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1
Resoluções
Extensivo Terceirão – Matemática 8A
8AMatemática
01.x
xxx
x x x
x x x x
+=
++
+ = ⋅ +
+ + = +=
7 147
7 14
14 49 14
49 0
2
2 2
( ) ( )
Como a igualdade obtida é falsa, os números x, x + 7 e x + 14 não podem estar, nessa ordem, em progressão geométrica.
02. dOs depósitos mensais formam uma progressão geométrica de razão 2.Assim:a
a
a a q
n
n
nn
n
n
1
11
1
1 11
1
2048
2048 1 2
2 2 12
==
= ⋅
= ⋅
= ⇒ =
−
−
−
A soma dos depósitos a cada 12 meses é:
Sa q a
q
S reais
1212 1
12
12048 2 1
2 14095
=⋅ −−
=⋅ −−
=
Portanto, em 21 anos o montante total dos depósitos foi de 21 4 095 00 85 995 00⋅ =R R$ . , $ . , .
03. dSejam x e y, respectivamente, o segundo e o terceiro termos da pro-gressão aritmética.Assim:PA x y
x y x y x
PG
x yx
x y
x x
( , , )
( , x , y)
( )
4
4 2 4
4 2
24 2
2 4
4
2
2
− = − ⇒ = −−
−=
−− =
− + 44 4 2 4
12 20 0 2 10
2 2 2 4 0
10 2 10 4
2
= ⋅ −
− + = ⇒ = == ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ −
( )x
x x x ou x
x y
x y ==16
Como os terceiros termos são estritamente positivos, então y =16.04. 12 (04, 08)
01) INCORRETO.O número de circunferências é 150 20 1 131− + = .
02) INCORRETO.Comprimento da maior circunferência:2 150 300π⋅ = mm
Comprimento da menor circunferência:2 20 40π⋅ = mm
Portanto, o comprimento da maior circunferência é 30040
7 5= , vezes o comprimento da menor.
04) CORRETO.( , , ,..., )40 42 44 300
2
PA
r =
08) CORRETO.a mm
a mm
S
1
131
131
2 20 40
2 150 300
40 3002
131 2
= ⋅ == ⋅ =
=+
⋅ =
π ππ π
π π22270 2227π πmm cm=
05. c
S
a a q
S
n n
n n
n
n n
= + + + +
= = =
=⋅ −
−=
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
1
12
2 3
1
...
; ;
⋅⋅ −
−= −
12
12
12
11
2n
Assim:Sn
n
n n
>
− >
< ⇒ <
0 99
11
20 99
12
0 011
21
100
,
,
,
Como 2 646 = e 2 1287 = , então n≥ 7.Portanto, o menor número n tal que Sn > 0 99, é 7.
06. dA distância total d percorrida corresponde a 15 vezes a medida dos lados dos quadradinhos.Assim:d cm= ⋅ =15 1 5 22 5, ,
07. cSejam x – r, x e x + r os três números em progressão aritmética.Assim:x r x x r
x x
− + + + == ⇒ =
30
3 30 10
( , , )
( , , )
10 4 10 4 10 9
14 6 1
614
16
36 14 14
− + − + −− +
−=+
= + − −
r r PG
r r PG
rr
r r rr
r r r ou r
r PA
r PA
2
2 13 22 0 2 11
2 8 10 12
11 1 10 21
− + = ⇒ = == ⇒= ⇒ −
( , , )
( , , )
Como os três números em progressão aritmética são positivos, então os termos da PA são 8, 10 e 12.
08.a) Os tempos gastos para resolver cada questão formam uma progres-
são geométrica de razão 2.a a a a a
a a a an n
n
1 2 3 2 1
1 2 3 2
63 5
31 5
+ + + + + =+ + + + =
− −
−
... ,
... ,
Atividades Série Ouro
2 Extensivo Terceirão – Matemática 8A
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:a
a
a a
S
n
n
nn
n
n
−
−
− −−
−
−
= −=
⋅ = ⇒ = =
=
1
1
11 1
1
5
27
1
63 5 31 5
32
2 322
22
63 5
3
, ,
,
22 2 22 1
63 5
2 0 5 212
2 2 8
7
7 7 7 1
⋅ −−
=
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
−
− − − −
n
n n n n
,
,
O número de questões da prova é 8.b) Como para resolver a penúltima questão o aluno gasta 32 minutos,
para resolver a última questão o aluno gasta 64 minutos.Assim:S a a a a a a
S
S
n n n n
n
n
= + + + + + += +=
− −1 2 3 2 1
63 5 64
127 5
...
,
,
Portanto, o tempo necessário para resolver todas as questões é 127,5 minutos.
09. 24Sejam x y r= − e z y r= + .
Assim:x y z
y r y y r
y y
+ + =− + + + == ⇒ =
48
48
3 48 16
Progressão aritmética: ( , , )16 16 16− +r r
Progressão geométrica: ( , , )16 16 16 8− + +r r
Portanto:16
1624
16
256 384 16 24
8 128 0 8 16
2
2
−=
+
= + − −
+ − = ⇒ = = −
rr
r r r
r r r ou r
Como a progressão aritmética é crescente, então r = 8.
Portanto:z r
z
z
= += +=
16
16 8
24
10. A medida de cada lado do quadrado A B C D1 1 1 1 é igual à medida decada diagonal do quadrado.
L L LL
2 1 212
22
= ⇒ =
A medida de cada lado do quadrado A B C D2 2 2 2 é igual à medida de
cada diagonal do quadrado A B C D3 3 3 3 .
L L LL
3 2 322
22
= ⇒ =
Assim, a sequência ( , , , ...)L L L1 2 3 é uma progressão geométrica de
razão 2
2.
Sendo ℓ a medida dos lados do quadrado A B C D1 1 1 1 , temos:
L L
L
50 1
49
50
49
22
22
= ⋅
= ⋅
n
11. d10 6400
10 2 10
10 10 10
10 10
3 807
6 2
0 3012 6 2
18072 2
x
x
x
x
x
=
= ⋅
= ⋅
==
+
( )
,
,
,
22
12. aO logaritmo na base 10 de 999999999 é um número entre 8 e 9, pois 10 999999999 108 9< < .Assim, log( ) ,d999999999 8 1= (d1 é a parte decimal). O logaritmo na base 10 de 8 1,d é um número entre 0 e 1, pois 10 8 100
11< <,d .
Assim, log( , ) ,8 01 2d d= (d2 é a parte decimal).O logaritmo na base 10 de 0 2,d é um número negativo, pois 0 102
0,d < .Assim, log( ,d )0 2 = −k , sendo k um número positivo. O logaritmo de um número negativo não é real.Portanto, para que apareça uma mensagem de erro a tecla LOG preci-sa ser pressionada 4 vezes.
