Post on 18-Apr-2015
Aula 8
dedução das equações de conservação
sistema físico
• modelo de camadas múltiplas
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
transporte em suspensão
transporte por arrastamento
camada de mistura
substrato
h = hs + hb: profundidade do escoamentohs : espessura da camada de transporte em suspensãohb : espessura da camada de transporte por arrastamentoLa : espessura da camada de mistura
Yb : cota do fundo
La
sistema físico
• modelo de camadas múltiplas
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
transporte em suspensão
transporte por arrastamento
camada de mistura
substrato
h = hs + hb: profundidade do escoamentohs : espessura da camada de transporte em suspensãohb : espessura da camada de transporte por arrastamentoLa : espessura da camada de mistura
Yb : cota do fundo
La
• teorema do transporte de Reynolds (#1)
sist c 0 c 0
0 00
( ) ( )
d 1( , ) d lim ( , ) d ( , ) d
d tt t t
e t e t t e tt t
x x x
c 0( )t t
c 0( )t t
sist c 0( )t
sist c 0( )t
modelo conceptual
sist
d( , ) d ( , )
de t t
t
x x
sist
d( , ) d 0
de t
t
x
ausência de fontes ou sumidouros
dada uma grandeza extensiva e
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#1)
c 0 c 0
0 00
( ) ( )
1lim ( , ) d ( , ) dt
t t t
e t t e tt
x x
c 0( )t t
c 0( )t t
sist c 0( )t
sist c 0( )t
c 0 c 0 c( ) ( )t t t
c 0 c 0 c( ) ( )t t t
c 0 c c 0
0 0 00
( ) ( )
1lim ( , ) d ( , ) d ( , ) dt
t t
e t t e t t e tt
x x x
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#1)
c 0( )t t
c 0( )t t
sist c 0( )t
sist c 0( )t
c 0
c
0 00
( )
00
1lim ( , ) ( , ) d
1lim ( , ) d
tt
t
e t t e tt
e t tt
x x
x
c 0 c 0 c
0 0 00
( ) ( )
1lim ( , ) d ( , ) d ( , ) dt
t t
e t t e t e t tt
x x x
primeira parcela:
c 0
c
0 00
( )( )
1lim ( , ) ( , ) d
( ) d
t
tt
e
t
e t t e tt
e
x x
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#1)
c 0( )t t
c 0( )t t
sist c 0( )t
sist c 0( )t
c
00
1lim ( , ) dt
e t tt
x
segunda parcela:
d
0(
)
t
t
r
n
τ
0( )trp
0 0( ) ( )t t t r r r
n τ
p r
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#1)
c
00
1lim ( , ) dt
e t tt
x
segunda parcela:
d
0(
)
t
t
r
n
τ
0( )trp
r
p
d
r
0(
)
t
t
r
n
τ
0( )tr r n n
d τ p r
x yn n n i jyx
x y
nnn n τ i j i j
n n
x y
p i jr r
x y r i j
x yx y
n n
τ p i jr r
r
τ p nr
τ p r r n
d r n
d d τ p r r n
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#1)
c
00
1lim ( , ) dt
e t tt
x
segunda parcela:
d
r
0(
)
t
t
r
sr n n0( )tr
d r n
d
dsr n n
d d ds r n
0,1s
c 0
1
00
( ) 0
1lim ( , ) d dt
t
e t t st
x n r
c 0
1 22 3
00
( ) 0
lim ( , ) O d d2t t
tt
te t e t e t s
t
rx n
c 0
1
0 c
( ) 0
( , ) d dt
e t s
x v nc 0
c
( )
dt
e
v n
2
2 30 0
0lim ( , ) O ( , )
2t tt
te t e t e t e t
x x
c0
limt t
r
v
sist c 0( )t
sist c 0( )t
