Aula 9: 29 e 30/03/2012

Casos especiais de escoamentoCasos especiais de escoamento

8.1. Sistemas não isotérmicos

8.2. Diâmetro equivalente

8.3. Diâmetro econômico

8.4. Gráfico de Karman

TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS ITA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I

1

CASOS ESPECIAIS DE ESCOAMENTO

8.1. Sistemas não isotérmicos

Os métodos para cálculo do fator de atrito descritos até agora são aplicáveis aos casos onde não há transferência de calor (aquecimento ou resfriamento) entre a parede e o fluido.

No entanto, quando um fluido é aquecido ou resfriado durante o escoamento, existe uma uma alteração nas suas propriedades físicasalteração nas suas propriedades físicas e o perfil perfil de velocidades muda com o gradiente de de velocidades muda com o gradiente de temperaturatemperatura existente no sistema.

2

Sistemas não isotérmicos

Este fenômeno é mais pronunciado nos líquidos cujas propriedades reológicas variam sensivelmente com a temperatura.

Existem teorias bastante elaboradas para o efeito da transferência de calor sobre a distribuição de velocidades, porém para cálculos de engenharia pode-se utilizar um método simples tanto para gases como líquidos.

3

Descrição do método:Descrição do método:

a) Calcular o número de Reynolds com valores de parâmetros reológicos e densidade à temperatura média. A temperatura média é a média aritmética das A temperatura média é a média aritmética das temperaturas médias do fluido na entrada e saída da temperaturas médias do fluido na entrada e saída da tubulação.tubulação.

ReT

Newtoniano:

Lei da potência:

μ T

ρ T

K T

ρ T n

2saídaentrada TT

T

4

b) Com o valor do número de Reynolds e com o parâmetro de rugosidade do tubo é possível obter o fator de atrito (Fanning ou Darcy) à temperatura média aritmética.

ReT

D

FTfDiagrama de MoodyDiagrama de Moody

ou Diagrama de Dodge-MetznerDiagrama de Dodge-Metzner

Fluido Newtoniano – Reg. Turbulento

Fluido de Lei da Potência – Reg. Turbulento

5

c) O fator de atrito obtido é corrigido mediante uma correlação da viscosidade que leva em conta o tipo de processamento térmico

onde:

T viscosidade do fluido à temperatura media aritmética

P viscosidade do fluido à temperatura da parede do tubo

B

PTFFcorrigido ff

6Valido para k, índice de consistência do fluido.

B

T

PTFFcorrigido k

kff

Tipo de processo térmico

BRegime laminar

Re < 2100Regime turbulento

Re > 2100

Aquecimento 0,38 0,17Resfriamento 0,23 0,11

Valor da constante B para a correção do fator de atrito em sistemas não-isotérmicos

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EXERCÍCIO:Considere um fluido lei da potência escoando com vazão de 152 m3/h em um tubo liso de diâmetro interno de 2,5”. A temperatura do fluido na entrada do tubo é de 20⁰C e, após passar por um sistema de aquecimento, alcança 50⁰C na saída do tubo. Na parede do tubo a temperatura é de 60⁰C. Obtenha o fator de atrito para este sistema.Dados: 17⁰Brix (considere que o Brix não varia com T)

8.2. Diâmetro Equivalente em tubos não cilíndricos

4eq HD R

Até agora vimos o cálculo das perdas por atrito em tubos de seção cilíndrica, no qual o líquido ocupa totalmente a área de escoamento. Em tubos ou canais cuja seção não é Em tubos ou canais cuja seção não é circular ou onde o escoamento ocorre em dutos circular ou onde o escoamento ocorre em dutos parcialmente cheios, parcialmente cheios, se o escoamento é turbulento e se o escoamento é turbulento e o fluido newtonianoo fluido newtoniano, as técnicas anteriormente descritas podem ser usadas, apenas se usa o diâmetro equivalente.

O diâmetro equivalente é definido, tradicionalmente, como 4 vezes o raio hidráulico.