13. dlog , ,2 0 3 10 20 3= ⇒ =
Assim:x
x
x
=
=
= = =
100
10
10 2 4
0 3
2 0 3
0 3 2 2
,
,
,
( )
( )
14. b2x x
x
2
2
2
2
2
e (e 1) e e 0
e m
m (e 1) m e 0
[ (e 1)] [ (e 1)] 4 1 ( e)m
2 1
e 1 e 2e 1 4em
2
e 1 e 2e 1m
2
e 1 (e 1)m
2e 1 (e 1)
m m e ou m 12
− − ⋅ − =
=
− − ⋅ − =
− − − ± − − − ⋅ ⋅ −=⋅
− ± − + +=
− ± + +=
− ± +=
− ± += ⇒ = = −
e m
e e x
e x
x
x
x
=
= ⇒ =
= − ⇒ ∉
1
1
Portanto, o conjunto solução da equação é S = { }1 .
3Extensivo Terceirão – Matemática 8A
15.a) As quantidades de visualizações do vídeo em cada dia formam uma
progressão geométrica de razão 3.
DiasQuantidade de visualizações do vídeo
em cada dia
1 7x
2 21x
3 63x
4 189x
5 567x
Assim:7 21 63 189 567 12705
847 12705
15
x x x x x
x
x
+ + + + ==
=
Observação: Outra maneira de determinar o valor de x é utilizar a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.
b)a x
q
ann
n
n
1
1
1
1
7 7 15 105
3
2066715
105 3 2066715
3 19683
3
= = ⋅ ===
⋅ =
=
=
−
−
− 33 1 9 109 ⇒ − = ⇒ =n n
Portanto, no décimo dia o vídeo teve 2066715 visualizações.
01. dInicialmente, tem-se:
11 1
1
32
10 5 3
3
10
5 3 10
3 10
+ +
=
+ +
=
=+ +( )
= −
xx
x xx
x x
xx
( )330 5 3 101⋅ + +[ ( )]x x
Utilizando o termo geral, tem-se:
T x C x x
T x C C x x
T x
p p p
ppk k p k
= ⋅ ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
− −
− −
3010
5 3 10
3010
3 5
1( )
( ) ( )−− −
− −
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
3010
3 5 5
105 2 30
C C x x
T C C x
ppk k p k
ppk p k
Para que o expoente de x seja igual a 3, deve-se ter 5p – 2k – 30 = 3, ou seja:
pk
=+2 335
Observando que 0 ≤ k ≤ p ≤ 10, tem-se p = 7 e k = 1 ou p = 9 e k = 6. Logo:
T C C x C C x
T C C C C x
T
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ +
107
71 3
109
96 3
107
71
109
96 3
120 7
( )
( 110 84
1680
3
3
⋅ ⋅
= ⋅
) x
T xPortanto, o coeficiente de x3 é igual a 1680.
02. V – F – V – V – V00) VERDADEIRA.
20
13
20
2
21
8
20
13
20
2
20
7
+
=
+
=
x
x
+
+
=
+
20
8
20
13
20
2
20
13
20
8
2
x
00
2
20
13
132
72
2 13 2 13 20
x
x ou x
x ou x
=
= =
= + =
Logo, a e b ou a e b= = = =132
72
72
132
, . Portanto,
a b+ = + = =132
72
202
10.
01) FALSA.
1x
1x
1x
1x
1x
8 8
2+
⋅ −
= +
⋅ −
= −x x x x x
822
8
Logo, o desenvolvimento possui 9 termos.02) VERDADEIRA.
56
15 3
6
25 3 3 5 3 2 646 5 4 2 6 6 6−
⋅ +
⋅ − + = − = =... ( )
03) VERDADEIRA.
C C C C C C C60
61
62
63
65
66 6
642 64 15 49+ + + + + = − = − =
04) VERDADEIRA.
n n n
n
n
n
0 1256
2 2
8
8
+
+ +
=
==
...
03. eT C
T C
T
6 105
6 105 5 5
6
2 7
2 7
252 7
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅
( (cos ) sen )
cos sen
5 5
5 5
θ θ
θ θ55 5
65 5
62 6
2
36 7 7 2
6 7 2
⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
sen cos
sen cos
sen
5 5
5
θ θ
θ θ
θ
T
T
( )
( ))
( !) ( )T62 63 7 2= ⋅ ⋅ sen 5 θ
04. cSeja x = +3 93 3 , então, elevando ao cubo ambos os membros da igualdade, tem-se:
x
x
x
3 3 3 3
3 3 3 3 2 3 1 3 1 3 2 3 3
3
3 9
3 3 3 9 3 3 9 9
3
= +
= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +
= +
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
33 3 9 3 9 9
3 3 9 12
3 3 12
3
3 3 3 3
3 3
3 33
3
⋅ ⋅ ⋅ + +
= ⋅ ⋅ ⋅ +
= ⋅ ⋅ +
= ⋅
( ) ( ) ( )
( ) ( )x x
x x
x 33 12
9 12
9 12 0
3
3
⋅ +
= +
− − =
x
x x
x x05. b
Utilizando o termo geral, tem-se:T C x x
T C C x x
T C C x
p p p
ppk k p k
ppk p k
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
−
−
+
102 10
102
10
1( )
( )
Para que o termo seja independente de x, deve-se ter p + k = 0.Observando que 0 ≤ k ≤ p ≤ 10, tem-se p = k = 0, ou seja:
T C C x
T x
T
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅=
+100
00 0 0
01 1
1Portanto, o coeficiente do termo independente de x, nessa expansão, é igual a 1.
06. eTT
CC
TT
1
2
63 3 3
64 4 2
1
2
0 44 0 560 44 0 56
20 0 5615
=⋅ ⋅⋅ ⋅
=⋅⋅
( , ) ( , )( , ) ( , )
,00 44
4 563 44
5633
170,
,=⋅⋅
= ≅
07. d[( ) ( )] [( ) ]
[( ) ( )] [(
x y x y x y
x y x y x
+ + ⋅ + − = + −
+ + ⋅ + − =
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1
3 2 2 3
3 ++ − ⋅ + ⋅ +
+ ⋅ + ⋅ −
+
2 3 2 1
3 2 1 1
2
2 3 2 2 2 1
2 1 2 2 2 3
y x y
x y
x
) ] [( ) ] ( )
[( ) ] ( ) ( )
[( yy x y x y x y x y+ ⋅ + − = + − ⋅ + + ⋅ + −1 2 1 2 3 2 3 2 13 6 4 2) ( )] ( ) ( ) ( )
Observando que (x + 2y)6 possui 7 termos do sexto grau, que (x + 2y)4 possui 5 termos do quarto grau, que (x + 2y)2 possui 3 termos do segundo grau e que –1 é o termo independente, conclui-se que o desenvolvimento possui 7 + 5 + 3 + 1 = 16 termos.
