Post on 18-Jan-2019
Assim, de acordo com o tipo de níveis atribuídos para o fator, a técnica apropriada será escolhida. Logo temos o seguinte esquema:
Rejeita H0
Teste de comparações múltiplas
Fator Qualitativo
H0
H1
Aceita H0
FatorQuantitativo
ANOVA Regressão
As pressuposições devem ser satisfeitas!
1
Como estudar os fatores?Como estudar os fatores?
Fatores Qualitativos Fatores Quantitativos
Cultivares de milho (A, B, C e D)
Idades de Corte de Gramíneas (30, 60 e 90 dias)
Rações(Comum e Premium)
Níveis de Estradiol na Ração (0, 20, 40, 60 e 80 mg)
Raças Temperaturas(R1, R2,....) (170C, 220C e 250C )
Sexo (Macho e Fêmea)
Níveis de Energia (2800, 3000, 3200 e 3400 Kcal/kg)
Irrigação(Presença e Ausência)
Doses de Adubo(10, 20, 30, 40 e 50 kg/ha)
Adubação (Orgânica, Química, Testemunha)
Porcentagem de proteína(16, 18, 20 e 22%)
Teste de Comparações
Múltiplas
Regressão
2
Regressão na ANOVA Regressão na ANOVA Regressão na ANOVA Regressão na ANOVA (Polinômios ortogonais)(Polinômios ortogonais)
Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros
DTAiSeR-Ar
3
Nos experimentos em que os tratamentos são
quantitativos, como por exemplo: níveis crescentes de
y = –0,007x2 + 0,983x – 13
17
19
21
23
Var
iáv
el r
espo
sta
A análise de variância, como é feita usualmente, pressupõe a independência dosefeitos dos diversos tratamentos utilizados. Quando essa hipótese não se verifica, aanálise de variância deve refletir a dependência entre os efeitos dos tratamentos, sobpena de não ser válida.
PolinômiosPolinômios ortogonaisortogonais parapara fatoresfatores quantitativosquantitativos
exemplo: níveis crescentes de adubo, inseticida, fungicida
etc., muitas vezes se justifica a existência de uma
correspondência funcional, denominada equação de
regressão, que liga os valores dos tratamentos (X) aos dados analisados (Y).
4
5
7
9
11
13
15
17
20 40 60 80 100
Valor observado
Valor estimado
Idade de Corte (dias)
Var
iáv
el r
espo
sta
Como fazer a análise de variância para o estudo da regressão?
O método a ser utilizado é o dos polinômios ortogonais, que é de fácilaplicação quando os níveis que compõem os tratamentos são igualmenteespaçados, pois nos permitem a utilização de coeficientes dados em tabelas.
Para a construção de polinômios ortogonais para níveis que não sãoigualmente espaçados ver:igualmente espaçados ver:
CAMPOS, H. Estatística aplicada à...1984 – Capítulo 11.
5
y =a + bx Linear (1º grau): reta
y = a + bx + cx2 Quadrático (2º grau): parábola
y = a + bx + cx2 + dx3 Cúbico (3º grau)
PolinômiosPolinômios
ModeloModeloEquaçãoEquação
y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4 4º grau
y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4 + gx5 5º grau
y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4+ gx5 + hx6 6º grau
6
y = a + bx + cx2 + dx3 + fx4+ gx5 + hx6 + ix7 7º grau
......
Fator A com 2 níveis (gl = 1)
Modelo linear (1º grau) Fator A com 3 níveis (gl = 2)
Modelo linear (1º grau)
Modelo quadrático (2º grau)
ExemplosExemplos::
O número de modelos possíveis de serem ajustados depende do número de níveis do fator em estudo.
