Propagação & Antenas Página 1

Aula de Problemas – 3

Problema 1

Considere as equações de Maxwell

equação de Maxwell-FaradayConservação do

fluxo magnéticolei de Gauss magnética 0

t

BE

B

equação de Maxwell-AmpèreConservação da

carga eléctricalei de Gauss eléctrica

t

DH J

D

e analise, em termos de dimensões (SI), todas as grandezas intervenientes. Recorde que

1

2

intensidade do campo eléctrico V mgrandezas de intensidade

intensidade do campo magnético T Wb m

E

B

2

1

excitação eléctrica C mgrandezas de extensão

excitação magnética A m

D

H

3

2

densidade volúmica de carga (eléctrica) C mfontes (livres) do campo

densidade (superficial) de corrente A m

J

Nota – Muitos autores, contra a versão (correcta) relativista do electromagnetismo, designam o

campo H por campo magnético e o campo B por indução magnética. Não sendo fundamental o

problema da nomenclatura, a versão aqui apresentada é a versão correcta. Frequentemente, também

nesta UC, se irá designar o campo H por «campo magnético». Não é correcto – mas é aceitável. É,

no entanto, fundamental que se saiba o seguinte: em termos da teoria da relatividade (que governa o

campo electromagnético), os campos vectoriais tridimensionais ,E B constituem uma única

entidade quadridimensional (conhecida por tensor de Faraday F ), enquanto os campos vectoriais

tridimensionais ,D H constituem – por sua vez – uma entidade quadridimensional distinta

(conhecida por tensor de Maxwell G ). Em termos de álgebra geométrica do espaço-tempo de

Minkowski, definem-se os bivectores

Propagação & Antenas Página 2

1bivector de Faraday

1bivector de Maxwell

c

c

F E I B

G D I H

Veja-se, e.g., o seguinte artigo:

Carlos R. Paiva and Sérgio A. Matos, “Minkowskian isotropic media and the perfect

electromagnetic conductor,” IEEE Trans. Antennas Propagat., Vol. 60, Issue 7, pp. 3231-

3245, July 2012.

Note que a terminologia que aqui se critica tem, matematicamente, alguma lógica: os campos 1V m E e 1A m H são formas-1, i.e., são sempre integrados ao longo de uma linha; os

campos 2C m D e 2T Wb m B são fluxos ou formas-2, i.e, são sempre integrados em

superfície. Mas o problema que aqui se coloca não é matemático – é um problema de interpretação

física.

Para regiões sem fontes, em que

0

0

J

as equações de Maxwell escrevem-se, então, na forma

0

0

0

0

t

t

BE

B

DH

D

Mostre, neste caso, que – para ondas planas e monocromáticas

0

0

0

0

, exp , exp

, exp , exp

, exp , exp

, exp , exp

t i t i

t i t i

t i t i

t i t i

E r E r E r E k r

D r D r D r D k r

B r B r B r B k r

H r H r H r H k r

em que

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1 2 3 1 2 3 ,x y zi k k k i ix y z t

e e e e e e k ,

– as equações de Maxwell se reduzem à forma algébrica

0 0

0

0 0

0

0

0

k E B

k B

k H D

k D

Nota importante – Existe, aqui, uma distinção importante que deve ser sublinhada. Os vectores

reais, que pertencem a 3, têm uma natureza radicalmente distinta dos vectores complexos, que

pertencem a 3. Nomeadamente, do ponto de vista da representação geométrica, os vectores reais

são representados por setas, enquanto os vectores complexos são representados por elipses

orientadas. Por exemplo: 3,t E r , 3E r , 3

0 E . A um dado vector complexo pode

fazer-se corresponder uma «polarização»: a sua representação geométrica, através de uma elipse

orientada, pode degenerar em dois casos extremos: i) numa circunferência, quando os dois eixos

maior e menor se tornam iguais (polarização circular); ii) num segmento de recta, quando o eixo

menor se anula (polarização linear). Porém, mesmo no caso da polarização linear, o segmento de

recta tem um duplo sentido sobre uma mesma direcção rectilínea – ao contrário de uma seta que é

caracterizada por um único sentido bem determinado.

Assim, para um meio isotrópico caracterizado pelas relações constitutivas

0 0 0

0 0 0

D E

B H

é, ainda, possível escrever:

0 0 0

0

0 0 0

0

0

0

k E H

k H

k H E

k E

Nota importante – Como, neste caso, o vector de onda k é, simultaneamente, perpendicular a 0E

e a 0H , a onda diz-se TEM (i.e., quer o campo E quer o campo H residem no plano transversal

ou perpendicular à direcção de propagação k ).