Resoluções
1Extensivo Terceirão – Matemática 8B
8BMatemáticaAtividades Série Ouro
08. 12 (04, 08)01) FALSA.
Se o desenvolvimento desse binômio possui cinco termos, então n = 4. Para calcular a soma dos coeficientes, podemos substituir x = 1:
11
12 162
3
44+
= =
02) FALSA.Se n = 4, então o binômio possui 5 termos e o termo médio é o 3°. Nesse caso, o coeficiente do termo médio desse binômio é igual a:C 4
2 6= .04) VERDADEIRA.
Se o expoente é igual a n, então o binômio possui (n + 1) termos. Logo, se n é ímpar, necessariamente (n + 1) é par.
08) VERDADEIRA.Considerando que a soma dos coeficientes é igual a 64 e substi-tuindo x = 1, temos:
11
164
2 2
6
23
6
+
=
==
n
n
n16) FALSA.
O primeiro termo é igual a T C x x xnn n
10 3 0 2 0 2= ⋅ ⋅ =− −( ) ( ) .
O último termo é igual a T C x x xn nn n n n n
+− − −= ⋅ ⋅ =1
3 2 3( ) ( ) .O produto destes termos é igual a T T x x x xn
n n n n n1 1
2 3 2 3⋅ = ⋅ = =+− − − .
09. aO termo geral do binômio é dado por:T C
T C
pp p p
pp
pp
p
+−
+−
−
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
1 453 45
1 453 45
452
5 2 3
5 2 3
( ) ( )
Como Cp p45
452⋅ − é racional para qualquer p natural, para que o termo geral seja racional, é necessário e suficiente que p seja divisível por 3 e por 2, pois nesse caso, os expoentes das potências de bases 5 e 3, respecti-vamente, são números inteiros. Portanto, p deve ser um número natural divisível por 6 e não maior do que 45. Para cada valor de p que satisfaz essas condições, há um termo racional do desenvolvimento do binômio. Logo, p ∈ {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}, ou seja, existem 8 parcelas racionais.
10. bSe (a, b, c) são números não nulos e formam, nesta ordem, uma progres-
são geométrica, então ba
cb
= . Se o 2°, 3° e 5° termos do desenvolvimen-
to de (2 + X)5 estão, nesta ordem, em progressão geométrica, então:TT
TT
C xC x
C xC x
xx
3
2
5
3
52 2 3
51 1 4
54 4 1
52 2 3
2
1
22
22
8080
1
=
⋅ ⋅⋅ ⋅
= ⋅ ⋅⋅ ⋅
⋅⋅
= 0080
808
4
2
2
⋅⋅
=
>=
xx
xx
xx ( )Portanto, x = 8.
11. dObserve que:
•++⋅
=
++
=
+
→
= +
⋅+n n n n n
n
n10 1 0
1
0 1
1
1 01
1
1
11
11 1 1
1
1 1
1
212 1
++⋅
=
++
=
+
→ ⋅
•n n n n n
= +
⋅+
++⋅
=
++
=
+
•
11
1
2
12 1 2
1
2 1
1
3
n
n
n n n n→ ⋅
= +
⋅+
13 2
11
1
3
n
n
n
•++⋅
=
++
→ +
⋅
= +
⋅++
nn
n
n
n
n n
n
n n
n
n11
1
11
11
1
1
1
Logo:
n n n n1 1 1... é igual a :
0 1 2 n2 3 n 1
n 1 n 1 n 1 n 11...
1 2 3 n 1n 1
+ + + + +
+ + + + ⋅ + + + + ++
Portanto:
n n n
n
n
n nn
012 1
13 2
11
11
2 1
+
+
+ ++
=+
⋅ −+...nn
n n n
n
n
n
+
+
+
+ ++
1
0
012 1
13 2
11
...
=+
⋅ −
+
+
+ +
+11
2 1
012 1
13 2
1
1
n
n n n
n
n[ ]
...++
= −+
+
12 1
1
1n
n n
n
12. c
13
1
=
+
n
kn
kUtilizando a relação de Fermat, tem-se:133 3
4 3
=+−
+ = −= +
k 1n k
k n k
n k13. b
7! = 8 ∙ (n – 1)! – 7207 ∙ 6! = 8 ∙ (n – 1)! – 6!7 ∙ 6! + 6! = 8 ∙ (n – 1)!(7 + 1) ∙ 6! = 8 ∙ (n – 1)!8 ∙ 6! = 8 ∙ (n – 1)!6! = (n – 1)!6 = n – 1n = 7Portanto, n é um número ímpar
14. e
E
E
=⋅+
⋅+
⋅+ +
⋅
= −
+ −
11 2
12 3
13 4
11 999 2 000
11
12
12
13
...
+ −
+ + −
= −
=
13
14
11999
12000
11
200019992000
...
E
E
EE
E
E
=⋅
= ⋅
= ⋅
−
−
19992 10
999 5 10
9 995 10
3
3
1
,
,15. b
E
E Cnn
=−
=
=
−
=
∑
∑
n
n 1n 1
p
n 1
p1
E C C C C C C
E C C C C C C
pp= + + + + + +
= + + + + + +
−10
21
32
43
54 1
20
21
32
43
54
...
... ppp −1
Utilizando a relação de Stifel, sucessivas vezes, tem-se:E C C C C C Cp
p= + + + + + + −( ) ...20
21
32
43
54 1
2 Extensivo Terceirão – Matemática 8B
E C C C C C
E C C C C C
E C
pp
pp
= + + + + +
= + + + + +
= +
−
−
31
32
43
54 1
31
32
43
54 1
42
( )
CC C C
E C C C C
E C C C
E
pp
pp
pp
43
54 1
42
43
54 1
53
54 1
+ + +
= + + + +
= + + +
=
−
−
−
( )
(( )C C C
E C C
pp
pp
53
54 1
64 1
+ + +
= + +
−
−
Prosseguindo da mesma forma, tem-se:E C C
E C
pp
pp
pp
= +
=
− −
+−
2 1
11
Utilizando o fato de que combinações com taxas complementares são iguais, tem-se:
E C
E C
Ep p
Ep p
pp p
p
=
=
=+ ⋅
=+ ⋅
++ − −
+
11 1
12
1212
( )
( )!
