• Conteúdo:

– Operações Conjuntos Crisp

– Operações Conjuntos fuzzy

• Operadores de Zadeh

• Operadores Compensatórios

• Operadores T-norm e T-conorm

Operações com Conjuntos Crisp

• Função característica: determina se os elementos do conjunto universal são ou não membros de um conjunto 𝐶.

𝜇𝐶 𝑥 = 1 𝑠𝑒 𝑥 ∈ 𝐶0 𝑠𝑒 𝑥 ∉ 𝐶

• Operações básicas – União

– Intersecção

– Negação

– União exclusiva

Operações com Conjuntos Crisp

• Exemplo:

𝑈 = 1, 2, 3, … 25

Lei do terceiro excluído 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝑈

Lei da não contradição 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅

Operações com Conjuntos Fuzzy

• Em conjuntos fuzzy as operações são aplicadas ao Grau de pertinência

• Um elemento é ou não membro de um conjunto fuzzy quando:

– Se encontra dentro do domínio do conjunto

– O grau de pertinência é maior que zero (𝜇 𝑥 > 0 )

– O grau de pertinência esta acima do limite -cut

Operações com Conjuntos Fuzzy

• As operações básicas são:

– União

– Intersecção

– Complemento

• As operações são realizadas em dois contextos:

– Entre funções de pertinência da mesma variável

– Entre variáveis fuzzy diferentes com o objetivo de encontrar o grau de pertinência de um consequente dados os graus de pertinência dos antecedentes (declaração condicional ou regra).

Operadores de Zadeh

• Interseção: Usa o operador MIN, o valor mínimo das funções de pertinência.

• Interseção entre funções de pertinência da mesma variável:

Operadores de Zadeh

• Interseção entre funções de pertinência de duas variáveis diferentes:

Exemplo: Se 𝑥 é 𝑌 e 𝑧 é 𝑊 então 𝑚 é 𝑃

• Isto é, o grau de pertinência de 𝑚 no conjunto fuzzy 𝑃 é determinado pela 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 ou grau de pertinência da interseção entre os conjuntos fuzzy 𝑌 e 𝑊.

Operadores de Zadeh

• Interseção: Quais os membros do grupo na tabela a seguir são ao mesmo tempo Altos(A) e de Meia-Idade(MI)?

Nome Idade (anos) Altura (m)

Abel 36 1,70

Marcelo 58 1,75

Carlos 64 1,65

João 32 1,78

Pedro 40 1,77

Tiago 22 1,60

Felipe 47 1,73

André 25 1,75

Operadores de Zadeh

• Caso Crisp

Operadores de Zadeh

• Interseção Crisp: Quais os membros que são Altos e de Meia-Idade? Membros com idades entre 35 e 45 anos e altura maior que 1,75m

Nome Idade 𝝁𝑴𝑰 𝒙 Altura 𝝁𝑨 𝒙 Crisp

Abel 36 1 1,70 0 0

Marcelo 58 0 1,75 1 0

Carlos 64 0 1,65 0 0

João 32 0 1,78 1 0

Pedro 40 1 1,77 1 1

Tiago 22 0 1,60 0 0

Felipe 47 0 1,73 0 0

André 25 0 1,75 1 0

Operadores de Zadeh

• Caso Fuzzy

Operadores de Zadeh

• Interseção Fuzzy: Quais os membros que são Altos e de Meia-Idade? Membros com grau de pertinência diferente de zero para os dois conjuntos Meia-Idade e Alto.

Nome Idade 𝜇𝑀𝐼 𝑥 Altura 𝜇𝐴 𝑥 Fuzzy

Abel 36 0,92 1,70 0,84 0,84

Marcelo 58 0 1,75 0,92 0

Carlos 64 0 1,65 0,68 0

João 32 0,47 1,78 0,96 0,47

Pedro 40 1 1,77 0,94 0,94

Tiago 22 0 1,60 0,39 0

Felipe 47 0,74 1,73 0,90 0,74

André 25 0,10 1,75 0,92 0,10

Operadores de Zadeh

• Comparação Fuzzy e Crisp: Quais os membros que são Altos e de Meia-Idade?