Fator A com 4 níveis (gl = 3)
Modelo linear (1ºgrau)
Modelo quadrático (2º grau)
Modelo cúbico (3º grau)
Fator A com 5 níveis (gl = 4)
Modelo linear (1ºgrau)
Modelo quadrático (2º grau)
Modelo cúbico (3º grau)
Regressão de 4º grau
... 7
Um experimento inteiramente casualizado com 4 repetições para estudar osfeitos de 7 doses de gesso (0, 50, 100, 150, 200, 250 e 300 kg/ha) sobre diversascaracterísticas do feijoeiro. Para a característica “peso de 1000 sementes” osresultados obtidos, em gramas, são apresentados na Tabela.
Existe diferença entre as doses para a variável em estudo? Teste essa hipótese aonível de 5% de significância. Qual é a melhor dose para se recomendar?
Exemplo 1Exemplo 1
Repetições
Tratamentos(kg/ha)
1 2 3 4 Totais(kg/ha)
1 2 3 4 Totais
T1) 0 134,8 139,7 147,6 132,3 554,4
T2) 50 161,7 157,7 150,3 144,7 614,4
T3) 100 160,7 172,7 163,4 161,3 658,1
T4) 150 169,8 168,2 160,7 161,0 659,7
T5) 200 165,7 160,0 158,2 151,0 634,9
T6) 250 171,8 157,3 150,4 160,4 639,9
T7) 300 154,5 160,4 148,8 154,0 617,7
Total 4379,1
Fator quantitativo: Note que há uma
tendência de aumento na produção do
feijoeiro (Y) à medida que aumentamos a dose de gesso (X).
8
dose y repet0 134,8 10 139,7 20 147,6 30 132,3 4
50 161,7 150 157,7 250 150,3 350 144,7 4100 160,7 1100 172,7 2100 163,4 3100 161,3 4
Tabulação:DIC_feijao_reg.csv
No R:
Repetições
Trat 1 2 3 4 Média
T1) 0 134,8 139,7 147,6 132,3 138,60
T2) 50 161,7 157,7 150,3 144,7 153,60
T3) 100 160,7 172,7 163,4 161,3 164,53
T4) 150 169,8 168,2 160,7 161,0 164,93
T5) 200 165,7 160,0 158,2 151,0 158,73
T6) 250 171,8 157,3 150,4 160,4 159,98
T7) 300 154,5 160,4 148,8 154,0 154,43
Exemplo 1Exemplo 1
9
100 161,3 4150 169,8 1150 168,2 2150 160,7 3150 161,0 4200 165,7 1
200 160,0 2200 158,2 3200 151,0 4250 171,8 1250 157,3 2250 150,4 3250 160,4 4300 154,5 1
300 160,4 2300 148,8 3300 154,0 4
y = c(134.8, 139.7, 147.6, 132.3, 161.7, 157.7, 150.3, 144.7,160.7, 172.7, 163.4, 161.3,169.8, 168.2, 160.7, 161.0,165.7, 160.0, 158.2, 151.0,171.8, 157.3, 150.4, 160.4,154.5, 160.4, 148.8, 154.0) # peso 1000sementes
dose<- rep(c(0, 50, 100, 150, 200, 250, 300),each=4)DIC<- data.frame(y, dose)
#OU
DIC<- read.csv2("DIC_feijao_reg.csv",head=T,dec=", ")
Causas de Variação gl SQ QM F
Tratamento 6 SQTrat QMTrat Fcalc
Resíduo 21 SQRes QMRes -
Total 27 SQTotal - -
Exemplo 1Exemplo 1
No R:
Tarefa 1: a) Faça esses cálculos daANOVA à mão, com oauxílio da calculadora.
b) Conclua o teste dehipóteses.