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#1)somando as duas parcelas:
c
c d 0e
v n
c
( ) dt e
sist
d( , ) d 0
de t
t
x
• teorema do transporte de Reynolds (#2)
c 0( )t t c 0( )t t
sist 0( )t t
sist 0( )t t
cv
sv
rv
volume de controlo não coincide com o sistema em t = t0 + t
r s c v v v velocidade do fluido relativamente à fronteira do volume de controlo
sist c 0( )t
sist c 0( )t
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#2)
sist
d( , ) d 0
de t
t
xc 0( )t t c 0( )t t
sist 0( )t t
sist 0( )t t
cv
sv
rv
sist 0 c 0
0 00
( ) ( )
1lim ( , ) d ( , ) dt
t t t
e t t e tt
x x
c 0 c 0 c( ) ( )t t t
sist 0 c 0 sc( ) ( )t t t t
c 0 c sc c 0
0 0 0 00
( ) ( )
1lim ( , ) d ( , ) d ( , ) d ( , ) dt
t t
e t t e t t e t t e tt
x x x x
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#2)
c c c
c rd d d 0t e e e
v n v n
c 0 c sc
0 0 0 00 0
( )
1 1lim ( , ) ( , ) d lim ( , ) d ( , ) dt t
t
e t t e t e t t e t tt t
x x x x
sc c 0
1
0 0 sc0 0
( ) 0
1 1lim ( , )d lim ( , ) d dt t
t t
e t t e t t st t
x x n r
c 0
0
1
0 sc01
lim ( ) 0
1lim ( , ) d d
t
tt t
t
e t t st
x n r
c 0 c 0
1
0 r 0 r
( ) 0 ( )
( , ) d d ( , ) dt t
e t s e t
x n v x n v
notar que:
sist
d( , ) d
de t
t
x
se c0
lim ( )t
t t
modelo conceptual
• teorema do transporte de Reynolds (#2)
c c c
c rd d d 0t e e e
v n v n
sist
d( , ) d
de t
t
x
c c c
cd
d d ddt e e et
v n
por definição:
sist
d( , ) d 0
de t
t
x
c c
rd
d d 0d
e et
v n
modelo conceptual
• conservação da massa na camada [1]
sist
dd 0
d st
considerando que não há fontes ou sumidouros e que e = s(1) (massa volúmica aparente dos sedimentos
transportados em suspensão)
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
transporte em suspensão
transporte por arrastamento
camada de mistura
substrato
La
exemplo: sedimentos transportados em suspensão
fronteiras móveisfronteiras fixas
(1) (1) ( )
(1) (1)r
dd d 0
ds
s st
u n
• conservação da massa de sedimentos
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
transporte em suspensão
transporte por arrastamento
camada de mistura
substrato
La
sedimentos transportados em suspensão
(1) (1) ( )
(1) (1)r
dd d 0
ds
s st
u n( ) ( )
r 1( , )s su x x t u n
( )
r 0s u n( ) ( , )su x t
n
n n
n
( ) ( )
r 2( , )s su x x t u n
2,1 1,2
(1)ˆsC
(1) ( ) (1) (1) 3
areia
ˆ ˆˆ 2650 kg mgs s sC C
(1)(1)
(1)ˆ s sw
s sww
qC C
q
2 2
(1) (1) ( ) (1) ( ) (2) (1)
(1) (1) (1)1 1 2 1
2,1 1,2
( , ) ( , ) ( , )
dˆ ˆd d d d d 0
ds s
x x
s s s s s
x S x t S x t S x t x
S x u S u S B B xt
taxa de variação local fluxo fronteira fixa 1 fluxo fronteira fixa 2 fluxo fronteira fundo
modelo conceptual
B largura do canal
• conservação da massa na camada [1]
2 2 2
( ) (1) ( ) ( )
1 2
1 1 1
d ˆ d d dd
g g g
t x t
w s sw w w sw w wx xt x t
