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Limites Idéias
Uma esfera, como uma bola pode ter sua forma aproximada por uma coleção de pentágonos e hexágonos justapostos
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Limites Idéias
Os paradoxos de Zeno:Aquiles, o herói grego famoso pela sua velocidade, nunca alcança a tartaruga
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Limites Idéias
Os cegos chineses e o elefanteNa história, seis homens cegos aproximaram o elefante e cada deles agarrou somente uma parte do elefante. Discutiram um com o outro sobre o que o elefante olhou realmente como. Reivindicam o elefante são como uma parede, como a lança, como uma serpente, como uma árvore, como um ventilador, ou como uma corda. Obviamente não poderiam alcançar um acordo.
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Limites Idéias
b n A
2 3 18
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Limites Idéias
b n A
2 3 18
1 6 19,5
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Limites IdéiasÁrea do trapézio =
b n A
2 3 18
1 6 19,5
0,5 12 32
0,25 24
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Limites Definição
axLxf
RIa
RIf
→=
∈→
)(lim
reta da intervalo ,
:
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Limites Definição
• Uma circunferência pode ser aproximada por uma seqüência de polígonos regulares inscritos na circunferência.
• Quanto maior o número de lados, mais “próximo” da circunferência o polígono estará. Assim, por exemplo, o octógono (polígono de 8 lados), desenhado em verde ao lado, está “mais próximo” da circunferência do que o quadrado, desenhado em azul, está.
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Limites Definição• Poderíamos dizer, em
linguagem informal, que
“o limite dos polígonos regulares de n lados, inscritos na circunferência, é igual à própria circunferência”, quando o número de lados n for muito grande e “tender a infinito”. Isto é,
infinito) a tendelados de número o (quando nciacircunferê lados de polígonos dos limite O
∞→=
nn
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Limites Definição• Assim, se soubermos
calcular o perímetros de tais polígonos, poderemos ter uma boa aproximação do comprimento da circunferência.
• Vamos começar com o cálculo do perímetro do quadrado inscrito na circunferência.
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Limites Definição• Considere o triângulo cujos
vértices são:
O, o centro do círculo e
P, Q, dois vértices consecutivos do quadrado.
• Os lados deste triângulo são dois raios da circunferência e um lado do quadrado.
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Limites Definição• Note que o ângulo do
triângulo formado pelos raios da circunferência mede
radianos em ,24
2
emente,equivalent ou,
quadrado do lados de número o é 4 onde
,904
360
ππα
α
==
=
==
n
oo
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Limites Definição• Trace, agora, o segmento
que une o centro da circunferência ao ponto médio do lado do triângulo dado pelo lado do quadrado.
• Obtém-se assim um triângulo menor ,
OM
OMQ∆
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Limites Definição• O triângulo
que mede a metade do triângulo maior
tem o ângulo
que mede 45o
,OMP∆
,OPQ∆
MÔQ
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Limites Definição• Assim, o comprimento b do
lado MQ é dado por
4.n onde
,)2
2()
8
2(
)4
(
=
=
===
nRsenRsen
RsenbMQ
ππ
π
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Limites Definição
⋅
=
⋅=
=
⋅
=⋅=⋅=
nnsenR
nRsennnp
RsenRsen
bPQp
π
π
ππ
2
2)(
teremos
lados,n de polígono um para geral, Em
48
424
)2(44)4(
por dado é
quadrado, do p(4) perímetro o Assim,
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Limites Idéias
⋅=
∞→∞→ nnsenRnp
nn
π2lim)(lim
se-escreve
acima, dito foi que oresumir Para
cresce. lados dosn número
o que medida à
ncia,circunferê da ocompriment
do aproxima se ladosn de
polígonos dos perímetro o forma, Desta25,133 n p(n)
3 20,785
4 22,627
5 23.511
6 24,000
7 24,297
16 24,972
... ...
100 25,128
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Limites Idéias25,133 n p(n)
3 20,785
4 22,627
5 23.511
6 24,000
7 24,297
16 24,972
... ...
100 25,128
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Limites Idéias
R = 4
b n p(n)
3,464 3 20,785
2,828 4 22,627
2,351 5 23.511
2.000 6 24,000
1,736 7 24,297
0,780 16 24,972
... ... ...
0,126 100 25,128 133,25422 c
4R raio de nciacircunferê da ocompriment
=⋅=⋅==
ππ R
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Limites IdéiasR = 4 n p(n)
3 20,785
4 22,627
5 23.511
6 24,000
7 24,297
16 24,972
... ...