Nome Idade 𝜇𝑀𝐼 𝑥 Altura 𝜇𝐴 𝑥 Fuzzy Crisp

Abel 36 0,92 1,70 0,84 0,84 0

Marcelo 58 0 1,75 0,92 0 0

Carlos 64 0 1,65 0,68 0 0

João 32 0,47 1,78 0,96 0,47 0

Pedro 40 1 1,77 0,94 0,94 1

Tiago 22 0 1,60 0,39 0 0

Felipe 47 0,74 1,73 0,90 0,74 0

André 25 0,10 1,75 0,92 0,10 0

Operadores de Zadeh

• União: Usa o operador MAX, o valor máximo das funções de pertinência.

• União entre funções de pertinência da mesma variável:

Operadores de Zadeh

• União entre funções de pertinência de duas variáveis diferentes:

Exemplo: Se 𝑥 é 𝑌 ou 𝑧 é 𝑊 então 𝑚 é 𝑃

• Isto é, o grau de pertinência de 𝑚 no conjunto fuzzy 𝑃 é determinado pela 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 ou grau de pertinência da união entre os conjuntos fuzzy 𝑌 e 𝑊.

Operadores de Zadeh

• União: Quais os membros do grupo na tabela a seguir são ao mesmo tempo Altos(A) ou de Meia-Idade(MI)?

Nome Idade (anos) Altura (m)

Abel 36 1,70

Marcelo 58 1,75

Carlos 64 1,65

João 32 1,78

Pedro 40 1,77

Tiago 22 1,60

Felipe 47 1,73

André 25 1,75

Operadores de Zadeh

• União Crisp: Quais os membros do grupo na tabela a seguir são ao mesmo tempo Altos ou de Meia-Idade? Membros com idades entre 35 e 45 anos ou altura maior que 1,75m.

Nome Idade 𝜇𝑀𝐼 𝑥 Altura 𝜇𝐴 𝑥 Crisp

Abel 36 1 1,70 0 1

Marcelo 58 0 1,75 1 1

Carlos 64 0 1,65 0 0

João 32 0 1,78 1 1

Pedro 40 1 1,77 1 1

Tiago 22 0 1,60 0 0

Felipe 47 0 1,73 0 0

André 25 0 1,75 1 1

Operadores de Zadeh

• União Fuzzy: Quais os membros que são Altos e de Meia-Idade?

Nome Idade 𝜇𝑀𝐼 𝑥 Altura 𝜇𝐴 𝑥 Fuzzy

Abel 36 0,92 1,70 0,84 0,92

Marcelo 58 0 1,75 0,92 0,92

Carlos 64 0 1,65 0,68 0,68

João 32 0,47 1,78 0,96 0,96

Pedro 40 1 1,77 0,94 1

Tiago 22 0 1,60 0,39 0,39

Felipe 47 0,74 1,73 0,90 0,90

André 25 0,10 1,75 0,92 0,92

Operadores de Zadeh

• Comparação Fuzzy e Crisp: Quais os membros que são Altos ou de Meia-Idade?

Nome Idade 𝝁𝑴𝑰 𝒙 Altura 𝝁𝑨 𝒙 Fuzzy Crisp

Abel 36 0,92 1,70 0,84 0,92 1

Marcelo 58 0 1,75 0,92 0,92 1

Carlos 64 0 1,65 0,68 0,68 0

João 32 0,47 1,78 0,96 0,96 1

Pedro 40 1 1,77 0,94 1 1

Tiago 22 0 1,60 0,39 0,39 0

Felipe 47 0,74 1,73 0,90 0,90 0

André 25 0,10 1,75 0,92 0,92 1

Operadores de Zadeh

• Complemento: Dado o conjunto fuzzy 𝐴, o complemento de 𝐴 contém todos os elementos que não estão em A.

• Os conjuntos devem estar normalizados para obter o complemento.

Operadores de Zadeh

• Complemento: Quais os membros do grupo na tabela a seguir que não são Altos(A) e nem de Meia-Idade(MI)?