Bh C x t B C h u B C h u tt
2 2
( ) (2) ( ) (1)
1 1
2,1 1,2ˆ ˆ d d 0g g
t x
s s
t x
B C B C x t
2 2
(1) (1) ( ) (1) ( ) (2) (1)
(1) (1) (1)1 1 2 1
2,1 1,2
( , ) ( , ) ( , )
dˆ ˆd d d d d 0
ds s
x x
s s s s s
x S x t S x t S x t x
S x u S u S B B xt
modelo conceptual
(1) (1)
(1) ( , )
ˆds s w
S x t
S h B (1) ( ) (1) ( ) (1)
(1)
ˆds s
s s w s w w
S
u S u h B u h B considerando que
e integrando no tempo, fica
(1) ( ) (1)ˆˆ g
s sC
note que, porque não há segregação entre os sólidos transportados em suspensão e o fluido,(1)
(1)(1)
ˆ s sws sw
w
qC C
q
(1) ( ) (1) ( )ˆˆ g g
s s sw swC C
( )g
sw swC
sedimentos transportados em suspensão• conservação da massa na camada [1]
modelo conceptual
eliminando a largura do canal, B, e a massa volúmica dos grãos, (g), e considerando que
que
2 2
(1) (1)
1 1
2d
ˆ ˆd dd
x x
w s t w s t
x x
h x h x xt
(1)
21ˆw s tx
h x 2
(1) (1)
1
1
ˆ ˆ d
x
w s t w sxx
h h x regra de Leibnitz
2
1 2
1
d
x
sw w w sw w w x sw w wx xx
h u h u h u x teorema fundamental do cálculo
e que
2 2
( ) (2) ( ) (1) ( )
1 1
2,1 1,2 2,1ˆ ˆ d dg g g
x xnet
s s s
x x
C C x x
2 2 2
( ) (1) ( ) ( )
1 2
1 1 1
d ˆ d d dd
g g g
t x t
w s sw w w sw w wx xt x t
Bh C x t B C h u B C h u tt
2 2
( ) (2) ( ) (1)
1 1
2,1 1,2ˆ ˆ d d 0g g
t x
s s
t x
B C B C x t
sedimentos transportados em suspensão• conservação da massa na camada [1]
2 2 2 2
(1)
1 1 1 1
ˆ d d d d
t x t x
t w s x sw w w
t x t x
h C x t C h u x t 2 2
1 1
2,1d d 0
t xnets
t x
x t
modelo conceptual
considerando que o espaço de integração é não nulo
equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma integral
(1)ˆt w s x sw w wh C C h u 2,1 0net
s
equação de conservação da massa de sedimentos transportados em suspensão na forma diferencial
cumprindo um processo idêntico ao anterior, a equação da massa de água na camada de transporte em suspensão é
(1)ˆ1 1t w s x sw w wh C C h u 2,1 0netw
notar que massa volúmica aparente da água é (1)
(1) (1) (1) (1)
(1) (1) (1)ˆ1 1w s s
sC
• conservação da massa na camada [1]
• conservação da massa de sedimentos
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
transporte em suspensão
transporte por arrastamento
camada de mistura
substrato
La
sedimentos transportados por arrastamento
(2) (2) ( )
(2) (2)r
dd d 0
ds
cb cbt
u n
nn n
n3,2 2,3 0
(2)ˆcC
(2) ( ) (2) (2) 3
areia
ˆ ˆˆ 2650 kg mgc c cC C
(2)(2)
(2)ˆ c
cC
equação de conservação dos sedimentos transportados por arrastamento na camada [2]
modelo conceptual
• conservação da massa na camada [2]
2,1 1,2
cbcb
b
qC
q
( ) 3
areia2650 kg mg
cb cb cbC C
(2)ˆt b c x cb b bh C C u h 02,3 net
c
nota: (2)ˆc cbC C como os sedimentos grosseiros e a água têm velocidades diferentes (há
segregação) “depth-averaging” e “flux-averaging” são conceitos diferentes!