ANOVA
10
No R:mod<- lm(y ~ factor(dose), data=DIC)anova(mod)Analysis of Variance TableResponse: y
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) factor(dose) 6 1941.83 323.64 7.668 0.0001876 ***Residuals 21 886.34 42.21
# F_tab = F(6,21; 5%)qf(0.95,6,21)[1] 2.572712
No R:# Normalidade dos errosshapiro.test(rstudent(mod))
Shapiro-Wilk normality testdata: rstudent(mod)W = 0.9733, p-value = 0.6711
# Homocedasticidadebartlett.test(y ~ dose, data=DIC)
Bartlett test of homogeneity of variancesdata: y by dose
Verificando as pressuposições da ANOVA
11
data: y by doseBartlett's K-squared = 1.8154, df = 6, p-value = 0.9359
No R:# Gráfico Quantil-quantil com envelope simuladolibrary(car); par(mfrow=c(1,2))qqPlot(rstudent(mod), pch=19)
# Gráfico de resíduos x preditosplot(fitted(mod), rstudent(mod) , pch=16, xlab='Valores ajustados', ylab='Resíduos studentizado'); abline( h=c(-3,0,3), lty=2)
Verificando as pressuposições da ANOVA
2 2
12
-2 -1 0 1 2
-10
1
norm quantiles
rstu
de
nt(
mod
)
140 145 150 155 160 165
-10
1
Valores ajustados
Resíd
uo
s s
tuden
tizad
o
Como os tratamentos são quantitativos, uma análise completa deve levar em conta a regressão, subdividindo-se os 6 graus de liberdade de tratamento da seguinte maneira:
Causas de Variação gl SQ
Reg. Linear (1.o grau) 1 SQRL
Reg. Quadrática (2.o grau) 1 SQRQ
Reg. Cúbica (3.o grau) 1 SQRC
Reg. de 4.o grau 1 SQR4
Exemplo 1Exemplo 1
Causas de Variação gl SQ
Reg. Linear 1 SQRL
Reg. Quadrática 1 SQRQ
Reg. Cúbica 1 SQRC
Desvios de regressão 3 SQDV
ANOVAANOVA
Desdobramento das doses em regressões por polinômios ortogonais.
Reg. de 4.o grau 1 SQR4
Reg. de 5.o grau 1 SQR5
Reg. de 6.o grau 1 SQR6
(Tratamento) (6) SQTrat
Resíduo 21 SQRes
Total 27 SQTotal
13
Desvios de regressão 3 SQDV
(Tratamento) (6) (SQTrat)
Resíduo 21 SQResíduo
Total 27 SQTotal
Na ANOVA, podemos considerar as regressões maiores que 3.o grau como uma única causa de variação, denominada desvios de regressão, pois
regressão maior que 3.o grau não tem interesse prático
Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse experimento?
(significativa)
Análise de Análise de varivariânciaância
ANOVA
Causas de Variação gl SQ QM F
Reg. Linear 1 SQRL QMRL F_RL
Reg. Quadrática 1 SQRQ QMRQ F_RQ
Reg. Cúbica 1 SQRC QMRC F_RC
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR (significativa)
14
Resposta:
Quando o teste F para Desvios de regressão for significativo, isto indica que existe alguma regressão significativa, de grau maior que 3.o e, se tivermos
interesse em estudá-la devemos desdobrar os desvios de regressão.
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
(Tratamento) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc
Resíduo 21 SQResíduo QMRes -
Total 27 SQTotal - -
Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse experimento?
(significativa)
Análise de Análise de varivariânciaância
ANOVA
Causas de Variação gl SQ QM F
Reg. Linear 1 SQRL QMRL F_RL
Reg. Quadrática 1 SQRQ QMRQ F_RQ
Reg. Cúbica 1 SQRC QMRC F_RC
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
Modelo Linear: y = a + bx
15
Resposta:
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
(Trat) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc
Resíduo 21 SQResíduo QMRes -
Total 27 SQTotal - -
Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse experimento?
Análise de Análise de varivariânciaância
ANOVA
(significativa)
Causas de Variação gl SQ QM F
Reg. Linear 1 SQRL QMRL F_RL
Reg. Quadrática 1 SQRQ QMRQ F_RQ
Reg. Cúbica 1 SQRC QMRC F_RC
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
Modelo Quadrático: y = a + bx + cx2
16
Resposta:
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
(Trat) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc
Resíduo 21 SQResíduo QMRes -
Total 27 SQTotal - -
Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse experimento?