9

Por sua vez, o raio hidráulico pode ser definido como:

HR Área da seção transversal de escoamento

Perímetro molhado

Portanto:

Área da seção transversal de escoamento

Perímetro molhado4eqD

O perímetro molhado é a porção da parede numa seção transversal do tubo, na qual existe contato com o fluido. 10

Diferentes situações de cálculo do diâmetro equivalente:

eqD D

Tubo circular cheio

D

D

Deq

44

2

eqD

molhadoPerímetro

escoamentodeltransversaseçãodaÁrea4

11

Tubos circulares concêntricos (área anular):

2 2

2 2intint int int

int int int

4 44

extext ext ext

eqext ext ext

D D D D D D D DD

D D D D D D

Tubo de seção quadrada:

2

44eq

LD

L

inteq extD D D

eqD L

12

Tubo circular cheio até metade

eqD

D

D

21

41

21

42

= D

13

Nesse caso, a energia de atrito total é calculada através da equação de Fanning usando o diâmetro equivalente:

* A velocidade nas equações é a velocidade média efetiva, calculada sem usar o diâmetro equivalente:

22ˆ 2

2f F feq

L vE f v k

D

O fator de atrito será obtido do diagrama de Moody

Re eqvD

vazão volumétrica

área transversal de escoamento real

Vv

A

14

Por exemplo, no caso de líquido dentro do anel existente entre dois tubos concêntricos, a velocidade efetiva é:

2 2

int

vazão volumétrica

área transversal do anel

4 ext

Vv

D D

15

Exemplo: Diâmetro equivalente

Deseja-se saber qual será o tipo de tubulação que dará menor perda de carga para a distribuição de ar: seção circular ou quadrada? Suponha área de seção com 1 m2; modelo newtoniano; relacione as perdas de carga através de:

./.^^

quadEcirE ff

16

.

.

2_

.

2_

.

.

^

.

^

2

2

cil

qua

quaF

cilF

fqua

fcil

D

D

vDL

f

vDL

f

E

E

Agora, precisamos encontrar os diâmetros das seções

17

Supondo inicialmente que a velocidade seja a mesma o fator de fricção muito similar, temos

Supondo uma área de seção de 1m2

2

44eq

LD

L

eqD L

Área da seção transversal de escoamento

Perímetro molhado4eqD

Seção quadradaA = L2

1 = L2

L = 1mD eq = 1m

Seção circularA = π R2

1 = π R2

R = 0,5641 mD = 1,128 m

18

88,0128,1

1

.

.

.

^

.

^

cil

qua

fqua

fcil

D

D

E

E

A energia perdida por atrito por unidade de massa em uma tubulação com seção circular é, geralmente, 12% menor que na seção quadrada.

19

8.3 VELOCIDADE E DIÂMETRO ECONÔMICO

A escolha do diâmetro da tubulação deve levar em consideração os parâmetros econômicos e a disponibilidade de diâmetros dos tubos comerciais.

Na escolha do diâmetro, dois fatores são importantes:

O custo da tubulação a ser instalada (custos fixos ou depreciação do investimento inicial). Este custo aumenta a medida que se escolhe diâmetros maiores.

O custo operacional do sistema, ou seja, a energia gasta no bombeamento do fluido diminui com o aumento do diâmetro da tubulação (custos operacionais).

20

$/ano por metro de tubulação

D ótimo

Custo totalCusto da tubulação

Custo de bombeamentoDiâmetro

Figura: Determinação do diâmetro ótimo

A soma dos custos fixos mais os operacionais apresenta um valor mínimo que é denominado diâmetro econômico, aquele que minimiza os custos totais de uma tubulação. 21

O diâmetro econômico pode ser determinado através de duas metodologias:

1. Através de equações obtidas da derivação da equação resultante da soma dos custos fixos e dos operacionais. Este método exige dados reais de tubulações e a obtenção de equações, porém fornece o verdadeiro valor do diâmetro ótimo. No caso de sistemas complexos de alto custo, este método é o método a ser seguido.

2. Através da velocidade aconselhável ou velocidade econômica. Este método é adequado para pequenas e médias instalações e será o método que usaremos nesta disciplina.

22

Obtenção do diâmetro econômico através da equação de custos mínimos

Solução para fluidos newtonianos:

Denn, M.M.(1980) Process fluid mechanics, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ.

Solução para fluidos newtonianos, da lei da potência e plásticos de Bingham

Darby, R. & Melson, J.D. (1982). Direct determination of optimum economic pipe diameter for non-Newtonian fluids, J. Pipelines, 2, 11-21.