( )
16. 85 No produto dos cinco fatores, o termo em x2 ocorrerá nos casos em que multiplicamos dois fatores do 1o. grau, de dois binômios distintos, e três fatores de grau zero, dos demais binômios. Como C5,2 = 10, exis-tem 10 produtos de dois fatores do 1o. grau que originam um termo em x2. Os produtos são os seguintes:5 ∙ 4 + 5 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 5 ∙ 1 + 4 ∙ 3 + 4 ∙ 2 + 4 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 85Logo, o coeficiente de x2 da expansão é igual a 85.
17. d Observe que:
( !) ( )! !( )! !
! ! ( ) ! !( ) ( ) !
n n nn n
n n n n nn n n n
2 12
12 1
+ + ⋅+ ⋅
=⋅ + + ⋅ ⋅+ ⋅ + ⋅ ⋅ !!
! ! [( ) ]( ) ( ) ! !
( !) ( )! !(
=⋅ ⋅ + ++ ⋅ + ⋅ ⋅
=+
+ − ⋅−
n n nn n n n n
n nn
1 12 1
11
11
2
))! !! ! !( )! !
! ( )!( )! !⋅
=⋅ + ⋅−
=⋅ ⋅ −− ⋅
=n
n n nn n
n n nn n
n0
11
1
Logo:
( !) ( )! !( )! !
( !) ( )! !( )! !
n n nn n
n nn n
n
2
2
12
11
11
+ ++
+ −−
+
= + 1
n 1
1
n 1n nn n n
+=
+⋅ + − ⋅ = −
11
1 1 1( )
18. 414Utilizando o termo geral, tem-se:
T C x x
T C C x x
T C C x
p p p
ppk k p k
ppk p k
= ⋅ + ⋅
= ⋅ ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
−
−
+
92 9
92
9
1( )
( )
Para que o termo seja independente de x, deve-se ter p + k = 4.Observando que 0 ≤ k ≤ p ≤ 9, tem-se p = 4 e k = 0, ou p = 3 e k = 1 ou p = k = 2, ou seja:
T C C x C C x C C x
T C C C C C C
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅94
40 4
93
31 4
92
22 4
94
40
93
31
92( 22
2 4
4
4
126 1 84 3 36 1
414
)
( )
⋅
= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅
x
T x
T xPortanto, o coeficiente do termo em x4 é igual a 414.
19. e I. VERDADEIRA.
De acordo com o teorema das combinações com taxas comple-
mentares, tem-se: 50
32
50
18
=
, pois 32 + 18 = 50
II. VERDADEIRA.De acordo com a propriedade da soma das combinações de uma mesma linha, tem-se:
20
0
20
1
20
2
20
202 20
+
+
+ +
=... (linha 20).
III. VERDADEIRA.De acordo com a propriedade da soma das combinações de uma mesma coluna, tem-se:
12
12
13
12
14
12
32
12
33
13
+
+
+ +
=
... (coluna 12)
20. a18 18
182 2 8
0
18
0
18
1818 3 6 6
0
18!! !
!! ( )!
( ), a b a a
Ca b a
a
a= = =∑ ∑= ⋅ −
= = = =∑∑
21. 17 (01, 16)01) VERDADEIRA.
nn
nn
n nn
nn n
nn
!( )!
( )!( )!
( )!( )!
( )!( ) ( )!−
⋅−−
=⋅ −−
⋅−
− ⋅ −=
121
11
21 2 −−1
02) FALSA.C C nn n n, ,− = =1 1
04) FALSA.Px – 1 = 5040(x – 1)! = 7!x – 1 = 7x = 8Logo, x é um número par.
08) FALSA.Se o polinômio possui 13 termos, então o expoente do binômio deve ser igual a 12, ou seja, 3n = 12. Logo, n = 4. Portanto, n é um número par.
16) VERDADEIRA.Os divisores naturais e pares de 12 constituem o conjunto {2, 4, 6, 12}. A quantidade de produtos de 3 fatores distintos é igual a C4,3 = 4.
3Extensivo Terceirão – Matemática 8B
01. ax y y
xm
x y yx
m
− + = ⇒ = + ⇒ =
− − − = ⇒ = − − ⇒ =−
2 1 02
12
12
2 1 02
12
12
Como os coeficientes angulares das retas são distintos e 12
12
1⋅ −
≠ − ,
as retas são concorrentes e não perpendiculares entre si.02. a
m m
s y x
y x
x y
r s=−−
= − ⇒ =
− = ⋅ −== ⇒ = ⋅ =
1 00 3
13
3
0 3 0
3
5 3 5 15
: ( )
Portanto, a reta s passa pelo ponto ( , )5 15 .
03. d2 3 12
0 2 0 3 12 4 0 4
0 2 3 0 12 6 6 0
x y
x y y A
y x x B
− == ⇒ ⋅ − = ⇒ = − → −= ⇒ − ⋅ = ⇒ = →
( , )
( , )
Sendo M o ponto médio do segmento AB, temos:
M0 6
24 02
3 2+ − +
= −, ( , )
04. eA distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto qual-quer de uma delas à outra.Assim:( )
( , )
s x y
y x x
: 4 3 8 0
0 4 8 0 2 2 0
− − == ⇒ − = ⇒ = →
( )
( )
r x y
d
d
: 4 3 17 0
4 2 3 0 17
4 3
255
5
2 2
− + =
=⋅ − ⋅ +
+ −
= =
05. bax by c
by ax c
yab
xcb
+ + == − −
= − ⋅ −
0
Como ab> 0, então a e b são diferentes de 0. Assim, a reta não é
paralela ao eixo x nem ao eixo y. Além disso, o coeficiente angular da
reta é − <ab
0 , ou seja, a reta é descendente (a função corresponden-
te é decrescente).Ponto de intersecção da reta com o eixo das abscissas:
yab
xcb
yab
xcb
xca
ca
= − ⋅ −
= ⇒ = − ⋅ − ⇒ = − → −
0 0 0,
06. cr y x m r: = + ⇒ =2 7 2
Assim, o coeficiente angular da reta s, que contém a outra diagonal é
m s = −12
.
