30
(9x2) dx = 8[9x x
3
3
]30
= 144
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.13. Calcular o volume do slido cuja base uma elipse de semi-eixos iguais
a 2 e 3 e cujas sees transversais ao eixo maior so tringulos equilteros.
SoluoTomemos um sistema de eixos
cartesianos tal que OX coincida
com o eixo maior (figura ao lado)
e O coincida com o centro da elipse.
Nesse sistema de eixos a elipse tem
equao
x2
9+y2
4= 1
A seo transversal em x um
tringulo equiltero de lado L que
varia com x. Logo, sua rea igual
a A =
3L2
4o volume do slido
V =
33
3L2
4dx = 2
30
3L2
4dx (usando simetria)
Como L = 2y ento ( pela equao
da elipse)
V =1
2
30
3.4y2 dx = 2
3
30
4.
(1 x
2
9
)dx =
= 83
[x x
3
27
]30
= 163.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.14. Calcular uma expresso em integrais que represente o volume do slido
cuja base a regio do plano limitada pela parbola x = y2 1 e a reta x = y+1 e cujassees transversais a OY so tringulos retngulos, issceles tais que a hipotenusa se
encontra sobre a base do slido.
Soluo
A regio R est representada na
figura ao lado.
A seo transversal em y um
tringulo retngulo issceles de
hipotenusa b e altura h (relativa
a hipotenusa), que variam com y.
Logo, sua rea A =bh
2=b2
4
O volume do slido V = 21
b2
4dy
Como
b = x1x2 = y+1(y21) = y2+y+2
Ento
V =
21
(y2 + y + 2)24
dy =81
40
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.3: Volume de slidosExemplo 1.15. Calcular uma expresso em integrais que represente o volume do slido
cuja base um tringulo retngulo ABC de catetos AB e AC com comprimentos 3 e 4 e
cujas sees transversais a AC so semi-crculos com dimetros sobre a base do slido.
SoluoConsiderando o eixo OX como indicado na
figura ao lado, a seo transversal em x tem
rea A =r2
2sendo r o raio do semi-circulo.
O volume do slido
V =
2
40
r2 dx
Usando semelhana de tringulos
3
4=
2r
4 x 3(4 x)
8= r
Logo,
V =
2
40
9(4 x)264
dx =3
2
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.4: Exerccios1.4 Exerccios
[1] Utilizando sees planas paralelas, mostre que o volume de uma pirmide quadrangular
reta, com altura h e base quadrada de lado a, igual aa2h
3.
[2] Utilizando integral de sees planas paralelas, mostre que o volume do cone circular
reto, de altura h e raio da base r, igual ar2h
3.
[3] Usando o Clculo Integral, calcule o volume de um tronco de pirmide, de altura h,
cuja base um quadrado de lado a e cujo topo um quadrado de lado b.
[4] Calcule o volume de um slido que tem para base um crculo de raio r e cujas sees
transversais a um dimetro da mesma so tringulos eqilteros, todos situados em um
mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm como um dos seus lados
cordas da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro.
[5] Calcule o volume de um slido que tem para base um crculo de raio r e cujas sees
transversais a um dimetro da mesma so tringulos retngulos issceles, todos situados
em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm como um dos
seus catetos cordas da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro.
[6] Calcule o volume de um slido que tem para base um crculo de raio r e cujas sees
transversais a um dimetro da mesma so tringulos retngulos issceles, todos situados
em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm como hipotenusa
cordas da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro.
[7] Calcule o volume de um slido que tem para base um crculo de raio r e cujas sees
transversais a um dimetro da mesma so semi-elipses, todas situadas em um mesmo
semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm o eixo menor como cordas da
circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro e a medida do eixo maior igual
ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a rea da elipse de semi-eixos maior e
menor a e b, respectivamente, igual a ab ).
[8] Calcule o volume de um slido que tem para base um crculo de raio r e cujas sees
transversais a um dimetro da mesma so semi-elipses, todas contidas em um mesmo
semi-espao em relao ao plano que a contem, e que tm o eixo menor como cordas
da circunferncia da base, perpendiculares a esse dimetro e todas elas tm a mesma
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.4: Exercciosexcentricidade e.
[9] Calcule o volume de um slido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e
menor a e b, respectivamente, e cujas sees transversais ao eixo menor so semi-crculos,
todos situados em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e tendo
para dimetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo menor.
[10] Calcule o volume de um slido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e
menor a e b, respectivamente, e cujas sees transversais ao eixo maior so semi-crculos,
todos situados em um mesmo semi-espao em relao ao plano que a contem, e tendo
para dimetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que
esse volume menor do que o volume do item anterior).
[11] Calcule o volume do slido de base B = {(x, y) R2; y2 x 33y2} cujas seespor planos perpendiculares ao eixo Ox so quadrados com um lado apoiado em B.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo1.5 Volume de slidos de revoluo
Quando rotacionamos uma regio do plano xy em torno de uma reta (o eixo) real-
izando uma volta completa, o lugar geomtrico descrito pelo pontos da regio o que
chamamos um slido de revoluo.
Estudamos dois mtodos como calcular volumes de slidos de revoluo:
Mtodo do disco circular e do anel circular
Suponhamos que um slido de revoluo obtido rotacionando-se, em torno do eixo
x, uma regio R delimitada pela curva y = f(x), sendo f uma funo contnua num in-
tervalo [a, b], f(x) 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura abaixo.
x
y
O
R
ba
y = f(x)
x x
y
O ba
y = f(x)
Para cada x [a, b], um plano perpendicular ao eixo x, cortando este no ponto x,determina no slido de revoluo uma seo transversal que um circulo centrado em
(x, 0) e raio f(x) e portanto cuja area A(x) = [f(x)]2.
Portanto, o volume do slido de revoluo
V =
ba
A(x)dx =
ba
[f(x)]2dx.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y, umaregio R delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], g(y) 0, e pelasretas horizontais y = c e y = d, o volume V de S dado por
V =
dc
[g(y)]2dy.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 23
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, umaregio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e
x = b, sendo f1(x) f2(x) para a x b, o volume V de S dado por
V =
ba
([f1(x)]
2 [f2(x)]2)dx.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y, umaregio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais y = c
e y = d, sendo g1(y) g2(y) para c y d, o volume V de S dado por
V =
dc
([g1(y)]
2 [g2(y)]2)dy.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta x = k,uma regio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais
y = c e y = d, sendo g1(y) g2(y) > k para c y d, o volume V de S dado por
V =
dc
([g1(y) k]2 [g2(y) k]2
)dy.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k, umaregio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e
x = b, sendo f1(x) f2(x) > k para a x b, o volume V de S dado por
V =
ba
([f1(x) k]2 [f2(x) k]2
)dx.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 24
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.16. Considere a regio do plano delimitada pelo eixo x, o grfico de y =
x,
para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do eixo x e depois ao redor do eixo y.Calcule o volume dos 2 slidos gerados.
Soluo
(a) Rotao em torno do eixo x
x
y
O 2
y =x
2
x x
y
O 2
Para cada x [0, 2], a seo transversal ao eixo Ox um circulo gerado pela rotaodo segmento vertical de comprimento y =
x. Logo, possui rea A(x) = y2 e o volume
do slido igual a
V =
20
y2dx =
20
xdx = 2.
