Post on 03-Feb-2016
Cássius Henrique
Aula 7
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
Cássius Henrique Xavier Oliveira
Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Ciências Exatas e Aplicadas
2015
Cássius Henrique
Aula 7
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Formulário até o momento
Probabilidade para eventos equiprováveis:
Axiomas de probabilidade:
N eventos sem interseção
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CEA 012 – Probabilidade
Formulário até o momento
)(
)()|(
AP
BAPABP
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CEA 012 – Probabilidade
Formulário até o momento
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)()|(
An
BAn
Sn
An
Sn
BAn
AP
BAPABP
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Teorema da Multiplicação
Aparecimento do conectivo “e” interseção de eventos
Eventos de S
A e B, com e
Da Probabilidade Condicional sabemos que:
Organizando os termos dessa fórmula, temos:
SBA , 0)( BP
BP
BAPBAP
|
BAPBPBAP |
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Eventos Independentes
A ocorrência de um evento não altera a ocorrência de outro evento
Para a Probabilidade Condicional usávamos
Quando os eventos são independentes, temos
Logo, podemos adaptar a primeira fórmula para
BP
BAPBAP
|
APBAP |
BP
BAPAP
BPAPBAP
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Eventos Independentes
Para interseções entre eventos independentes, teremos sempre:
A probabilidade da interseção de n eventos independentes será, pois, dada por:
nn EPEPEPEEEP ...... 2121
BPAPBAP
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CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 1
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja A = escolher um apartamento nesse prédio para ocupar
16
6AP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja A = escolher um apartamento nesse prédio para ocupar
X 16
6AP
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CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja B = escolher um 2º apartamento nesse prédio para ocupar
X 5
4| ABP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja B = escolher um 2º apartamento nesse prédio para ocupar X
X 5
4| ABP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar X
X 2
1
4
2| ABCP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar
X
X
X 2
1
4
2| ABCP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar
X
X
X 2
1
4
2| ABCP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar
X
X
X
5
2
2
1
5
41
||
CBAP
ABCPABPAPCBAP
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Exemplo 1 – Resolução
(CESGRANRIO) Um prédio de três andares, com dois apartamentos por andar, tem apenas três apartamentos ocupados. Determine a probabilidade de que cada um dos três andares tenha exatamente um apartamento ocupado.
Prédio com 3 andares e 2 apartamentos por andar
Seja C = escolher um 3º apartamento nesse prédio para ocupar
X
X
X
5
2
2
1
5
41
||
CBAP
ABCPABPAPCBAP
Aplicação do Teorema
da Multiplicação
(Interseção de eventos)
Cássius Henrique
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Exemplo 2
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par
• B = resultado é estritamente maior que 4
• C = resultado é múltiplo de 3
Pergunta-se:
a) Os eventos A e B são independentes?
b) Os eventos B e C são independentes?
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1
CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Teste do item (a):
Os eventos A e B são independentes?
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1
CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Teste do item (a):
Os eventos A e B são independentes?
)(6
1
6
1
3
1
2
1
6
1
?
OK
BPAPBAP
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1
CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Teste do item (b):
Os eventos B e C são independentes?
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1
CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Teste do item (b):
Os eventos B e C são independentes?
)(9
1
6
1
3
1
3
1
6
1
?
NÃO
CPBPCBP
6
1
6
1
3
1
3
1
2
1
CBP
BAP
CP
BP
AP
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos A e B
Comprovando esse resultado...
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CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos A e B
Comprovando esse resultado...
2
1
316
1
|
2
1
BP
BAPBAP
AP
Cássius Henrique
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos A e B
Comprovando esse resultado...
2
1
316
1
|
2
1
BP
BAPBAP
AP A e B são
independentes!!!
Cássius Henrique
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos B e C
Comprovando esse resultado...
Cássius Henrique
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos B e C
Comprovando esse resultado...
2
1
316
1
|
3
1
CP
CBPCBP
BP
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Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos B e C
Comprovando esse resultado...
2
1
316
1
|
3
1
CP
CBPCBP
BP B e C NÃO são
independentes!!!
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CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos B e C
Comprovando esse resultado...
2
1
316
1
|
3
1
BP
CBPBCP
CP
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CEA 012 – Probabilidade
Exemplo 2 – Resolução
(FUVEST-SP) Experimento: lançamento de um dado honesto
Eventos: A, B e C
• A = resultado é par = {2, 4, 6}
• B = resultado é estritamente maior que 4 = {5, 6}
• C = resultado é múltiplo de 3 = {3, 6}
– A B = {6}
– B C = {6}
Eventos B e C
Comprovando esse resultado...