Equação da reta s:
y x
y x
x y
− = − ⋅ − −
− = − −+ + =
112
3
2 2 3
2 1 0
( ( ))
07. dy x
xx e y
y x
yx e y
x
yx e y
= − +=
⇒ = =
= − +=
⇒ = =
==
⇒ = =
2 9
11 7
2 9
14 1
1
11 11
Os vértices do triângulo são os pontos A( , )1 1 , B( , )4 1 e C( , )1 7 . O triân-
gulo ABC é retângulo e os catetos medem 4 1 3− = e 7 1 6− = .Portanto:
3 6Área 9
2⋅= =
08. 0,5 u.c.A altura h do trapézio é a distância entre as retas suportes das bases.Assim:3 4 10 0
1 3 4 1 10 0 2 2 1
x y
y x x
− + == ⇒ − ⋅ + = ⇒ = − → −( , )
6 8 15 0
6 2 8 1 15
6 80 5
2 2
x y
h
− + =
=⋅ − − ⋅ +
+ −=
( )
( ),
09. b12 5 60
0 12 0 12
0 5 5 0
x y
x y
y x
+ == ⇒ = →= ⇒ = →
( , )
( , )
y
x0 5
12
r
r r
rr
5 – r
12 – r 12 – r
5 – r
Medida da hipotenusa do triângulo retângulo:
a
a
a a
2 2 2
2
2
5 12
25 144
169 13
= +
= +
= ⇒ =
Portanto:5 12 13
17 2 13
2 4 2
− + − =− == ⇒ =
r r
r
r r
1
Resoluções
Extensivo Terceirão – Matemática 8C
8CMatemáticaAtividades Série Ouro
10. 31 (01, 02, 04, 08, 16)01) CORRETO.
y
x0 A(2, 0) C(7, 0)
B(7, 1)
O triângulo ABC é retângulo em C.02) CORRETO.
5 1 5Área u.a.
2 2⋅= =
04) CORRETO.x x
y y
y x y
x y
x y y
2 7
0 10
2 7 2 0
5 2 0
0 0 5 2 025
=
+ − − =− − =
= ⇒ − − = ⇒ = −
Portanto, a reta AB intersecta o eixo das ordenadas no ponto
025
, −
.
08) CORRETO.Coeficiente ângulo da reta AB:
mAB =−−
=1 07 2
15
Ponto médio do segmento AB:2 7
20 1
292
12
+ +
=
, ,
Portanto, a equação da mediatriz r do segmento AB é:m
y x
y x
x y
r = −
− = − ⋅ −
− = − +
+ − =
5
12
592
12
5452
5 23 0
16) CORRETO.x x+ = ⇒ = −5 0 5 A equação da reta BC é x = 7. Ambas as retas são verticais e paralelas entre si.
11. 22 (02, 04, 16)01) INCORRETO.
3 2 5 0
3 2 22
55 0
64
55 0
x y
falso
− + =
⋅ − ⋅ + =
− + = ( )
02) CORRETO.
3 2 5 0
3 52
x y
yx
− + =
=+
Se x é racional, então y é irracional.04) CORRETO.
yx
m
tg m
r
r
=+
⇒ = =
= =
3 52
32
1 5
1 5
,
,θ
Como tg tgθ > ° =45 1, o menor ângulo que a reta r forma com o
eixo das abscissas é maior que 45°.
08) INCORRETO.
s x y
y x m s
: 6 3 3 5 0
2 5 2
− + =
= + ⇒ =
Como r sm m≠ , as retas não são paralelas.
16) CORRETO.
yx
x y
=+
= ⇒ =
3 52
05
2Portanto, a reta r intersecta o eixo das ordenadas no ponto
05
2,
.
12. 31 (01, 02, 04, 08, 16)y
x0A
B
C
s r
t
r sy x
xx e y B
r ty x
x yx e y A
∩==
⇒ = = →
∩=+ − =
⇒ = = →
:
:
44 4 4 4
2 01 1 1
( , )
( , 11
4
2 04 2 4 2
)
( , )s tx
x yx e y C∩
=+ − =
⇒ = = − → −:
01) CORRETO.
4 1 4 41Área
4 1 2 42
1Área 4 2 16 8 4 4 9
2
= ⋅−
= ⋅ − + + − − =
02) CORRETO.
AB
AC
BC
= − + − =
= − + − − =
= − + − − =
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 1 4 1 18
4 1 2 1 18
4 4 2 4 6
2 2
2 2
2 2
Como 6 18 182 2 2= +( ) ( ) , o triângulo é retângulo no vértice A.
04) CORRETO.
O triângulo é isósceles, pois AB AC= = 18. 08) CORRETO.
A altura relativa ao lado BC mede 4 – 1 = 3.16) CORRETO.
O ponto B( , )4 4 pertence ao primeiro quadrante.
13. 15 (01, 02, 04, 08)01) VERDADEIRA.
k
k
k
⋅ + ⋅ − − =− − ==
1 5 2 7 0
10 7 0
17
( )
02) VERDADEIRA.
k
verdadeiro
⋅ + ⋅ − =
=
0 575
7 0
0 0 ( )
Assim, para qualquer valor de k a reta r passa pelo ponto 075
,
.
Para que a reta s passe por esse ponto, devemos ter:
2 Extensivo Terceirão – Matemática 8C
4 075
5 0
75
5257
⋅ + ⋅ − =
= ⇒ =
k
kk
04) VERDADEIRA.
r kx y ykx
mk
s x ky yx
k km
k
r
r
s
:
:
/
+ − = ⇒ =−
+ ⇒ =−
+ − = ⇒ =−
+ ⇒ =−
5 7 05
75 5
4 5 04 5 4
//sk
kk k ou k⇒
−=−
⇒ = ⇒ = = −5
420 2 5 2 52
08) VERDADEIRA.Sendo t a reta perpendicular à reta s no ponto ( , )2 1 , temos:
s x ky
k k
k m m
t y
s t
:
:
4 5 0
4 2 1 5 0 3
343
43
34
134
+ − =⋅ + ⋅ − = ⇒ = −
= − ⇒ =−−
= ⇒ = −
− = − ⋅⋅ −
− = − ++ − =
( )x
y x
x y
2
4 4 3 6
3 4 10 0
16) FALSA.k
r y y
=
− = ⇒ =
0
5 7 075
:
Portanto, a distância do ponto ( , )−1 3 à fera r é:
375
85
− =
14. 90 (02, 08, 16, 64)01) INCORRETO.
r y x
y x x
: 2 3
0 2 0 3 3
= −= ⇒ ⋅ = − ⇒ =
Portanto, A( , )3 0 .
02) CORRETO.r y x
x y y
: 2 3
0 2 0 332
= −
= ⇒ = − ⇒ =−
Portanto, B 032
, −
e C 0
32
,
.
04) INCORRETO.A distância entre r e s é a distância do ponto C à reta r. r y x
x y
dC r
: 2 3
2 3 0
0 23
23
1 2
6
52 2
= −− − =
=− ⋅ −
+ −=,
( )
08) CORRETO.r y x
yx
m
s r m
t r m
r
s
t
:
//
2 3
232
12
12
2
= −
= − ⇒ =
⇒ =
⊥ ⇒ =−
16) CORRETO.A reta t passa pelo ponto A( , )3 0 .
y x
y x
− = − ⋅ −= − +
0 2 3
2 6
( )
32) INCORRETO.A reta horizontal que passa pelo ponto A( , )3 0 é o eixo das abscis-
sas, cuja equação é y = 0.
