Post on 13-Dec-2014
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Módulo ou Valor Absoluto nos Reais
Definição
Seja x є R ; definimos o módulo de x , como sendo
, 0
, 0
x xx
x x
Propriedades :
1)
2)
3)
4) Módulo visto como uma distância :
Exemplos :
a) 9x x = 9 ; S = { -9,+9}
Observe que -9 e +9 são eqüidistantes da origem ; ou seja , resolver a equação modular
acima é determinar quais os números que distam da origem 9 unidades .
Conclusão : x representa na reta real a distância de x até a origem .
b) 4 7x x-4 =7 ou x-4 = -7 x = 11 ou x = -3 ; S = { -3 , 11 }.
Observe que -3 e 11 são equdistantes de 4 .
-3 4 11
-9 +9 0
2
2
Conclusão : x a representa a distância de x ao valor a na reta real .
4) { x є R/ x < a ( a >0 ) } = [ -a , + a ]
5 ) { x є R/ x > a ( a >0 ) } = ] - ∞ , -a ] [ a , + ∞ [
6) { x є R/ x a < k (k > 0 ) = ] a – k , a + k [
7) 2x x para todo x real
7) Desigualdade Triangular
Quando ocorre a igualdade ?
8) ; ,a b a b a b R
Quando ocorre a igualdade ?
9) Um subconjunto A de é dito limitado, se existe um número L>0 de modo que
-a +a 0
-a 0 a
; ,x y x y x y R
3
3
R a a + δ a - δ
x x
EXERCÍCIOS DE REVISÃO
1) Resolva nos reais :
a) 2 3 8x
b) 2(7 2) 6x
c)2 2(3 2) (5 9)x x
d) 8 5 5x
e) 8 5 5x
f) 8 5 5x
g) 8 5 5x
h) 8 5 5x
i) 2 2(3 7) 5 ( 2) 3x x
j) 2 2(3 7) 5 ( 2) 3x x
k) 2 22 3 7 8 2 2 11 5x x x x x
Vizinhança Furada nos Reais
Definição
Sejam a Є R e δ Є *R . Definimos a vizinhança furada de centro a e raio δ , o conjunto
*( , ) /0 ,V a x R x a a a .
Observe que d(x,a) < δ com x ≠ a em R é a vizinhança furada .
δ
4
4
Ponto de Acumulação nos Reais
Definição
Sejam a Є R e A R .Dizemos que a é ponto de acumulação de A se e somente se toda
vizinhança furada de a contém elementos de A.
Simbolicamente : a = acm(A) sss ( 0)( )(0 )x A x a .
Exemplos :
1) Seja A = 2,8 .
a) Verifique se 8 é ponto de acumulação de A .
Observando a figura acima , temos que 8 = acm(A) . O mesmo fato ocorre com 2.
b) Verifique se algum valor do intervalo é ponto de acumulação de A .
Logo , qualquer real no intervalo é ponto de acumulação .
c) Verifique se algum valor que não pertença ao conjunto A é ponto de acumulação de A .
Logo, nenhum fora do intervalo é ponto de acumulação de A
Obs : o conjunto dos pontos de acumulação de A é 2,8 .
2 8 11
2 8
2 10 7
δ
δ
δ
δ
5
5
2 ) Seja A = 2,8 .
a) Verifique se 8 é ponto de acumulação .
b) Determine todos os pontos de acumulação de A .
2) O conjunto dos naturais possui ponto de acumulação ? e os inteiros ?
EXERCÍCIOS
1) O que seria o conjunto ] 0, 4 [ ] 4, 8 [ em termos de vizinhança?
2) O conjunto dos racionais tem algum elemento que seja ponto de acumulação para os naturais
e para os inteiros? E para os racionais? E para os irracionais?
3) Os naturais são pontos de acumulação para os irracionais?
4) Um ponto de acumulação tem que pertencer necessariamente ao conjunto em estudo?
5) Você está em um laboratório tentando verificar se uma determinada grandeza que está no
manual ocorre realmente na prática. O que podemos afirmar com relação aos valores
medidos em comparação com o que está no manual? (matematicamente)
6) Seja S = {x / x = n
1; n
*N }, responda:
a) Algum elemento do conjunto S é ponto de acm (s) justifique.
b) Algum irracional é ponto de acm (s)? Justifique.
c) 0 = acm (s)? Justifique.