(b) Rotao em torno do eixo y
y
xx
y
O 22
2
Para cada y [0,2], a seo transver-sal ao eixo Oy um anel circular de
raio externo igual 2 e raio interno igual
x = y2 e portanto tem rea igual
A(y) = 22x2 = 4y4 = (4y4).Logo o volume do slido igual a
V =
20
(4 y4)dy = 162
5.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 25
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.17. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio
delimitada por y = 3x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x e depois ao
redor do eixo y.
Soluo
Pontos de Interseo:
x1/3 =x
4 x = 0, x = 8 e y = 0, y = 2.
(a) Rotao em torno do eixo x
x
y
O 8
y = x4
y = 3x
2
x x
y
y1
y2
O 8
Para cada x [0, 8], a seo transversal ao eixo Ox um anel circular de raioexterno y2 = 3
x e raio interno y1 =
x
4e portanto tem rea A(x) = ( 3
x)2 (x
4)2 =
(x2/3 x
2
16
). Logo o volume do slido igual a
V =
80
(x2/3 x
2
16
)dx =
128
15.
(b) Rotao em torno do eixo y
y
x
y
O 8x1 x2
2
Para cada y [0, 2], a seo transversalao eixo Oy um anel circular de raio
externo x2 = 4y e raio interno igual
x1 = y3 e portanto tem rea igual
A(y) = (4y)2 (y3)2 = (16y2 y6).Logo o volume do slido igual a
V =
20
(16y2 y6)dy = 51221
.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 26
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.18. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitada
pelas curvas y = x2 e y =x, ao redor da reta x = 2.
Soluo
Pontos de Interseo:
x2 =x x = 0, x = 1
x
y
O 1
y = x2
y =x
1
y
x
y
x1 x2O 15 24
1
Para cada y [0, 1], a seo transversal a reta x = 2 um anel circular de raioexterno (x2 + 2) = (
y + 2) e raio interno (x1 + 2) = (y2 + 2) e portanto tem rea
A(y) = (y + 2)2 (y2 + 2)2 = (y + 4y1/2 y4 4y2).
Logo o volume do slido igual a
V =
10
(y + 4y1/2 y4 4y2)dy = 4930
.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 27
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoMtodo dos invlucros cilndricos
Usamos este mtodo quando a rotao feito em torno do eixo do varivel dependente
y, (y = f(x)) e impossvel de escreve x como funo de y.
Suponhamos que um slido de revoluo obtido rotacionando-se, em torno do eixo
y, uma regio R delimitada pela curva y = f(x), sendo f uma funo contnua num in-
tervalo [a, b], f(x) 0, e pelas retas verticais x = a e x = b, como mostra a figura abaixo.
x
y
O
R
ba x x+x
y = f(x)
x
y
b
Dividimos R em faixas verticais de largura infinitsima x como mostrado na Figura.
Quando uma faixa vertical girada em torno do eixo y, ela gera uma casca cilndrica de
espessura x e volume V . Esta casca cilndrica a diferena entre um cilindro exterior
do raio (x + x) e um cilindro interior do raio x. Ambos os cilindros tm a altura
infinitamente prximo a f(x). Assim o volume desta casca cilndrica
V cilindro exterior cilindro interior (x+x)2f(x) x2f(x)=
(x2 + 2xx+ (x)2 x2
)f(x)
= (2xx+ (x)2
)f(x)
V 2xf(x)x
O volume total do slido de revoluo ser, de acordo com o Teorema Fundamental,
V =
ba
2xf(x)dx.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 28
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluo1.2 Observao. Denotamos
A(x) = 2xf(x) = 2(raio)(altura)
Ou seja A(x) representa a rea lateral de um cilindro de raio x e altura f(x).
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, umaregio delimitada pela curva x = g(y), g contnua em [c, d], g(y) 0, e pelas retashorizontais y = c e y = d, o volume V de S dado por
V =
dc
2yg(y)dy.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo y uma regiodelimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e x = b,
sendo f1(x) f2(x) para a x b, o volume V de S dado por
V =
ba
2x(f1(x) f2(x)
)dx.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno de eixo x, umaregio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais y = c
e y = d, sendo g1(y) g2(y) para c y d, o volume V de S dado por
V =
dc
2y(g1(y) g2(y)
)dy.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta y = k,uma regio delimitada pelas curvas x = g1(y), x = g2(y) e pelas retas horizontais
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 29
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoy = c e y = d, sendo g1(y) g2(y) > k para c y d, o volume V de S dado por
V =
dc
2|y k|(g1(y) g2(y)
)dy.
Se um slido de revoluo S obtido rotacionando-se em torno da reta x = k, umaregio delimitada pelas curvas y = f1(x), y = f2(x) e pelas retas verticais x = a e
x = b, sendo f1(x) f2(x) > k para a x b, o volume V de S dado por
V =
ba
2|x k|(f1(x) f2(x)
)dx.
Exemplo 1.19. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio limitada
pela parabola y = 2x2 x3 o eixo x em torno do eixo y.
Soluo
f(x)
x
y
O x 2
A(x) = 2(raio)(altura) = 2x(2x2 x3) = 2(2x3 x4)
Logo
V =
20
2(2x3 x4) dx = 165
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 30
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.5: Slidos de revoluoExemplo 1.20. Determine o volume do slido obtido pelo rotao do parte da regio
delimitada por y = 3x e y = x/4 na primeira quadrante ao redor do eixo x.
Soluo
x
y
O 8
y = x4
y = 3x
2
x
y
y
O
2
A(y) = 2(raio)(altura) = 2y(4y y3) = 2(4y2 y4)
Logo
V =
20
2(4y2 y4) dy = 12815
Exemplo 1.21. Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio delimitada
pelas curvas y = x2 e y =x, ao redor da reta x = 2.
Soluo
x
y
xO 15 24
A(x) = 2(raio)(altura) = 2(x+ 2)(x x2) = 2(x3/2 x3 + 2x1/2 2x2)
Logo
V =
10
2(x3/2 x3 + 2x1/2 2x2) dx = 4930
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 31
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.6: Exerccios1.6 Exerccios
[1] Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio do plano limitada pelo grfico
da funo f(x) =ex + ex
2, com x [1, 1], em torno do eixo Ox.
[2] Calcule o volume do slido obtido pela rotao da regio do plano limitada pelo grfico
da elipse E : 9x2 + y2 = 9 em torno do:
(2.1) Eixo maior (2.2) Eixo menor.
