EstatEstatíísticastica e e ProbabilidadeProbabilidade

Aula Aula 0202: : ProbabilidadeProbabilidade

ITA ITA -- LaboratLaboratóóriorio de Guerra de Guerra EletrônicaEletrônica

EENEM 2008EENEM 2008

populapopulaççãoão

amostraamostrainferênciainferênciaestatestatíísticastica

((induinduççãoão))

probabilidadeprobabilidade((dedudeduççãoão))

DefiniDefiniççõesões

•• Um Um experimentoexperimento éé qualquerqualquer processoprocessoqueque permitepermite aoao pesquisadorpesquisador fazerfazerobservaobservaççõesões

•• Um Um eventoevento éé umauma colecoleççãoão de de resultadosresultados de um de um experimentoexperimento

•• O O espaespaççoo amostralamostral de um de um experimentoexperimento consisteconsiste de de todostodos ososeventoseventos posspossííveisveis

ExemploExemplo

•• experimentoexperimento:: lanlanççamentoamento de de doisdoisdadosdados

•• eventoevento:: soma dos soma dos valoresvalores éé parpar•• espaespaççoo amostralamostral::

S = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), S = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6) }(6,6) }

DefiniDefiniççãoão clcláássicassica

•• SuponhaSuponha queque um um experimentoexperimento tenhatenha n n eventoseventos simples simples diferentesdiferentes, , cadacada um dos um dos quaisquais com a com a mesmamesma chancechance de de ocorrerocorrer. Se o . Se o eventoevento A A podepode ocorrerocorrer emem s s dentredentre as n as n maneirasmaneiras, , entãoentão::

P(A) = nP(A) = nºº de de maneirasmaneiras comocomo A A podepode ocorrerocorrer = s= snnºº de de eventoseventos simples simples diferentesdiferentes nn

AproximaAproximaççãoão dada probabilidadeprobabilidadepelapela freqfreqüüênciaência relativarelativa

•• Realize (Realize (ouou observe) um observe) um experimentoexperimentoum um grandegrande nnúúmeromero de de vezesvezes e e contecontequantasquantas vezesvezes o o eventoevento A A ocorreocorreefetivamenteefetivamente. . EntãoEntão P(A) P(A) éé estimadaestimadacomocomo segue:segue:

P(A) = nP(A) = nºº de de ocorrênciasocorrências de Ade Annºº de de repetirepetiççõesões do do experimentoexperimento

Lei dos Lei dos grandesgrandes nnúúmerosmeros

•• Se Se sese repeterepete um um experimentoexperimento um um grandegrande nnúúmeromero de de vezesvezes a a probabilidadeprobabilidade pelapela freqfreqüüênciaênciarelativarelativa de um de um eventoevento tendetende parapara a a probabilidadeprobabilidade teteóóricarica..

ExemploExemplo no Excelno Excel

•• EstimarEstimar a a probabilidadeprobabilidade de de sairsair um um nnúúmeromero qualquerqualquer quandoquando lanlanççamosamosum dado um dado nãonão viciadoviciado

DefiniDefiniççõesões

•• A A probabilidadeprobabilidade de um de um eventoevento impossimpossíívelvel éé 00•• A A probabilidadeprobabilidade de um de um eventoevento cujacuja

ocorrênciaocorrência éé certacerta éé igualigual a 1a 1•• 0 0 ≤≤ P(A) P(A) ≤≤ 1 1 parapara qualquerqualquer eventoevento AA•• O O complementocomplemento de um de um eventoevento A, A, denotadodenotado

porpor AA’’, , consisteconsiste emem todostodos osos resultadosresultados ememqueque A A nãonão ocorreocorre::

P(AP(A’’) = 1) = 1—— P(A) P(A)

EventosEventos complementarescomplementares

P(A)P(A)

P(AP(A’’) = 1 ) = 1 —— P(A)P(A)

Diagrama de Vennárea total = 1

RegraRegra dada adiadiççãoão

P(AP(A∪∪B) = P(A) + P(B) B) = P(A) + P(B) —— P(AP(A∩∩B)B)

AA BBAA∩∩BB

DefiniDefiniççãoão

•• Os Os eventoseventos A e B A e B dizemdizem--se se mutuamentemutuamente excludentesexcludentes se se nãonãopodempodem ocorrerocorrer simultaneamentesimultaneamente