Nome Idade (anos) Altura (m)

Abel 36 1,70

Marcelo 58 1,75

Carlos 64 1,65

João 32 1,78

Pedro 40 1,77

Tiago 22 1,60

Felipe 47 1,73

André 25 1,75

Operadores de Zadeh

• Complemento Caso Crisp

Operadores de Zadeh

• Complemento Crisp: Quais os membros que não são Altos e nem de Meia-Idade? Membros com idade menor que 35 e maior que 45 anos e altura menor que 1,75m

Nome Idade 𝜇𝑴𝑰 𝑥 Altura 𝜇𝑨 𝑥 Crisp

Abel 36 0 1,70 1 0

Marcelo 58 1 1,75 0 0

Carlos 64 1 1,65 1 1

João 32 1 1,78 0 0

Pedro 40 0 1,77 0 0

Tiago 22 1 1,60 1 1

Felipe 47 1 1,73 1 1

André 25 1 1,75 0 0

Operadores de Zadeh

• Complemento Caso Fuzzy

Operadores de Zadeh

• Complemento Fuzzy: Quais os membros que não são Altos e nem de Meia-Idade? Membros com grau de pertinência diferente de zero nos dois conjuntos “Não de Meia-Idade” e “Não Alto”

Nome Idade 𝜇𝑴𝑰 𝑥 Altura 𝜇𝑨 𝑥 Fuzzy

Abel 36 0,08 1,70 0,16 0,08

Marcelo 58 1 1,75 0,08 0,08

Carlos 64 1 1,65 0,32 0,32

João 32 0,53 1,78 0,04 0,04

Pedro 40 0 1,77 0,06 0

Tiago 22 1 1,60 0,61 0,61

Felipe 47 0,26 1,73 0,10 0,10

André 25 0,90 1,75 0,08 0,08

Operadores de Zadeh

• Comparação Fuzzy e Crisp: Quais os membros que não são Altos e nem de Meia-Idade?

Nome Idade 𝜇𝑴𝑰 𝑥 Altura 𝜇𝑨 𝑥 Fuzzy Crisp

Abel 36 0,08 1,70 0,16 0,08 0

Marcelo 58 1 1,75 0,08 0,08 0

Carlos 64 1 1,65 0,32 0,32 1

João 32 0,53 1,78 0,04 0,04 0

Pedro 40 0 1,77 0,06 0 0

Tiago 22 1 1,60 0,61 0,61 1

Felipe 47 0,26 1,73 0,10 0,10 1

André 25 0,90 1,75 0,08 0,08 0

Lei da Não Contradição

Quais os membros que não são de Meia-Idade e não de Meia-Idade ao mesmo tempo?

• Nem todos os membros tem grau de pertinência 0 para a interseção dos conjuntos .

𝜇𝑀𝐼 ∩ 𝜇𝑴𝑰 ∅

• A Lei da Não Contradição não é válida.

Nome Idade 𝜇𝑀𝐼 𝑥 𝜇𝑴𝑰 𝑥 Fuzzy

Abel 36 0,92 0,08 0,08

Marcelo 58 0 1 0

Carlos 64 0 1 0

João 32 0,47 0,53 0,47

Pedro 40 1 0 0

Tiago 22 0 1 0

Felipe 47 0,74 0,26 0,26

André 25 0,10 0,90 0,10

Lei do Terceiro Excluído

Quais os membros que não são de Meia-Idade ou não de Meia-Idade ao mesmo tempo?

• Nem todos os membros tem grau de pertinência 1 para a união dos conjuntos .

𝜇𝑀𝐼 ∪ 𝜇𝑴𝑰 𝑈

• A Lei do Terceiro

Excluído não é válida.

Nome Idade 𝜇𝑀𝐼 𝑥 𝜇𝑴𝑰 𝑥 Fuzzy

Abel 36 0,92 0,08 0,92

Marcelo 58 0 1 1

Carlos 64 0 1 1

João 32 0,47 0,53 0,53

Pedro 40 1 0 1

Tiago 22 0 1 1

Felipe 47 0,74 0,26 0,74

André 25 0,10 0,90 0,90

União e Interseção de conjuntos fuzzy complementares

Lógica Clássica

Lei do terceiro excluído: 𝐴 ∪ 𝐴 = 𝑈

Lei da não contradição: 𝐴 ∩ 𝐴 = ∅

Lógica Fuzzy

Operadores Compensatórios

• Utilizam formas alternativas às de Zadeh.