modelo conceptual
• conservação da massa na camada [2]consequências da segregação de sedimentos grosseiros transportados por arrastamento
( )wu( )su
( )gu
( ) ( ) ( )g s wu u u
( )(2)
(2)
2ˆg
ccC
( )(1)
(1)
5ˆg
ssC
( ) ( )(2)
(2) (2)
1 ˆg g
c ccb c
tC C
t
( )wu
( ) ( )(1)
(1) (1)
5 5 ˆg g
s csw s
tC C
t
(2) *
*
ˆ1 1
cbc
cb
CC
C
prova-se que
em que ( )
( )*
w
g
u
u
e, para concentrações baixas, que
(2)*
ˆc cbC C
modelo conceptual
• conservação da massa na camada [2]súmula de equações de conservação da massa
(2)ˆt b c x cb b bh C C u h 02,3 net
c
(2)ˆt b s x sb b bh C C u h 3,2 2,1 0net net
s s
(2) (2)ˆ ˆ1 1t b s c x sb cb b bh C C C C u h 3,2 2,1 0net netw w
sedimentos grosseiros
sedimentos finos
água
• conservação da massa no leito
3,2 3,2(1 ) 0net nett b s cp Y sedimentos
3,2 0nett b wp Y água
modelo conceptual
• conservação da massa totalmassa total na camada [1]
t b x b bh u h 3,2 2,1 0net net
3,2 0nett bY
(1)ˆt w s x sw w wh C C h u 2,1
nets (1)ˆ1 1t w s x sw w wh C C h u 2,1 0net
w
t w x w wh h u 2,1 0net
massa total na camada [2]
massa total no leito
massa total no sistema
t w b t b x w w b bh h Y h u h u 2,1net
3,2 2,1 3,2 0net net net
0t t b xh Y hu 0t xY q
(1)
sist sist sist
(1)d dd d
d d s M SP St t
u f f d
(1) (1) (1)
(1) (1) (1) (1) (1)
rd
d d d d dd s s su S S S
t
u u n g p T
modelo conceptual
• conservação da quantidade de movimentoexemplo: camada [1]
(1) ( ) (1) ( ) (1)1g w
s s sC C
p T
taxa de variação temporal da quantidade de movimento (forças de inércia)
forças de massa
forças no contorno
variação local variação convectivaforça da gravidade
forças de pressão (normais)
forças tangenciais
g : aceleração da gravidade
: pressão : tensões tangenciais
hipótese fundamental: as camadas são meios contínuos
( ) (1) ( ) ( ) (1)w w w
s ss C C águasólidos (1) ( ) (1)1 ( 1)w
s ss C
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
La
( )
1( , )su x x t
n
n n
n
( )
2( , )su x x t
2,1b bu 1,2s wu
modelo conceptual
• conservação da quantidade de movimento [1]
g
sen( )g
2P1P
2,1
- forças de inércia
- forças de pressão
- força da gravidade
- forças de resistência
- outras forças tangenciais
2
(1) (1) (1)
(1) (1)1
rd
d d dd
t
s s
t
u S tt
u u n
2 2 2 2
1 1 1 1
2d d ' d d
t x t x
t w s w x w s w
t x t x
B h u x t B h u x t membro esquerdo, segundo x:
2 2
1 1
2,1 2,1 d
t x
s w b b
t x
B u u x
modelo conceptual
• conservação da quantidade de movimento [1]
membro direito, segundo x:2
(1) (1) (1)1
d d d d
t
s
t
S S t
g p T
2 2
1 1
d d
t x
x s w
t x
B g h x t
2
1 21
2 21 12 2
d
t
s s s sx x
t
Bg h h t
2 2
1 1
2,1d d
t x
t x
B x t
1 2 1 2
1 1 1 1
212
sen( ) d d d d
t x t x
s w x s w
t x t x
B g h x t gB h x t 2 2
1 1
2,1d d
t x
t x
B x t
força da gravidade
forças de pressão
forças de resistência
modelo conceptual
• conservação da quantidade de movimento [1]
2 2 2 2
1 1 1 1
2d d ' d d
t x t x
t w s w x w s w
t x t x
h u x t h u x t 2 2
1 1
2,1 2,1+ d
t x
b b s w
t x
u u x
1 2 1 2
1 1 1 1
212
sen( ) d d d d
t x t x
s w x s w
t x t x
g h x t g h x t 2 2
1 1
2,1d d
t x
t x
x t
eliminando a largura do canal (canal prismático ou cilíndrico)
a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial obtém-se considerando que o espaço de integração é não-nulo
2't w s w x w s wh u h u 2,1 2,1+b b s wu u 21
2sen( ) s w x s wg h g h 2,1
e que ' 1 sen( ) x bg Y
2t w s w x w s wh u h u 21
2,1 2,1 2,12x s w x b s w b b s wg h g Y h u u
modelo conceptual
• conservação da quantidade de movimento [2]
2 2 2 2
1 1 1 1
2d d d d
t x t x
t b b b x b b b
t x t x
h u x t h u x t 2 2
1 1
2,1 2,1 3,2 d