Solução para fluidos Herschel-Bulkley

Garcia, E.J. & Steffe, J.F. (1986) Optimum economic pipe diameter for pumping Herschel-Bulkley fluids in laminar flow, Journal of Food Process Engineering, 8, 117-136. 23

Obtenção do diâmetro econômico através da velocidade econômica

Usa-se a velocidade aconselhada para um dado regime de escoamento, considerando a viscosidade ou a densidade. Com essa velocidade calcula-se o diâmetro.

Este método se baseia no fato de que as velocidades de fluidos que escoam em tubos com diâmetros econômicos, estão dentro de uma estreita faixa de valores.

Esses valores de velocidade variam em função da densidade, quando o escoamento é turbulento e da viscosidade, quando o regime é laminar.

24

Tabela: Valores de velocidade econômica para tubos com diâmetro igual ou inferior a 4 polegadas.

Escoamento Laminar

μ (cP) 10 100 1000 v (m/s) 1 0,3 - 0,8 0,1 - 0,24

Escoamento Turbulento

(kg/m3 ) 0,12 1,2 12 800 1200v (m/s) 12,5 - 15,5 5,5 - 7,7 3,2 - 4,0 1,6 - 2,0 0,79 - 1,0

água

óleo Líquido viscoso

25

Escolhida a velocidade aconselhável através da tabela anterior, para um fluido de densidade ou viscosidade conhecidas, o diâmetro econômico será obtido pela expressão:

Após o cálculo do diâmetro econômico, se consulta o catálogo de tubulações para determinar a dimensão real do tubo. O diâmetro escolhido corresponde a um dos diâmetros-padrão e gera a velocidade efetiva.

ecoecoeco v

V

v

mD

44

26

Regra prática para a determinação do diâmetro ótimo (válido para linhas de recalque):

A partir do diâmetro econômico calculado, procura-se em tabelas de tubulações comerciais o valor do diâmetro interno mais próximo.

No caso das linhas de recalque, pode-se escolher o valor do diâmetro interno igual ou inferior ao diâmetro econômico.

No caso de linhas de sucção devemos usar outro critério, pois a perda de carga na sucção é crítica e precisamos escolher diâmetros maiores que o diâmetro econômico. E, também, linhas de comprimento com o menor comprimento possível.

27

Exemplo: Diâmetro econômico

Deseja-se transportar óleo de soja a uma vazão de 1,72 litros/s.

•Qual diâmetro de tubulação deve ser empregado?

•Qual a velocidade real do sistema?

Dados:ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3

μ = 0,0336 kg/m.s28

Supondo regime turbulento para o fluido newtoniano, com o auxílio da tabela abaixo podemos estimar uma velocidade econômica de 1,5 m/s.

DDecoeco = 3,82.10 = 3,82.10-2-2 m m

DDecoeco = 1,5 in = 1,5 in

(kg/m3 ) 0,12 1,2 12 800 1200v (m/s) 12,5 - 15,5 5,5 - 7,7 3,2 - 4,0 1,6 - 2,0 0,79 - 1,0

ecoecoeco v

V

v

mD

44

O diâmetro econômico é calculado por:

ρ = 0,95 g/cm3 = 950 kg/m3

29

Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial (regime de escoamento turbulento) está correta:

Re = Dvρ/μRe > 4000 = regime turbulento

Re = 1620

Regime laminar!

Suposição inicial não satisfeita !

Recalcular como regime laminar !

30

Supondo regime laminar para o fluido newtoniano, com o auxílio da tabela abaixo podemos estimar uma estimar uma velocidade econômica de 0,9 m/svelocidade econômica de 0,9 m/s (lembrando que 0,0336 kg/m.s = 33,6 cP).

(cP) 10 100 1000

v (m/s) 1 0,3 - 0,8 0,1 - 0,24

DDecoeco = 4,93.10 = 4,93.10-2-2 m m

DDecoeco = 1,94 in = 1,94 in

O diâmetro econômico é calculado por:

ecoecoeco v

V

v

mD

44

31

μ = 33,6 cP

Agora, devemos verificar se nossa suposição inicial (regime de escoamento laminar) está correta:

Re = Dvρ/μRe < 2100 = regime laminar

Agora, pode-se escolher um diâmetro comercial através de um catálogo.