64) CORRETO.A equação da reta vertical que passa pelo ponto A( , )3 0 é x = 3.
15. ey
x0
c
b
aA
B
D
E
C
t
s
2
10
4 x2
y1
r
Observe na figura que os triângulos ABD e ACE são semelhantes.Assim:ADAE x
xx
=
= ⇒ =
4
1020
48
2
22
Assim, a reta r passa pelos pontos ( , )4 1y e ( , )8 10 . A reta s passa pelos
pontos ( , )4 1y e ( , )8 0 . Como as retas são perpendiculares, temos:
my y
my y
m m
y y
r
s
r s
=−−
=−
=−−
=−
⋅ = −
−⋅−
= −
10
8 4
10
40
8 4 41
10
4 4
1 1
1 1
1 1( ) ( )11
10 16 0 2 812
1 1 1y y y ou y− + = ⇒ = =
Como y 1 2> , então y 1 8= .
I. CORRETA.Equação da reta r:x x
y y
x y x y
x y
x y
a
4 8
8 100
8 40 8 10 64 4 0
2 4 24 0
2 12 0
0 0
=
+ + − − − =− + − =− + =
→( , ) −− + = ⇒ =2 12 0 6a a
II. INCORRETA.Os coeficientes angulares das retas s e t são iguais a:
m my
s t= =−
=−
= −1
48
42
III. INCORRETA.Como a= 6 e b = + =6 10 16, a ordenada do ponto médio é 6 16
211
+= , diferente de y 2 10= .
3Extensivo Terceirão – Matemática 8C
01. 2
prateada2 2
dourada
prateada
dourada
V 9 1,5V 13 1,5 9 1,5V 81 81 81V 169 81 88 88
π⋅ ⋅=π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅
π π= = =π− π π
02. cEmbalagem original:
1 L1V r h A 2 r h= π⋅ ⋅ = π⋅ ⋅Embalagem alterada:
22 L2V R H A 2 R H= π⋅ ⋅ = π⋅ ⋅
As condições do enunciado são:
1 22
2 2 2 2
L1 L2 L1
V V
H rr h R H r h R H (1)
h RA A 1,25 A
5 52 r h 2 R H 2 r h r h R H r h
4 4Dividimos por R h:
r H 5 r(2)
R h 4 R
=
π⋅ ⋅ = π⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = < ≤ ⋅
π⋅ ⋅ < π⋅ ⋅ ≤ ⋅ π⋅ ⋅ ⇒ ⋅ < ⋅ ≤ ⋅ ⋅
⋅
< ≤ ⋅
Substituímos (1) em (2):2r r 5 r r 5 4 R
1 1R R 4 R R 4 5 r
< ≤ ⋅ ⇒ < ≤ ⇒ ≤ <
Além disso:2 2
2r 5 r 5 H 251 1 1
R 4 R 4 h 16 < ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < ≤
03. a I. FALSA. Área lateral da lata quadrada: AL(Q) = 4 . 10 . 20 = 800 cm2
Área lateral da lata redonda: AL(R) = 2π . 5 . 20 = 200π ≅ 628 cm2
Assim, AL(R) < AL(Q).
II. VERDADEIRA. Volume da lata quadrada: V(Q) = 102 . 20 = 2000 cm3
Volume da lata redonda: V(R) = π . 52 . 20 = 500π ≅ 1570 cm3
Assim, V(R) < V(Q).
III. FALSA. Área total da lata quadrada: A T(Q) = AL(Q) + 102
A T(Q) = 800 + 100 = 900 cm2
Área total da lata redonda: A T(R) = AL(R) + π . 52
A T(R) = 200 π + 25 π = 225 π ≅ 706,5 cm2
Como T
T
A (R) 706,50,785
A (Q) 900= = , a quantidade de folha metálica
usada para produzir a lata redonda é aproximadamente 78,5% da quantidade necessária para produzir a lata quadrada.
04. O volume de concreto corresponde à diferença entre o volume de um prisma cujas dimensões são 18 metros, 5 metros e 5 metros e o volu-me de um cilindro de altura 5 metros e base com raio 4 metros. Assim:
2concreto
concreto
concreto3
concreto
V 18 5 5 4 5
V 450 80 3,14
V 450 251,2
V 198,8 m
= ⋅ ⋅ − π⋅ ⋅= − ⋅= −
=
05. cO volume de madeira é dado pela diferença entre o volume do lápis e o volume do grafite.
2 2 2 2madeira
madeira
madeira3
madeira
1 1V 4 150 4 12 1 159 1 3
3 3V (2400 64 ) (159 )
V 2464 160
V 2304 mm
= π⋅ ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ = π+ π − π+ π= π− π
= π
06. dNo enunciado, afirma-se que a pirâmide formada terá base quadran-gular e centro O. Considerando que a pirâmide tem vértice O, temos:
h
O’ 33
3
E
O
A = C
F
D
A base da pirâmide é um quadrado cujos lados medem 3 cm.Todas as arestas da pirâmide medem 3 cm.Sendo h a altura da pirâmide, temos:
3 2EO cm (metade da diagonal da )
2’ base=
Triângulo retângulo OO’E:2
2 2
2
2
3 23 h
2
9 2h 9
418 3 2
h h cm4 2
= +
⋅= −
= ⇒ =
2pirâmide
3pirâmide
1 3 2V 3
3 2
9 2V cm
2
= ⋅ ⋅
=
Resoluções
1Extensivo Terceirão – Matemática 8D
8DMatemáticaAtividades Série Ouro
07. d I. FALSA.
Sendo x a variação de altura de água no interior da piscina, em uma hora, temos:
3
2
1570 L 1,57 m
1,571,57 2 x x 0,125 m
4 3,14
=
= π⋅ ⋅ ⇒ = =⋅
Assim, h(t) 0,125 t= ⋅ (h é uma função afim).
II. VERDADEIRA.Como a função h é crescente, temos:
0 h(t) 1,57
0 0,125 t 1,57
0 t 12,56
≤ ≤≤ ⋅ ≤≤ ≤
Portanto, o domínio da função h éD {t | 0 t 12,56}= ∈ ≤ ≤ .
III. FALSA. O tempo total será de 12,56 horas.
12,56 h 12 h 0,56 h
12 h 0,56 60 min
12 h 33,6 min
12 h 33 min 0,6 min
12 h 33 min 0,6 60 s
12 h 33 min 36 s
= += + ⋅= += + += + + ⋅=
08. aNa figura a seguir, a região colorida corresponde à área da base do sólido retirado do cilindro.
D
A
F
10
10
A área dessa região é a diferença entre a área de um setor circular de 90° e raio 10 cm e a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 10 cm.