t x
b b s w b b
t x
u u u x
1 2 1 2
1 1 1 1
212
sen( ) d d d d
t x t x
s w x b b s w b
t x t x
g h x t g h h h x t 2 2
1 1
1,2 2,3 d d
t x
t x
x t
seguindo um procedimento idêntico ao anterior obtém-se a eq. cons. na forma integral
a equação de conservação da quantidade de movimento na forma diferencial é
2 212t b b b x b b b x b b s w b b b x bh u h u g h h h g h Y
2,1 2,1b b s wu u 1,2 2,3
modelo conceptual
• súmula das equações de conservação das camadas de transporte e do leito
2 212t b b b x b b b x b b s w b s w x bh u h u g h h h g h Y
2,1 2,1b b s wu u 1,2 2,3
2t w s w x w s wh u h u 21
2,1 2,1 2,12x s w x b s w b b s wg h g Y h u u
0t t b xh Y hu
3,2(1 ) 0nett b sp Y
k kt w s x s w wh C C h u 2,1 0
k
nets
*k k kt b b x b b bh C C u h 3,2 2,1 0k k
net nets s
nota: entre eq. de conservação dos sedimentos (S), a eq. de conservação da água (W) e a eq. de conservação da massa total (T) só 2 equações são independentes (T=S+W). usa-se a eq. de conservação da massa total e não a da água.
* 1k
nota: sempre que as fracções correspondentes não segregarem.
massa total
massa de sedimentos, leito
massa de sedimentos, fracção k, camada [1]
massa de sedimentos, fracção k, camada [2]
quantidade de movimento da mistura, camada [1]
quantidade de movimento da mistura, camada [2]
modelo conceptual
• camada de mistura
[ 4 ]
[ 1 ]
[ 2 ]
[ 3 ]
hb
h
Yb
La n
nnota: a camada de mistura age como um filtro
Hipóteses: - não há movimento longitudinal
- fluxos de massa são exclusivamente verticais
- existe mistura instantânea do material entrado nesta camada
3,2(1 ) (1 ) 0k k
nett a k I t b sp L F p f Y
kI kf facumulação da fracção k
fluxo da fracção k através da fronteira inferior
fração no substratokf k
fração na camada de transporte
por arrastamentokp k
fração na camada de misturakF k
fração na fronteira inferiorkIf k
erosão
1kI I k I kf p F deposição
fluxo da fracção k através da fronteira superior
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho
h
wu
bu
bY
kF
ksC
kbC
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: velocidade média na camada de transporte em suspensão [1]
: velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2]
: cota do fundo
: concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [1]
: concentração de sedimentos da fracção granulométrica k em [2]
: percentagem da fracção granulométrica k na camada de mistura
4 + 3(k-1) variáveis dependentes para 4 + 3(k-1) equações!
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho
3,2k
nets
2,1k
nets
1,2
2,3 b
2,11,2
equações de fecho: : fluxo da fracção k entre o fundo e a camada de transporte [1]
: fluxo da fracção k entre as camadas de transporte [1] e [2]
: velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2]
: tensão de arrastamento de [2] para [1]
: tensão de arrastamento de [1] para [2]: tensão de arrastamento junto ao fundo
aL : espessura da camada de mistura
kIf : percentagem da fracção k entre a camada de mistura e o fundo
bh : espessura da camada de transporte por arrastamento
w bh h h
kb b
k
C C ks s
k
C C 1k
k
F ( ) 1 ( 1)w
X Xs C
, 1k
nets a b
k
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho
2*b u
equações de fecho, exemplos:
: coeficiente de resistência; calcular com uma fórmula apropriada de resistência e.g., só resistência do grão (tipo Keulegen, Einstein, etc...), ou resistência do grão e de forma (Garde e Raju, Brownlie, Ackers et al., Van Rijn).
90 fundo liso
rugas, dunas e antidunasbd
h
: espessura da camada de transporte por arrastamento com ou sem formas de fundo.