Note que

0 0

1velocidade da luz no vácuo 299 792 458 m/s valor exacto (por definição)c

Propagação & Antenas Página 4

7 1

0

12 1

0 2

0

4 10 H m valor exacto, por definição permeabilidade magnética do vácuo

18.854187817620389 10 F m permitividade eléctrica do vácuo

c

permitividade dieléctrica relativa (adimensional)

permeabilidade magnética relativa (adimensional)

00 0

0

0 0 0

119.9169832 120 377 impedância do vácuo

número de onda no vácuo rad/m

c

kc

Assim, definindo o índice de refracção do meio isotrópico como sendo

índice de refracção do meio (adimensional)n

mostre, a partir das equações de Maxwell, que se tem

2 2

0 0 0

2 2

0 0 0

n k

n k

k k E E

k k H H

Agora, usando a regra fundamental do produto externo (bac-cab)

a b c b a c c a b a c b a b c

tem-se

2

0 0 0 0

0

2

0 0 0 0

0

k

k

k k E k E k k k E E

k k H k H k k k H H

pelo que se pode, finalmente, concluir

2 2 2

0 0ˆk n k nk k k .

Designa-se por k̂ o vector unitário correspondente ao vector de onda

ˆ ˆ ˆ, , .k n kc k

kk k k k k

Qual é a superfície que corresponde a

2 2 2

0n kk ?

Propagação & Antenas Página 5

Para calcular a velocidade de fase desta onda, comece por definir a fase

,t t r k r .

Note, então, que pode definir a distância à frente de onda, tal que

ˆ ˆ, cos cosr k k r k k r k r k r k r .

Nestas condições, vem

,t k t .

A velocidade de fase é a velocidade dos planos de fase constante, i.e.,

0, 0 p

d dt k t k v

d t d t k

.

A respectiva direcção é dada por k̂ . Portanto,

ˆ .ˆp pv

k

v k k

Logo, introduzindo nesta última equação 0k nk , obtém-se

0 0

.ˆp p

c cc v

k k nk n n

v k

Se, ao definir uma direcção k̂ , se considerar uma onda progressiva tal que

ˆ ,k t t k t k k r k r ,

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isto apenas significa que a onda, de facto, se propaga no sentido diametralmente oposto a k̂ . Assim,

vem sucessivamente

0ˆ, 0 p p

d dt k t k v

d t d t k k

v k .

Explique por que razão se define o comprimento de onda de

0, expt i t E r E k r

como sendo

0 0

2, 2 ., 2t k t t t t

k

Explique por que razão se define o período (temporal) dessa mesma onda como sendo

0 0

2, 2 , 2 .

t tT t k t k t t k

T T

Notando, então, que a frequência f é o inverso do período, i.e.,

1

HzfT

tem-se, obviamente,

2

2 frequência angular rad/s .fT

A fase da onda pode, portanto, ser reescrita na forma

2

., 22p p

t ft k t v v f

T k

Assim, também

2 2

, 2 .p

p

tt v t t

T T v

Só no caso do vácuo (ou do ar, aproximadamente) é que se tem

1.1

1p

nv c f

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Fazendo 83 10 m/sc , determine (mentalmente) o comprimento de onda para as seguintes

frequências: i) 50 Hzf ; ii) 1kHzf ; iii) 1 MHzf ; iv) 3 GHzf ; v) 30PHzf .

Deve, também, verificar como é que se pode obter o «campo magnético» em termos do campo

eléctrico. Note que, da equação

0 0 0 k E H

vem imediatamente

0 00 0 0 0 0

0 0 0

1 ˆ ˆn k

H k E k E H k E

ou, introduzindo a impedância da onda

00

0

impedância da ondaw

0 0ˆ .

1

w H k E

Analogamente, de

0 0 0 , k H E

obtém-se

0 00 0 0 0 0

0 0 0

1 ˆ ˆnk

E k H k H E k H

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0 0 .ˆw E H k

Considera-se, na figura anexa, que se tem uma polarização linear. E, além disso, considera-se um

meio sem perdas. Assim, com efeito, pode considerar-se

3

0 0, , 0w E H .