7) Seja S = {x / x = *1 1
; ,a b Na b
} . Faça um estudo dos pontos de acm (S).
8) Escreva matematicamente a definição de ponto de acumulação.
9) Seja S = {x / x = m
m 1} com m N. Faça um estudo dos pontos de acm (s).
10) Como você descreveria a definição de ponto de acumulação para o R2? E o R
3? Como
seriam essas regiões?
6
6
Limite da variável x
Definição:
Sejam A R e a R; dizemos que a é o limite de x sss ( > 0 ) ( x A ) ( 0 < / x – a / < ) e
escrevemos lim x = a ou x a .
Exemplos.
1) A = { x / x = 2
1; n N
n}.
Lim x = 0 pois : | x – 0 | < | 2
1
n | < n² >
1 n >
1; o que é sempre
possível.
Pergunta: Como você mostraria que lim x não é 1 ?
2) A = { x / x = ( 1)
;n
n Nn
}, observe que lim x = 0. Justifique.
3) A = { x / x = n²; n N }; lim x = a, para qualquer a R. Justifique.
4) A = { x / x = n
n 34, n N }. Mostre que lim x = 4.
Prova: Seja > 0 | |434
n
n < 4 +
n
3 - 4 | < 4
34
n
33
nn
.
5) A = { x / x = ( -1)n . n² ; n N } . Existe o lim x ?
Nota: Observe que a = acm ( A )
EXERCÍCIOS
1) Mostre que para x = { x / x = 2
2 1;
nn N
n }
temos lim x = 0
2) Seja x = { x / x = ( -1)n + ( -1 )
n+1 ; n N }.
Determine lim x, caso exista.
7
7
3) Seja A = { x / x = 3
42
n
n ; n lN } . Determine lim x comprovando.
LIMITE DE UMA FUNÇÃO REAL (Em um ponto real)
Definição:
Sejam f : A lR B lR e a lR, dizemos que o limite de f é L
lR quando x a sss ( > 0) ( )|)(|||()() LxfaxAx 00
e escrevemos: ax
Lxf )(lim
OBS : 1)escrever ax
Lxf )(lim é equivalente escrever ( )
x a
f x L
2) é importante observar que devemos ter necessariamente
Ex: f (x) =
28
22
42
x
xx
x
;
;
L -
L
L +
a
a = acm (A)
a = acm (A)
8
8
NOTAS:
(1) Observe que a medida que nos aproximamos de 2 a função se aproxima de 4 ou seja:
.lim)(lim)(
42
42
22
44
2
x
x
xou
x
xfxf
x
(2) f (2) = 8 e L = 4 ; ou seja o limite da função não é necessariamente o valor da função em x =
2.
(3) A definição de limite não serve para calcularmos o limite e sim para comprovarmos que L =
4, senão vejamos :
f (x) = x + 2 ( x 2 ) :
Dem : | f (x) – 4 | = | x + 2 – 4 | = | x – 2 | < , ou seja se tomarmos 0 < , teremos: Seja =
0 < | x – 2 | < | x – 2 | < | x + 2 – 4 | < | f (x) - 4 | < , daí 2
4
x
xf )(lim
Como você comprova que o limite de f (x) não pode ser 5 ?
Ex: Seja f (x) = 12
124
x
x; Df = lR -
2
1. Determine lim f (x) e demonstre-o.
x 2
1
Solução : .)(lim)()(
limlim 212
2
112
1212
2
112
124
2
1x
x
xx
x
x
x
Comprovação:
Rascunho: | 2x + 1 – 2 | < | 2x – 1 | < .22
1x
Demonstração: Seja 0 < 2
, façamos |||| 2121222
1xxx
| f (x) – 2 | < , ou seja 2
2
1x
xf )(lim .
EXERCÍCIOS
1) Na definição de ax
Lxf )(lim , a é necessariamente um ponto de acumulação para Df ? E com
respeito a L ?
3) Na definição de limite, se trocarmos os quantificadores, o que aconteceria ? ou seja esta troca
alteraria o conceito de limite ?
4) Na definição de limite, se trocarmos o antecedente pelo conseqüente, no condicional; isto
cansaria algum efeito no conceito de limite ?