2*
fu
Cu
2b fC u
2grão forma
* *' ''u u
u
90 fundo liso
rugas, dunas e antidunasad
L
: espessura da camada de mistura com ou sem formas de fundo.
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho
* **
3,2 * * **
k k k kk k k
k
k
b b b b b b b b b bb b cbnets b
bcb
h u C h u C h u C qC C uh
uu
equações de fecho, exemplos:
: caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte (e.g., Einstein, Meyer-Peter & Mueller, Van Rijn, etc...).
3,2(1 ) 0nett b sp Y
*
**
(1 )k kb b b b
t b
h u C qp Y
*kbq
deposição:
*k kb b b bh u C q *
k kb b b bh u C q
erosão: equilíbrio:
*k kb b b bh u C q
0t bY 0t bY 0t bY
nota: deve incorporar um critério de sobreexposição/ocultamento (exposure/hiding). exemplo, na fórmula de Meyer-Peter & Mueller:
32* 8
k kb k k cq Y Y 50k
k
correctedc
kc k
Y d
Y d
mobilidade indiferente: = 0
modelo conceptual• granulometria uniforme, equações de conservação
2 212t b b b x b b b x b b s w b b b x bh u h u g h h h g h Y
2,1 2,1b b s wu u 1,2 2,3
2t w s w x w s wh u h u 21
2,1 2,1 2,12x s w s w x b b b s wg h g h Y u u
0t t b xh Y hu
3,2(1 ) 0nett b sp Y
t w s x s w wh C C h u 2,1 0nets
*t b b x b b bh C C u h 3,2 2,1 0net nets s
massa total
conservação da massa de sedimentos do leito
massa de sedimentos, camada [1]
massa de sedimentos, camada [2]
quantidade de movimento da mistura, camada [1]
quantidade de movimento da mistura, camada [2]
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #2
h
wu
bu
bY
sC
bC
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: velocidade média na camada de transporte em suspensão [1]
: velocidade média na camada de transporte por arrastamento [2]
: cota do fundo
: concentração de sedimentos em [1]
: concentração de sedimentos em [2]
6 variáveis dependentes para 6 equações
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #2
3,2nets
2,1nets
1,2
2,3 b
2,11,2
equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1]
: fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2]
: velocidade média vertical entre as camadas [1] e [2]
: tensão de arrastamento de [2] para [1]
: tensão de arrastamento de [1] para [2]: tensão de arrastamento junto ao fundo
bh : espessura da camada de transporte por arrastamento
w bh h h
( ) 1 ( 1)w
X Xs C
* **
3,2 * * *
b b b b b b b b b bnet b bs b
cb
h u C h u C h u C qC Ch
u
exemplo:
2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J
modelo conceptual
• granulometria uniforme, velocidade média
2 2t m x w s w b b bhu h u h u
2 21 12 2x s w b b s w b s w s w x b bg h h h h g h h Y
0t t b xh Y hu
3,2(1 ) 0nett b sp Y
t w s x s w wh C C h u 2,1 0nets
*t b b x b b bh C C u h 3,2 2,1 0net nets s
massa total
conservação massa sedimentos, leito
massa de sedimentos, camada [1]
massa de sedimentos, camada [2]
quantidade de movimento da mistura
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #3
hu
bY
sC
bC
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: velocidade média na totalidade da “coluna de água”
: cota do fundo
: concentração de sedimentos em [1]
: concentração de sedimentos em [2]
5 variáveis dependentes para 5 equações
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #3
3,2nets
2,1nets
bu
2,3 b
equações de fecho: : fluxo de sedimentos entre o fundo e a camada de transporte [1]
: fluxo de sedimentos entre as camadas de transporte [1] e [2]
: velocidade média na camada de arrastamento
: tensão de arrastamento junto ao fundo
bh : espessura da camada de transporte por arrastamento
w bh h h
( ) 1 ( 1)w
X Xs C
b bw
w
uh u hu
h
(2) (2)ˆ ˆ1b cb c wb cu u C u C
exemplo:
*cb cbu u u *50
, bwb wb
hu u u
d
: velocidade média na camada de arrastamento, água e sedimentos
velocidade média dos sedimentos velocidade média da água
modelo conceptual• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações
2t xhu hu ( )21
2w
x x b bg h gh Y
0t t b xh Y hu
3,2(1 ) 0nett b sp Y
t xhC Cuh 3,2 0nets
massa total
conservação da massa de sedimentos no leito
massa de sedimentos em movimento
quantidade de movimento da mistura
( ) ( )1 ( 1)w w
X s C porque:
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #4
hu
bY
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: velocidade média do escoamento
: cota do fundo
4 variáveis dependentes para 4 equações
C : concentração total de sedimentos
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #4
3,2nets
2,3 b
equações de fecho:
: fluxo de sedimentos entre o fundo e o escoamento
: tensão de arrastamento junto ao fundo
exemplo:
* **
3,2 * * *
Snets
huC huC huC qC Ch
u
: caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).