Problema 2

O campo eléctrico de uma onda electromagnética que se propaga no ar, ao longo do sentido positivo

do eixo z , é caracterizado pelo vector complexo 3

0 1 2i E E E em que 3

1 2, E E tal como

se indica na figura anexa. Determine 0,z tE e 0,z tH para 4 . Como classifica a

polarização? Calcule o vector de Poynting bem como o vector de Poynting complexo. Qual é a

relação entre eles?

Solução

O campo eléctrico é dado por

0 0, expz t i k z t E E ,

em que

21 2 2

0 0 0

2 1 2

3A

AA

E eE E E

E e e

donde se infere que

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2 1 2 0

2 1 2 0 0

0 2 1 2 0

, exp

cos sin

cos sin

z t A i A i k z t

A i A k z t i k z t

A k z t A k z t

E e e e

e e e

e e e

Portanto, tem-se:

1 2 20, sin cosz t A t A t E e e e .

Assim, vem sucessivamente:

2

1 2

2

1 2

2

0 0

4 2

2

3 3

4 2

2

t t A

Tt t A

Tt t A

Tt t A

t T t A

E e

E e e

E e

E e e

E e

Esta evolução temporal corresponde a uma polarização elíptica esquerda como se indica na figura

anexa da página seguinte. Note-se, com efeito, que

2

3 1 2 1 2

0 0 1polarização

ˆ ˆ ˆ, 0 0 0esquerda

0

A A

A A

k e k E E k E E .

Por outro lado, tem-se

3 2 1

0 0 3 2 1 2 1 2 1

3 1 2 0 0 0

1 ˆ A Ai i

e e eH k E e e e e e e e

e e e

pelo que

21 1 220 0

0 0 0 2 2

0 02 2 1

0

3

A

A

A

H eE

H H H

H e e

.

Note-se que se tem:

0 0 1 1 2 2 1 2 1 2i E H E H E H E H E H

Propagação & Antenas Página 10

1 1 2 2

0 0

1 2 1 2

00

E H E HE H

E H E H.

1 2 1 0

0

1 2 1 0 0

0

1 0 2 1 0

0

, exp

cos sin

cos sin

Az t i i k z t

Ai k z t i k z t

Ak z t k z t

H e e e

e e e

e e e

Note-se, ainda, que:

, , 0z t z t E H .

Logo, para 0z , obtém-se:

2 1 1

0

0, sin cosA

z t t t

H e e e .

Propagação & Antenas Página 11

Assim, vem sucessivamente:

1

0

2 1

0

1

0

2 1

0

1

0

0 0

4 2

2

3 3

4 2

2

At t

T At t

T At t

T At t

At T t

H e

H e e

H e

H e e

H e

a que corresponde, também, uma polarização elíptica esquerda como se mostra na figura anterior:

Propagação & Antenas Página 12

2

3 1 2 1 22

0 0

0 0

0 0 1

polarizaçãoˆ ˆ ˆ, 0 0 0

esquerda

0

A A

A A

k e k H H k H H .

O vector de Poynting (instantâneo) é dado por

2

2

0 0 3

0

, 1 sin sin 2A

z t k z t k z t

S e .

Com efeito, tem-se 0k z t :

2

1 2 1 2

0

222

3 3

0

22

3

0

, , ,

sin sin cos sin cos sin

sin sin cos

1 sin sin 2

z t z t z t

A

A

A

S E H

e e e e

e e

e

Logo, atendendo a que

2 1sin , sin 2 0

2 ,

infere-se que

22 2

0

0 0 0

1 3, 1

2 2 2

A Az t

ES .

O vector de Poynting complexo, por sua vez, é dado por

0 0

2

2 1 2 1 1 2

0

2

3

0

1

2

2

3 22

c

Ai i

Ai

S E H

e e e e e e

e

Propagação & Antenas Página 13

22

0

0 0

3

2 2c

A

ES

assim se confirmando a regra geral segundo a qual se tem (sempre)

, cz t S S .

De facto, vem sucessivamente:

0 0

0 0 0 0

2 2

0 0 0 0 0 0 0 0

2

0 0 0 0

, , ,

1 1

2 2

1 1

4 4

1 1

2 2

i i

i i i i

i i

i

t t t

e e

e e e e

e e

e

S r E r H r

E H

E E H H

E H E H E H E H

E H E H

0 0 0 0

1 1, exp 2

2 2t i t S r E H E H k r

daqui se concluindo, então, que

0 0

1,

2cz t S E H S (QED).