[3] Determine o volume do slido obtido pela rotao da regio compreendida entre o(s)
grfico(s) de:
(3.1) y = (x 1)(x 3)2 e o eixo x, ao redor do eixo y
(3.2) y = 3x, x = 8 e o eixo x, ao redor do eixo x
(3.3) y = 2x 1 e y = x 1, ao redor da reta x = 6
(3.4) x = (y 2)2 e y = x, ao redor da reta y = 1
(3.5) y = sen x, para 0 x , ao redor do eixo x
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 32
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides1.7 Momentos estticos e centrides
No nosso dia-a-dia, nos deparamos com muitas situaes em que precisamos manter
um sistema de corpos em equilbrio. Para conseguirmos apoiar uma placa plana em
uma haste fina, de forma que a mesma fique em equilbrio, o ponto de apoio da haste
deve estar localizado no centro de massa ou centride da placa, considerando-se o campo
gravitacional uniforme. Ou at mesmo para arrumar a carga de um caminho necessrio
que a mesma esteja em equilbrio para evitar acidentes por tombamento da carga, ou
desgastes de pneus e suspenso. Da, temos necessidade de determinar o centro de massa
ou centride no s de placas planas de formatos variados, como tambm arames, fios, e
slidos tri-dimensionais. Ao longo desse trabalho vamos mostrar como encontrar centro
de massa ou centrides como aplicao do clculo integral em vrias situaes.
Vale ressaltar nesse momento a diferena entre centro de massa e centro de gravidade.
O centro de massa independe de fatores externo, como por exemplo da acelerao da
gravidade local. J o centro de gravidade depende do campo gravitacional. Assim, o
centro de massa e o centro de gravidade s coincidem quando o campo gravitacional for
uniforme.
Como podemos encontrar o centro de massa?
Inicialmente vamos imaginar uma situao bem simples, como por exemplo uma
gangorra. A gangorra est apoiado num suporte como mostra a figura a seguir.
b bb
b b
p2p1
b b
d1b
d2
Vamos considerar duas pessoas sentadas nas extremidades com pesos p1 e p2 e dis-
tncias ao ponto de apoio d1 e d2 respectivamente. Pela lei da Alavanca de Arquimedes
a gangorra s estar em equilbrio se:
p1 d1 = p2 d2.
Agora vamos analisar a situao do ponto de vista uni-dimensional, considerando
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 33
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesa origem da reta real como mostra a figura abaixo e denotaremos por xg o centro de
gravidade da gangorra, ou seja, o ponto de apoio de forma que a gangorra fique em
equilbrio, considerando as condies anteriores.
xgbO b
x1b
b b
b
x2
p1 p2
b b
d1
b
d2
Nesse caso temos que d1 = xg x1 e d2 = x2 xg.Aplicando a lei da Alavanca, temos
p1 (xg x1) = p2 (x2 xg)p1 xg p1 x1 = p2 x2 p2 xgp1 xg p2 xg = p1 x1 + p2 x2xg (p1 + p2) = p1 x1 + p2 x2
Da, podemos concluir que
xg =p1 x1 + p2 x2
p1 + p2(1.1)
Desde quando o peso, segundo a lei de Newton a fora exercida sobre o corpo pela
atrao gravitacional da Terra temos que p1 = m1 g e p2 = m2 g, em que m1 e m2 soas massas das pessoas que esto sentadas na gangorra e g a acelerao da gravidade
aproximadamente igual 9, 8m/s. Com essas considerao a equao 1.9 dada por
xg =g m1 x1 + g m2 x2
g m1 + g m2 =m1 x1 +m2 x2
m1 +m2. (1.2)
Como nesse caso o campo gravitacional uniforme, verificamos que o centro de gravi-
dade (xg) coincide com o centro de massa, que denotaremos por x =m1 x1 +m2 x2
m1 +m2.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 34
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesConseqentemente, podemos definir o momento esttico da massa de uma partcula
em relao a um ponto.
1.3 Definio. Momento Esttico
Definimos o momento esttico da massa m1 em relao a origem, denotado por M1,
atravs do produto M1 = m1 x1, assim como o momento esttico da massa m2 emrelao a origem, denotado por M2, atravs do produto M2 = m2 x2, em que x1 e x2representam as distncias das massas m1 e m2 em relao a origem ou ponto referencial.
Assim como definimos o momento esttico em relao a um ponto, podemos tambm
definir o momento esttico em relao a outros referncias como, por exemplo, uma reta
ou um plano. O momento tambm pode ser aplicado a outras grandezas alm da massa
como: momento de fora, momento de comprimento, momento de rea, momento de
volume etc.
Agora vamos considerar a situao de termos um sistema de n partculas com massas
m1,m2, . . . ,mn localizadas nos pontos x1, x2, . . . , xn respectivamente sobre o eixo Ox.
Nesse caso o centro de massa do sistema dado pela razo entre o somatrio dos momentos
e a massa total, como mostra a equao abaixo.
x =
ni=1
mi xini=1
mi
=M
m m x = M
em que m =ni=1
mi representa a massa total do sistema eM =ni=1
mi xi o somatriodos momentos estticos de cada partcula em relao a origem.
Observe que o centro de massa um ponto em que podemos concentrar todas as
massas do sistema de forma que o somatrio dos momentos em relao ao referencial
considerado continua o mesmo.
No caso bi-dimensional, vamos considerar que as partculas esto posicionadas no
plano cartesiano, como mostrar a figura abaixo.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 35
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides
y
x
b
m3
b
m1
bm2
x3
y3
y1
x1
y2
x2
b
O
Seguindo um raciocnio similar ao caso uni-dimensional, j visto, s que agora tomando
como referencial os eixos Ox e Oy, temos que o centride, denotado por (x, y), dado por:
x =Mym
e y =Mxm
,
em que m =ni=1
mi representa a massa total do sistema, e
My =
ni=1
mixi e Mx =ni=1
miyi
representam os somatrios dos momentos em relao aos eixos Oy e Ox respectiva-
mente. Observe que o momento de uma partcula em relao ao eixo Ox o produto
da massa dessa partcula pela distncia da mesma ao eixo Ox, que uma distncia y.
Similarmente, para o momento em relao ao eixo Oy.
Assim, o ponto (x, y), que representa o centride, o ponto em que uma nica
partcula de massa m teria os mesmos momentos do sistema.
Vamos agora nos deter ao clculo do centro de massa ou centride de placas planas
finas de material homogneo com densidade uniforme (massa por unidade de rea) e
rea superficial A. Inicialmente, vamos encontrar centrides de placas com formato de
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 36
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesfiguras planas simtricas ou que possuam eixo de simetria. Uma superfcie simtrica
em relao a um eixo OO, se para cada ponto P da superfcie existe um ponto P, tal
que o segmento PPalm de ser perpendicular ao eixo OO, dividido ao meio pelo eixo.
Analogamente, podemos verificar a simetria de uma curva. Nesse caso, ou seja, quando
uma superfcie ou curva possui um eixo de simetria o centride em ambas situaes esto
sobre esse eixo de simetria. Caso a superfcie ou curva possua dois eixos de simetria, seu
centride est na interseo desses dois eixos. Assim, facilmente podemos determinar os
centrides de superfcies no formato de figuras geomtricas conhecidas como: quadrados,
retngulos, tringulos equilteros, crculos, elipses etc. Similarmente, podemos identificar
o centride de curvas na forma de circunferncias, elipses etc. Observe que no caso das
curvas, nem sempre o centride pertence a mesma. Ver a figura abaixo.
xg xg xg xg
b bb b
Quando temos superfcies compostas de vrias regies sem intersees, o momento
dessa superfcie o somatrio dos momentos de cada regio que a compe. Sendo a massa
de cada regio da superfcie composta igual a mi = Ai, i = 1, 2, 3 . . . os momentos em
relao aos eixos Ox e Oy so respectivamente,
My =ni=1
Aixi e Mx =ni=1
Aiyi.