*Sq
2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J
modelo conceptual
2t xhu hu ( )21
2w
x x b bg h gh Y
0t t b xh Y hu
(1 ) 0t b t xp Y hC Cuh
massa total
conservação da massa de sedimentos
quantidade de movimento da mistura
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #5
hu
bY
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: velocidade média do escoamento
: cota do fundo
3 variáveis dependentes para 3 equações
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #5
C
2,3 b
equações de fecho:
: concentração de sedimentos (igual à capacidade de transporte)
: tensão de arrastamento junto ao fundo
exemplo:
em que qS é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).
SqC
q
2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J
modelo conceptual
2dx hu ( )212
d d w
x x b bg h gh Y
d 0x hu q uh cte
(1 ) 0t b t xp Y hC Cuh
massa total
conservação da massa de sedimentos
quantidade de movimento da mistura
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #6
hu
bY
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: velocidade média do escoamento
: cota do fundo
3 variáveis dependentes para 3 equações (1 eq. algébrica)
modelo conceptual
• variáveis dependentes e equações de fecho, #6
C
2,3 b
equações de fecho:
: concentração de sedimentos
: tensão de arrastamento junto ao fundo
exemplo:
em que qS é caudal sólido em equilíbrio, calculado por uma fórmula de capacidade de transporte, de preferência total (e.g., Einstein, Ackers & White, Van Rijn, etc...).
SqC
q
2* *' ''b u u ' ''b g R R J ' ''b g R J J
modelo conceptual
d 0x hu q uh cte
(1 ) 0t b x Sp Y q
se se desprezar a acumulação de sedimentos na coluna de água, i.e.,
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente
0t hC
( )2 212
d d d w
x x x b bhu g h gh Y
( )2d 2 d d d w
x x x x b bu h uh u gh h gh Y
( )
d 0
d d d d d w
x
x x x x x b b
hu
u u h h u hu u gh h gh Y
( )2
d2
w
x b bu
h Y ghg
2
d2x bu
h Y Jg
note-se que a equação de conservação da quantidade de movimento é, ausência de descontinuidades no escoamento, equivalente à equação de Bernoulli
modelo conceptual
(1 ) 0t b x Sp Y q considerando que
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente
d = dx x x bu
u h Y Jg
( )S Sq q u (1 ) 0t b u S xp Y q u
d = dx xh
h uu
que e que
obtém-se
2d 1 =x x bh
u Fr Y Ju
e, portanto
2(1 ) 1 0t b u S x bh
p Y q Y J Fru
2 2(1 ) 1 (1 ) 1
u S u St b x b
u q u qY Y J
p h Fr p h Fr
modelo conceptual
2dx hu ( )212
d d w
x x b bg h gh Y
d 0x hu q uh cte massa total
conservação da massa de sedimentos
quantidade de movimento da mistura
• granulometria uniforme, velocidade média, baixas concentrações, equilíbrio, regime permanente
2 2(1 ) 1 (1 ) 1
u S u St b x b
u q u qY Y J
p h Fr p h Fr
hu
bY
variáveis dependentes: : profundidade do escoamento
: cota do fundo
: velocidade média do escoamentoSq
J
equações de fecho:
: concentração de sedimentos
: declive da linha de energia