Nota final sobre a classificação da polarização

Em geral a polarização do campo eléctrico

0 0, expz t i k z t E E

é completamente determinada através do vector complexo

0 1 2i E E E

em que 1E e

2E são dois vectores reais: 1 0E E ; 2 0 E E .

Com efeito, como

0 0 1 2 1 2 1 22i i i E E E E E E E E

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e ainda

22 2 2

0 1 2 1 2 1 22i i E E E E E E E ,

tem-se o seguinte quadro geral de classificação das polarizações.

0 1 2

0 0

2

0 0 0

2

0

0 Polarização Linear

0 & 0 Polarização Elíptica

0 Polarização Circular

i

E E E POLARIZAÇÃO

E E

E E E

E

No caso da polarização não ser linear, é (ainda) possível uma classificação em termos da sua

orientação – esquerda ou direita. Assim, e.g., no caso do vector 0 1 2i E E E , a polarização diz-

se:

1 2

1 2

ˆPolarização 0

ˆPolarização 0

direita k E E

esquerda k E E

Uma forma prática de classificar a orientação (esquerda ou direita) da polarização é a seguinte: a

polarização diz-se esquerda (resp., direita) se o vector do campo descreve a elipse (ou

circunferência, no caso particular de polarização circular) no sentido retrógrado ou do movimento

dos ponteiros do relógio (resp., no sentido directo ou contrário ao movimento dos ponteiros do

relógio) quando o vector k̂ aponta na nossa direcção.

Exercício – Classifique as seguintes polarizações (incluindo a respectiva orientação no caso de não

ser uma polarização linear) para uma onda em que 3ˆ k e :

[1] 0 1 2

1ˆ2

i E R e e ;

[2] 0 1 2

1ˆ2

i E L e e ;

[3] 0 1 2

1

2 E e e ;

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[4] 0 1 2

1

2 E e e ;

[5] 0 1iE e ;

[6] 0 1 2

12

5i E e e .

Problema 3

Uma onda plana é uniforme se a sua amplitude é constante sobre um plano de fase constante.

Mostre, então, que – para uma vector de onda complexo, com 3

1 2i k k k – a onda plana é:

(i) uniforme, se 0 k k ; (ii) não-uniforme, se 0 k k .

Sugestão: Note que se tem 1 22 i k k k k . Assim, a onda é: (i) uniforme, caso 1 2 0 k k ;

(ii) não-uniforme, caso 1 2 0 k k .

ADENDA

Considerem-se dois vectores reais: 1 2 3x y za a a a e e e ; 1 2 3x y zb b b b e e e .

Define-se o respectivo

Propagação & Antenas Página 16

produto interno como sendo o número real

x x y y z za b a b a b a b .

Note-se que, sendo o ângulo entre esses dois vectores, se tem

cosa b a b ,

em que se fez a a e b b . Dois vectores são ortogonais desde que

02

a b .

Define-se o produto externo como sendo o novo vector

1 2 3

1 2 3x y z y z z y z x x z x y y x

x y z

a a a a b a b a b a b a b a b

b b b

e e e

c a b e e e .

Propagação & Antenas Página 17

Tem-se

sinc ab c a b

cujo valor corresponde à área do paralelogramo formado com base em a e b . Trata-se de um

vector perpendicular ao plano definido pelos dois vectores a e b . O sentido (ou orientação) é a

definida pela regra da mão direita.

Propagação & Antenas Página 18

Dois vectores (não-nulos) a e b são paralelos desde que

0 0 a b .

Note-se que o produto interno é comutativo enquanto que o produto externo é anti-comutativo:

simetria

anti-simetria

a b b a

a b b a

Define-se o produto misto de três vectores como sendo o escalar

x y z

x y z x y z z y y z x x z z x y y x

x y z

a a a

b b b a b c b c a b c b c a b c b c

c c c

a b c .

Os três vectores constituem um paralelepípedo cujo volume (orientado) é precisamente . Note-se

que, deste modo, os três vectores são linearmente independentes se (e só se) 0 . Tem-se a

simetria cíclica

a b c b c a c a b .

Propagação & Antenas Página 19

Prove que:

[1] 1

2 2

1 1ˆ

a a

a

a a aa

;

[2] 2 2 2 2 2 2a b a b a b a b ;

[3] a b c a c b a b c ;

[4] 0 a b c b c a c a b ;

[5] a b c a b c b c a a b c ;

[6] a b c b c a c a b ;

[7] a b c d a c b d a d b c ;

[8] a b c d a b d c a b c d .