9
9
5) Mostre que 92
3x
xlim .
PROPRIEDADES E TEOREMAS
Sejam f e g funções reais, tais que:
lim f (x) = L1 ; lim g (x) = L2 (L1, L2 lR). Então:
ax ax
1) lim [f (x) g (x)] = lim f (x) lim g (x) = L1 L2
ax a a
2) lim [f (x) . g (x)] = lim f (x) . lim g (x) = L1 . L2
ax a a
3) lim 2
1
)(
)(
L
L
xg
xf (L2 0)
4) lim nn Lxf 1)( (dentro do campo de existência da raiz)
a
5) lim [f (x)]n = L1
n
a
6) lim logb f(x) = logb L1 (dentro do campo de existência)
ax
7) lim ( ) ; ( ) (constante)x a
f x k f x k
8) 2( )1lim( ( ))Lg x
x a
f x L
OBS
Em geral, todas as propriedades da álgebra são válidas. (Todas demonstráveis pela definição)
ax
10
10
TEOREMA DA UNICIDADE DO LIMITE
“O limite quando existe é único” ou seja:
lim f (x) = L1
ax
lim f (x) = L2
ax
TEOREMA DA CONSERVAÇÃO DO SINAL
Seja lim f (x) = L (L lR) , então a função conserva o sinal de L numa vizinhança
furada de a.
ax
Exemplos Resolvidos:
1) 2
lim(5 3) 5.2 3 13x
x
2) lim 4
16
2
4
x
x
Solução: lim 4
16
2
4
x
x =
0
0
lim )4(
)4()4(
2
22
x
xx = lim (x
2 + 4) (??) lim (x
2+ 4) = 8
3) lim 0
011
x
x
lim 2
1
11
1lim
11(
1)1(
xxx
x
4) lim 1
13
2 x
x
= lim 1
)1()1( 2
2 x
xxx
= lim )1( 2
2 xx = 23 = 8.
Se existe o limite L1 = L2
2x
?
2
2 2
? 0x
0 0
1x
1 1
11
11
LIMITES LATERAIS
lim f (x) = c ; lim f (x) = b
lim f (x) =c ( 0)( 0) ( x fD )(0 x – a | f (x) – L | )
ax
Observe que na figura acima: lim f (x) (?).
TEOREMA:
“ lim f (x) sss lim f (x) = lim f (x) ”
a
y
x
c
b
f
ax
ax
ax
ax ax ax
12
12
Exemplo: f (x) =
2 4; 2
2
6 ; 2
2 3 ; 2
xx
x
x
x x
i ) lim f (x) = 4 ii ) lim f (x) = 7
iii ) lim f (x).
2
EXERCÍCIOS
1) lim x
xx 33 112
2) lim x
xx 77 11
4
3
2
6
7
x
y
2x 2x
0x
0x
13
13
3) lim pp
nn
ax
ax
4) lim 11
112
x
xx
5) f (x) =
;11
;6
;2
11
3 2
4
x
xx
x
x
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
0 + 0
– 0
6) Determine k para que exista lim f (x):
0x
f (x) =
;122
;11
2
34
kx
x
xx
7) f (x) = x ; onde x = maior inteiro menor ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
8) lim x
xx
2
1cossen 22
9) Mostre que: lim f (x) = k para f (x) (constante), quando ax .
