Prof. Erivelton Geraldo Nepomuceno

2017

APRESENTAÇÃO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

UNIVERSIDADE DE JOÃO DEL-REI

PRÓ-REITORIA DE PESQUISA

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO

TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS

DIRETORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO

étodos

uméricos

Breve Referência HistóricaOs algoritmos numéricos são quase tão antigos quanto a civilização humana:

• Os babilônios, vinte séculos antes de Cristo, já possuíam tabelas dequadrados de todos os inteiros entre 1 e 60.

• Os egípcios, que já usavam frações, inventaram o chamado método dafalsa posição para aproximar as raízes de uma equação. Esse métodoencontra-se descrito no papiro de Rhind (cerca de 1650 anos antes da eracristã).

• Na Grécia antiga muitos foram os matemáticos que deram contribuiçõespara o impulso desta disciplina. Por exemplo, Arquimedes de Siracusa(278-212, a.C.) desenvolveu o chamado método da exaustão paracalcular comprimentos, áreas e volumes de figuras geométricas. Estemétodo, quando usado como método para calcular aproximações, é muitopróximo do que hoje se faz em analise numérica; por outro lado, foitambém um importante precursor do desenvolvimento do cálculointegral por Isaac Newton (1643-1729) e Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716).

Breve Referência Histórica

• Heron, o velho, no século I a.C., deduziu um procedimento paradeterminar a .

• No ano 250 da nossa era, Diofanto obteve um processo para adeterminação das soluções de uma equação quadrática.

• Durante a Idade Media, as grandes contribuições para o desenvolvimentoda matemática algorítmica vieram, sobretudo, do médio oriente, Índia eChina. O contributo maior foi, sem duvida, a simplificação introduzida coma chamada numeração hindu-árabe.

• O aparecimento do cálculo e a criação dos logaritmos, no século XVII,vieram dar um grande impulso ao desenvolvimento de procedimentosnuméricos. Os novos modelos matemáticos propostos não podiam serresolvidos de forma explícita e assim tornava-se imperioso odesenvolvimento de métodos numéricos para obter soluções aproximadas.O próprio Newton criou vários métodos numéricos para a resolução demuitos problemas, métodos esses que possuem, hoje, o seu nome.

a

Breve Referência Histórica

• Tal como Newton, muitos vultos da matemática dos séculos XVIII e XIXtrabalharam na construção de métodos numéricos. De entre eles pode-sedestacar Leonhard Euler (1707-1783), Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)e Carl Friedrich Gauss (1777-1875).

• Foi, no entanto, o aparecimento, na década de 40 do século XX, dosprimeiros computadores que contribuiu decisivamente para o fortedesenvolvimento da disciplina. Apesar de tanto Pascal como Leibniz teremconstruído, já no sec. XVII, as primeiras maquinas de calcular e deCharles Babage, milionário inglês, ter construído o que é considerado oprimeiro computador (nunca funcionou!), foi apenas com o aparecimento doENIAC, nos anos 40, que a ciência usufruiu, de fato, dessesdispositivos de cálculo.

Processo de Resolução de um Problema

No processo de resolução de um problema pode-se distinguir varias fases:

1. Formulação de um modelo matemático que descreve uma situação real.Tal formulação deve ser feita recorrendo a equações algébricas,integrais, diferenciais, etc. E necessário ter muito cuidado nesta faseuma vez que a grande complexidade dos problemas físicos pode conduzira simplificações no modelo, simplificações essas que não devem alterarsignificativamente o comportamento da solução.

2. Obtenção de um método numérico que permite construir uma soluçãoaproximada para o problema. Um método numérico que possa ser usadopara resolver o problema e traduzido por algoritmo, conduz a solução doproblema. Esta fase constitui o cerne da analise numérica. Assim, dado umdeterminado método numérico, é necessário saber em que condições assoluções por ele obtidas convergem para a solução exata; em que medidapequenos erros poderão afetar a solução final; qual o grau de precisão dasolução obtida.

3. Programação do algoritmo (FORTRAN, o PASCAL, o C++, entre outras. Maisrecentemente e usual o recurso a programas como o MATHEMATICA ou oMATLAB).

Processo de Resolução de um Problema

Objetivos

Por que técnicas numéricas ?

▪ Nem sempre (quase nunca ?) é possível resolver osproblemas reais de maneira analítica.

ax2 + bx + c = 0 solução analítica ? Sim: fórmula de Bashkara.

▪ x6 - 20x5 -110x4 + 50x3 - 5x2 + 70x -100 =0

Objetivos

Os Métodos Numéricos correspondem a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter a

solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses métodos se aplicam a problemas que

não apresentam uma solução exata ou ela é muito complexa, portanto precisam ser resolvidos

numericamente.

