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Modelagem de Sistemas DinmicosAula 6
Prof. Daniel Coutinhodaniel.coutinho@ufsc.br
Programa de Pos-Graduacao em Engenharia de Automacao e Sistemas
Universidade Federal de Santa Catarina
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.1/21
Sumrio
Mecnica Lagrangeana
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21
Sumrio
Mecnica Lagrangeana
1. Introduo
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21
Sumrio
Mecnica Lagrangeana
1. Introduo
2. Conceitos Preliminares
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21
Sumrio
Mecnica Lagrangeana
1. Introduo
2. Conceitos Preliminares
3. Lagrangeano
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21
Sumrio
Mecnica Lagrangeana
1. Introduo
2. Conceitos Preliminares
3. Lagrangeano
4. Equaes de Lagrange
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21
Sumrio
Mecnica Lagrangeana
1. Introduo
2. Conceitos Preliminares
3. Lagrangeano
4. Equaes de Lagrange
5. Exemplos
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.2/21
Introduo - I
A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.3/21
Introduo - I
A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.
As equaes de Lagrange so uma forma alternativa paramodelar sistemas mecnicos atravs da anlise de energia etrabalho realizado.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.3/21
Introduo - I
A mecnica de Lagrangeana uma formulao damecnica clssica que combina a conservao do momentolinear com a conservao da energia.
As equaes de Lagrange so uma forma alternativa paramodelar sistemas mecnicos atravs da anlise de energia etrabalho realizado.
Com a modelagem em termos de energia, o formalismo deLagrange capaz de evitar a utilizao de grandezasvetoriais como na mecnica Newtoniana.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.3/21
Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21
Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:
1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21
Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:
1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).
2. A incorporao de restries de movimento no espaoatravs de uma definio adequada das coordenadasgeneralizadas
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21
Introduo - II Vantagens sobre a formulao Newtoniana:
1. A formulao Lagrangeana no presa a umdeterminado sistemas de coordenadas (coordenadasgeneralizadas).
2. A incorporao de restries de movimento no espaoatravs de uma definio adequada das coordenadasgeneralizadas
3. O nmero de equaes geradas para a obteno de ummodelo matemtico da dinmica de um sistema menor ou no mximo igual.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.4/21
Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.5/21
Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual
O deslocamento virtual xi uma modificaoinfinitesimal nas coordenadas do sistema enquanto otempo mantido constante
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.5/21
Conceitos Preliminares - I Deslocamento virtual
O deslocamento virtual xi uma modificaoinfinitesimal nas coordenadas do sistema enquanto otempo mantido constante
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.5/21
Conceitos Preliminares - II
Trabalho Virtual
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.6/21
Conceitos Preliminares - II
Trabalho Virtual
o trabalho realizado pelas foras aplicadas e inerciaisde um sistema mecnico para o sistema se mover emum deslocamento virtual.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.6/21
Conceitos Preliminares - II
Trabalho Virtual
o trabalho realizado pelas foras aplicadas e inerciaisde um sistema mecnico para o sistema se mover emum deslocamento virtual.
Considere uma partcula P que se move ao longo de umatrajetria r(t) do ponto A para B:
WAB =
r(t1)=Br(t0)=A
F dr =
t1t0
F v dt
onde v a velocidade.
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Conceitos Preliminares - III
Suponha que a trajetria r sobre uma perturbao r, ento:
W =
BA
F d(r+ r) =
t1t0
F (v + r) dt
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.7/21
Conceitos Preliminares - III
Suponha que a trajetria r sobre uma perturbao r, ento:
W =
BA
F d(r+ r) =
t1t0
F (v + r) dt
O trabalho virtual W a variao do trabalho realizadoconsiderando o deslocamento virtual r:
W = W WAB =
t1t0
(F r
)dt
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.7/21
Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.8/21
Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas
um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.
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Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas
um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.
O nmero de coordenadas generalizadas deve definirunicamente a configurao de um sistema em relao areferncia.
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Conceitos Preliminares - IV Coordenadas Generalizadas
um conjunto de coordenadas utilizado para descrevera configurao de um sistema em relao a algumareferncia.
O nmero de coordenadas generalizadas deve definirunicamente a configurao de um sistema em relao areferncia.
O nmero de coordenadas generalizadas igual ao nmerode graus de liberdade de um corpo.
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Exemplo 1 Um pndulo duplo restrito a se mover no plano pode ser descrito
pelas coordenadas Cartesianas {x1, y1, x2, y2}.
Pode ser representado por coordenadas generalizadas {1, 2}.