100 25,128 133,25422 c
4R raio de nciacircunferê da ocompriment
=⋅=⋅==
ππ R
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Limites Definição
=
=
=
Rb
arcsenn
R
barcsen
n
nRsenb
π
π
π que temoslados,n de polígono
cada para que, Lembrando
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Limites Definição
⋅
=
→
→
Rb
arcsen
sen
Rb
arcsenR
bp
b
b
πππ
2lim
)(lim
escrever assim Podemos
0
0
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Limites Definição
⋅
=
→
→
R
barcsensen
Rb
arcsenR
bp
b
b
π2lim
)(lim
é, Isto
0
0
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Limites Definição
⋅=
=
→→
→
R
b
Rb
arcsenRbp
bp
bb
b
π2lim)(lim
)(lim
é, Isto
00
0
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Limites Definição
=
=
→→
→
Rb
arcsen
bbp
bp
bb
b
π2lim)(lim
)(lim
é, Isto
00
0
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Limites Estudo de casos
}{ }{
}{ }{ ... k, 2,..., 1, 0,Nn ,n 1),-(n 2,..., 1, 0,j ,
...)(
e
... k, 2,..., 1, 0,Nm ,m 1),-(m 2,..., 1, 0,i ,
...)(
polinômio são q e p onde,
,)(
)(lim
caso do Estudo
11
22
10 1
11
22
10 1
=∈∈∈+++++=
=∈∈∈+++++=
=
−−
−−
→
Rb
xaxbxbxbbxq
Ra
xaxaxaxaaxp
Lxq
xp
j
nn
nn
i
mm
mm
ax
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Limites Estudo de casos
( ) ( )( ) ( )
( )0a R,a onde,
,3
1
11lim
limlim
caso do Estudo
3 2
3 23 23 23 233 2
3 233 233
3333
≠∈
=
=++
=++
=++⋅−
−=−−
→
→→
La
aaaaxax
axaxax
ax
ax
ax
ax
axax
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Limites Estudo de casos
( ) ( )
axax
axaax
xaaxx
axaxax
−=−
=−−−
+++
=++⋅−
3 33 3
3 33 23 2
3 23 23 3
3 233 233
:que observe efeito, Com
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Limites Estudo de casos
( )( )
0Q se,)(
)(lim
)()(lim
)()(lim
)(lim e )(lim Se
limites dos saritmética esPropriedad
≠=
⋅=⋅
±=±
==
→
→
→
→→
Q
L
xg
xf
QLxgxf
QLxgxf
Então
QxgLxf
ax
ax
ax
axax
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Convite5. Solicitar aos professores
envolvidos e a todos os alunos que façam seu cadastro on-line
6. Publicar no blog todas as informações úteis: ementa, programa, ensalamento (com mapa de localização), professores e contatos, endereço web para cadastro, apresentação com demais informações
1. Definir horário e data dos encontros no auditório Eulálio Chaves
2. Convidar todos os alunos de todas as turmas para os encontros no auditório Eulálio Chaves
3. Convidar todos os Coordenadores de Curso envolvidos
4. Solicitar aos professores envolvidos que encaminhem as informações: foto; formação, e-mail, celular para contato
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Programa
II – Limite e Continuidade
(6 aulas – 5 a 16 de Abril)
2.1. Limite de Funções
2.2. Limites Laterais, Infinitos e no Infinito
2.3. Assíntotas
2.4. Continuidade
1ª. Prova parcial – P1
19 de Abril de 2010
I – Introdução
(6 aulas – 17 a 31 de Março)
1.1. Números Reais
1.2. Funções
1.3. Gráficos
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Programa
IV – Aplicação da Derivada
(6 aulas – 14 a 26 de Maio)
4.1. Teorema do Valor Médio
4.2. Pontos Críticos
4.3. Esboço de Gráficos
III – Derivação
(8 aulas – 23 de Abril a
10 de Maio)
3.1. A Derivada
3.2. Propriedades
3.3. Regra da Cadeia
3.4. Derivação Implícita
2ª. Prova parcial - P2
12 de Maio de 2010
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Programa
VI – Técnicas de Integração
(8 aulas – de 14 a
30 de Junho)
6.1. Integração por Partes
6.2. Integração por Mudança de Variáveis
6.3. Integração por Frações Parciais
6.4. Outras Técnicas
6.5. Aplicações de Integrais
V – Integração
(6 aulas – 28 de Maio a
9 de Junho)
5.1. Integral Definida
5.2. Propriedades da Integral
5.3. Teorema Fundamental do Cálculo
3ª. Prova parcial – P3
11 de Junho de 2010
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Calendário de provas
2ª. Prova parcial - P2
12 de Maio de 20101ª. Prova parcial – P1
19 de Abril de 2010
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Calendário de provas
Prova final - PF
16 de Julho de 20103ª. Prova parcial – P3
11 de Junho de 2010
Prova substitutiva – PS
7 de Julho de 2010
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Professores
• Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidade Federal do Amazonas em 1982, concluiu o Doutorado em Geometria Diferencial na Università degli Studi di Trento, Itália em 1994. Áreas de interesse: Geometria Diferencial e Educação Matemática.