2
1
316
1
|
3
1
BP
CBPBCP
CP B e C NÃO são
independentes!!!
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
L1.5. Exercício 1
(CESGRANRIO/2012) Uma moeda não tendenciosa é lançada até que sejam obtidos dois resultados consecutivos iguais.
a) Qual a probabilidade de a moeda ser lançada exatamente cinco vezes?
b) Para o desenvolvimento do raciocínio foi utilizado o princípio aditivo ou multiplicativo? Justifique associando a teoria dos conjuntos à probabilidade.
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
L1.5. Exercício 2
Em uma caixa com 1000 peças, 560 são destinadas à montagem do Produto A e 440 são destinadas à montagem do Produto B. Seja Ai o evento em que uma peça destinada à montagem do Produto A é retirada na i-ésima vez e Bj o evento em que uma peça destinada à montagem do Produto B é retirada na j-ésima vez.
a) Considere que foram feitas 2 retiradas, com reposição. Qual a chance de que a primeira peça retirada seja destinada à montagem do Produto A e a segunda peça retirada seja destinada à montagem do Produto B?
b) O eventos supracitados são independentes? Justifique por meio de cálculos.
c) Considere que foram feitas 2 retiradas, sem reposição. Qual a chance de que a primeira peça retirada seja destinada à montagem do Produto B e a segunda peça retirada seja destinada à montagem do Produto A?
d) O eventos citados no item (c) são independentes? Justifique por meio de cálculos.
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Nivelamento
Explique qual o caminho mais objetivo para verificar se dois ou mais eventos são independentes. Exemplifique.
Eventos independentes e eventos mutuamente exclusivos correspondem à mesma coisa? Justifique (Use diagramas e anote suas conclusões)
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
L1.5. Exercício 3
(PETROBRAS/2012.1-adap) Sabe-se por estudos estatísticos que as probabilidades de haver num certo almoxarifado os materiais A, B e C disponíveis para uso são de, respectivamente, 80%, 80% e 90%.
a) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estarem faltando exatamente os três materiais no almoxarifado?
b) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando apenas o material B?
c) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estarem faltando somentes os materiais A e C?
d) Qual é a probabilidade de, num dado momento, estar faltando pelo menos um desses materiais no almoxarifado?
e) Qual a influência da utilização do conceito de eventos complementares para desenvolver o raciocínio anterior?
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Probabilidade Total
Imagine que você saiba a probabilidade de um evento sujeita a algumas condições (exemplo: A ocorreu ou A não ocorreu).
Qual o raciocínio adequado para se expressar a probabilidade de B?
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Probabilidade Total
Imagine que você saiba a probabilidade de um evento sujeita a algumas condições (exemplo: A ocorreu ou A não ocorreu).
Qual o raciocínio adequado para se expressar a probabilidade de B?
APABPAPABPBP
APABPABPAP
ABPABP
APABPABPAP
ABPABP
ABPABPBP
||
||
||
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Probabilidade Total
A Probabilidade que acabamos de resolver: Probabilidade Total do evento B.
APABPAPABPBP ||
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Nivelamento
Essa fórmula faz algum sentido para você? Contextualize-a
APABPAPABPBP ||
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Probabilidade Total
Se generalizarmos para k eventos mutuamente exclusivos e exaustivos, a Probabilidade Total de B seria
kk
k
EPEBPEPEBPEPEBPBP
EBPEBPEBPBP
|...||
...
2211
21
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
L1.5. Exercício 4
Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas: A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças que B e que B e C produzem o mesmo número de peças. Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A e 2% das produzidas por B são defeituosas, enquanto que 4% das produzidas por C são defeituosas. Todas as peças produzidas são misturadas e colocadas em um depósito. Se do depósito for retirada uma peça ao acaso, qual a probabilidade de que ela seja defeituosa?
Cássius Henrique
Aula 7
Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Nivelamento
O que são eventos exaustivos? Diferencie-os dos eventos mutuamente exclusivos e dos eventos independentes e dependentes. Dê exemplos.
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Gabarito
1. a) 1/16
2. a) 0,2464; c) 0,2466
3. a) 0,004; b) 0,144; c) 0,016; d) 0,424
4. 0,025
Cássius Henrique
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Regras da Multiplicação e Probabilidade Total
CEA 012 – Probabilidade
Sugestão para a próxima aula...
Estudar as páginas 43 (item 1.7) a 56 (item 1.8) da referência abaixo:
DANTAS, C. A. B. Probabilidade: Um curso introdutório. Ed. da universidade de São Paulo.
Estudar os itens 2.4, 2.5 e 2.6 da referência abaixo:
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Editora LTC.