• Atuam de forma a compensar os operadores rígidos de MIN e MAX de Zadeh.

• Transformações aritméticas simples

– Interseção

– União

• Transformações funcionais mais complexas

– Yager.

Operadores Compensatórios

Transformação Aritmética: Interseção

Nome Operação

Zadeh 𝑀𝑖𝑛 𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑦

Média 𝜇𝐴 𝑥 +𝜇𝐵 𝑦

2

Produto 𝜇𝐴 𝑥 ∗ 𝜇𝐵 𝑦

Operadores Compensatórios

Transformação Aritmética: Interseção

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00 0.25 0.06 0.12 0.18 0.25

0.50 0.12 0.25 0.37 0.50

0.75 0.18 0.37 0.56 0.75

1.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00

0.25 0.25 0.25 0.25 0.25

0.50 0.25 0.50 0.50 0.50

0.75 0.25 0.50 0.75 0.75

1.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Operador : Zadeh 𝑀𝑖𝑛 𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑥

Operador: Produto 𝜇𝐴 𝑥 ∗ 𝜇𝐵 𝑦

Operadores Compensatórios

Nome Operação

Zadeh 𝑀á𝑥 𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑦

Média

2∗𝑚í𝑛 𝜇𝐴 𝑥 +𝜇𝐵 𝑦 +4∗𝑚í𝑛 𝜇𝐴 𝑥 +𝜇𝐵 𝑦

6

Soma Probabilística 𝜇𝐴 𝑥 + 𝜇𝐵 𝑦 − 𝜇𝐴 𝑥 ∗ 𝜇𝐵 𝑦

Transformação Aritmética: União

Operadores Compensatórios

Transformação Aritmética: União

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00 0.25 0.62 0.90 1.00 0.25 0.25 0.43 0.78 0.98 1.00

0.50 0.62 0.78 0.95 0.99 1.00

0.75 0.90 0.98 0.99 0.99 1.00

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

0.25 0.25 0.25 0.50 0.75 1.00

0.50 0.50 0.50 0.50 0.75 1.00

0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 1.00

1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

Operador : Zadeh 𝑀á𝑥 𝜇𝐴 𝑥 , 𝜇𝐵 𝑥

Operador: Soma Probabilística 𝜇𝐴 𝑥 + 𝜇𝐵 𝑦 − 𝜇𝐴 𝑥 ∗ 𝜇𝐵 𝑦

Operadores Compensatórios

Transformações funcionais mais complexas: Funções de Yager

– Operadores que usam transformações aritméticas simples envolvem manipulações algébricas.

– Operadores de Yager envolvem uma família parametrizada de operadores.

Operadores Compensatórios

Funções de Yager: Interseção

𝑇 𝑥, 𝑦 = 1 −𝑀í𝑛 1, (1 − 𝑥)𝑝+(1 − 𝑦)𝑝 1/𝑝 , p>0

Operadores Compensatórios

Funções de Yager: União

C 𝑥, 𝑦 = 𝑀í𝑛 1, (𝑥𝑝 + 𝑦𝑝)1/𝑝 , p>0

Operadores t-norm e t-conorm

• Os operadores t-norm e t-conorm possuem bases axiomáticas.

• Os operadores t-conorm são operadores para a união fuzzy , também chamadas de s-norm, denotadas pelo símbolo .

• Os operadores t-norm são operadores para a interseção fuzzy denotadas pelo símbolo ⋆.

Operadores t-norm

• Seja 𝑇 uma função de duas variáveis 𝑥 e 𝑦 no intervalo [0,1]. Se para qualquer 𝑥, 𝑦, e 𝑧 em [0,1] as condições a seguir forem satisfeitas:

– 𝑇 𝑥, 1 = 𝑥

– 𝑇 0,0 = 0

– 𝑆𝑒 𝑥 ≤ 𝑥′, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑇 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑇(𝑥′, 𝑦)

– 𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑇(𝑦, 𝑥)

– 𝑇(𝑇 𝑥, 𝑦 , 𝑧) = 𝑇(𝑥, 𝑇(𝑦, 𝑧)

Então 𝑇 é dita operação t-norm.