• Coordena no Amazonas a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas - OBMEP.
Doutor Danilo BenarrósTURMAS 1 e 5Interesses:
Geometria Diferencial eEducação MatemáticaE-mail: dbenarrosh@gmail.comCelular: 9996 1882www.obmepam.netwww.obmep.org.br
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Cronograma de aulas
•semana assunto pág atividades extras
14 a 21 de abril Definição de limite 74 Lista do blog
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Calendário de testes
As avaliações serão no modelo
das listas de exercícios
Listas de exercícios
serão publicadas on-line
no blog do curso para serem
resolvidos com periodicidade
semanal
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Turmas
•Turma Horário
4 Estatística 14/16
11 Zootecnia 16/18
2 Matemática 18/20
1 Matemática 8/10
3 Eng. Civil 13/15
5 Eng. Florestal 8/10
10 Eng. Pesca 14/16
9 Ciên. Comp. 10/12
16 Biotecnologia 18/20
14 Física 20/22
Turma Horário
12 Física 8/10
6 Eng. Produção 20/22
21Eng. Gás Petróleo 15/17
15 Agronomia 14/16
13 Física 16/18
17 Eng. Materiais 7/9
8Eng. Computação 9/11
7 Eng. Elétrica 7/9
20 Eng. Química 13/15
10 Geologia 8/10
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Sistema de avaliação
final prova da nota
parcial prova terceirada nota 3
parcial prova segunda da nota 2
parcial prova primeira da nota 1
final nota
,3
3321
2
=====
+++
=
PF
P
P
P
NF
ondePF
PPP
NF
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Sistema de avaliação
33
312
será final nota sua a e vasubstituti prova afazer poderá
,2 parcial prova afizer não vocêse exemplo,Por
período. do final no vasubstituti prova umfazer poderá
parciais, provas dasqualquer uma afaltar vocêSe
PFPPSP
NF
NFPS
P
PS
+++
=
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Sistema de avaliação
33
312
será final nota sua a e vasubstituti prova afazer poderá
,2 parcial prova da nota a substituirdesejar vocêse exemplo,Por
período. do final no vasubstituti prova afazer poderá
final, nota sua a melhorará fazendo assim queachar se
parciais, provas das nenhuma a falte não que Mesmo
PFPPSP
NF
NFPS
P
PS
+++
=
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Sistema de avaliação
.substituirpor optou vocêque parcial prova da nota a que
final, nota da cálculo o para
va,substituti prova da nota
pela parcial prova uma de nota a substituirpor optar Se
: Mas,
menor sejavasubstituti prova da nota a que mesmo
válidanota aserá vasubstituti prova da nota a
atenção
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Sistema de avaliação
.2 que mesmo
33
312
será final nota sua a ,2 parcial prova da nota a substituir
para vasubstituti prova afazer por optar se Assim,
PPS
PFPPSP
NF
NFP
PS
<
+++
=
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Prêmios
Programa de Monitoria
Valor da Bolsa: R$ 350,00
Duração: 1 ano
Vagas: até 5
Certificado
Os alunos que apresentarem o melhor desempenho receberão um certificado e serão convidados para participarem do programa de monitoria em Cálculo.
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Cadastro dos alunos
•Todos ao alunos deverão se
cadastrar até o dia 30 de
março de 2010 no endereço
www.surveymonkey.com.br
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Livro texto
Curso De Calculo, V.1
Autor:GUIDORIZZI,HAMILTON LUIZ
Editora: LTC