Ensino Superior 5. Derivadas Parciais Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
Ensino Superior 2.3. Aplicações das Integrais Simples Resumo Amintas Paiva Afonso Cálculo 2.
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Ensino Superior
2.3. Aplicações das Integrais SimplesResumo
Amintas Paiva Afonso
Cálculo 2
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
A determinação do comprimento de segmentos de arco irregular — também conhecido como retificação de uma curva — representou uma dificuldade histórica. Embora muitos métodos tenham sido utilizados para curvas específicas, o advento do cálculo levou a uma formulação geral que provê a solução em alguns casos.
Definição: O comprimento de uma curva é o menor número tal que o comprimento dos caminhos polinomiais nunca pode ultrapassar, não importando quanto juntos sejam colocados os pontos finais do segmentos.
Na linguagem matemática, o comprimento do arco é o supremo de todos comprimentos de um dado caminho polinomial.
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
Considere uma função f(x) tal que f(x) e f’(x) (isto é a derivada em
relação a x) são contínuas em [a, b]. O comprimento s de parte do gráfico
de f entre x = a e x = b é dado pela fórmula:
a qual se deriva da fórmula da distância aproximada do comprimento do arco composto de muitos pequenos segmentos de reta. Como o número de segmentos tende para o infinito (pelo uso da integral) esta aproximação se torna um valor exato.
dxxfsabb
a 2'1
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
Se isolarmos y
2
33 24 xxy
2
Exemplo 1:
Calcule o comprimento da curva y2 = 4x3 entre os pontos (0, 0) e (2, 4 )
Logo,2 x
y
0
42
2
1
3' xdx
dyy
O comprimento do arco será:
dxdx
dydsab
b
a
2
1 dxxdsab
2
0
2
2
1
31
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
dxxds
2
0
2
2
1
31 duu 9
1 2
0
2
1
xu 91
dxx 2
091
1191927
291
27
2
3
2
9
12
0
2
319
1
2
3
xu
9
dudx
dxdu 910/ uxp
192 ux
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
Exemplo 2: Determinar o comprimento de arco da curva .30 ,12
xx
y
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
Exemplo 3: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 2 a x = 4.
4824 4 xxy
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
Exemplo 4: Determinar o comprimento de arco da curva , de x = 0 a x = 5.
2/3
3
1xy
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
Exemplo 5: Determinar o comprimento de arco da curva ,
de x = 0 a x = 1.
2/1
2
3xy
Comprimento de um ArcoComprimento de um Arco
)ln(senxy Exemplo 6: Determinar o comprimento de arco da curva , de
x = /4 a x = /2.
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Volume de um sólido de revolução, obtido pela
rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r.
Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r).
Introdução:
a
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], sendo f(x) 0 para todo x, tal que a x b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
A
x1=a x2=b
B
Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
– A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral, uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe. Logo:
– Vamos analisar agora o volume de alguns sólidos em certas
situações especiais.
A
x1=a x2=b
B
dxxfVb
a
n 2)]([
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a função f(x) é negativa em alguns pontos de [a,b].
- A fórmula do volume permanece válida, pois |f(x)| = (f(x))2.
(b)
(a) O sólido gerado pela rotação da figura (a)
é o mesmo gerado pela rotação da figura (b).
(b)
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 1: Se f(x) = x2, determine o volume do sólido gerado pela
revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [1, 2].
De acordo com a definição: dxxfVb
a 2)]([
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 2: Se f(x) = x2 + 1, determine o volume do sólido gerado
ela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [-1, 1].
- De acordo com a definição: dxxfVb
a 2)]([
15
561
3
2
5
11
3
2
5
1
3
2
5
1
)12(
]1[
1
1
35
1
1
24
1
1
22
xxx
dxxx
dxxV
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 3: Seja f(x) = sen x, x [a, b]. Calcule o volume do sólido
gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região
delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x = . O volume do sólido é dado por:
0 0
C4
2xsen
2
xxsen2
0
2 dxxsenV
24
0
24
2
2
2
00
2
xsenxdxxsenV
Integral Indefinida
Sejam as identidades trigonométricas:
2
cos2x1xcos
2
cos2x1xsen 22
Assim,
dxcos2x2
1dx
2
1dx
2
cos2x1dxxsen2
2
sen2x
2
1
10
x
2
1 10
Cusen2
1
duucos2
1dxcos2x
dx2
du2
dx
du
2xu
dxcos2x
C4
2xsen
2
xxsen2
Revisão
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando, ao invés de girar ao redor do eixo dos x, a região A gira em torno do eixo dos y.