Re = 1254 Considera-se regime laminar ! Suposição inicial satisfeita !

32

33

DDecoeco = 4,93.10 = 4,93.10-2-2 m m

DDecoeco = 1,94 in = 1,94 in

Tubo selecionado, considerando série 80: Tubo selecionado, considerando série 80: DDinternointerno = 1,939 in = 0,04925 m = 1,939 in = 0,04925 m

DDnominalnominal = 2 in = 0,05080 m = 2 in = 0,05080 m

34

Cálculo da velocidade real do sistema:Cálculo da velocidade real do sistema:

A vazão é conhecida e não se altera: smV /10.72,1 33

Então, a velocidade real é obtida com:A

Vv

DDinternointerno = 1,939 in = 0,04925 m = 1,939 in = 0,04925 m

Onde, para o cálculo da área usa-se o diâmetro interno do tubo comercial selecionado:

Velocidade real = 0,903 m/s Velocidade real = 0,903 m/s

Exercício para fazer em sala e entregar:Exercício para fazer em sala e entregar:

Deseja-se transportar um fluido a uma vazão de 3 litros/s.

•Qual diâmetro de tubulação deve ser empregado?

•Qual a velocidade real do sistema?

Dados:ρ = 1200 kg/m3

μ = 10 cP35

36

Tabela: tubos comerciaisTabela: tubos comerciais

8.4. Gráfico de Karman (fluidos newtonianos)

Geralmente se conhece a vazão, o diâmetro, as características do fluído (μ e ) e do meio (rugosidade) e pode-se calcular Re.

Com esses valores obtém-se o fator de fricção com o gráfico de Moody e se calcula a energia perdida no atrito com a parede.

DLE

fv

f

D

^_ 2

.1

Número de Karman

Em certas ocasiões a energia utilizada para vencer o atrito viscoso Em certas ocasiões a energia utilizada para vencer o atrito viscoso (E(Eff) é pré-determinada e se conhece o diâmetro.) é pré-determinada e se conhece o diâmetro. Neste caso para calcular a vazão se utiliza o método interativo aproveitando o gráfico que correlaciona o número de Karman (λ) com 1/fD

DfRe

A velocidade é calculada com a equação obtida da definição de energia friccional:

37

Gráfico de Karman

D

Df

1

38

Exemplo:

Água a 43ºC flui através de um tubo de aço comum ( = 4,6.10-5m), de diâmetro nominal de 2” e comprimento de 20m. Os manômetros indicam 30 psig no início da tubulação e 15 psig no final. A diferença de altura é 3 m.

5m

2m

P1

P2

fp Ev

zgP

Wv

zgP ^

2

2

_

22

^

2

1

_

11

2.

2.

Aplicando o balanço de energia temos:

2).(

2_

2121 v

D

Lfzzg

PPD

Reagrupando temos:

DL

zzgPP

v

fD

/

2

1

2121

_

P.1

P.2

39

Eq. 1

Inserindo no número de Karman obtemos:

DL

zzgPP

D

/

2 2121

DfRe

]1......[2

.1

^

DLE

vf

f

D

D

LE

v

vDf

f

D

^

2.

1Re

DL

zzgPP

v

fD

/

2

1

2121

_

40

Eq. 2

2

2

3

425,10368951000

15

s

m

psig

Pa

mkg

psigP

2

2

221 40,2938,9)(s

mmx

s

mzzg

745,3710538,0

20

m

m

D

L

m

s

smkg

x

mkg

mD67,89666

.106,0

10000538,0

3

3

41

Calculando cada termo da equação 2:

DL

zzgPP

D

/

2 2121

84,75798

29,40 m2/s2103,425 m2/s2

371,745

89666,67 s/m

42

Substituindo os valores na equação 2:

Gráfico de Karman

84,75798

000855,00538.0

000046.0

m

m

D

71

Df

43

Agora podemos calcular a velocidade média através da equação 1:

DLE

fv

f

D

^_ 2

.1

s

mv 92,5_

Df

1

Do gráfico de Karman:7

1

Df

44