Post on 09-Jan-2017
As equações algébricase a teoria de Galois
Filadelfo Cardoso Santos
A difícil equação do primeirograu
ax + b = 0
A solução geral é
x = !b
a
A equação do primeiro grau pode ser resolvida nocorpo dos racionais.
É verdade! A equação do primeiro grau foiresolvida na Antiguidade
Isaac Newton(1643-1727)
As contribuições de Newton à matemática pura sãosuficientes para colocá-lo entre os maiores gênios nahistória da matemática.
Harold E. Edwards
Fermat’s Last Theorem
Riemann’s Zeta Functions
Read the Master
Galois Theory
Em sua obra Arithmetica Universalis(1707), Newton escreveu fórmulas
para funções simétricas elementares
Relações de Newton
Newton apresentou essas relações na seguinte forma:
Para equação do terceiro grau x3+ bx
2+ cx + d = 0
(everyr) = !b (everyr3) = !b
3+ 3bc ! 3d
(everyr2) = b
2! 2c (everyrs) = c
(everyrst) = !d
Relações de Newton-GirardPara a equação algébrica de grau n
xn+ b
1xn!1
+ b2xn!2
+ ...+ bn= 0
r1+ r
2+ ...+ r
n= !b
1
r1r2+ r
1r3+ ...+ r
n!1rn= b
2
r1r2r3+ r
1r2r4+ ...+ r
n!2rn!1rn= !b
3
...
r1r2r3...r
n= (!1)
nbn
Valem as relações
Funções simétricas
Denotando por !kos polinômios simétri-
cos elementares, temos: !k= ("1)
kbk
Teorema - Qualquer polinômio simétrico em r1, r
2, ..., r
n
pode ser escrito como um polinômio nos polinômios simé-
tricos elementares.
Obs.: Toda função simétrica das raízes de uma equaçãoalgébrica depende só dos coeficientes dessa equação.
O discriminante
Uma função simétrica importante nateoria das equações algébricas é odiscriminante ! = r
1" r
2( )#2
r1" r
3( )2
... rn"1
" rn( )2
A equação do segundo grau
Essa equação foi resolvida pelos babilôniospor meios geométricos. Para isso utilizou-sea forma normal.A fórmula de Bhaskara é amplamenteconhecida
x =!b ± b
2! 4ac
2a
Uma solução da equação do segundo grau
A soma das raízes dessa equação é
x1+ x
2= !
b
a
! = x1" x
2( )2
= x1
2+ x
2
2" 2x
1x2= x
1+ x
2( )2
" 4x1x2
! = #1
2" 4#
2=b2" 4ac
a2
ax2+ bx + c = 0
e o discriminante é
Obtemos o seguinte sistema de equações de primeiraordem
x1+ x
2= !
b
a
x1! x
2= "
As funções φ e φsão as resolventes de lagrange
Joseph Louis LagrangeGiuseppe Lodovico Lagrangia
(1736-1813)
Rélexions sur la résolution algébrique (1771). Cemémoire a inspiré Abel et Galois.
O método de Lagrange para a equação dosegundo grau
Como vimos a soma das raízes dessa equação é
x1+ x
2= !b a
!1= x
1+"x
2!2= x
2+"x
1
Com as raízes da unidade 1, α=−1 e as raízes daequação podemos construir
que são raízes da equaçãoX !"
1( ) X !"2( ) = X 2 !"
1"2= X
2+ # 2
+1( )x1x2 +# x1
2+ x
2
2( )( ) = 0
X2+ # 2
+1( )s2X +#s1
2= 0
A equação do terceiro grau
A equação do quarto grauPara aplicarmos o método de Lagrange
propomos as seguintes resolventes!1= x
1" x
2+ x
3" x
4!5= x
2" x
1+ x
3" x
4
!2= x
2" x
3+ x
4" x
1!6= x
1" x
3+ x
4" x
2
!3= x
3" x
4+ x
1" x
2!7= x
3" x
4+ x
2" x
3
!4= x
4" x
1+ x
2" x
3!8= x
4" x
2+ x
1" x
3
.......................................................................
24 resolventes
A equação resolventeX !"
1( )... X !"24( ) = X
2 !"1
2( )2
X2 !"
5
2( )2
X2 !"
13
2( )2
= 0
ou
X2 !"
1
2( ) X 2 !"5
2( ) X 2 !"13
2( ) = 0
Gauss
A análise de Lagrange
Abel
O grupo de Galois
A equação do quinto grau
A equação do sexto grau