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Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as
foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.
i
(Fi miai
)Tri = 0
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.10/21
Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as
foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.
i
(Fi miai
)Tri = 0
A demonstrao do princpio acima apresentado pode serencontrado no livro Mechatronic Systems (Rolf Isermann,2005).
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.10/21
Princpio de dAlembert O princpio afirma que a soma das diferenas entre as
foras agindo em um sistema e as derivadas no tempo dosmomentos do sistema ao longo de um deslocamento virtual(consistente com as restries do sistema) zero.
i
(Fi miai
)Tri = 0
A demonstrao do princpio acima apresentado pode serencontrado no livro Mechatronic Systems (Rolf Isermann,2005).
Na demonstrao, introduz-se o conceito da fora inercial(ou fora auxiliar dAlembert): FT = ma.
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Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo
que define o comportamento dinmico desse sistema.
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Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo
que define o comportamento dinmico desse sistema.
O Lagrangeano definido como a energia cintica menos aenergia potencial:
L = Ec Ep
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Lagrangeano O Lagrangeano L de um sistema dinmico uma funo
que define o comportamento dinmico desse sistema.
O Lagrangeano definido como a energia cintica menos aenergia potencial:
L = Ec Ep
Em geral, o Lagrangeano definido em termos decoordenadas generalizadas q1, . . . , qf assumindo a seguinteforma:
L = L(q1, . . . , qf , q1, . . . , qf , t)
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Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema
composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.12/21
Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema
composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.
Se o movimento do sistema tem r restries (holonmicas restries que dependem apenas da posio) , deve-seeliminar manualmente as f = n r foras de restrio F(z).
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.12/21
Equaes de Lagrange - I Na obteno das equaes de movimento de um sistema
composto por n pontos de massa utilizando a mecnicaNewtoniana, obtm-se n equaes.
Se o movimento do sistema tem r restries (holonmicas restries que dependem apenas da posio) , deve-seeliminar manualmente as f = n r foras de restrio F(z).
Esta tarefa pode ser facilitada se utilizarmos f coordenadasgeneralizadas para representar o vetor de coordenadasespaciais ri:
ri = ri(q1, . . . , qf )
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Equaes de Lagrange - II
O deslocamento virtual ri assume a seguinte forma:
ri =ri
q1q1 + +
ri
qfqf =
j
ri
qjqj
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.13/21
Equaes de Lagrange - II
O deslocamento virtual ri assume a seguinte forma:
ri =ri
q1q1 + +
ri
qfqf =
j
ri
qjqj
A partir da relao acima, pode-se reformular o princpiode dAlembert:
i
[(Fi mri)
T
(j
ri
qjqj
)]= 0
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Equaes de Lagrange - III Manipulando a expresso anterior (ver Isermann, 2005), chega-se
a equao de Lagrange:
d
dt
(L
qj
)
L
qj=
d
dt
(Ec
qj
)Ec
qj+Ep
qj= Qj , Qj =
Wj
qj
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.14/21
Equaes de Lagrange - III Manipulando a expresso anterior (ver Isermann, 2005), chega-se
a equao de Lagrange:
d
dt
(L
qj
)
L
qj=
d
dt
(Ec
qj
)Ec
qj+Ep
qj= Qj , Qj =
Wj
qj
onde:Ec a energia cinticaEp a energia potencialQj a fora generalizada responsvel pelo trabalho virtual Wjem relao ao deslocamento virtual qj realizado pela foraaplicada Fi.
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Equaes de Lagrange - III Manipulando a expresso anterior (ver Isermann, 2005), chega-se
a equao de Lagrange:
d
dt
(L
qj
)
L
qj=
d
dt
(Ec
qj
)Ec
qj+Ep
qj= Qj , Qj =
Wj
qj
onde:Ec a energia cinticaEp a energia potencialQj a fora generalizada responsvel pelo trabalho virtual Wjem relao ao deslocamento virtual qj realizado pela foraaplicada Fi.
Dissipao de energia (D): ddt
(Ecqj
) Ec
qj+
Dqj
+Epqj
= Qj
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Exemplo 2 - I Considere o seguinte sistema massa-mola-amortecedor.
