Álgebra de BooleÁlgebra de Boole

ProfProfªª Jocelma Rios Jocelma RiosOut/2012

George Simon Boole George Simon Boole (1815-1864)(1815-1864)O criador da O criador da álgebra dos álgebra dos

circuitos digitaiscircuitos digitais

O que pretendemos:O que pretendemos:● Contar um pouco sobre a história da Álgebra, especialmente a Álgebra de Boole

● Mostrar a relação entre a Álgebra de Boole e a Computação Digital

● Apresentar as possíveis variáveis da Álgebra Booleana, seus operadores fundamentais e os secundários

● Apresentar os postulados e alguns teoremas da Álgebra Booleana

● Refletir sobre a relação entre a Lógica Formal, a Álgebra Booleana e a lógica de Programação

Um pouco de históriaUm pouco de história

● A Álgebra de Boole é aplicável ao projeto dos circuitos lógicos e funciona baseada em princípios da lógica formal, uma área de estudo da filosofia.

● Um dos pioneiros no estudo da lógica formal foi Aristóteles (384-322 AC), que publicou um tratado sobre o tema denominado "De Interpretatione".

Um pouco de históriaUm pouco de história

● Boole percebeu que poderia estabelecer um conjunto de símbolos matemáticos para substituir certas afirmativas da lógica formal. Publicou suas conclusões em 1854 no trabalho “Uma Análise Matemática da Lógica”

● Claude B. Shannon mostrou (em sua tese de Mestrado no MIT) que o trabalho de Boole poderia ser utilizado para descrever a operação de sistemas de comutação telefônica. As observações de Shannon foram divulgadas em 1938 no trabalho "Uma Análise Simbólica de Relés e Circuitos de Comutação".

A Álgebra de BooleÁlgebra de Boole é um sistema matemático composto por operadores, regras, postulados

e teoremas. - Usa funções e variáveis, como na álgebra convencional, que podem assumir apenas um dentre dois valores, zero (0) ou um (1).

- Trabalha com dois operadores, o operador AND, simbolizado por (.) e o operador OR, simbolizado por (+). O operador AND é conhecido como produto lógico e o operador OR é conhecido como soma lógica. Os mesmos correspondem, respectivamente, às operações de interseção e união da teoria dos conjuntos.

DefiniçãoDefinição

As variáveis booleanas são representadas por letras maiúsculas, A, B, C,... e as

funções pela notação f(A,B,C,D,...)

OperadoresOperadores

Operador AND (interseção)q

Definição: A operação lógica AND entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 1.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos FundamentaisFundamentais

Operador OR (união)

Definição: A operação lógica OR entre duas ou mais variáveis apresenta resultado 1 se pelo menos uma das variáveis estiver no estado lógico 1.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos FundamentaisFundamentais

Operador NOT (inversor)

Definição: A operação de complementação de uma variável é implementada através da troca do valar lógico da referida variável.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos FundamentaisFundamentais

Operador NAND

Definição: A operação lógica NAND entre duas ou mais

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos secundáriossecundários

Operador NOR

Definição: A operação lógica NOR entre duas ou mais variáveis somente apresenta resultado 1 se todas as variáveis estiverem no estado lógico 0.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos secundáriossecundários

Operador XOR (OU exclusivo)

Definição: A operação lógica XOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se uma e somente uma das duas variáveis estiver no estado lógico 1 (ou seja se as duas variáveis estiverem em estados lógicos diferentes).

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos secundáriossecundários

Operador XNOR (negativo de OU exclusivo)

Definição: A operação lógica XNOR entre duas variáveis A e B apresenta resultado 1 se e somente se as duas variáveis estiverem no mesmo estado lógico.

Símbolo Lógico:

Tabela Verdade:

Operadores Booleanos Operadores Booleanos secundáriossecundários

Postulados da Álgebra de Boole

O significado dos postulados pode ser entendido facilmente se fizermos a associação com a teoria dos conjuntos

Postulados da Álgebra de Postulados da Álgebra de BooleBoole

Postulados da Álgebra de Postulados da Álgebra de BooleBoole

O significado dos O significado dos postulados pode ser postulados pode ser entendido facilmente entendido facilmente se fizermos se fizermos associação com a associação com a Teoria dos ConjuntosTeoria dos Conjuntos

Teoremas da Álgebra de BooleTeoremas da Álgebra de Boole

Teoremas da Álgebra de BooleTeoremas da Álgebra de Boole

Funções booleanas Funções booleanas vs. vs. circuitos lógicoscircuitos lógicos

Funções booleanas Funções booleanas vs. vs. circuitos lógicoscircuitos lógicos

S = A.B.C + B.C + A.C

Funções booleanas Funções booleanas vs. vs. circuitos lógicoscircuitos lógicos

F = (((A+B).D)+(A.D))+ (D.(B.C))

Simplificação de funçõesSimplificação de funções

S = A.B.C + A.C + A.BS = A(B.C + C + B) → DistributivaS = A(B.C + C.B) → De MorganS = A.1 → ComplementarS = A

Simplificação de funçõesSimplificação de funções

F = A.B + A.B + A.BF = A.B + A.B + A.B → ComutativaF = B(A + A) + A.B → DistributivaF = B.1 + A.B → ComplementarF = (B + A).(B + B) → DistributivaF = (B + A).1 → ComplementarF = (B.A) → De Morgan

Para refletir...Para refletir...

Como é possível utilizar a Álbebra de Boole para executar funções tão

complexas como as que são executadas por um sistema

operacional no gerenciamento de processos?

ReferênciasReferências

● BASTOS, S. Sistemas Digitais I. Disponível em: <http://pt.scribd.com/doc/50293193/7/ALGEBRA-DE-BOOLE-E-PORTAS-LOGICAS>. Acesso em: 02 out. 2012.

● BROOKSHEAR, J. Ciência da computação: uma visão abrangente. 3. ed. Rio de Janeiro: Bookman, 2005.

● FEDELI, R.; POLLONI, E.; PERES, F. Introdução à Ciência da Computação. 2. ed. São Paulo: Pioneira Thompson Learning, 2003.

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● Funções booleanas e portas lógicas – Parte I

– www.youtube.com/watch?v=fyPAX7gpUmg● Funções booleanas e portas lógicas – Parte II

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– www.youtube.com/watch?v=g0Tfc1Lf3bY● Álgebra Booleana - USP - Introdução e Motivação

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Porta NOT)

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várias portas lógicas)

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NOT)

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exemplos)

– www.youtube.com/watch?v=v0dmvbkWGBg● Eletrônica Digital - Aula 28 (Circuitos com Porta E/NOT,

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