Nesse caso xi e yi so as distncias dos centrides de cada regio aos eixo OX e Oy
respectivamente. Observe a figura abaixo.
(x1, y1)
(x2, y2)
2 8
6
2b
b
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 37
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesExemplo 1.22. Vamos encontrar o centride da superfcie composta indicada nessa
figura.
Soluo: J sabemos que o centride de cada quadrado coincido com o seu centro.
Assim, vamos encontrar o somatrio dos momentos, considerando Ai a rea do quadrado
Qi e yi e xi, suas respectivas distncia ao eixo Ox e Oy, i = 1, 2. Portanto
Mx = A1 y1 + A2 y2 = [1(2 2) + 3(6 6)] = 112
e
My = A1 x1 + A2 x2 = 1(2 2) + 5(6 6) = 184
A rea total dada por A = 2 2 + 6 6 = 40. Assim,
x =My A =
184 40 =
23
5u.c e y =
Mx A =
112 40 =
14
5u.c
Exemplo 1.23. Achar o centride da seo de um pilar indicado na figura a abaixo.
50
30 500
30(x1, y1)
(x2, y2)
x
y
b
b
b
Soluo: Sabemos que quando a figura possui eixo de simetria, o centride est
sobre esse eixo de simetria. Observe que o eixo de simetria do pilar a primeira bissetriz.
Portanto, nesse caso, em particular, x = y =MxA
, em queMx o somatrio dos momentos
e A a rea total da superfcie. Assim,
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 38
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides
Mx = y1A1 + y2A2 = (25 30 50 + 15 20 30) = 46.500cm3
A = 30 50 + 20 30 = 1500 + 600 = 2100cm2
Conseqentemente,
x = y = 46.500 2.100
= 22cm
E se quisermos encontrar o centride de um tringulo qualquer que no seja equi-
ltero? Nesse caso, se a placa homognea e de espessura constante, o baricentro coincide
com o centride de sua superfcie (veja figura abaixo).
x1 x2 x3
y1
y2
y3
G(xg, yg)
x
y
b
A
b
B
b Cb
Assim, dadas as coordenadas dos vrtices do tringulo podemos determinar o seu
baricentro, denotado por (xg, yg) de forma prtica por:
xg =x1 + x2 + x3
3yg =
y1 + y2 + y33
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 39
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesExemplo 1.24. Encontre o centride da superfcie composta indicada na figura abaixo.
30
30
40
40 x
y
O
Soluo: Observe que nessa figura temos a primeira bissetriz como eixo de simetria,
assim x = y. Basta, ento, encontrarmos y =MxA
. Observe, tambm, que o somatrio
dos momentos Mx o momento do quadrado, M1x subtrado do momento do tringulo,
M2x e a rea total, A, a rea, A1 do quadrado menos a rea, A2 do tringulo. Portanto
A = A1 + A2 = 40 40 30 302
= 1.150cm2
Mx = M1x M2x = A1 y1 A2 y2 =
(40 40 20 30 30
2 13 30
)=
27.500 cm3.
Conseqentemente,
y = x = MxA
=27.500
1.150= 23, 9cm
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 40
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesExemplo 1.25. Na figura abaixo qual deve ser o valor de x para que a ordenada do
centride seja igual a 2?
x
3
2
8
x
y
bb
b b
b
G1
b G2
Soluo: Sabemos que a ordenada do centride dada por y =MxA
, em que Mx
denota o momento esttico em relao a x e A a rea total. Vamos denotar por M1x o
momento do retngulo em relao ao eixo x e porM2x o momento do tringulo em relao
ao eixo x, assim como, A1 e A2 as reas do retngulo e do tringulo respectivamente.
Assim,
A1 = 2x e A2 =(x 3) 6
2.
Enquanto que
Y1 = 1 e Y2 =1
3 6 + 2 = 4.
Agora vamos encontrar o momento em relao a x e a rea total.
Mx = A1 y1 + A2 y2 = 2x 1 + (x 3)2
6 4 = 2x+ 12x 36 = 14x 36.
A = 2x+(x 3) 6
2= 2x+ 3x 9 = 5x 9.
y =MxA
=14x 365x 9 = 2. (1.3)
Resolvendo a equao 1.9, temos
14x 36 = 10x 18 4x = 18 x = 4, 5.
Como faremos para encontrar centrides de regies planas que no so formadas por
figuras geomtricas, as quais j conhecemos o centride, como mostramos anteriormente?
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 41
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesComo por exemplo, o centride de uma regio limitada por uma funo qualquer? Para
tanto vamos mostrar como obter uma expresso em integral que calcula centrides desse
tipo de regio.
Seja R uma regio limitada pelas retas x = a, y = b, o eixo x e a funo contnua
f(x) em [a, b].
Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio
a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b.
a b
xi
x
Ri
Ci
x
y
f
b
b b
b
b
b
b
b
b
Seja x = xi1 xi e vamos tomar xi [xi1, xi], tal que
xi =xi1 + xi
2, i = 1, 2, . . . ,n.
Assim, podemos dizer que a regio aproximadamente a unio dos retngulos de base
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 42
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centrides
xi e altura f(xi). Vamos denotar por Ci =(xi,
f(xi)
2
)o centride de cada retngulo
Ri, e por Ai = f(xi) x a rea de cada retngulo Ri. Portanto, a massa dada porm = Ai.
O momento de cada retngulo Ri em relao ao eixo y dado por
My(Ri) = [ f(xi) x] massa
xidistancia deRi ao eixo y
= xi f(xi) x
Para encontrar o momento da regio R em relao ao eixo y, vamos fazer o mximo
dos xi tender a zero. Conseqentemente temos
My = limn
ni=1
xi f(xi) x =ni=1
limn
xi f(xi) x := ba
x f(x)dx.
Da, x =Mym
=
ba
x f(x)dx A =
1
A
ba
x f(x)dx.Similarmente,
Mx(Ri) = [ f(xi) x] f(xi)2
= 12 [f(xi)]2 x
Mx = limn
ni=1
12 [f(xi)]2 x =
ni=1
limn
12 [f(xi)]2 x :=
ba
1
2[f(x)]2dx.
Conseqentemente,
y =Mxm
=
ba
1
2[f(x)]2dx
A =1
2A
ba
1
2[f(x)]2dx.
A mesma linha de raciocnio pode ser usada para determinarmos o centride no caso
da regio R ser limitada pelas retas y = c e y = d e o eixo y e a funo contnua x = f(y)
em [c,d], como mostra a figura abaixo.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 43
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesIncluir figura 11 Ver com Joseph
Nesse caso, encontramos
y =1
A
ba
y f(y)dy e x = 12A
ba
[f(y)]2dy.
Exemplo 1.26. Encontrar o centride de1
4da circunferncia de raio r.
r
r x
y
Soluo: a equao x2+y2 = r2 representa uma circunferncia de raio r. No primeiro
quadrante a quarta parte da circunferncia o grfico da funo f(x) =r2 x2 e sua
rea A =r2
4. Assim, vamos usar os resultados obtidos anteriormente,
x =1
A
ba
x f(x)dx e y = 12A
ba
[f(y)]2dy.