Objetivos

▪ Conhecer e aplicar os principais métodos numéricoscomputacionais para resolução de problemas clássicosnas ciências exatas e engenharias, associados àmodelagem de fenômenos e dispositivoseletromagnéticos, controle, análise e modelagem desistemas e a planejamento e operação de sistemaselétricos de potência.

A Disciplina

A analise numérica é a disciplina da matemática que seocupa da elaboração e estudo de métodos que permitemobter, de forma efetiva, soluções numéricas paraproblemas matemáticos, quando por qualquer razão não épossível usar métodos analíticos.

Interdisciplinaridades

▪ Aplicada em todas as disciplinas do curso.

Conteúdo

1. Erros.2. Sistemas de equações lineares: solução por métodos diretos e

iterativos.3. Interpolação, aproximação e ajuste funções.4. Derivação e integração numéricas.5. Raízes de equações6. Resolução numérica de equações diferenciais.7. Novas técnicas numéricas avançadas

1. Método dos momentos,2. Meshless3. Lower bound error4. Método de Monte Carlo5. Técnicas de programação aplicada aos métodos numéricos (MATLAB/C++).

Avaliação

1. Trabalhos computacionais ao longo da disciplina. Cadatrabalho será avaliado com nota igual a 100. A médiados trabalhos será a nota T.

2. Seminário (S). Ao final da disciplina os alunosindividualmente ou em grupo deverão entregar umtrabalho no formato de artigo para congresso erealizar uma apresentação.

3. A final será dada por: NF = 0,06T + 0,04S4. O aluno será aprovado somente se obter NF ≥ 6,0.

Bibliografia – Básica

1. Campos, F. F. Algoritmos Numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.

2. Pina, H. Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995.

3. Lambers, J. V. and Sumner, A. C. Explorations in Numerical Analysis,

University o California at Irvine, 2016.

4. Campos, F. F. Algoritmos Numéricos. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.5. Franco, N. B. Cálculo Numérico. 1. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2006.6. Sperandio, D.; Mendes, J. T.; Silva, L. H. M. Cálculo Numérico:

Características Matemáticas e Computacionais dos MétodosNuméricos. 1. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2003.

7. Burdem, R. L., Faires, J. D., Análise Numérica , Thompson – 2003.8. Wood, A. Introduction to Numerical Analysis, Addison Wesley, 1999.

Bibliografia – Complementar1. Mathews, J. H. e Fink, K. D. Numerical Methods Using MatLab, Prentice

Hall, 1999;2. Fauset, L. V. Applied Numerical Methods Using MatLab, Prentice Hall,

1999;3. Arfken, G. B. e Weber, H. J. Mathematical Methods For Physicists,

Academic Press; 6 edição, 2005.4. G. F. Carey e T. J. Oden, "Finite Element: An Introduction, Vol.

1, Prentice-Hall, NJ, 1986.5. T. J. R. Hughes, "The Finite Element Method", Prentice-Hall, NJ, 1987.6. Kelley C.T., "Iterative Methods for Linear and Nonlinear Equations",

SIAM, 1995.7. Taflove, A; Hagness, S.C. Computational electrodynamics; the finite-

difference time domain method. Boston: Artech House, 2000.8. Sewell, G. The numerical solution of ordinary and partial differential

equations. Boston: Academic Press, 1988.9. Kwon, Y. W.; Bang H.C. The finite element method using Matlab. Boca

Raton FL: CRC Press, 2000.

Bibliografia – Complementar10. Harrington, R. F. Field computation by moment methods. New York: Macmillan,

1968.11. Burnett, D.S. Finite element analysis: from concepts to applications. Mass.:

Addison-Wesley Pub. Co., 1987.12. Silvester, P.P.; Ferrari, R. L. Finite elements for electrical engineers. New York:

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http://www.lcad.icmc.usp.br/projetos/siae98/livro_poti/poti.pdf14. Ruggiero, M. A. G.; Lopes, V. L. R. Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos e

Computacionais. 2. ed. São Paulo: Makron Books, 1996.15. Nepomuceno, E. G., & Mendes, E. M. A. M. A. M. (2017). On the analysis of pseudo-

orbits of continuous chaotic nonlinear systems simulated using discretization schemes in

a digital computer. Chaos, Solitons & Fractals, 95, 21–32. (doi)

16. Silva, B., Milani, F., Nepomuceno, E., Martins, S., & Amaral, G. (2016). Revisiting

Hammel et al. (1987): Does the shadowing property hold for modern computers?

In 6th International Conference on Nonlinear Science and Complexity (pp. 1--4). (doi)

17. Nepomuceno, E. G., & Martins, S. A. M. (2016). A lower bound error for free-

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18. Mendes, E. M. A. M., & Nepomuceno, E. G. (2016).

A Very Simple Method to Calculate the (Positive) Largest Lyapunov Exponent Using Inte

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