Análise de Análise de varivariânciaância
Causas de Variação gl SQ QM F
Reg. Linear 1 SQRL QMRL F_RL
Reg. Quadrática 1 SQRQ QMRQ F_RQ
Reg. Cúbica 1 SQRC QMRC F_RC
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
ANOVA
(significativa)
Modelo Cúbico: y = a + bx + cx2 + dx3
17
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
(Trat) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc
Resíduo 21 SQResíduo QMRes -
Total 27 SQTotal - -
Resposta:
Qual é o modelo de regressão que se deve usar para esse experimento?
Análise de Análise de varivariânciaância
Causas de Variação gl SQ QM F
Reg. Linear 1 SQRL QMRL F_RL
Reg. Quadrática 1 SQRQ QMRQ F_RQ
Reg. Cúbica 1 SQRC QMRC F_RC
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
ANOVA
(significativa)
(significativa)
Modelo Cúbico: y = a + bx + cx2 + dx3
18
Desvios de regressão 3 SQDV QMDR F_DR
(Trat) (6) (SQTrat) QMTrat F_calc
Resíduo 21 SQResíduo QMRes -
Total 27 SQTotal - -
Resposta:
Escolha a fonte de variação (regressão) de maior grau que seja significativa:
N.º
Trat
Grau do
polinômio
Totais de Tratamentos
K MT1 T2 T3 T4 T5 T6
2 1 –1 1 – – – – 2 1
31
2
–1
1
0
–2
1
1
–
–
–
–
–
–
2
6
1
3
4
1
2
–3
1
–1
–1
1
–1
3
1
–
–
–
–
20
4
2
1
Tabela de coeficientesTabela de coeficientes
A tabela fornece também a soma dos quadrados dos coeficientes (K) e uma constante (M) que será utilizada na determinação da equação de regressão.
4 2
3
1
–1
–1
3
–1
–3
1
1
–
–
–
–
4
20
1
10/3
5
1
2
3
4
–2
2
–1
1
–1
–1
2
–4
0
–2
0
6
1
–1
–2
–4
2
2
1
1
–
–
–
–
10
14
10
70
1
1
5/6
35/12
6
1
2
3
4
5
–5
5
–5
1
–1
–3
–1
7
–3
5
–1
–4
4
2
–10
1
–4
–4
2
10
3
–1
–7
–3
–5
5
5
5
1
1
70
84
180
28
252
2
3/2
5/3
7/12
21/10
Os coeficientes para um número maior de tratamentos podem ser encontrados em GOMES, P. Curso de Estatística Experimental, 1985 – Capítulo 12.19
Exemplo 1Exemplo 1
Totais de Tratamentos
(Ti)
Coeficientes para n=7 níveis
1º grau 2º grau 3º grau
c1i c2i c3i
T1 = 554,4(4) -3 5 -1
T2 = 614,4(4) -2 0 1
a) Obtenha a estimativa do contraste de cada regressão.
I
iiiRL TcY
11
ˆ
Reg. linear (RL):
I
TcY
Reg. Quad. (RQ):
Como calcular as somas de quadrados das regressões?Como calcular as somas de quadrados das regressões?
T3 = 658,1(4) -1 -3 1
T4 = 659,7(4) 0 -4 0
T5 = 634,9(4) 1 -3 -1
T6 = 639,9(4) 2 0 -1
T7 = 617,7(4) 3 5 1
K 28 84 6
M 1 1 1/6
20
i
iiRQ TcY1
2ˆ
I
iiiRC TcY
13
ˆ
Reg. Cúbica (RC):
70,217)7,617(*)3(...)4,614)(2()4,554(*)3(ˆ RLY 00,61ˆ
30,657ˆ
RC
RQ
Y
Y
b) Cálculo das Somas de Quadrados das regressões (SQReg)
rK
Y
cr
YSQY
I
ii
2
1
2
2 )ˆ()ˆ(
r: número de parcelas somadas para obter cada total (Ti) de tratamento.