Assim,
x =4
r2
r0
xr2 x2dx (1.4)
Vamos resolver a integral da equao 1.10 por substituio de varivel, fazendo t =
r2 x2 dt = 2xdx. Para x = 0 t = r2 e x = r t = 0.Portanto,
x =4
r2
r0
xr2 x2dx = 4
r2
0r2
t
2dt =2
r2
r20
tdt
=2
r2 t
3/2
3/2
r2
0
=2
r2
(r2)3 2
3=
4
3r2 r3 = 4r
3.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 44
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.7: Momentos e centridesCalculando y, temos
y =1
A
ba
[f(x)]2
2dx =
4
r2
r0
(r2 x2
2dx
)=
2
r2
[r2x x
3
3
] r
0
=2
r2
[r3 r
3
3
]=
2
r2
(2r3
3
)=
4r
3.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 45
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus1.8 Segundo Teorema de Pappus-Guldin
Agora que voc sabe encontrar centrides de regies planas, j est apto a entender
o teorema de Pappus-Guldin, que propicia o clculo do volume do slido gerado pela
rotao de uma regio plana em torno de um eixo de rotao.
1.4 Teorema. Se uma regio plana gira em torno de uma reta de seu plano que no a
intercepta, o volume gerado igual ao produto da rea da regio plana pelo comprimento
da circunferncia percorrida pelo seu centride.
Prova. Vamos considerar o eixo x como eixo de rotao e y a ordenada do centride
da regio plana e vamos tomar um elemento de rea dA = t dy, como mostra a figuraabaixo.
S
x
y
gft
b
G
b
b
dy
b
ba
bbb
Assim, queremos mostrar que o volume do slido gerado V o produto da rea da
regio plana pelo comprimento da circunferncia percorrida pelo eu centride, ou seja
V = Area
2ycircunferncia
.
Utilizando o mtodo da casca cilndrica, observe que o volume gerado pela rotao
da regio S em torno do eixo x dado pela expresso
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 46
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus
V = 2
ba
y tdy. (1.5)
Por outro lado, a ordenada do centride dada por
y =
ba
ydA
ba
dA
=
ba
ydA
A ba
ydA = yA. (1.6)
Como dA = t dy e com os resultados obtidos na equao 1.6, da equao 1.5 temos
V = 2
ba
y tdy = 2 ba
ydA = 2yA
Assim, fica demonstrado Segundo Teorema de Pappus-Guldin. 2
1.5 Observao. Generalizando, o segundo teorema de Pappus-Goldin nos diz que o vol-
ume do slido gerado pela rotao de uma regio plana em torno de um eixo dado por
V = 2d A, em que d a distncia do centride da regio ao eixo de rotao e A area da regio.
Exemplo 1.27. Determinar o volume de um toro gerado pela rotao de um crculo de
raio R em torno de um eixo de seu plano distncia K > R do seu centro ( ver figura
abaixo).
b
G
K
R
Soluo Pelo segundo teorema de Pappus-Goldin, o volume dado por
V = A 2K = R2 2K = 22KR2.
Assim, o volume do toro gerado V = 22KR2.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 47
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de Pappus1.6 Observao. Nesse caso o centride coincidiu com o centro do crculo cuja ordenada
K. Ou seja, y = K. Caso a rea no seja um crculo temos que encontrar o centride.
Exemplo 1.28. Encontrar o volume gerado pela rotao do tringulo de vrtices (1, 1),
(3, 1) e (2, 7) em torno da reta y = 2x, como mostra a figura abaixo.
(2, 7)
(1, 1) (3, 1)b b
b
f
b
G
b
d
Soluo Sabemos, pelo segundo teorema de Pappus-Guldin, que o volume do slido
gerado dado por V = 2d A, em que, nesse caso, d a distncia do centride dotringulo reta y = 2x e A a rea do tringulo. Portanto, inicialmente, vamosencontrar o centride do tringulo. Como visto anteriormente, temos
xg =1 + 3 + 2
3= 2 yg =
1 + 1 + 7
3= 3.
Portanto o centride do tringulo,G, dado por G = (2, 3).
Agora, precisamos da distncia entre o ponto G e a reta y = 2x, e para tanto,vamos nos lembrar como encontrar distncia entre ponto e reta.
Dada uma reta ax + by + c = 0, a distncia entre a reta e o ponto P (x0, y0) dada
por
d =ax0 + by0 + c
a2 + b2.
Assim, a distncia, d, entre a reta 2x+ y = 0 e o ponto G(2, 3) dada por
d =2 (2 + 1) (3 + 0)
22 + 12=
75
5.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 48
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.8: 2o Teorema de PappusClaramente a rea, A, do tringulo A = 6, portanto o volume do slido gerado
V = 2d A = 2 75
5 6 = 84
5
5.
Exemplo 1.29. Usando o segundo teorema de Pappus-Guldin, determine a ordenada
do centride de semi-crculo de raio R.
b
G
Soluo Vamos denotar por A a rea do semi-crculo de raio R, e por y a ordenada
do seu centride. Pelo segundo teorema de Pappus-Guldin, temos
V = A 2y = R2
2 2y = 2R2y (1.7)
Por outro lado, o volume da esfera dado por
V =4
3R3 (1.8)
Igualando as equaes 1.7 e 1.8 temos
2R2y =4
3R3 y = 4R
3.
Portanto, a ordenada do centride do semi-crculo de raio R y =4R
3e observe que
a sua abscissa, x nula, pois est sobre o eixo y, que o eixo de simetria.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 49
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.9: Exerccios1.9 Exerccios
[1] Determine a posio do centride das seguintes figuras e o volume do slidos gerados
pela rotao das mesmas em torno da reta indicada abaixo de cada figura:
(1.1)
x
y
3 3
0 2
8
2
6
reta: y = 10
(1.2)
x
y
6
0 2 8
2
reta: x y + 4 = 0
(1.3)
x
y
810 0 8 10
27
reta: y 7 = 0
3 x
2
1
y (1.4)
21
reta: x 4 = 0
[2] Determine as coordenadas do centro de gravidade da regio plana especificada:
(2.1) Regio no primeiro quadrante, delimitada pela elipsex2
a2+y2
b2= 1, (x 0, y 0)
(2.2) rea delimitada pela curva y = 4 x2
4e o eixo x
(2.3) rea delimitada pela parbola y2 = ax e pela reta x = a.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 50
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.9: Exerccios[3] Seja R a regio do plano limitado pelas curvas y = x2 e y = x2 + 2.
(3.1) Esboce R e calcule a sua rea.
(3.2) Calcule o centride de R.
(3.3) A regio R girado em torno da reta x = 2 formando um slido D. Calcule o
volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.
[4] Seja R a regio do plano limitado pelas curvas y = x2 3x+ 6 e x+ y 3 = 0.
(4.1) Esboce R e calcule a sua rea.
(4.2) Calcule o centride de R.