22
colorida10 10 10
A (25 50) cm4 2
π⋅ ⋅= − = π−
Assim, o volume do sólido retirado é:
3
V (25 50) 2
V (50 100) 50 ( 2) cm
= π− ⋅
= π− = ⋅ π−
09. b
A
x
B
10
FC
DE
60º
60º
20 – x
Triângulo retângulo ABD:x
tg60 x 10 3 cm10
° = ⇒ =
A altura h da água, quando o copo está sobre a superfície, é a soma da altura do cilindro CDEF com a metade da altura do cilindro ABCD.
x xh 20 x 20
2 210 3
h 20 (20 5 3) cm2
= − + = −
= − = −
10. aSeja L a medida das arestas do cubo. A base da pirâmide retirada é um triângulo equilátero cujos lados medem L 2 e cada face lateral dessa pirâmide é um triângulo retângulo isósceles (metade de um quadrado). Área total do cubo: 6 . L2
Área total do sólido após a pirâmide ser retirada:2 2 2 2
2 2L (L 2) 3 9L L 1,736 L 3 5,365L
2 4 2 2⋅ ⋅⋅ − ⋅ + = + =
Como 2
25,365L
0,896L
, a superfície externa sofreu uma redução de
aproximadamente 11%.
11. d
A
A
10
5 5
C
C
D
D
B
B M
M
N
N
P
As faces ABC e ACD do tetraedro ABCD, planificadas, formam um lo-sango ABCD. O segmento MN, com extremidades nos pontos médios dos lados do losango, mede 10 cm. Assim, a distância percorrida pelo inseto é MP + PN = 10 cm.
12. b
1
31 1
1 1 1 1
a r
a a 30r
93 a 30a 31a 93 a 3
== += + ⇒ = ⇒ =
Assim, como a progressão aritmética é (3, 6, 9), a base da pirâmide é um triângulo equilátero cujos lados medem 6 e a altura da pirâmide é 9.
2
pirâmide
pirâmide
1 6 3V 9
3 4
V 27 3
⋅= ⋅ ⋅
=
2 Extensivo Terceirão – Matemática 8D
13. d
1
1
P
M
AN B
CD Q
O baricentro de um triângulo equilátero divide qualquer mediana na razão 2:1. Assim, o plano que passa pelos baricentros A, B, C e D de-termina na pirâmide o quadrado MNPQ, cuja medida dos lados é 2/3
da medida dos lados da base da pirâmide, ou seja, 2 2
13 3
⋅ = . Sendo L a medida do quadrado ABCD, temos:
2 22
2
1 2 1 2L
2 3 2 31 2
L 2 (área do quadrado ABCD)9 9
= ⋅ + ⋅
= ⋅ =
14.
4
5
A
BP
O
N
S
Lh
M
130
220
Sendo h a altura da pirâmide, temos:
h 220 1304 5h 280 cúbitos
h 280 0,52 m 145,6 m
+=
=⋅ =
15. aVolume do objeto:
2
3
1V 4 4 1 4 3
3
V 16 16 32 cm
= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= + =
Densidade em g/cm3:3
3 36 3
10 g2400 kg/m 2400 2,4 g/cm
10 cm= ⋅ =
Sendo m a massa do objeto, temos:
m2,4 m 76,8 g 77 g
32= ⇒ =
16. aSe o cone é equilátero, então:
3cone
2
2 3 3
(2R) 3g 2R h R 3
210 3
V cm7
1 10 3R h
3 7
1 10 3 30R (R 3) R cm
3 7 7
= ⇒ = =
= π
⋅π⋅ ⋅ = π
⋅ ⋅ = ⇒ =
O cone e a pirâmide têm a mesma altura, de medida h =
3cone
2
2 3 3
(2R) 3g 2R h R 3
210 3
V cm7
1 10 3R h
3 7
1 10 3 30R (R 3) R cm
3 7 7
= ⇒ = =
= π
⋅π⋅ ⋅ = π
⋅ ⋅ = ⇒ =.O raio da base do cone equilátero e a aresta da base da pirâmide têm a mesma medida R.Portanto:
2
Pirâmide
3Pirâmide
3Pirâmide Pirâmide
1 6 R 3V R 3
3 43
V R23 30 45
V V cm2 7 7
⋅ ⋅= ⋅ ⋅
= ⋅
= ⋅ ⇒ =
17. cSendo L a medida dos lados da base da pirâmide e h a altura comum do cone e da pirâmide, temos:
2
cone
2pirâmide
L 2 2 2 2 L 4 cm
1(2 2) hV 83
1V 16 24 h3
= ⋅ ⇒ =
⋅π⋅ ⋅ π⋅ π= = =⋅ ⋅
18. a
Sendo h a altura da água no recipiente cilíndrico, temos:
cilindro cone
2 2
V V
16 h 8 24
336h 512
h 14 cm
=
π⋅ ⋅ = ⋅π⋅ ⋅
=
19. aSendo h a altura da água no recipiente cúbico, temos:
prisma cone
2 2
V V
110 h 8 9
3100h 576
h 5,76 m
=
⋅ = ⋅π⋅ ⋅
==
20. cA superfície lateral do cone foi construída com um setor circular de 240° e raio 15 cm. Assim, a geratriz do cone mede 15 cm e o compri-mento da base é igual ao comprimento do setor. Sendo R a medida do raio da base e h a altura do cone, temos:
360 2 15 360 15R 10 cm
240 2 R 240 R° π⋅= ⇒ = ⇒ =° π⋅
2 2 2
2 2 2
2
g h R
15 h 10
h 125
h 5 5 cm
= +
= +
=
=
3Extensivo Terceirão – Matemática 8D
01. eP x ix P x i x
x i
P i i i P i i i
P i P
( ) ( )
:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
+ ⋅ − = +=
+ ⋅ ⋅ − = ++ − ⋅ =
2
2
2
2
1 0 (( ) ( ) ( )
:
( ) ( ) ( )
− + ⇒ − ==
+ ⋅ ⋅ − = + ⇒ =
1 2 0 1
0
0 0 0 0 2 0 22
P i P
x
P i P i P Assim:P i P
P i
P i
( ) ( )
( )
( )
− =− ==
0 1
2 1
302. 6 + 4i
2 2 2
2 2
22
22
2 2
z a bi
z z 3 b
2aa bi a bi 3b 2a 3b b
3z z 52
(a bi) (a bi) 52
a b i 52
a b 52
2aa 52
3
4aa 52
9
13a 9 52 a 36 a 6 (a 0)
= ++ = ⋅
+ + + = ⇒ = ⇒ =
⋅ =+ ⋅ − =
− ⋅ =
+ =
+ =
+ =
= ⋅ ⇒ = ⇒ = >
Portanto:
ba
z i
= =⋅=
= +
23
2 63
4
6 4
03.2 3
3 2
1
3 2 1
3 22 2
xi y i
y i xi
x yi
x i i xi
x i i xi
+ = − += − + −
+ = −+ ⋅ − + − = −
− + − = −
( )
11
3 1 2 1
3 3
3 2
3 2
3 2 12
x i x
x i x i
y i xi
y i i i
y i i
− − + = −= ⇒ =
=− + −= − + − ⋅
= − + − = − + ii Portanto:x i
x e
x i sen
=
= = °
= ⋅ °+ ⋅ °
1 90
1 90 90
θ
(cos ) y i
y
tg
= − +
= − + =
=−= −
1
1 1 2
11
1
2 2( )
θ
Como o afixo de y pertence ao 2 .º quadrante, então θ = °− ° = °180 45 135 .