- Neste caso, temos: dyygVd
c
)]([ 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 4: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da
região limitada por y = x3, y = 0 e x = 1 em torno do eixo y.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 5: Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o
gráfico de y = x, para 0 x 2, sendo girada primeiro ao redor do
eixo x e depois ao redor do eixo y. Calcule o volume dos dois sólidos gerados.
a) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para
é girada ao redor do eixo x:O volume do sólido é dado por:
0 2 0 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para
é girada ao redor do eixo y:
O volume do sólido é dado por:
2
0
2
0
2
0
42
0
22 dyydyy
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 5:
b) A região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de , para
é girada ao redor do eixo y:
O volume do sólido é dado por:
2
0
2
0
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 6: Calcule o volume de um sólido de revolução obtido pela rotação ao redor do eixo x da região compreendida pelo gráfico de y = x e y = 1/x, no intervalo [1/2, 3]. Calcule também o volume do sólido obtido ao girar a mesma região ao redor do eixo y.
a)
1
1
1/2 3
S1
S2 V1
V2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Logo, o volume do sólido é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
Exemplo 6:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 6:
b)
1
1
1/2 3
S1
S2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Nesse caso, o volume do sólido gerado, calculado pelo método das cascas, é:
Efetuando os últimos cálculos, temos:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a região A está entre os gráficos de duas funções f(x) e g(x) de a até b:
Supondo f(x) g(x), para qualquer x que pertença ao intervalo [a, b], o volume do sólido B, gerado pela rotação de R em torno do eixo x, é dado por:
dxxgxfxVb
a
)()( )( 2 2
2 2 )()()( xgxfxA
Volume de SólidosVolume de Sólidos
dxxgxfxVb
a
)()( )( 2 2
2 2 )()()( xgxfxA
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 6: Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região
limitada por x2 = y - 2, 2y - x - 2 = 0 e x = 0 em torno do eixo x.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 7: Calcular o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pela parábola
e pela reta
De acordo com a definição: dxxgxfVb
a 22 )]([)]([
dxxxV })]5(2
1[ )]13(
4
1{[ 222
1
3
)13(4
1 2xy
)5(2
1 xy
dxxxxx
V ]}4
25
4
10
4[)]
1616
26
16
169({[
2421
3
dxxxxx
V ]}16
10040426169{[
1
3
242
dxxxx
V ]16
694030[
1
3
24
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 7: dxxxxV )694030(16
1
3
24
)3()1(|692
40
3
30
516
1
3
235
FFx
xxxV
1
3
235
|692010516
xxxx
V
)3(69)3(20)3(10
5
)3(692010
5
1
1623
5V
207180270
5
2436930
5
1
16
V
117
5
24339
5
1
16
V
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
156
5
244
16
V
5
780244
16
V
80
1024
5
1024
16
V
Exercício 7:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 8: A região limitada pela parábola cúbica y = x3, pelo eixo
dos y e pela reta y = 8, gira em torno do eixo dos y. Determinar o volume do sólido de revolução obtido. De acordo com a definição:
dyygVd
c
.)]([ 2
dyyV .][8
0
23
dyyV .8
0
3
2
)0()8(|5
3.
8
0
3
5
FFyV
5
96
5
32.3
5
)2(3
5
830)8.(
5
3
3 35
3 53
5
V
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
a b
y = f(x)
AdxLxfV
b
a
])([ 2
Se o eixo de revolução
for a reta y = L, temos:
L
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Quando a rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos coordenados.
c
d
y = f(x)
A
Se o eixo de revolução
for a reta x = M, temos:
M
dyMygVd
c
])([ 2
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Volume de SólidosVolume de Sólidos
Volume de um sólido pelo método dos invólucros
cilíndricos.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Podemos imaginar o sólido como sendo constituído por cascas cilíndricas.
O volume de cada uma das cascas é dado por:
ou ainda, colocando e ,
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Cálculo do volume
Seja f uma função contínua num intervalo [a,b], com a x < b. Considere o conjunto A, delimitado pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x1 = a e x2 = b.
Suponhamos que a região gira ao redor do eixo y, gerando um sólido D, cujo volume queremos calcular.
onde
indica o raio de cada invólucro
e indica sua altura.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exercício 10: Através do método dos invólucros cilíndricos encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y = x , para 0 x 2, ao redor do eixo y.
Usando o método dos invólucros cilíndricos, temos:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 11: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região compreendida entre os gráficos de y = x3 e y = x, para 0 x 1, ao redor do eixo y.
As duas funções se encontram
nos pontos (0,0) e (1,1).
O volume do sólido pode ser
calculado pelo método das
cascas e, portanto, é igual a:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 12: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 0 x y e x2 + y2 2.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Inicialmente, para obter a região do plano, assinalada na primeira figura, precisamos encontrar a intersecção da reta com a circunferência, sendo x 0:
Logo, x = 1:
Assim, a variação de x ocorre no intervalo e o volume procurado é dado por:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Exemplo 13: Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno ao eixo x, do conjunto x2 + (y – 2) 1.
Após a rotação, obtemos o seguinte sólido, que é denominado toro.
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Inicialmente, a região pode ser encarada como delimitada pelos gráficos das funções:
Logo, a integral que nos fornece o volume do sólido será:
Sólidos de RevoluçãoSólidos de Revolução
Vamos calcular o mesmo volume pelo método dos invólucros cilíndricos:
Vamos encontrar primeiramente as primitivas da integral: