Aula 4: Álgebra booleana - Circuitos...

Aula 4: Álgebra booleanaCircuitos Digitais

Rodrigo Hausen

CMCC – UFABC

01 de fevereiro de 2013

http://compscinet.org/circuitos

Rodrigo Hausen (CMCC – UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de 2013 1 / 19

Uma álgebra diferente

Álgebra booleana [Boole, 1854]Álgebra onde há apenas dois valoresválidos: falso e verdadeiro.

Também denotados:I F e V;I false e true (ou F e T);I desligado e ligado;I nível baixo e nível alto de um sinal;I 0 e 1, etc.

Variável booleana: pode assumir um dosdois valores booleanos válidos.

I Geralmente denotada por uma letramaiúscula: A, B, C , X , Y , Z , . . .

George Boole (1815–1864). Ma-temático e filósofo inglês, “pai”da lógica digital moderna.http://pt.wikipedia.org/wiki/George_Boole

Álgebra booleana [Boole, 1854]Álgebra onde há apenas dois valoresválidos: falso e verdadeiro.Também denotados:

I F e V;

I false e true (ou F e T);I desligado e ligado;I nível baixo e nível alto de um sinal;I 0 e 1, etc.

I F e V;I false e true (ou F e T);

I desligado e ligado;I nível baixo e nível alto de um sinal;I 0 e 1, etc.

I F e V;I false e true (ou F e T);I desligado e ligado;

I nível baixo e nível alto de um sinal;I 0 e 1, etc.

I F e V;I false e true (ou F e T);I desligado e ligado;I nível baixo e nível alto de um sinal;

I 0 e 1, etc.Variável booleana: pode assumir um dosdois valores booleanos válidos.

I F e V;I false e true (ou F e T);I desligado e ligado;I nível baixo e nível alto de um sinal;I 0 e 1, etc.

Operações básicas

As operações básicas da álgebra booleana são:conjunção ou multiplicação booleana:X e Y X and Y X ∧ Y X · Y

disjunção ou produto booleano:X ou Y X or Y X ∨ Y X + Ynegação ou complemento:não X not X ∼X ¬X X

Em Java, respectivamente: X &&Y , X ||Y , !X

As operações básicas da álgebra booleana são:conjunção ou multiplicação booleana:X e Y X and Y X ∧ Y X · Ydisjunção ou produto booleano:X ou Y X or Y X ∨ Y X + Y

negação ou complemento:não X not X ∼X ¬X X

As operações básicas da álgebra booleana são:conjunção ou multiplicação booleana:X e Y X and Y X ∧ Y X · Ydisjunção ou produto booleano:X ou Y X or Y X ∨ Y X + Ynegação ou complemento:não X not X ∼X ¬X X

Tabuadas da álgebra booleanaAssim como na álgebra comum, o resultado de uma operação booleana éobtido através de uma tabuada. Na álgebra booleana, as tabuadas sãochamadas tabelas verdade.

Tabela verdadeda conjunção (e)

x y x · yF F FF V FV F FV V V

Tabela verdade dadisjunção (ou)x y x + yF F FF V VV F VV V V

Tabela verdade danegação (não)

x xF VV F

Conjunção (oper. e): resultado verdadeiro apenas se x e y foremverdadeiros.Disjunção (oper. ou): resultado verdadeiro apenas se x ou y foremverdadeiros.Negação: resultado só será verdadeiro se x não for verdadeiro.

x xF VV F

Conjunção (oper. e): resultado verdadeiro apenas se x e y foremverdadeiros.

Disjunção (oper. ou): resultado verdadeiro apenas se x ou y foremverdadeiros.Negação: resultado só será verdadeiro se x não for verdadeiro.

x xF VV F

Conjunção (oper. e): resultado verdadeiro apenas se x e y foremverdadeiros.Disjunção (oper. ou): resultado verdadeiro apenas se x ou y foremverdadeiros.

Negação: resultado só será verdadeiro se x não for verdadeiro.

x xF VV F

Tabelas verdade com valores 0 e 1Equivalências: F = 0, V = 1

x xF VV F

x y x · y0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tabela verdade dadisjunção (ou)x y x + y0 0 00 1 11 0 11 1 1

x x1 00 1

Tabelas verdade com valores 0 e 1Equivalências: F = 0, V = 1

x xF VV F

x y x · y0 0 00 1 01 0 01 1 1

x x1 00 1

Tabelas verdade com valores 0 e 1

Cuidado! Não confunda tabelas verdade com tabuadas daaritmética na base 2.

x y x · y0 0 00 1 01 0 01 1 1

x x1 00 1

A partir de agora, daremos preferência a representar os valores lógicos por0 e 1 (exceto quando for mais claro representar por F e V).

Tabelas verdade com valores 0 e 1

Cuidado! Não confunda tabelas verdade com tabuadas daaritmética na base 2.

x y x · y0 0 00 1 01 0 01 1 1

x x1 00 1

A partir de agora, daremos preferência a representar os valores lógicos por0 e 1 (exceto quando for mais claro representar por F e V).

Expressões lógicas

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1)

= 0+ = 0Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) =

0+ = 0Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0

+ = 0Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+

= 0Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+ (0)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+ 0

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+ 0 =

0Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+ 0 = 0

Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Como na álgebra comum, podemos combinar as operações, formandoexpressões lógicas.O resultado de uma expressão lógica pode ser calculado aplicando-secada operação lógica, consultando-se as tabelas verdadecorrespondentes.Para indicar a ordem de aplicação das operações, usam-se parêntesescomo na álgebra comum.Ex 1.: calcule o resultado da expressão abaixo:1+ (0 · 1) = 0+ 0 = 0Se não houver parênteses, a operação “·” tem precedência sobre aoperação “+”Ou seja, 1+ 0 · 1 significa o mesmo que 1+ (0 · 1)

Variáveis booleanas e expressões lógicas

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.

Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 = 1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?

Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 = 1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.

1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 = 1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 =

0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 = 1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 =

0+ 1 = 1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 =

1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 = 1

Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Como na álgebra comum, também podemos deixar valores adeterminar em expressões lógicas. Esses valores indeterminados sãochamados variáveis booleanas.Ex 2.: considere a expressão X · Y + X · Y . Qual o seu valor quandoX = 1 e Y = 0?Solução: substitua os valores de X e Y na expressão e calcule usandoas tabelas verdade.1 · 0+ 1 · 0 = 0 · 0+ 1 · 1 = 0+ 1 = 1Podemos determinar tabelas verdade para expressões lógicasatribuindo todos as combinações de valores possíveis às variáveis.

Variáveis, expressões lógicas e tabelasverdade

Ex 3.: construa a tabela verdade da expressão X · Y + X · Y e interprete oresultado.Dica: facilita a construção da tabela se adicionarmos colunas comresultados intermediários.

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0

1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

Interpretação: o resultado será verdadeiro se apenas uma das variáveis forverdadeira; será falso, caso contrário.

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1

1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1

1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0

0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0

0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 0

0 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1

1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1

0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0

1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1

0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0

1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0

0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0

1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1

0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0

1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1

0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1

0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0

0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0

0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0

1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0

0+ 0 = 0

X Y X Y X · Y X · Y X · Y + X · Y0 0 1 1 1 · 0 = 0 0 · 1 = 0 0+ 0 = 00 1 1 0 1 · 1 = 1 0 · 0 = 0 1+ 0 = 11 0 0 1 0 · 1 = 0 1 · 1 = 1 0+ 1 = 11 1 0 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 0+ 0 = 0

Nova operação: disjunção exclusiva

A expressão X ·Y +X ·Y costuma aparecer com muita frequência emálgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva.

Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor.Denotada pelo símbolo ⊕:

X ⊕ Y = X · Y + X · Yem Java: XˆˆY (dois acentos circunflexos)Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex)

X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre:1º negação; 2º conjunção (e); 3º disjunção (ou);4º disjunção exclusiva (ou-ex)

A expressão X ·Y +X ·Y costuma aparecer com muita frequência emálgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva.Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor.

Denotada pelo símbolo ⊕:

X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

A expressão X ·Y +X ·Y costuma aparecer com muita frequência emálgebra booleana. Daremos um nome para ela: disjunção exclusiva.Também conhecida como ou exclusivo, ou-ex e xor.Denotada pelo símbolo ⊕:

X ⊕ Y = X · Y + X · Yem Java: XˆˆY (dois acentos circunflexos)

Tabela verdade da disjunção exclusiva (operação ou-ex)X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre:1º negação;

2º conjunção (e); 3º disjunção (ou);4º disjunção exclusiva (ou-ex)

X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre:1º negação; 2º conjunção (e);

3º disjunção (ou);4º disjunção exclusiva (ou-ex)

X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Na ausência de parênteses a precedência das operações é sempre:1º negação; 2º conjunção (e); 3º disjunção (ou);

4º disjunção exclusiva (ou-ex)

X Y X ⊕ Y0 0 00 1 11 0 11 1 0

Funções lógicas

Função lógica: associação que “leva” de um conjunto de n variáveisbooleanas no conjunto {0,1}.

F : {0,1}n → {0,1}X1, X2, . . . , Xn 7→ Y = F (X1, X2, . . . , Xn)

Podemos descrever uma função lógica por uma expressão booleana oupela sua tabela verdade.

Funções lógicas

Função lógica: associação que “leva” de um conjunto de n variáveisbooleanas no conjunto {0,1}.

F : {0,1}n → {0,1}X1, X2, . . . , Xn 7→ Y = F (X1, X2, . . . , Xn)

Podemos descrever uma função lógica por uma expressão booleana oupela sua tabela verdade.

Funções lógicas

Ex. 4: construa a tabela verdade da função F (A,B,C) = A + B · C

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0

0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Onde há “?” não importa o valor de B · C , pois nos quatro casos, comoA = 1, então A + B · C = 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0

00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 0

0 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1

1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1

10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 1

0 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0

0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0

00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 0

0 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1

0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0

01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 0

1 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0

? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ?

11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 1

1 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1

? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ?

11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 1

1 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicas

A B C B · C F (A,B,C) = A + B · C0 0 0 0 00 0 1 1 10 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 ? 11 0 1 ? 11 1 0 ? 11 1 1 ? 1

Funções lógicasEx. 5: determine, se possível, uma expressão para a função F dada pelaseguinte tabela verdade.

X Y F(X,Y)0 0 10 1 01 0 01 1 1

Note que o resultado de F (X ,Y ) é sempre o “contrário” do resultado deX ⊕ Y . Ou seja, o resultado da operação ou-ex é verdadeiro se, e somentese, F (X ,Y ) é falso.

Da observação anterior, e conhecendo as tabelas verdade das operaçõeslógicas, uma expressão possível para F (X ,Y ) é:

F (X ,Y ) = X ⊕ Y

X Y F(X,Y)0 0 10 1 01 0 01 1 1

F (X ,Y ) = X ⊕ Y

X Y F(X,Y)0 0 10 1 01 0 01 1 1

F (X ,Y ) = X ⊕ YRodrigo Hausen (CMCC – UFABC) Aula 4: Álgebra booleana 01 de fevereiro de 2013 13 / 19

Funções lógicas

Ex. 6: Construa a tabela verdade para as funçõesF (X ,Y ,Z ) = X · (Y + Z ) e G(X ,Y ,Z ) = X · Y + X · Z , compare-as einterprete os resultados.

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0

00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 0

0 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1

1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1

00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 0

0 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0

1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 0

1 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0

0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0

01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 0

1 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1

1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1

11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 1

1 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0

1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1

11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 1

1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z Y + Z X · (Y + Z )

0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 1 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0

0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Igual à tabela para F (X ,Y ,Z ) = X · (Y + Z ).

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0

00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1

0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0

00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0

0 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0

0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0

00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0

0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0

01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 0

1 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1

0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1

11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 1

1 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0

1 0 11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0

11 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 1

1 1 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1

Funções lógicas

X Y Z X · Y X · Z X · Y + X · Z0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 01 0 0 0 0 01 0 1 0 1 11 1 0 1 0 11 1 1 1 1 1

Equivalência de funçõesDuas funções lógicas são equivalentes se suas tabelas verdade são iguais.F (X ,Y ,Z ) = X · (Y + Z ) G(X ,Y ,Z ) = X · Y + X · Z

X Y Z F (X ,Y ,Z ) G(X ,Y ,Z )

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

Pela tabela, nota-se queF (X ,Y ,Z ) = G(X ,Y ,Z )

X · (Y + Z ) = X · Y + X · ZAcabamos de demonstrar que a conjunção é distributiva!

X Y Z F (X ,Y ,Z ) G(X ,Y ,Z )

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

X · (Y + Z ) = X · Y + X · Z

Acabamos de demonstrar que a conjunção é distributiva!

X Y Z F (X ,Y ,Z ) G(X ,Y ,Z )

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

X · (Y + Z ) = X · Y + X · ZAcabamos de demonstrar que a conjunção é distributiva!

Regras básicas da álgebra booleana

Todas as regras abaixo podem ser demonstradas construindo-se as duastabelas verdade das expressões em ambos os lados das equivalências.Considere X , Y , Z variáveis booleanas.1. X + 0 = Xelem. neutro da disjunção

2. X + 1 = 1 3. X + Y = Y + Xcomutatividade da disjunção

4. X · Y = Y · Xcomutatividade da conjunção

5. X + X = X 6. X + X = 1

7. X · 0 = 0 8. X · 1 = Xelem. neutro da conjunção

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

2. X + 1 = 1

3. X + Y = Y + Xcomutatividade da disjunção

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X

6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

7. X · 0 = 0

8. X · 1 = Xelem. neutro da conjunção

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0

11. X ⊕ X = 0

5. X + X = X 6. X + X = 1

9. X · X = X

10. X · X = 0 11. X ⊕ X = 0

Regras básicas da álgebra booleana (cont.)

12. X + (Y + Z ) = (X + Y ) + Z associatividade da disjunção

13. X · (Y · Z ) = (X · Y ) · Z associatividade da conjunção

As regras 12 e 13 nos permitem escrever X + Y + Z e X · Y · Z semparênteses de maneira não ambígua.

14. X + Y = X · Y

15. X · Y = X + Y

As regras 14 e 15 são chamadas Leis de Morgan (ou Leis de DeMorgan).Muito importantes para simplificar expressões envolvendo negações.

Exemplo de aplicação das regras: demonstre que X + X · Y = X + Y

14. X + Y = X · Y

15. X · Y = X + Y

14. X + Y = X · Y

15. X · Y = X + Y

14. X + Y = X · Y

15. X · Y = X + Y

14. X + Y = X · Y

15. X · Y = X + Y

14. X + Y = X · Y

15. X · Y = X + Y

Para casa

Ler seções 4-1, 4-2, 4-3 e 4-5 (despreze os comentários e diagramassobre portas lógicas; nós veremos portas lógicas daqui a 2 aulas);Auto-teste: 1 a 10Problemas:

I 4-1 (todos);I 4-2 (todos);I 4-3 (todos);I 4-5 (apenas 17, 18 e 19)

Aula 4: Álgebra booleana - Circuitos...

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