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Exemplo 2 - II Para obter a equao do movimento utilizando a Equao
de Lagrange, define y como a coordenada generalizada pois o nico grau de liberdade do movimento e portanto
Ec =1
2my2 e Ep =
1
2k(u y)2
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.16/21
Exemplo 2 - II Para obter a equao do movimento utilizando a Equao
de Lagrange, define y como a coordenada generalizada pois o nico grau de liberdade do movimento e portanto
Ec =1
2my2 e Ep =
1
2k(u y)2
Derivadas parciais:
Ec
y= my ,
Ec
y= 0 ,
Ep
y= k(u y)
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Exemplo 2 - II Para obter a equao do movimento utilizando a Equao
de Lagrange, define y como a coordenada generalizada pois o nico grau de liberdade do movimento e portanto
Ec =1
2my2 e Ep =
1
2k(u y)2
Derivadas parciais:
Ec
y= my ,
Ec
y= 0 ,
Ep
y= k(u y)
Energia dissipada
D =W
y= b(y u)
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Exemplo 2 - III
Pela equao de Lagrange:
my k(u y) + b(y u) = 0
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Exemplo 2 - III
Pela equao de Lagrange:
my k(u y) + b(y u) = 0
Portanto:my + by + ky = bu+ ku
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Exemplo 2 - III
Pela equao de Lagrange:
my k(u y) + b(y u) = 0
Portanto:my + by + ky = bu+ ku
Funo de transferncia:
G(s) =Y (s)
U(s)=
bs+ k
s2 + bs+ k
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Exemplo 3 - I Considere um pndulo de massa m e tamanho l acoplado a
massa mvel M que se move na direo x sem atrito.
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Exemplo 3 - II Coordenadas generalizadas (2 graus de liberdade): x e .
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Exemplo 3 - II Coordenadas generalizadas (2 graus de liberdade): x e . Energia cintica:
Ec =12Mx2 + 1
2m(x2pend + y
2pend
)= 1
2Mx2 + 1
2m[(x+ l cos()
)2+(l sin()
)2]
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Exemplo 3 - II Coordenadas generalizadas (2 graus de liberdade): x e . Energia cintica:
Ec =12Mx2 + 1
2m(x2pend + y
2pend
)= 1
2Mx2 + 1
2m[(x+ l cos()
)2+(l sin()
)2] Energia Potencial:
Ep = mgypend = mgl cos()
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Exemplo 3 - II Coordenadas generalizadas (2 graus de liberdade): x e . Energia cintica:
Ec =12Mx2 + 1
2m(x2pend + y
2pend
)= 1
2Mx2 + 1
2m[(x+ l cos()
)2+(l sin()
)2] Energia Potencial:
Ep = mgypend = mgl cos()
Para cada coordenada generalizada gerada uma equaode Lagrange.
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Exemplo 3 - III Lagrangeano:
L = EcEp =1
2(M+m)x2+mlx cos()+
1
2ml22+mgl cos()
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.20/21
Exemplo 3 - III Lagrangeano:
L = EcEp =1
2(M+m)x2+mlx cos()+
1
2ml22+mgl cos()
Equaes de Lagrange:
d
dt
(L
qj
)
L
qj= 0 , j = 1, 2
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.20/21
Exemplo 3 - III Lagrangeano:
L = EcEp =1
2(M+m)x2+mlx cos()+
1
2ml22+mgl cos()
Equaes de Lagrange:
d
dt
(L
qj
)
L
qj= 0 , j = 1, 2
Equao 1: (M +m)x+ml cos()ml2 sin() = 0.
PGEAS/UFSC DAS9060 Aula 6 p.20/21
Exemplo 3 - III Lagrangeano:
L = EcEp =1
2(M+m)x2+mlx cos()+
1
2ml22+mgl cos()
Equaes de Lagrange:
d
dt
(L
qj
)
L
qj= 0 , j = 1, 2
Equao 1: (M +m)x+ml cos()ml2 sin() = 0.
Equao 2: l + x cos() + g sin() = 0.
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Exerccio Considere o sistema composto por um disco (com mom. de
inrcia J), uma massa m e uma mola linear com constante k.Determine a equao do movimento do sistema considerando aEquao de Lagrange (B.C. Fabien, Analytical System Dynamics,2009).
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large Sumriolarge Introduo - Ilarge Introduo - IIlarge Conceitos Preliminares - Ilarge Conceitos Preliminares - IIlarge Conceitos Preliminares - IIIlarge Conceitos Preliminares - IVlarge Exemplo 1large Princpio de d'Alembertlarge Lagrangeanolarge Equaes de Lagrange - Ilarge Equaes de Lagrange - IIlarge Equaes de Lagrange - IIIlarge Exemplo 2 - Ilarge Exemplo 2 - IIlarge Exemplo 2 - IIIlarge Exemplo 3 - Ilarge Exemplo 3 - IIlarge Exemplo 3 - IIIlarge Exerccio