Estatística Su�ciente

Anselmo Alves de Sousa

August 14, 2015

Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 1 / 6

Enunciado

1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então

T = X1 +X2

é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.

Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.

P (T = t) =(2λt)e−2λ

t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .

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Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6

Enunciado

1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então

T = X1 +X2

é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.

Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ)

Prove! Dica use F.G.M.

P (T = t) =(2λt)e−2λ

t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .

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Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6

Enunciado

1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então

T = X1 +X2

é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.

Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.

P (T = t) =(2λt)e−2λ

t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .

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Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6

Enunciado

1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então

T = X1 +X2

é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.

Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.

P (T = t) =(2λt)e−2λ

t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .

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Enunciado

1. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição de Poisson(λ).Então

T = X1 +X2

é uma estatística su�ciente para o parâmetro λ.

Neste exercício estamos considerando uma amostra aleatória de tamanho n = 2. Emprincípio sabemos que T ∼ Poisson(2λ) Prove! Dica use F.G.M.

P (T = t) =(2λt)e−2λ

t!, t = 0, 1, 2, 3 . . .

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Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 2 / 6

Resolução

Por de�nição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística su�ciente para λse a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.

P (X1, X2|T = t) =

{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=x2)

P (T=t) , se x1 + x2 = t

P (X1, X2|T = t) =

{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=t−x1)

P (T=t) , se x1 + x2 = t

Anselmo Alves de Sousa Estatística Su�ciente August 14, 2015 3 / 6

Resolução

Por de�nição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística su�ciente para λse a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.

P (X1, X2|T = t) =

{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=x2)

P (T=t) , se x1 + x2 = t

P (X1, X2|T = t) =

{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=t−x1)

P (T=t) , se x1 + x2 = t

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Resolução

Por de�nição dizemos que T = g(X1, X2, . . . , Xn) é uma estatística su�ciente para λse a distribuição condicional de X1, X2, . . . , Xn dado T = t for independente de λ.

P (X1, X2|T = t) =

{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=x2)

P (T=t) , se x1 + x2 = t

P (X1, X2|T = t) =

{0 , se x1 + x2 6= tP (X1=x1,X2=t−x1)

P (T=t) , se x1 + x2 = t

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)

(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!

× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ

× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

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t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

Veja que a distribuição condicional de (X1, X2|T ) não depende de λ, logo T é uma

estatística su�ciente para o parâmetro λ.

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

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t!

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(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

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, logo T é uma

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Resolução

P (X1, X2|T = t) =P (X1 = x1)× P (X2 = t− x1)

P (T = t)(considerando a independência!)

=

e−λλx1x1!

× e−λλt−x1(t−x1)!

e−2λ(2λ)t

t!

=t!

x1!(t− x1)!× e−2λ

e−2λ× λt

(2λ)t=

(t

x1

)1

2t

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1. 52 Questões de Séries Temporais

2. 52 Questões de Estatística Descritiva

3. 52 Questões de Probabilidade I

4. 52 Questões de Técnicas de Amostragem

5. 52 Questões de Inferência

6. 52 Questões de Cálculo

7. 52 Questões de Estatística

8. 52 Questões de Momentos e Esperança Condicional

9. 52 Questões de Estatística Multivariada

10. 52 Questões da Banca AOCP

11. 52 Questões de Testes de Hióteses

12. 52 Questões de Regressão Linear Simples

13. 52 Questões da Banca FCC

14. 52 Questões da Banca CESPE-UNB

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