10) lim x
x 11223 4
11)lim x
xx 33 112
ax
0x
x 0
x = 0
x 0
x 0
x 0
1x
1x
1x
2x
0x
0x
14
14
11) lim x
xx 77 11
12) lim pp
nn
ax
ax
13) lim 11
112
x
xx
14) f (x) =
;11
;6
;2
11
3 2
4
x
xx
x
x
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
0 + 0
– 0
15) Determine k para que exista lim f (x):
0x
f (x) =
;122
;11
2
34
kx
x
xx
16) f (x) = x ; onde , x = maior inteiro menor do que x ou igual a x:
Determine: i ) lim f (x) ii ) lim f (x) iii ) lim f (x)
17) lim x
x 11223 4
18)lim 1
14
x
x
19)lim x
x 1)1( 3
20)lim )2()4(
8
2
3
xx
x
0x
ax
0x
x 0
x =
0
x 0
x 0
x 0
1x
1x 1x
0x
16x
0x
2x
2x
15
15
21)lim 1
14
x
x
Notas Importantes
1)
Exemplos :
1)
lim 13
7
1
1
13
7
x
x
2)
lim 3
1
4
112
1
1
1
4
12
x
x
2)
Exemplo:
lim 6
51516
x
x
LIMITES INFINITOS E LIMITES NO INFINITO
1) LIMITE INFINITO NUM PONTO ( a real )
lim ( )x a f x sss ( M 0)( 0)(x V*(a, ) f(x) M)
lim PN
PP
NN
aP
N
ax
ax
quando xa
lim 1n k u k
p u p n ,
quando u0
1x
1x
0x
1x
16
16
Exemplos1)2
1lim
2x x;2)
2
1lim
2x x
3) Não existe 2
1lim
2x x ( why ?)
M
a a+ a-
x=a
2
17
17
2) LIMITE FINITO NO INFINITO
lim ( )x f x L ( 0)( N 0)(x N f(x) V*(L, ))
Exemplo :
1) 5 5
lim 0x x
. A prova é feita utilizando a definição .
2)De forma análoga , temos 5 5
lim 0x x
Em geral temos :
0;
kk R
Devemos observar que o destaque acima não é uma “ igualdade matemática”
L
N
L+ y=L
18
18
3)
0
0
12
2 1lim lim 2
221
x x
x x
x
x
Em geral
lim ; 0x
ax b ac
cx d c
4) LIMITE INFINITO NO INFINITO
lim ( )x f x
( M 0)( N 0)(x N f(x) M)
M
N
19
19
5) De forma análoga , definimos :
lim ( )x f x ( M < 0)( N < 0)(x < N f(x) < M)
Exemplos
1) lim (3 7)x
x
2) 2lim (5 8)
xx
3) lim (3 7)x
x
NOTA
.( ); k > 0
.( )
kpara
k
E para k < 0 ?
E para k = 0 ?
N
M
20
20
LIMITE DE UM POLINÔMIO NO INFINITO
Seja 0
( )n
ii
i
P x a x = 1
1 1 0...n nn na x a x a x a
0
1 2 02 1
lim ( ) lim ( ... ) lim oun nn nn nn
x x x
a a aP x x a a x
x x x(exclusivamente)
Fato idêntico ocorre para lim ( )x
P x
Obs :
1) 00
lim ( )x
P x a
2) Símbolos de Indeterminação :
0 00; ;0.( ); ;1 ;0 ;
0
Notas :
1)Devemos observar que os termos envolvidos nas parcelas dos símbolos de indeterminação são
funções que tendem para os valores em questão .
2) Os detalhes envolvidos serão discutidos nos exercícios em sala de aula .
21
21
Quocientes de Polinômios ( x ± )
OBJETIVO :
( )lim
( )x
P x
Q x
Onde
11 1 0
11 1 0
( ) ...
( ) ...
n nn n
m mm m
P x a x a x a x a
Q x b x b x b x b
1) n = m
( )lim
( )
n
xn
P x a
Q x b
2) n < m
( )lim
( )x
P xo
Q x
3) n > m :
( )lim lim ( )
( )n
m
a n m
bx x
P xx ou exclusivamente
Q x
Exemplos : 1)
=
3 2
3
3
2 3
3
2 3
2 5 7 9lim
4 11 15
5 7 9(2 )
2 1lim
11 15 4 2( 4 )
x
x
x x x
x x
xx x x
xx x
22
22
2)
3 2 3
2 2
2 5 7 9 2lim lim
4 11 15 4
1lim ( )
2
x x
x
x x x x
x x x
x
3)
3 2 3
5 5
2
2 5 7 9 2lim lim
4 11 15 4
2 2lim 0
4
x x
x
x x x x
x x x
x
I ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x∞ lim f(x)
23
23
1) f (x) = 2
2
2x
x
2) f (x) = 22 33 xx
3) f (x) = 3 5x
4) f (x) = 1
11
x
x
x
x
b) lim f(x)
1) f (x) = 12
)53()72()2(
3 xx
xxx
2) f (x) = 2 2 5x x x
3)f (x) =
1
1
63
42
xx
xx
II ) Nos exercícios seguintes, calcule:
a) para x∞ lim f(x)
5) f (x) = 2
2
2x
x
6) f (x) = 22 33 xx
7) f (x) = 3 5x
8) f (x) = 1
11
x
x
x
x
b) para x - ∞ lim f(x)
3) f (x) = 12
)53()72()2(
3 xx
xxx
4) f (x) = xxx 22
5)f (x) =
1
1
63
42
xx
xx
x
24
24
Função Infinitésima
Definição:
A função f é dita infinitésima em x = a (a lR ou impróprio)
sss lim f(x) = 0 ( numa vizinhança furada de a lR)
Exemplo:
f (x) = x2 – 4, f é infinitésima em a = 2, pois lim (x
2 – 4) = 0
quando x 2
Exemplo:
f (x) = x
1 é infinitésima no infinito, pois lim
x
1 = 0.
Definição:
f : A B é limitada sss M *R tal que f (x) M ; x A
Exemplo:
f : lR lR ; ( )f x senx é limitada pois – 1 f (x) 1
Exemplo:
f : lR lR que f (x) = 21
2
x
x é limitada em lR, pois –1 f (x) 1.
ax
ax
x
25
25
TEOREMA
Sejam f e g função reais, tais que:
i) f é infinitésima em x = a (a lR ou impróprio).
ii) g é limitada no seu domínio.
Então:
Exemplo 1:
lim [x . sen x
1]= 0, pois f (x) = x é infinitésima em x = 0 e
senx
1 = g (x) é limitada.
Observe a que lim sen x
1 ( why? )
lim f (x) . g (x) = 0 ax
0x
0x
26
26
A seguir , o gráfico de g(x) = senx
1 em alguns intervalos :
27
27
A seguir o gráfico de h(x) = x.sen(1/x) , x ≠ 0
28
28
29
29
30
30
Exemplo 2:
lim (x – 1)2 . cos
3
1
1
x= 0 ( why? )
gráficos de f(x) = (x – 1)2 . cos
3
1
1
x , x ≠ 1 :
1x
31
31
FUNÇÃO CONTÍNUA CONCEITO
Uma função é contínua num ponto x = a ( real) quando lim ( ) ( )x a
f x f a ou seja :
( 0)( 0) ( ) ( | | | ( ) ( ) | )fx D x a f x f a
32
32
CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE NUM PONTO
(i) a função deve existir no ponto ( f(a))
(ii) a função deve ter limite no ponto ( limx a f(x))
(iii) esses valores devem ser iguais (limx a f(x) = f(a)) Obs.: (i) Se uma dessas três condições não for satisfeita, dizemos que a função é descontínua no ponto (ii) Uma função é contínua num intervalo [a, b], quando ela é contínua em cada
ponto do interior desse intervalo ; axfax
)(lim e bxfbx
)(lim
Exemplos :
1) f(x) =
25
22
42
xse
xsex
x
limx 2 f(x) = 4 e f(2) = 5 limx 2 f(x) f(2)
Observe que se tivéssemos f(x) =
24
22
42
xse
xsex
x
A função seria contínua em x= 2 .
2)Determine k e p para que a função abaixo seja contínua em x=0 :
7 31 5 1 4, 0
( ) 2 7, 0
5 8 , 0
x xx
x
f x k x
x p x
Observe que devemos ter I) 0
5 4 43lim ( )
7 3 21x
f x ; logo
II)f(0)=2k =43 43
21 42k e III)
0
43 43lim ( ) 8
21 168x
f x p p
33
33
LIMITES FUNDAMENTAIS
1) Limites Trigonométricos
a) 0
lim 1sen
I) 0 < θ < π/2 ( em radiano) flecha(PM) < comp(arco AM) < comp(AT)
sen θ < θ < tg θ 1/tg θ < 1/ θ < 1/sen θ cos θ < sen θ/ θ < 1 e
quando θ tende a zero , teremos pelo Teorema do Confronto que
0
lim 1sen
. Utilizando conclusão análoga temos que II) 0
lim 1sen
;
E consequentemente 0
lim 1sen
Consequências :
A
T
O
M
θ
P
34
34
b) 0
lim 1tg
pois 0 0 0
1lim lim lim . 1
.cos cos
tg sen sen
c) 2
0
1 cos 1lim
2 pois
2 2
2 2 20 0 0
2
0
1 cos 1 coslim lim lim
(1 cos ) (1 cos )
1 1lim( ) .
(1 cos ) 2
sen
sen
Exemplos :
1) 0 0
(3 ) (3 )lim lim .3 3
3x x
sen x sen x
x x
2) 0 0
77 7
lim lim55 5x x
sen xsen x x
sen xsen x
x
3) lim sen
= 1
4) lim tg
= 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) lim x
xsen =
0
0
lim 1sen
lim)(sen
x
x
2) lim b
a
ax
ax
b
a
bx
ax senlim
sen
0
0
x
?
0
0x 0x
35
35
3) lim b
a
bx
tgax
4)L= lim 0
03cos1
2x
x
L=9 .
2) Outros Limites Fundamentais
(1) Seja f (n) = 1
1n
n; n lN*. É possível mostrar que 2 f ( n ) < 3 e que f (n) é crescente.
Teorema: “f (n) é uma seqüência crescente e limitada ; logo f (n) tem limite quando n ”.
A prova deste teorema encontra-se em qualquer livro de cálculo do curso superior.
com efeito,
n
n
kk
n
nn
nn
nn
nnk
n
n
11
1
!2
)1(111
111
020 =
=n
n
nnnn
11
21
11
!
111
!2
111
en
n
n !3
1
!2
1
!1
1
!0
111lim
Conseqüência: n
nn
11lim ; seja então L =
1lim 1 , log
n
no
n
L = e!!!!! 4
1
3
1
2
1
1
1
0
1
2,718281828459e é um número irracional ( a prova de tal fato também consta em
livros de curso superior ).
Conclusão: ou
1lim 1
n
ne
n
0
1 1lim 1
!
n
n in i
0x
?
0x
lim 2)3(
3cos1
x
x
0x =
2
9
36
36
NOTAS
(1) é possível também mostrar que:
2 3 4
0
1 ...! 2! 3! 4!
nx
n
x x x xe x
n com x lR.
(2) Apesar de inicialmente tomarmos f (n) com n lN*, estende-se para x lR , ou seja:
1lim 1
x
xe
x .
(3) ex
xx
11lim ; se não vejamos:
Lx
x
x
x
1lim ; seja w = - x – 1 Logo w +
1 1
1 1 1lim lim lim lim 1 . 1 .
1 1
w w w
w w
w w wL e
w w w w w
Conseqüências de (1):
1) ehhh
110
lim .
2) h
ha
h
1
0lim lna ( a > 0 ) onde lna = loge a
3) 0
(1 )lim 1h
ln h
h
4) 11
0 h
he
hlim
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1) 13
11 ?lim
x
xx ( símbolo de indeterminação ).
33
13
1
3
3
11 ee
x
xlim .
37
37
2) 2
2
2
2
11
21 e
x
x
x
xlimlim .
3) lRondeex
x
xoux
,.lim 1 . (Why?)
4) x
lim ee
e
x
x
x
xx
x
x 2
11
21
1
2lim .
5) 0u
lim ( 1 + . ) = .e (Why?)
6)
2x
lim e
xtg
xtg
11 (Why?)
7) 1
2
0lim 1 2 senxx
tgx e
8) exxxxx
1
1
111
1
1
1)]([limlim
9) Uma população cresce 2% ao ano. Determine aproximadamente o crescimento populacional
em 1 século. ( em relação à população inicial ).
10) Seja Po a população inicial, no final de n anos temos P(n) = Po ( 1 + 50
1)n e com n = 100
P(n) = Po ( 1 + 50
1)100
= Po [ ( 1 + 50
1)50
]2 daí P(n) Po . e² 7,38 . Po.
EXERCÍCIOS
I ) Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes:
1) lim x
x3sen
2) lim x
x
3sen
0x
0x
38
38
3) lim x
x
3sen
4) lim x
x
7
4sen
5) lim x
x
sen
5sen
6) lim x
x
3sen
8sen
7) lim x
xtg
8) lim x
xtg 2
9) lim xtg
xtg
5
3
10) lim 2
cos1
x
x
11) lim 2
1 sec x
x
12) lim 2
2sen
x
x
13) lim 2
2
2sen
x
x
14) lim xx
x
sen
2cos1
15) lim 22
3sen
x
x
16) lim x
xIn
sen
)1(
17) lim x
x
e
eIn )1(
18) lim x
eIn x1(
19) lim x
ee xx
2
20) lim 22
1
2 xx
ee xx
21) lim xx
xx
ee
ee
22) lim xx
xx
ee
ee
23) lim xx
ee xx
sensen
24) lim x
tgx
sen
1413
25) lim x
xcos1
26) lim x
x2cos1
27) lim xtg
x
3
2sen
28) lim ax
ax sensen
29) lim ax
ax coscos
30) lim ax
tgatgx
31) lim x . sen x
1
32) lim x
xsen
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
0x
x
x
0x
0x
0x
0x
0x
ax
ax
ax
x
x
0x
0x
39
39
33) lim (x2 – 4) cos
2
1
x
34) lim x
x
3
2
1cos
35) lim x
xsen, quando x tende a zero em
graus; e em grados?
36) lim x
xtgx
sen2
sen11 34
37) lim cos x
1
38) lim x
xcos
24) lim 1
14
x
x
25) lim x
x 1)1( 3
26) lim )2()4(
8
2
3
xx
x
27) lim 1
14
x
x
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) xtgxx
3
2
4310
)sen(lim
2) x
xexe
x
53
0lim
3) xx
xx
x 34
5223
0lim
4) 0
cos 3lim
cos 2x
ln x
ln x
5) x
x
x
x
5
32
12lim
6) xxxx
4
3
2210
sen)(lim
7) x x
x
1
0
lim
8) xtg
xx
x 2
3141
0
)(ln)(lnlim
9) )(ln
)(ln)(lnlim
x
xx
x 81
7292
0
16x
0x
2x
2x
1x
2x
3x
0x
0x
0x
0x
40
40
10)
2
4
11
x
xlim
11)
x
x
4
2
11lim
12) 2
1
0
xxx
)(coslim
13) bx
ax
x cosln
coslnlim
0
14) 5
1
2x
x
x
xlim
15) xxxx
sensensenlim
1
2210
16) Uma população cresce 1% ao ano. Determine o crescimento populacional em 2 séculos ( em
função da população inicial )
17) 2
1
11
xx
xxxxx
)(
])[(lim
18) xx
x
1
0
)(senlim ; 19) xx
x
1
0
)(senlim ; 20) xtgxtg
x
)(lim
2
41
41
FUNÇÕES EQÜIVALENTES CONCEITO Sejam f e g funções. f e g são eqüivalentes num ponto x0 quando
1)(
)(lim
0 xg
xfxx , sendo f(x) e g(x) 0 numa V * (x0). Indica-se por f(x) g(x)
Ex.: 1sen
lim 0x
xx sen x x
PROPRIEDADES
Se f1 f2 e g1 g2 em x0 , temos:
(i) f1.g1 f2.g2 e 2
2
1
1 ~g
f
g
f
(ii) f f (reflexiva)
(iii) f g g f (simétrica)
(iv) f g g h f h (transitiva)
PRINCIPAIS EQÜIVALÊNCIAS PARA “u 0”
(i) sen u u (vi) ln (1 + u) u
(ii) cos u
2
12
u (vii) (1 + u) n 1 + nu
(iii) tan u xu (viii) a0 u n + a1 u
n-1 + ... + ak u n-k ak u
n-k
(iv) a u 1 + u.ln a (ix) arcsen u u
(v) e u 1 + u (x) arctan u u
(xi) ( ) ~ (1 )n n ua u a n
a
42
42
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES
a) 2
4lim
2
2x
xx
b) 1347
252lim
23
3
xxx
xxx
c) 1
1lim 1
x
xx
d) x
xxx
3lim
2
e) 131lim 22 xxxxx
f) 1
321lim 1
x
xx
g) 5 44 4
3 22
11
11lim
xx
xxx
h) xxxxxxx
111111lim
0
i) nn
n).1(
1
3.2
1
2.1
1lim
j) limn n n
n a b , a e b +
2) Calcule os seguintes limites:
a) )1ln(
)1ln(lim 0
bx
axx
b) x
xx
3arctan
2arcsenlim 0
c) )5ln(cos
)3ln(coslim 0
x
xx
d) 240
)21).(cos1(lim
xx
xxx
e) x
xx
5sen
2senlim 1
f) n
nnn
n
12
12531lim
2
g)
1/
0
1 2 3lim
xx x x x