y i sen= ⋅ °+ ⋅ °2 135 135(cos )
04. ez z z z
x yi x yi x yi x yi
x y i x
x y x
x
⋅ + + =+ ⋅ − + + + − =
− ⋅ + =
+ + =
0
0
2 0
2 0
2 2 2
2 2
( ) ( )
22 2 2 2
2 2
2 1 0 1
1 1
+ + + = +
+ + =
x y
x y( ) A equação representa uma circunferência com centro no ponto
( , )−1 0 e raio 1 1= .05. a
2 2 2
2 2
2 2
c a 2abi b i 14i
c a b i (2ab 14)
c a b
0 2ab 14
2ab 14 0
ab 7
= + + ⋅ −
= − + ⋅ −
= −
= −
− ==
Como a, b e c são números inteiros positivos, então a= 7 e b =1.Portanto:c a b
c
c
= −
= −=
2 2
2 27 1
48
06. dw w
x x
x x
x x
1 2
2 2 2 2
2 2 2
2
0 7 2 7
7 2 7
14 49 4
=
+ − = − + +
− = − + +
− + = +
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
xx x
x x
2 14 49
28 417
+ +
= − ⇒ = −
07. cO afixo do número complexo z é o ponto A ( , )= −2 3 .O afixo do número complexo w é o ponto B ( , )= −5 5 .Sendo C o afixo do vértice não consecutivo a w, ou seja, o vértice oposto a w, tem-se que A é o ponto médio do segmento BC.
25
21
35
21
=+
⇒ = −
− =− +
⇒ = −
xx
yy
CC
CC
Portanto, o vértice é o número complexo − −1 i.
08. v = 2i
u i
tg
= + ⋅
= = =
32
12
123
2
13
33
θ
Como o afixo do número complexo u pertence ao 1.º quadrante, então θ = °30 . Assim, o argumento de v é igual a 3 30 90⋅ ° = °. v i sen
i
v i
= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅ + ⋅=
2 90 90
2 0 1
2
(cos )
v ( )
1
Resoluções
Extensivo Terceirão – Matemática 8E
8EMatemáticaAtividades Série Ouro
09. 135°
z z i
a bi a b i
a bi a b i
a a b
b
+ = +
+ + + = +
+ + + = +
+ + ==
2
2 2 2
2 2
2 2
6 2
6 2
6 2
6
2
( )
+ + =
+ + =
+ − = ⇒ = = −
a a b
a a
a a a ou a
2 2
2 2
2
6
2 6
2 0 1 2 Assim, z i1 1 2= + ou z i2 2 2= − + . Como o afixo de z i1 1 2= + pertence ao 1.º quadrante e o afixo de z i2 2 2= − + pertence ao 2 .º quadrante, o argumento de z 2 é o de
maior medida.Assim:z i
tg
2 2 2
22
1
13534
= − +
=−
= −
= ° =
θ
θπ
10. bz a bi
a bi i
a b
a b
= +
+ + =
+ + =
+ + =
2 1
2 1
2 1
2 2
2 2
( )
( )
A equação representa uma circunferência com centro no ponto ( , )0 2− e raio 1 1= .
11. b = –3A
B
C b
== −=
( , )
( , )
( , )
2 1
4 1
0
Como a área do triângulo ABC é igual a 12 unidades de área, temos:
12
2 4 0 2
1 1 112
2 4 2 4 24
6 6 24
6 6 24 6 6 24
3
⋅−
=
− − + =
− + =
− + = − + = −= −
b
b b
b
b ou b
b oou b = 5
Como b< 0, então b = −3.12. e
a) z w
z w
z w w z
z w
z z
z z z i ou
+ =⋅ =
+ = ⇒ = −⋅ =⋅ − =
− + = ⇒ = + ⋅
1
1
1 1
1
1 1
1 012
32
2
( )
zz i= − ⋅12
32
Portanto:
z = + −
= + =
12
32
14
34
12 2
b)z w
z w
z zw w
z w z w
z w
z w
+ =
+ =
+ + =
+ + ⋅ = ⇒ + = −
+ = −
+
1
1
2 1
2 1 1 1
1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2
( )
( 22 2 2
4 2 2 4
4 4 2 4 4
1
2 1
2 1 1 1
) ( )= −
+ + =
+ + ⋅ = ⇒ + = −
z z w w
z w z w13. c
1 2 31
21
2
11 2 3
1
+ + + + =+
⋅ =
⋅ +
= −+ + + +
⋅ +
...( )
( ... )
( )
nn
nn n
i
i
n
n n22 1= −
Para que a igualdade anterior seja verdadeira, o resto da divisão de n n⋅ +( )1
2 por 4 deve ser igual a 2.
Assim:n n
k
n n k
n n k
⋅ += +
⋅ + = +⋅ + = ⋅ +
( )
( )
( ) ( )
12
4 2
1 8 4
1 4 2 1
Portanto, necessariamente n n⋅ +( )1 é um múltiplo positivo de 4.14. 5i
z i
tg
1 1
11
1
= +
= =θ
Como o afixo de z 1 pertence ao 1.º quadrante, então θ = °45 . Assim, o argumento de z 2 é igual a 2 45 90⋅ ° = °. z i sen
z i
z i
2
2
2
5 90 90
5 0 1
5
= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅ + ⋅=
(cos )
( )
15. a
+ =
+ =
+ =
− =
+ − =
+ =
+ =
+ =
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2a 3bi 8
(2a) (3b) 8
4a 9b 64
b 2ai 4 2
b ( 2a) 4 2
4a b 32
4a 9b 64
4a b 32
Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:
8 32 4
4 32
4 4 32 4 28 7
7 4 11
2 2
2 2
2 2 2
2 2
b b
a b
a a a
a bi a b
= ⇒ =
+ =
+ = ⇒ = ⇒ =
+ = + = + =
2 Extensivo Terceirão – Matemática 8E