(4.3) A regio R girado em torno da reta x+y3 = 0 formando um slido D. Calculeo volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 51
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco1.10 Comprimento de Arco de uma Curva
Em muitas situaes vamos precisar do comprimento da trajetria percorrida por
uma partcula, como por exemplo o comprimento de uma rodovia, constituda de muitas
curvas sinuosas. Nesses casos, se faz necessrio o clculo do comprimento do arco de
uma dada curva. O nosso objetivo agora poder expressar esse comprimento atravs de
uma integral definida. Para tanto, vamos considerar uma funo contnua f com primeira
derivada tambm contnua, definida num intervalo fechado [a, b]. Nessas condies, vamos
considerar que o grfico dessa funo uma curva lisa e sem repeties de trechos como
mostrar a figura a seguir.
P0 = a
Pn = b
x
y
f
b
Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio
a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b
Observe que ao fazermos isso estamos dividindo a curva nos pontos
P0,P1,P2, . . . ,Pn,
tais que P0(a, y0) e Pn(b, yn), como mostra a figura seguinte.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 52
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco
Pi1
Pi
Pn1
P0 = a
Pn = b
xi
xixi1
P1
yi
x
y
f
Assim, fazendo um clculo grosseiro podemos dizer que o comprimento da curva,
denotado por L, aproximadamente igual a soma dos comprimentos dos segmentos Pi1Pi
com i = 1, 2, . . . ,n. Ou seja,
L =ni=1
P(i1)Pi = P0P1 + P1P2 + . . .+ P(n1)Pn
Considerando xi = xix(i1) e yi = yi y(i1), vamos denotar por li o compri-mento de cada segmento P(i1)Pi, em que i = 1, 2, . . . ,n, isto , li = P(i1)Pi.
Pi1
Pi
Pn1
P0 = a
Pn = b
xi
xixi1
P1
yi
x
y
f
Na figura anterior, observe o tringulo retngulo, e por Pitgoras temos:
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 53
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco
li =
(xi)2 + (yi)2 =
(xi)
2
(xi)2((xi)
2 + (yi)2)=
1 +
(yixi
)2|xi|.
Observe que xi um valor positivo, devido a forma que tomamos a partio. Con-
seqentemente, o comprimento total da curva(L) aproximadamente igual
L =ni=1
li =ni=1
1 +
(yixi
)2xi.
Fazendo o mximo dos xi tender a zero, diminumos o erro nos clculos e refinamos
a partio, pois n. Assim, passando o limite, temos
limn
L = limn
ni=1
1 +
(yixi
)2xi =
ni=1
limn
1 +
(yixi
)2xi.
Agora, como f derivvel e contnua em [a, b], o Teorema do Valor Mdio garante
que existe ci [xi1, xi] tal que yi = f (ci)xi.Dessa forma podemos definir o comprimento da curva como
L =ni=1
limn
1 +
(yixi
)2xi :=
ba
1 + [f (x)]2dx.
Portanto conclumos que se f = f(x) uma funo contnua e derivvel para todo
x pertencente ao intervalo fechado [a, b] o comprimento da curva lisa do grfico de f
dado por
L =
ba
1 + [f (x)]2dx.
Analogamente, se g = g(y) uma funo contnua e derivvel em [c, d], temos
L =
dc
1 + [g(y)]2dy.
Agora usando o resultado obtido podemos resolver os seguintes exemplos:
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 54
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arcoExemplo 1.30. Calcule o comprimento de arco da curva de equao
y =ex + ex
2para x [1, 1].
Soluo: A derivada da funo y = f(x) f (x) =ex ex
2, assim
L =
11
1 +
(ex ex
2
)2dx =
11
1 +
(ex)2 2exex + (ex)24
dx
=
11
4 + (ex)2 2 + (ex)2
4dx =
11
(ex)2 + 2 + (ex)2
4dx
=
11
(ex + ex)2
4dx =
11
ex + ex4 dx
Como ex + ex > 0 para todo x,
L =1
2
11
(ex + ex
)dx =
1
2
[ex ex]11 = 12
(2e 2 1
e
)= e 1
eu.c.
Uma curiosidade que as funes y(x) =ex + ex
2e y(x) =
ex ex2
, so o
cosseno hiperblico e o seno hiperblico, respectivamente. O grfico da funo cosseno
hiperblico (ver figura abaixo) uma "catenria" e tem a forma de um fio flexvel preso
pelas pontas e deixado sob ao da gravidade.
f
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 55
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco
Exemplo 1.31. Calcule o comprimento do arco da parbola y =x2
2para x [0, 1].
Soluo
Como f(x) =x2
2e f (x) = x o comprimento do arco da parbola dado por
L =
10
1 + [f (x)]2dx igual a L =
10
1 + x2dx.Usando substituio trigonomtrica,
fazendo y = tg(t) e observando o tringulo abaixo, temos
1
x
1 + x2
t
b
b
b
b
b
b
cos(t) =1
1 + x21 + x2 =
1
cos(t)= sec(t)
sen(t) =x
1 + x2
tg(t) =x
1 dx = sec2(t)dt
x = 0 t = arctg(0) = 0 e y = 1 t = arctg(1) =
4.
Logo, o comprimento de arco da parbola
L =
10
(1 + x2)dx =
4
0
1 + tg2(t) sec2(t)dt
=
4
0
sec3(t)dt=sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)|
2
4
0
=
sec(4
) tg
(4
)+ ln
sec(4)+ tg (4) sec(0) tg(0) + ln |sec(0) + tg(0)|
2
=
22 (1) + ln
22 + 1
2=
2 + ln
2 + 12
u.c.
Agora, vamos mostrar como obtivemos o resultado da integral da funo
sec3(t),
sinalizada anteriormente.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 56
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco
sec3(t)dt =
sec2(t)sec(t)dt
Vamos resolver a integral pelo mtodo de integrao por partes, fazendo
u = sec(t) du = sec(t)tg(t)dt e dv = sec2(t)dt v = tg(t).
Aplicando o mtodo de integrao por parte, em que
udv = uv
vdu, temos
sec3(t)dt = sec(t) tg(t)
tg2(t)sec(t)dt
= sec(t) tg(t) (
sec2(t) 1) sec(t)dt= sec(t) tg(t)
sec3(t)dt+
sec(t)dt
Observe que do outro lado da ltima igualdade encontramos novamente a integralsec3(t)dt. Resolvendo a igualdade e usando o resultado
sec(t)dt = ln |sec(t) + tg(t)|+ C,
C uma constante, temos
2
sec3(t)dt = sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)|+ C
Da,
sec3(t)dt =
sec(t) tg(t) + ln |sec(t) + tg(t)|2
+ C
=
1 + x2 x+ ln 1 + x2 + x
2+ C
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 57
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arcoExemplo 1.32. Calcule o comprimento do arco da curva
y = ln(x), em que3 x
(8).
Soluo: A derivada da funo y = ln(x) igualdy
dx=
1
x, assim o comprimento do
arco dado por
L =
83
1 +
(1
x
)2dx =
83
1 +
1
x2dx
=
83
x2 + 1
x2dx =
83
x2 + 1
|x| dx
A ltima integral deve ser resolvida pelo mtodo de substituio trigonomtrica.