I
iicK
1
2
ˆ
Como calcular as somas de quadrados das regressões?Como calcular as somas de quadrados das regressões?
Exemplo 1Exemplo 1
21
15,423284
)7,217()ˆ( 2
1
2
rK
YSQY RL
RL
84,1285)ˆ(
2
2
rK
YSQY
RQ
RQ04,155
)ˆ(
3
2
rK
YSQY RC
RC
80,77
SQDR
SQYSQYSQYSQTratSQDR RCRQRL
Tabela da análise de variância da regressão polinomial ortogonal
Causas de Variação G.L. S.Q. Q.M. F
Regressão linear 1 423,15 423,15 10,02 *
Regressão quadrática 1 1285,84 1285,84 30,46 *
Regressão cúbica 1 155,04 155,04 3,67 ns
Desvios de regressão 3 77,80 25,93 0,61 ns
(Trat) (6) (1941,83) - -
Exemplo 1Exemplo 1
F(1,21; 5%) = 4,32
F(3,21; 5%) = 3,07
(Trat) (6) (1941,83) - -
Resíduo 21 886,34 42,21 -
Total 27 2828,17 - -
Conclusão:Verificamos que a regressão linear e a regressão quadrática foram significativas, indicando que é possível estabelecer uma relação funcional entre a dose de gesso
colocada (X) e o peso de 1000 sementes (Y) do feijoeiro. Logo, a regressão de mais alto grau no nosso exemplo, será escolhida para
determinar a equação de regressão, no caso equação de 2.o grau.
22
Modelo Quadrático:
Modelo Cúbico:
Modelo Linear: bxaY ˆ
2ˆ cxbxaY
32ˆ dxcxbxaY
222111ˆˆ PMBPMBmY
111ˆˆ PMBmY
Exemplo 1Exemplo 1
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada
555444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBPMBmY
444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBmY
Modelo Cúbico:32ˆ dxcxbxaY
333222111ˆˆ PMBPMBPMBmY
Modelo de 4.o grau:432ˆ exdxcxbxaY
Modelo de 5.o grau:5432ˆ fxexdxcxbxaY
23
Cuidado! É muito parecido com a SQRegressãoY
B RL
Modelo LinearModelo Linear: bxaY ˆ
111ˆˆ PMBmY
sendo
rK
Y
cr
YSQY
I
ii
2
1
2
2 )ˆ()ˆ(
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada
Cuidado! É muito parecido com a SQRegressão
M1 é o valor da tabela de coeficientes
é a média dos níveis dos tratamentos: (0+10+20+30)/4 = 15
q é o espaçamento entre os níveis de tratamentos (q=10)
1
1rK
B RL
q
mxP x
ˆ1
xm
é a média geral referente a todas as observações.
m
24
sendo
Modelo QuadráticoModelo Quadrático: 2ˆ cxbxaY
222111ˆˆ PMBPMBmY
YB
RQ
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada
12
1ˆ 22
2
n
q
mxP x
B1, M1 e P1 são obtidos como na RL.
n é o número de níveis do fator
é a média dos níveis dos tratamentos
q é o espaçamento entre os níveis de trat’s
xm
2
2rK
BRQ
M2 é o valor da tabela de coeficientes
25
Modelo CúbicoModelo Cúbico: 32ˆ dxcxbxaY
333222111ˆˆ PMBPMBPMBmY
sendo
YB RC
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada
q
mxn
q
mxP xx
ˆ
20
73ˆ 23
3
B1, B2, M1, M2, P1 e P2 são obtidos como na RQ.
3
3
ˆ
rK
YB RC
M3 é o valor da tabela de coeficientes.
26
sendo
Modelo de 4.Modelo de 4.oo graugrau: 432ˆ exdxcxbxaY
444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBmY
44
ˆ
rK
YB R
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada
B1, B2, B3, M1, M2, M3, P1, P2 e P3 são obtidos como na RC.