P(AP(A∩∩B) = 0B) = 0

ExercExercííciocio 55

a) Determine o a) Determine o eventoevento A A emem queque exatamenteexatamentedoisdois emem trêstrês componentescomponentes funcionamfuncionam

b) b) eventoevento B B emem queque pelopelo menosmenos doisdois dos dos componentescomponentes funcionamfuncionam

c) c) eventoevento C C emem queque o o sistemasistema funcionafuncionad) d) eventoseventos CC’’, A, A∪∪C, AC, A∩∩C, BC, B∪∪C e B C e B ∩∩CC

22

11

33

•• UmaUma empresaempresa de de engenhariaengenharia estestáá construindoconstruindotrêstrês ffáábricasbricas emem locaislocais diferentesdiferentes. . SejaSeja AAii o o eventoevento de de queque a a ffáábricabrica no local i no local i éécompletadacompletada nana data data contratadacontratada. Use as . Use as operaoperaççõesões de de uniãounião, , interseinterseççãoão e e complementocomplemento parapara descreverdescrever cadacada umauma das das situasituaççõesões a a seguirseguir emem termostermos de Ade A11, A, A22 e Ae A33, , desenhedesenhe diagramasdiagramas de Venn e de Venn e sombreiesombreie a a regiãoregião correspondentecorrespondente a a cadacada umauma::

ExercExercííciocio 66

a) a) pelopelo menosmenos umauma ffáábricabrica éé completadacompletada nanadata data contratadacontratada

b) b) todastodas as as ffáábricasbricas sãosão completadascompletadas nana data data contratadacontratada

c) c) somentesomente a a ffáábricabrica no local 1 no local 1 éé terminadaterminada nanadata data contratadacontratada

d) d) exatamenteexatamente umauma ffáábricabrica éé construconstruíídada nanadata data contratadacontratada

e) e) tantotanto a a ffáábricabrica do local 1 do local 1 ouou ambasambas dos dos outrosoutros doisdois sãosão construconstruíídasdas atatéé a data a data contratadacontratada

ExercExercííciocio 6 (cont.)6 (cont.)

ExercExercííciocio 77

•• Um Um sistemasistema podepode apresentarapresentar trêstrêstipostipos diferentesdiferentes de de defeitosdefeitos AAii (i = (i = 1,2,3)1,2,3)

P(AP(A11)=.12 P(A)=.12 P(A22)=.07 P(A)=.07 P(A33)=.05)=.05P(AP(A11∪∪AA22)=.13 P(A)=.13 P(A11∪∪AA33)=.14)=.14P(AP(A22∪∪AA33)=.10 P(A)=.10 P(A11∩∩AA2 2 ∩∩AA33)=.01)=.01

ExercExercííciocio 7 (cont.)7 (cont.)

a) a) qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque o o sistemasistema nãonãoapresenteapresente um um defeitodefeito tipotipo 1?1?

b) b) qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque o o sistemasistematenhatenha tantotanto o o defeitodefeito tipotipo 1 1 quantoquanto o o defeitodefeito tipotipo 2?2?

c) c) qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque o o sistemasistematenhatenha tantotanto o o defeitodefeito 1 1 quantoquanto o o defeitodefeitotipotipo 2 2 masmas nãonão apresenteapresente o o defeitodefeito tipotipo 3?3?

d) d) qualqual a a probabilidadeprobabilidade de de queque o o sistemasistematenhatenha pelopelo menosmenos doisdois dos dos defeitosdefeitos??

TTéécnicascnicas de de contagemcontagem

PermutaPermutaççõesões

•• QualquerQualquer seqseqüüênciaência ordenadaordenada de k de k objetosobjetos tomadostomados de um de um conjuntoconjunto de n de n objetosobjetos distintosdistintos éé chamadachamada umaumapermutapermutaççãoão de de tamanhotamanho k dos k dos objetosobjetos. O . O nnúúmeromero de de permutapermutaççõesõesde de tamanhotamanho k k queque podempodem ser ser construconstruíídasdas dos n dos n objetosobjetos éé denotadodenotadoporpor PPk,nk,n

ExemploExemplo

•• ExistemExistem vagasvagas de de representarepresentaççãoão ememdoisdois papaíísesses: : EstadosEstados UnidosUnidos e e JapãoJapão. . CincoCinco pessoaspessoas concorremconcorrem a a essasessasvagasvagas..

•• QuantasQuantas duplasduplas podempodem ser ser formadasformadas, , considerandoconsiderando--se se queque cadacada pessoapessoapodepode concorrerconcorrer a a apenasapenas umauma vagavaga??

AA BB CC DD EE

AA (A,B)(A,B) (A,C)(A,C) (A,D)(A,D) (A,E)(A,E)

BB (B,A)(B,A) (B,C)(B,C) (B,D)(B,D) (B,E)(B,E)

CC (C,A)(C,A) (C,B)(C,B) (C,D)(C,D) (C,E)(C,E)

DD (D,A)(D,A) (D,B)(D,B) (D,C)(D,C) (D,E)(D,E)

EE (E,A)(E,A) (E,B)(E,B) (E,C)(E,C) (E,D)(E,D)

11aa vagavagaEUAEUA

nn22 -- nn = n= n··(n(n--1)1)25 25 -- 5 = 5 x 4 = 205 = 5 x 4 = 20

ConjuntosConjuntos ordenadosordenados(a (a ordemordem interessainteressa))

22aa vagavagaJapãoJapão

ExemploExemplo

•• ExistemExistem vagasvagas de de representarepresentaççãoão ememtrêstrês papaíísesses: : AlemanhaAlemanha, , EstadosEstadosUnidosUnidos e e JapãoJapão. . CincoCinco pessoaspessoasconcorremconcorrem a a essasessas vagasvagas..

•• QuantosQuantos trios trios podempodem ser ser formadosformados??

1a vaga 2a vaga 3a vaga

55 44 33x x = 60x x = 60

Pk,n = n!(n—k)!

PermutaPermutaççõesõesPk,n = n(n—1)(n — 2)...(n — k+2)(n — k+1)

Fatorial:m! = m(m—1)(m — 2)...(2)(1)0! = 1

Pk,n = n(n—1)(n — 2)...(n — k+2)(n — k+1) (n — k)(n —k — 1)...(2)(1)(n — k)(n —k — 1)...(2)(1)

ExercExercííciocio 88

•• ExistemExistem oitooito assistentesassistentes de aula de aula dispondisponííveisveis parapara corrigircorrigir provasprovas. O . O exameexame consisteconsiste de de quatroquatro questõesquestões e e o professor decide o professor decide queque cadacadaassistenteassistente corrigircorrigiráá apenasapenas umaumadelasdelas. De . De quantasquantas maneirasmaneiras ososassistentesassistentes podempodem ser ser escolhidosescolhidos??

TTéécnicascnicas de de contagemcontagem

CombinaCombinaççõesões

•• Dado um Dado um conjuntoconjunto de n de n objetosobjetosdistintosdistintos, , qualquerqualquer subconjuntosubconjunto nãonão--ordenadoordenado de de tamanhotamanho k dos k dos objetosobjetos ééchamadochamado umauma combinacombinaççãoão. .

ExemploExemplo

•• ExistemExistem duasduas vagasvagas de de representarepresentaççãoãonosnos EstadosEstados UnidosUnidos. . CincoCinco pessoaspessoasconcorremconcorrem a a essasessas vagasvagas..

•• QuantasQuantas duplasduplas podempodem ser ser formadasformadas??

AA BB CC DD EE

AA (A,B)(A,B) (A,C)(A,C) (A,D)(A,D) (A,E)(A,E)

BB (B,A)(B,A) (B,C)(B,C) (B,D)(B,D) (B,E)(B,E)

CC (C,A)(C,A) (C,B)(C,B) (C,D)(C,D) (C,E)(C,E)

DD (D,A)(D,A) (D,B)(D,B) (D,C)(D,C) (D,E)(D,E)

EE (E,A)(E,A) (E,B)(E,B) (E,C)(E,C) (E,D)(E,D)

nn22 -- nn = n= n··(n(n--1)1)

ConjuntosConjuntos nãonão ordenadosordenados(a (a ordemordem nãonão interessainteressa))

2222

TTéécnicascnicas de de contagemcontagem

CombinaCombinaççõesões•• O O nnúúmeromero de de combinacombinaççõesões de de

tamanhotamanho k k queque podempodem ser ser formadasformadasde n de n objetosobjetos distintosdistintos serseráá denotadadenotadaporpor::

CCk,nk,n = = n n kk(( )) = = PPk,nk,n = n!= n!

k! k! k!(nk!(n — k)!k)!

ExercExercííciocio 99

•• UmaUma empresaempresa de de aluguelaluguel de de carroscarrostem 10 tem 10 carroscarros estrangeirosestrangeiros e 15 e 15 carroscarros nacionaisnacionais dispondisponííveisveis. . EntretantoEntretanto, , somentesomente seisseis carroscarrospodempodem ser ser alugadosalugados aoao mesmomesmotempo. tempo. QualQual a a probabilidadeprobabilidade de de quequeosos carroscarros escolhidosescolhidos sejamsejam 3 3 estrangeirosestrangeiros e 3 e 3 nacionaisnacionais??

ProbabilidadeProbabilidade condicionalcondicional

P(A|B) = P(AP(A|B) = P(A∩∩B)B)P(B)P(B)

Observe Observe queque: P(A|B) : P(A|B) ≠≠ P(B|A)P(B|A)

AA BBAA∩∩BB

ExercExercííciocio 1010

SejaSeja A={A={transmissãotransmissão automautomááticatica}, B={}, B={pretopreto} e } e C={C={brancobranco}}

a) a) calculecalcule P(A), P(B) e P(AP(A), P(B) e P(A∩∩B)B)b) b) calculecalcule P(A|B) e P(B|A) e P(A|B) e P(B|A) e expliqueexplique no no

contextocontexto dada situasituaççãoão o o queque representamrepresentamc) c) calculecalcule e e interpreteinterprete P(A|C) e P(A|CP(A|C) e P(A|C’’))

corcorautomautomóóvelvelesportivoesportivo brancobranco azulazul pretopreto vermelhovermelho

AA .15.15 .10.10 .10.10 .10.10

MM .15.15 .05.05 .15.15 .20.20transmissãotransmissão

A lei A lei dada probabilidadeprobabilidade totaltotal

•• SejamSejam AA11,...,,...,AAkk eventoseventos mutuamentemutuamenteexclusivosexclusivos e e exaustivosexaustivos. . EntãoEntão, , paraparaqualquerqualquer outrooutro eventoevento B:B:

P(B) = P(B|AP(B) = P(B|A11)P(A)P(A11) + ... + ) + ... + P(B|AP(B|Akk)P(A)P(Akk) = ) =

P(B|AP(B|Aii)P(A)P(Aii))kk

ΣΣi=1i=1

A lei A lei dada probabilidadeprobabilidade totaltotal

A1

A2

A3

A4

A5

A7

A6

B

TeoremaTeorema de de BayesBayes

•• SejamSejam AA11,...,,...,AAkk umauma colecoleççãoão de de eventoseventos mutuamentemutuamente exclusivosexclusivos e e exaustivosexaustivos. . EntãoEntão, , parapara qualquerqualqueroutrooutro eventoevento B:B:

P(AP(Ajj|B|B) = ) = P(AP(Ajj∩∩BB) = ) = P(B|AP(B|Ajj)P(A)P(Ajj))P(B) P(B) P(B|AP(B|Aii)P(A)P(Aii))

kk

ΣΣi=1i=1

ExercExercííciocio 1111

•• SuponhaSuponha queque 60% dos chips do 60% dos chips do computadorcomputadorde de umauma companhiacompanhia sejamsejam produzidosproduzidos pelapelaffáábricabrica A e 40% A e 40% porpor outraoutra ffáábricabrica((denotadadenotada porpor AA’’). ). SuponhaSuponha queque um chip se um chip se revelerevele defeituosodefeituoso e e queque as as taxastaxas de de defeitodefeitonasnas duasduas ffáábricasbricas sejamsejam 35% 35% parapara A e 25% A e 25% parapara AA’’. Com . Com auxauxííliolio do do teoremateorema de de BayesBayes, , determine a determine a probabilidadeprobabilidade de de queque o chip o chip defeituosodefeituoso sejaseja dada ffáábricabrica A.A.

IndependênciaIndependência

•• DoisDois eventoseventos sãosão independentesindependentes se a se a ocorrênciaocorrência de um deles de um deles nãonão afetaafeta a a probabilidadeprobabilidade de de ocorrênciaocorrência do do outrooutro

passarpassar nana provaprova

nãonão passarpassar nana provaprova

AA

assistirassistir aulasaulas

BB

ExperimentoExperimento: : fazerfazer umauma provaprova de de EstatEstatíísticastica

nãonão assistirassistir aulasaulas ee

assistirassistir aulasaulas eepassarpassar nana provaprova

masmas nãonão passarpassarnana provaprova

semsem terter assistidoassistidoààss aulasaulas

P(AP(A∩∩B) = B) = assistirassistir aulasaulas e e passarpassar nana provaprova

ExemploExemplo

•• ExistemExistem 2 bolas 2 bolas verdesverdes e 3 bolas e 3 bolas vermelhasvermelhas emem umauma caixacaixa

•• A A probabilidadeprobabilidade de se de se retirarretirar umaumabola bola verdeverde numanuma segundasegunda retiradaretiradadependedepende dada corcor dada primeiraprimeira bolabola

3/53/52/52/5

1 x 2 = 21 x 2 = 24 5 204 5 20

2 x 3 = 62 x 3 = 64 5 204 5 20

ExemploExemplo•• ExistemExistem 2 bolas 2 bolas verdesverdes e 3 bolas e 3 bolas

vermelhasvermelhas emem umauma caixacaixa•• Se Se considerarmosconsiderarmos a a reposireposiççãoão dada

primeiraprimeira bola o bola o eventoevento ““retirarretirar umaumabola bola verdeverde”” nana segundasegunda tentativatentativatornatorna--se se independenteindependente dada primeiraprimeira

•• PortantoPortanto, a , a relarelaççãoão de de dependênciadependênciapodepode ser ser sutilsutil, , surgindosurgindo dada maneiramaneiracomocomo o o experimentoexperimento éé construconstruíídodo ououinterpretadointerpretado

ExemploExemplo

•• Os Os motoresmotores de um de um aviãoavião podempodem ser ser consideradosconsiderados independentesindependentes sob sob certascertas circunstânciascircunstâncias, , aumentandoaumentando a a confiabilidadeconfiabilidade dada aeronaveaeronave

•• p(falhap(falha 1 motor) = 0,11 motor) = 0,1•• p(falhap(falha 2 2 motoresmotores) = (0,1)) = (0,1)22 = 0,01= 0,01

ExemploExemplo

•• EntretantoEntretanto, , eleseles podempodem tambtambéémm ser ser consideradosconsiderados dependentesdependentes se se verificamosverificamos queque existeexiste apenasapenas um um sistemasistema de de combustcombustíívelvel nana aeronaveaeronaveouou queque somentesomente umauma equipeequipe de de manutenmanutenççãoão verificaverifica todostodos ososmotoresmotores e e podepode cometercometer osos mesmosmesmoserroserros de de ajusteajuste

IndependênciaIndependência

•• DoisDois eventoseventos A e B A e B sãosão ditosditosindependentesindependentes se P(A|B) = P(A)se P(A|B) = P(A)

•• A e B A e B sãosão independentesindependentes se e se e somentesomente se (se (ssesse):):

P(AP(A∩∩B) = P(A).P(B)B) = P(A).P(B)

ExercExercííciocio 1212

•• Os Os pilotospilotos de um de um certocerto esquadrãoesquadrão têmtêmííndicendice de de acertoacerto no no bombardeiobombardeio igualigual a a 40%. 40%. QualQual a a probabilidadeprobabilidade de de queque pelopelomenosmenos umauma bombabomba atinjaatinja o o alvoalvo, , sabendosabendo--se se queque quatroquatro aeronavesaeronaves ((umaumaesquadrilhaesquadrilha) ) dessedesse esquadrãoesquadrão realizamrealizam o o ataqueataque e e queque cadacada umauma fazfaz somentesomente um um passepasse com um com um lanlanççamentoamento??

ExercExercííciocio 1313

•• NasNas condicondiççõesões do do exercexercííciocio 12, 12, quantasquantas aeronavesaeronaves sãosão necessnecessááriasriasparapara queque a a probabilidadeprobabilidade de de sucessosucessonana missãomissão sejaseja de de pelopelo menosmenos 95%?95%?

ExercExercííciocio 1414

•• Se Se osos componentescomponentes trabalhamtrabalhamindependentementeindependentemente um do um do outrooutro e e P(componenteP(componente funcionafunciona) = 0.9, ) = 0.9, calculecalculeP(sistemaP(sistema funcionafunciona).).

11

22

33 44