Fazendo x = tg(t) e observando o tringulo abaixo temos
1
x
1 + x2
t
b
b
b
b
b
b
cos(t) =1
1 + x21 + x2 =
1
cos(t)= sec(t)
sen(t) =x
1 + x2
tg(t) =x
1 dx = sec2(t)dt
Muitas vezes, principalmente quando vamos fazer muitas substituies de variveis,
trocar os limites da integral definida fica complicado, assim podemos colocar o resultado
final em funo de x e utilizar os limites dados no incio. Considerando que3 x 8,
e fazendo a substituio de varivel para t, temos
x2 + 1
x=
tg2(t) + 1
tg(t)sec2(t)dt =
sec(t) sec2(t)
tg(t)dt
=
sec3(t)
tg(t)dt =
1
cos3(t) cos(t)sen(t)
dt =
1
cos2(t) sen(t)dt
=
1
cos2(t) sen(t) sen(t)
sen(t)dt =
sen(t)
cos2(t) sen2(t)dt
=
sen(t)
cos2(t) (1 cos2(t))dt
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 58
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arcoAgora vamos fazer uma substituio de variveis, fazendo
u = cos(t) du = sen(t)dt
Dando continuidade,
sen(t)
cos2(t) (1 cos2(t))dt = 1
u2(1 u2)du = 1
u2(1 u)(1 + u)du
=
(A
u+
B
u2+
C
1 u +D
1 + u
)du
No mtodo de decomposio em fraes parciais, temos que encontrar as constantes
A,B,C eD. Para tanto, vamos encontrar o m.m.c. da equao seguinte:
1u2(1 u)(1 + u) =
A
u+
B
u2+
C
1 u +D
1 + u
1 = Au(1 u2) +B(1 u2) + Cu2(1 + u) +Du2(1 u)
Poderamos resolver por igualdade de polinmios, mas um mtodo fcil associarmos
valores a u, assim
u = 0 B = 1
u = 1 C = 12
u = 1 D = 12
u = 2 1 = 6A 3B + 12C 4D A = 0Portanto, temos
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 59
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.10: Comprimento de arco
(A
u+
B
u2+
C
1 u +D
1 + u
)du =
(0
u 1u2 1
2(1 u) 1
2(1 + u)
)du
=1
u+
1
2ln|u 1| 1
2ln|1 + u|+ C = 1
cos(t)+
1
2ln|cos(t) 1| 1
2ln|1 + cos(t)|+ C
Usando a relao obtida anteriormente em que cos(t) =1
1 + x2, podemos obter o
resultado em funo da varivel x, e enfim aplicar os limites de integrao.
x2 + 1
x=
11
1 + x2
+1
2ln
11 + x2 1 12 ln
1 + 11 + x28
3
=1 + x2 +
1
2ln
11 + x2 1 12 ln
1 + 11 + x28
3
=
1 + (8)2 +
1
2ln
11 + (8)2 1 12 ln
11 + (8)2
1 + (3)
2 12ln
1
1 + (3)
2 1
+1
2ln
1 + 1(3)2
= 3 +1
2ln
13 1 12 ln
1 + 13 2 12 ln
12 1+ 12 ln
1 + 12
= 3 +1
2ln
23 12 ln
43 2 12 ln
12+ 12 ln
32
= 1 +1
2ln
3
2u.c.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 60
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.11: Exerccios1.11 Exerccios
[1] Determinar o comprimento das curvas dadas em coordenadas retangulares:
(1.1) y = ln(1 x2) de x = 14a x =
3
4. (1.2) y =
1
4x4 +
1
8x2de x = 1 a x = 2.
(1.3) y = 1 ln( sen x) de x = 6a x =
4. (1.4) (y 1)2 = (x+ 1)3 de x = 0 a x = 1.
(1.5) y =1
2
(ex + ex
)de x = 0 a x = 1. (1.6) x =
1
3y3 +
1
4yde y = 1 a y = 3.
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 61
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies
1.12 rea de superfcies de revoluo
Vamos supor que temos uma curva y = f(x) definida num intervalo [a, b], em que f
uma funo positiva e possui derivadas contnuas, ver a figura abaixo. Ao rotacionarmos
essa curva em torno do eixo OX um slido gerado. Queremos encontrar uma integral
que represente a rea da superfcie desse slido. Para tanto, inicialmente devemos fazer
um clculo aproximado. Uma idia dividirmos esse slido em pedaos e aproximar cada
pedao de um tronco de cone. Ao somar a rea de superfcie de cada tronco de cone
obtemos um clculo aproximado e ao tomarmos o limite o clculo obtido a rea exata
da superfcie do slido de revoluo.
y = f(x)y
x
r1
r2
l1
l
b
b
Inicialmente vamos deduzir uma frmula para encontrar a rea de superfcie do tronco
de um cone.
Observe o cone planificado ao lado. Atravs da regra de trs abaixo deduzimos a rea
do setor circular, que representa a rea lateral do cone de geratriz (l1 + l). O comprimento
da circunferncia de raio (l1 + l) est para a rea do crculo com mesmo raio, assim como
o comprimento do setor circular de ngulo est para a sua rea.
2 (li + l) (l1 + l)2
2r2 AM
AM =2r2 (l1 + l)2
2 (l1 + l)= l1r2. 2r2
(l1 + l)
Eliana Prates, Ivana Matos, Joseph Yartey e Silvia Velloso 62
Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesSimilarmente, obtermos que a rea lateral do cone menor dada por: Am = r1l1.
A rea da superfcie de um tronco de cone dada pela rea da superfcie do cone
maior menos a do cone menor. Portanto
A = Am Am = r2(l1 + l) r1l1 = [(r2 r1)l1 + r2l]. (1.9)
Agora, por semelhana de tringulos temos
l1r1
=l1 + l
r2 r2l1 = r1l1 + r1l (r2 r1)l1 = r1l
Substituindo o resultado obtido na equao 1.9 temos
A = (r1l + r2l) = 2rl (1.10)
em que r =1
2(r1 + r2) o raio mdio da faixa.
Agora vamos deduzir a integral que representa a rea da superfcie do slido de
revoluo.
Vamos dividir o intervalo [a, b], em sub-intervalos pequenos, tomando-se uma partio
a = x0 < x1 < x2 < . . . < x(n1) < xn = b, cujos intervalos so iguais.
y
x
P0 PnP1
Pi1Pi
Pn1b
b
b
b
b
b
b
ab
b
Observe que ao fazermos isso estamos dividindo a curva nos pontos P0,P1,P2, . . . ,Pn,
tais que P0(a, y0) e Pn(b, yn), como mostra a figura anterior. Podemos aproximar o trecho
da curva entre xi e xi1, por um segmento de reta que liga Pi1(xi1, yi1) a Pi(xi, yi). Ao
girar o segmento de reta Pi1Pi em torno do eixo OX, obtermos um tronco de pirmide,
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfcies
cuja geratriz l = |Pi1Pi| e raio mdio igual a r = 12(yi1 + yi). Consequentemente, a
rea da superfcie do tronco desse cone dada por
2yi1 + yi
2|Pi1Pi|.
Como f contnua, quando x = xixi1 suficientemente pequeno e considerandoi pertencente ao intervalo [xi1, xi], podemos obter uma melhor aproximao, pois yi =
f(xi) = f(i), assim como tambm yi1 = f(xi1) = f(i). Ainda com intuito demelhorar a aproximao, podemos tomar o comprimento do segmento |Pi1Pi| como ocomprimento do arco que liga Pi1 a Pi, ou seja, em vez de |Pi1Pi| podemos escrever
1 + [f(i)]2x
2yi1 + yi
2|Pi1Pi| = 2f(i)
1 + [f (i)]2x.