Operadores t-norm

Exemplos:

Nome Operação

Produto limitado 𝑥 ⋆ 𝑦 = 𝑚á𝑥(0, 𝑥 + 𝑦 − 1)

Produto drástico ou T-norm degenerada

𝑥 ⋆ 𝑦 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑦 = 1𝑦, 𝑠𝑒 𝑥 = 10, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

Operadores t-conorm

• Seja 𝑆 uma função de duas variáveis 𝑥 e 𝑦 no intervalo [0,1]. Se para qualquer 𝑥, 𝑦, e 𝑧 em [0,1] as condições a seguir forem satisfeitas:

– 𝑆 𝑥, 0 = 𝑥

– 𝑆 1,1 = 1

– 𝑆𝑒 𝑥 ≤ 𝑥′, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑆(𝑥′, 𝑦)

– 𝑆 𝑥, 𝑦 = 𝑆(𝑦, 𝑥)

– 𝑆(𝑆 𝑥, 𝑦 , 𝑧) = 𝑆(𝑥, 𝑆(𝑦, 𝑧)

Então 𝑆 é dita operação t-conorm.

Operadores t-conorm

Exemplos:

Nome Operação

Soma limitada 𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑚í𝑛(1, 𝑥 + 𝑦)

Soma drástica ou T-conorm degenerada

𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑥, 𝑠𝑒 𝑦 = 0𝑦, 𝑠𝑒 𝑥 = 01, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜

Outras Operações Básicas

𝐴 é subconjunto de 𝐵 𝐴 ⊆ 𝐵

𝜇𝐴 𝑥 ≤ 𝜇𝐵 𝑦 ∀𝑥 ∈ 𝑋

𝐴 é igual a 𝐵 𝐴 = 𝐵

𝜇𝐴 𝑥 = 𝜇𝐵 𝑦 ∀𝑥 ∈ 𝑋

𝐴 é subconjunto próprio de 𝐵 𝐴 ⊂ 𝐵

𝜇𝐴 𝑥 ≤ 𝜇𝐵 𝑦

∀𝑥 ∈ 𝑋

𝜇𝐴 𝑥 < 𝜇𝐵 𝑦 Para pelo menos um elemento

de X

Propriedades de Conjuntos Fuzzy

• 1 = função de pertinência com

𝜇 𝑥 = 1 ∀𝑥 ∈ 𝑋

• 0 = função de pertinência com

𝜇 𝑥 = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑋

𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎

𝜇𝐴 𝑥 ∪ 1 = 1

𝜇𝐴 𝑥 ∪ 0 = 𝜇𝐴 𝑥

𝜇𝐴 𝑥 ∩ 1 = 𝜇𝐴 𝑥

𝜇𝐴 𝑥 ∩ 0 = 0

Propriedades de Conjuntos Fuzzy

𝐴𝑠𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝜇𝐴 𝑥 ∪ [𝜇𝐵 𝑥 ∪ 𝜇𝐶 𝑥 ] = [𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐵 𝑥 ] ∪ 𝜇𝐶 𝑥

𝜇𝐴 𝑥 ∩ [𝜇𝐵 𝑥 ∩ 𝜇𝐶 𝑥 ] = [𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐵 𝑥 ] ∩ 𝜇𝐶 𝑥

𝐶𝑜𝑚𝑢𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐵 𝑥 = 𝜇𝐵 𝑥 ∪ 𝜇𝐴 𝑥

𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐵 𝑥 = 𝜇𝐵 𝑥 ∩ 𝜇𝐴 𝑥

Propriedades de Conjuntos Fuzzy

𝐷𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒

𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐵 𝑥 ∩ 𝜇𝐶 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐵 𝑥 ∩ [𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐶 𝑥

𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐵 𝑥 ∪ 𝜇𝐶 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐵 𝑥 ∪ [𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐶 𝑥

𝐷𝑒 𝑀𝑜𝑟𝑔𝑎𝑛

𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐵 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐵 𝑥

𝜇𝐴 𝑥 ∩ 𝜇𝐵 𝑥 = 𝜇𝐴 𝑥 ∪ 𝜇𝐵 𝑥