x
n
n
h)
3 4
1 1
(1 )(1 )(1 ) (1 )lim
(1 )
n
x n
x x x x
x
i) xx
x
xx
x sen
sen
0
senlim
43
43
j) ax
ax nn
axlim
k) 1
1 2 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)lim ( 1)
n
nn p
p p n n n pp
n
l) ax
axax
cotcotlim
m) 1
lim tan4
nn
n
3) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = xe /1
b) f(x) =
03
0||
sen
xse
xsex
x
c) f(x) = cos x – [cos x], x [0, ]
d) f(x) = 0][][
0arctan
xsexxx
xsex
e) f(x) = 0)1(
0)(coslim
][
2
2
xse
xsex
x
nn
EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES
1) Calcule os limites abaixo
a) 11
11lim
30x
xx :
b) 3 31lim xxx
c) 2
33 2
1)1(
12lim
x
xxx
d)
xxx
xxlim
e) 2222
1321lim
n
n
nnnn
f) nn
nn
n32
32lim
11
g) 3
2222 321lim
n
nn
h) nnn 1lim
i) 141
254321lim
22 nn
nn
j) 4
)2).(1.(5.4.34.3.23.2.1lim
n
nnnn
44
44
2) Seja f(x) = 3 23 23
4
1.
2
xxx
aa
. Para que valores de a )(lim xfx é finito
? 3) Calcule os seguintes limites:
a) x
xx
3senlim 0
b) x
xx
4
5senlim
2
0
c) x
xx
4sen
3tanlim 0
d) x
xx 20
sen
2cos1lim
e) xx
xxx
7cos5cos
2coscoslim 0
f) 30
tansenlim
x
xxx
g) x
xx
1senlim
h) x
xx
1senlim 0
i) x
xx
1senlim 0
j) nn
nn
axax
ax
)(ln)(lnlim
k)
1/ 1/ 1/1 2lim
xx x x
nx
a a a
x
l) x
x
x3
12lim 0
m) xx
xx
xee
ee52
3
0lim
4) Analise as descontinuidades das funções abaixo:
a) f(x) = (-1)[x]
b) f(x) =
0|cos|
sen
cos
|sen|
2
1
0||ln
1
xsex
x
x
x
xsex
c) f(x) = 0
!][
0][
][
xsex
x
xsexx
x
d) f(x) = x
x1
, x R*
45
45
e) f(x) = 12
12
/1
/1
x
x
RESPOSTAS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) a) 4 b) 2/7 c) 1/2 d) -1/3 e) 2
f) 3/32
g) 1 h) 1 i) 1 – 1/n j) max(a, b) 2) a) a/b b) 2/3 c) 9/25 d) -1/2 e) -2/5 f) 1/e 2
g) n n !
h) !/1 n
i) e/1
j) naan /
k)
12p
e
l) a2csc
m) e 3) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto infinito b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2
c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = /2 com salto de amplitude 1 d) contínua em R
e) descontinuidade evitável p/ x = k (k -) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = n , n com salto de
amplitude 2 EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES 1) a) 3/2 b) 0 c) 1/9 d) 1 e) 1/2 f) 3 g) 1/3 h) 0 i) -1/3
46
46
j) 1/4
2) 0 a 1 3) a) 3 b) 0 c) 3/4 d) 2 e) 1/8 f) -1/2 g) 1 h) 0 i) não existe
j) 1)/(ln nn aa
k) nnaaa 21
l) ln 2/3 m) 2/3
4) a) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k *) com salto de amplitude
2 |k| b) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = -1 com salto infinito
descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k + /2 (k +) com saltos infinitos
c) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = k (k Z-) com saltos de amplitude |k| descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 1
contínua p/ x 0
d) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 1/k (k Z*) com saltos de amplitude |1/k| descontinuidade evitável p/ x = 0 e) descontinuidade de 1ª espécie p/ x = 0 com salto de amplitude 2