560
)9)(1(3ˆ
14
133ˆ 22224
4
nn
q
mxn
q
mxP xx
4
4rK
B
M4 é o valor da tabela de coeficientes.
27
sendo
Modelo de 5.Modelo de 5.oo graugrau: 5432ˆ fxexdxcxbxaY
555444333222111ˆˆ PMBPMBPMBPMBPMBmY
55
YB R
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada
B1, B2, B3, B4, M1, M2, M3, M4, P1, P2, P3 e P4 são obtidos como na R4.
q
mxnn
q
mxn
q
mxP xxx
ˆ
1008
40723015ˆ
18
)7(5ˆ 24325
5
5
5rK
B
M5 é o valor da tabela de coeficientes.
28
Modelo QuadráticoModelo Quadrático: 2ˆ cxbxaY
222111ˆˆ PMBPMBmY
9563,1
9438,1284
7,217ˆ
2
1
1
B
rK
YB RL
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada Exemplo 1Exemplo 1
150
ˆ1
xP
q
mxP x
4
12
17
50
150
12
1ˆ
2
12
22
2
22
2
PP
xP
n
q
mxP x
7
50
1507
)300...150100500(ˆ
3964,156ˆ
n
q
m
m
x
2
29
1
1
2
1
M
M50
1 P
222111ˆˆ PMBPMBmY
3000,00078252,02736,07835,140ˆ 2 xsendoxxY
Obtendo a equação de regressão estimadaObtendo a equação de regressão estimada Exemplo 1Exemplo 1
Substituindo os valores na equação, temos:
em que:
é o peso de 1000 sementes (em gramas);X é a dose de gesso (em kg/ha).
A equação só vale no intervalo determinado em que o
experimento foi realizado.Y
30
Quando determinamos uma equação de regressão é conveniente apresentar o correspondente coeficiente de determinação (R2) que representa, em porcentagem,
quanto da variação na resposta é explicada pela regressão em questão.
Para obter o coeficiente de determinação, devemos somar as somas de quadrados das regressões de grau mais baixo até aquela que determinou o grau
da equação. O resultado deve ser dividido pela SQTrat, isto é:
O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?
%01,888801,083,1941
84,128515,4232
SQTrat
SQRQSQRLR
Isso significa que da variação existente nos resultados 88,01% da variação é explicada pela equação de 2.o grau.
31
Exemplo 1Exemplo 1
No R:require(ExpDes.pt)dic(dose, y, quali=F, sigT = 0.05, sigF = 0.05 )------------------------------------------------------------------------Quadro da analise de variancia------------------------------------------------------------------------
GL SQ QM Fc Pr>FcTratamento 6 1941.83 323.64 7.668 0.00018763Residuo 21 886.34 42.21 Total 27 2828.17 ------------------------------------------------------------------------CV = 4.15 %------------------------------------------------------------------------Teste de normalidade dos residuos (Shapiro-Wilk)p-valor: 0.5471519 De acordo com o teste de Shapiro-Wilk a 5% de significancia, os residuos podem ser considerados normais.