Consequentemente, a rea total da superfcie do slido aproximadamente
ni=1
2f(i)
1 + [f (i)]2x.
Agora refinando a partio, fazendo n e passando o limite,
n
limi=1
ni=1
2f(i)
1 + [f (i)]2x :=
ba
2f(x)
1 + [f (x)]2dx.
Logo, para uma funo f positiva e com derivada contnua encontramos que a rea
de superfcie do slido gerado pela rotao da curva y = f(x) em torno do eixo OX
dada por
A =
ba
2f(x)
1 + [f (x)]2dx.
Observe que o termo 2f(x) representa o comprimento da circunferncia descrita
por um ponto (x, y) pertencente a curva ao ser girado em trono do eixo OX e o termo
ds =
1 + [f (x)]2dx representa o comprimento da curva.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesSimilarmente, se temos uma curva dada pela funo x = g(y), y[c, d], ento a rea
da superfcie do slido gerado pela rotao da curva a em trono do eixo y dada por
A =
dc
2g(y)
1 + [g(y)]2dy.
Exemplo 1.33. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = x3 ao
redor do eixo OX, em que x varia entre 0 e 2.
f(x) = x3
2 x
y
Soluo: Nesse caso, vamos usar a frmula A = ba
2f(x)
1 + [f (x)]2dx, pois o
raio da circunferncia descrita por um ponto pertencente a curva y = x3, quando essa gira
em torno do eixo OX y = f(x).Vamos encontrar a rea da superfcie do slido obtido
pela rotao da curva y = x3, 0 x 2 ao redor do eixo OX. Para tanto devemosresolver a integral abaixo.
A =
20
2x3
1 + [3x2]2dx =
20
2x31 + 9x4dx
Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 9x4, temos
que dt = 36x3dx e para x = 0 t = 1 e x = 2 t = 144. Substituindo temos
A =
20
2x31 + 9x4dx =
18
1441
tdt
=
18
t3/2
3/2
144
1
=
27
(145
145 1
)u.a.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesExemplo 1.34. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = x1/3 ao
redor do eixo OY , em que y varia entre 1 e 2.
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6 7 812345678
Soluo: Observe que nesse caso a curva est em funo da varivel x e rota-
cionada em torno do eixo y. Assim, o raio da circunferncia ao rotacionarmos um ponto
pertencente a curva em torno do eixo y dado por um valor x = y3. Ento vamos usar
a frmula
A =
dc
2x
1 +
[dx
dy
]2dy com c y d.
Assim, temos que resolver a integral
A =
21
2y3
1 + [3y2]2 =
21
2y3
1 + 9y4dy.
Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 9y4, temos
que dt = 36y3dy e para y = 1 t = 10 e y = 2 t = 145. Substituindo temosLogo,
A =
21
2y3
1 + [3y2]2dy =2
36
14510
tdt
=
27
t3/2
3/2
145
10
=2
81
(145
145 10
10)u.a.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.12: rea de superfciesExemplo 1.35. Calcule a rea da superfcie obtida pela rotao da curva y = 1 x2
ao redor do eixo OY , em que x varia entre 0 e 1.
x
y
y = 1 x2
Soluo: Observe que nesse caso a curva est em funo da varivel x e rota-
cionada em torno do eixo y. Assim, o raio da circunferncia ao rotacionarmos um ponto
pertencente a curva em torno do eixo y dado por um valor x. Dessa forma podemos
integrar em relao a x. Ento vamos usar a frmula
A =
ba
2x
1 +
[dy
dx
]2dx com a x b.
Assim, temos que resolver a integral
A =
10
2x
1 + [2x]2dx = 10
2x1 + 4x2dx.
Vamos utilizar o mtodo de substituio de variveis. Fazendo t = 1 + 4x2, temos
que dt = 8xdx e para x = 0 t = 1 e x = 1 t = 5. Substituindo temosLogo,
A =
10
2x1 + 4x2dx =
2
8
51
tdt
=
4
t3/2
3/2
5
1
=
6
(55 1
)u.a.
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.13: Exerccios1.13 Exerccios
Calcular a rea da superfcie gerada pela rotao do arco de curva dado, em torno
do eixo indicado:1) y2 = 4ax, 0 x 3a; eixo dos x 2) y = 2x, 0 x 2; eixo dos x
3) y = 2x, 0 x 2; eixo dos y 4) y = sen x, 0 x ; eixo dos x
5) x =y, 1 y 4; eixo dos y 6) y = 16 x2, 3 x 3; eixo dos x
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.15: Respostas1.14 Respostas dos Exerccios Propostos
rea de Regies Planares (pgina 06)
[1]
(1.1) [2 ln 2 1]u.a (1.2) 463u.a (1.3)
[152 8 ln 2
]u.a
(1.4)[
3ln 2 4
3
]u.a (1.5)
[34
+ 2 ln 2]u.a (1.6)
[162 + 246 643
]u.a
(1.7) 716u.a (1.8) 18 ln 3 u.a (1.9)
1
6u.a
(1.10)64
3u.a
Volume de Slidos (pgina 21)[3] V =
h
3(a2 + ab+ b2) u.v [4] V =
43r3
3u.v [5] V =
8r3
3u.v
[6] V =4r3
3u.v [7] V =
4r3
3u.v [8] V =
2r3
31 e2 u.v
[9] V =2a2b
3u.v [10] V =
2ab2
3u.v [11] V = 6 u.v
Volume de slidos de revoluo (pgina 32)
[1] V =(e4 + 4e2 1)
4e2u.v
[2]{
(2.1) V = 4 u.v (2.2) V = 12 u.v
[3]
(3.1) V =
24
5u.v (3.2) V =
96
5u.v (3.3) V =
272
15u.v
(3.4) V =27
2u.v (3.5) V =
2
2u.v
Centrides e 2o Teorema de Pappus (pgina 50)
[1]
(1.1)
(4,
37
7
); V = 264u.v (1.2)
(23
5,14
5
); V = 232
2u.v
(1.3)
(0,
23
15
); V = 80u.v (1.4)
(44
28 ,76
84 3); V = 2(17 )u.v
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Cap.1: Aplicaes da Integral Simples Sec.15: Respostas
[2]{
(2.1)(4a3
,4b
3
)(2.2)
(0,
8
5
)(2.3)
(3a5, 0)
[3]{
(3.1) A =8
3u.a (3.2) (x, y) = (0, 1) (3.3) V =
32
3u.v
[4]{
(4.1) A =32
3u.a (4.2) (x, y) =
( 1, 25
8
)(4.3) V =
2562
15u.v
Comprimento de arco de uma curva (pgina 61)
[1]
(1.1) ln
(215
) 1
2u.c (1.2)
123
32u.c (1.3) ln
2 123
u.c(1.4)
1
27(2222 13
13) u.c (1.5)
1
2e(e2 1) u.c (1.6) 53
6u.c
rea de uma superfcie de revoluo (pgina 68)1)
56
3a2 2) 8
5 3) 4
5
4) 4[2 + ln(
2 + 1)] 5)
6(1717 5
5) 6) 48
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