32
considerados normais.------------------------------------------------------------------------
Ajuste de modelos polinomiais de regressao------------------------------------------------------------------------$`Modelo linear------------------------------------------------------------------------`
Estimativa Erro.padrao tc p.valorb0 150.565179 2.21336 68.02553 0.00000b1 0.038875 0.01228 3.16635 0.00465
$`R2 do modelo linear: 0.217915
$`Analise de variancia do modelo linear`GL SQ QM Fc p.valor
Efeito linear 1 423.1544 423.15438 10.03 0.00465Desvios de Regressao 5 1518.6778 303.73555 7.2 0.00046Residuos 21 886.3375 42.20655
------------------------------------------------------------------------$`Modelo quadratico------------------------------------------------------------------------`
Estimativa Erro.padrao tc p.valorb0 140.7839286 2.83537 49.65269 0e+00b1 0.2736250 0.04427 6.18121 0e+00b2 -0.0007825 0.00014 -5.51956 2e-05
$`R2 do modelo quadratico`: 0.8800954
$`Analise de variancia do modelo quadratico`GL SQ QM Fc p.valor
Efeito linear 1 423.1544 423.15438 10.03 0.00465Efeito quadratico 1 1285.8431 1285.84312 30.47 2e-05Desvios de Regressao 4 232.8346 58.20866 1.38 0.27505Residuos 21 886.3375 42.20655
------------------------------------------------------------------------$`Modelo cubico
33
$`Modelo cubico------------------------------------------------------------------------`
Estimativa Erro.padrao tc p.valorb0 138.24226566 3.13017 44.16449 0.00000b1 0.44306936 0.09887 4.48125 0.00021b2 -0.00230750 0.00081 -2.85509 0.00948b3 0.00000339 0.00000 1.91661 0.06900
$`R2 do modelo cubico: 0.9599384
$`Analise de variancia do modelo cubico`GL SQ QM Fc p.valor
Efeito linear 1 423.15438 423.15438 10.03 0.00465Efeito quadratico 1 1285.84312 1285.84312 30.47 2e-05Efeito cubico 1 155.04167 155.04167 3.67 0.069Desvios de Regressao 3 77.79298 25.93099 0.61 0.61327Residuos 21 886.33750 42.20655 -----------------------------------------------------------------------
No R:# gráfico de pontosplot(dose, y, pch=19, ylab="peso de 1000 sementes(gramas)",
xlab="dose de gesso (kg/ha)")
Exemplo 1Exemplo 1
16
0170
peso d
e 1
00
0 s
em
ente
s(g
ram
as)
O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?
34
0 50 100 150 200 250 300
14
0150
16
0
dose de gesso (kg/ha)
peso d
e 1
00
0 s
em
ente
s(g
ram
as)
No R:# Gráfico da regressão quadrática no R:curve(140.7835 + 0.2736*x - 0.00078252*x^2, lwd=3, add=T)
16
01
70
pe
so
de
10
00
se
me
nte
s(g
ram
as)
Exemplo 1Exemplo 1O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?
35
0 50 100 150 200 250 300
14
01
50
dose de gesso (kg/ha)
pe
so
de
10
00
se
me
nte
s(g
ram
as)
Podemos fazer também uma verificação do ajuste da equação de regressão, calculando os valores esperados ( ) através da equação, e os valores
observados (Yobs) pelas médias dos tratamentos:Y
Dose (X) Yobs
0 138,60 140,78
50 153,60 152,51
100 164,53 160,32
150 164,93 164,22
Y
Exemplo 1Exemplo 1O modelo se ajusta bem aos dados?O modelo se ajusta bem aos dados?
150 164,93 164,22
200 158,73 164,20
250 159,98 160,27
300 154,43 152,42
1094,80 1094,72
Espera-se queYobs Y
36
No R:y_chapeu = 140.7835 + 0.2736*doses - 0.00078252*dose^2DIC2<- data.frame(DIC,y_chapeu)
sum(tapply(DIC2$y_chapeu, DIC2$dose, mean))sum(xbarra)
No R:
16
01
70
pe
so
de
10
00
se
me
nte
s(g
ram
as)
Exemplo 1Exemplo 1Qual é oQual é o melhor tratamento?melhor tratamento?
No caso do exemplo 1, o melhor tratamento é a dose em que aumenta o peso de 1000 sementes (g). Logo, deve-se derivar a função obtida anteriormente para encontrar o ponto de máximo da função.
Alternativamente o ponto de máximo da função pode ser
obtido empiricamente:
37
# ponto máximo empíricoabline(h=164.7,col="red“,lty=2)abline(v=171,col="blue",lty=2)
0 50 100 150 200 250 300
14
01
50
16
0
dose de gesso (kg/ha)
pe
so
de
10
00
se
me
nte
s(g
ram
as)