b) Variáveis Aleatórias

Contínuas

Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros

DTAiSeR-Ar

Disciplina: 221171

1

Uma variável aleatória é contínua (v.a.c.) se seu conjunto de valores é

qualquer intervalo dos números reais, isto é, um conjunto não

enumerável.

Exemplos:

altura de um adulto;

custo do sinistro de um carro;

temperatura mínima diária;

saldo em aplicações financeiras;

ganho de peso após dieta;

distância percorrida;

Comprimento de uma folha, etc...

2

Função densidade de probabilidade

Dizemos que f(x) é uma função contínua de probabilidade ou função

densidade de probabilidade (f.d.p.) para uma variável aleatória contínua X, se

satisfaz duas condições:

1) f(x) 0, para todo x (– , );

2) A área definida por f(x) é igual a 1, ou seja:

1)( dxxf

3

Exemplo 1

Arqueólogos estudaram uma certa região e mediram o comprimento de fósseis

encontrados (em cm). Seja C a v.a.c. comprimento de fósseis, cuja sua função é

dada como:

.,0

;200,40040

1

)(

contráriocaso

csec

cf

4

a) f(c) é uma função densidade de probabilidade?

b) Qual a probabilidade de um fóssil, escolhido ao acaso nessa região,

apresentar comprimento inferior a 8 cm?

Função de distribuição acumulada

Dada uma v.a.c. X com função densidade de probabilidade f(x), podemos

definir a sua função de distribuição acumulada, F(x), como:

x

dttfxXPxF )()()(

5

Exemplo 1

Considere o exemplo anterior, cuja função densidade de probabilidade é dada por:

Obtenha a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

.,0

;200,40040

1

)(

contráriocaso

csec

cf

Valor esperado ()

Dada a variável aleatória X contínua, com função densidade dada por f(x),

chamamos de valor médio ou esperança matemática de X ao valor:

Variância (2)

A variância da variável aleatória X contínua, com f.d.p. f(x), é definida por:

O desvio padrão () de X é definido como a

raiz quadrada da variância.

dxxfxXE )()(

2222 )()()(

XEdxxfx

6

Mediana (MdX) A mediana de uma v.a. X contínua, com f.d.p. f(x), é o valor que satisfaz

às seguintes condições:

Ou

Percentil:

P100p é o valor de t tal que: F(t) = p

MdX = P50 é o valor de t tal que: F(t) = 0,50

2

1)(

2

1)( XX MdXPeMdXP

7

Moda

A moda é valor da variável que tem maior probabilidade de ocorrência

)(max)( xfMoXPX

Exercício 1

Suponha que a função f(x) possa ser utilizada como um modelo teórico para

representar as densidades de frequência para a variável X (rendimento mensal).

10,0

100,02,02,0

0,0

)(

xpara

xparax

xpara

xf

1) Faça o gráfico desta função.

8

2) Verifique se f(x) é uma função de densidade de probabilidade (f.d.p.).

3) Qual é a probabilidade esperada da população com rendimento mensal entre 3 e 5 salários

mínimos?

4) Qual é a probabilidade esperada da população com rendimento mensal maior do que 10

salários mínimos?

5) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

6) Calcule o valor médio de X ( = E(X)).

7) Calcule E(X2) e obtenha a variância e o desvio padrão da v.a.c. X.

8) Calcule a mediana.

Tarefa 1

Seja X a variável aleatória quantidade diária vendida de arroz em um

supermercado, em centenas de quilos (x = 1 equivale a 100kg), com função

densidade de probabilidade dada por:

30

31,13

1

10,3

2

0,0

)(

xse

xsex

xsex

xse

xf

a) Faça o gráfico desta função

b) Verifique se f(x) é uma f.d.p.

c) Calcular a probabilidade de, em um dia escolhido ao acaso, se vender entre 50 e

200kg.

d) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

e) Calcule o valor médio de X ( = E(X)).

f) A variância e o desvio padrão de X. 9

10

plot(c(-1,4), c(0,1), type="n")

curve(0*x , -1, 0, col="blue", lwd=4, add=T)

curve(2/3*x , 0, 1, col="red", lwd=4, add=T)

curve(-1/3*x+1, 1, 3, col="darkgreen“, lwd=4, add=T)

curve(0*x , 3, 4, col="purple", lwd=4, add=T)

abline(v=1, lty=2)

Para conferir: Tarefa 1

No software R:

Tarefa 2

Suponha que a função f(x) possa ser utilizada como um modelo teórico para

representar as densidades de frequência para a variável:

X= rendimento mensal:

0

10,0

10,3,006,0003,0

0,0

)( 2

xpara

xparaxx

xpara

xf

a) Faça o gráfico desta função

b) Verifique se f(x) é uma f.d.p.

Supondo este modelo, calcular as probabilidades esperadas da população com

rendimento mensal:

b.1) Entre 5 e 10 salários mínimos;

b.2) Entre 0 e 10 salários mínimos;

b.3) Mais do que 10.

c) Encontre a função de distribuição acumulada e esboce seu gráfico.

d) Calcule o valor médio de X ( = E(X)). e) Calcule E(X2).

f) A variância e o desvio padrão de X. g) Calcule a mediana;

h) Calcule o CV. 11

“Não se preocupe muito com as suas dificuldades em

Matemática, posso assegurar-lhe que as minhas são

ainda maiores”.

(Albert Einstein)

Principais modelos contínuos

Algumas variáveis aleatórias aparecem com frequência em situações

práticas. Em geral nesses casos, a distribuição de probabilidade pode

ser escrita de uma maneira mais compacta, isto é, existe uma lei

para atribuir as probabilidades.

Para caracterizar completamente uma v.a.c., precisamos fornecer sua

função densidade de probabilidade, segundo sua definição, é :

_ uma função positiva; e

_ com integral igual a 1.

13

Modelos Contínuos

a) Distribuição uniforme contínuo

b) Distribuição Exponencial

c) Distribuição Normal

14

15

a) Distribuição Uniforme

Contínua

a) Modelo uniforme contínuo

Uma v.a. X tem distribuição Uniforme Contínua no intervalo [a,b] ,

a < b, se sua função densidade de probabilidade é dada por:

Var(X) = E(X) =

Notação: X ~ Uc[a, b]

Tarefa 3: Demonstre a fórmula da Var(X).

contráriocaso

bxaabxf

,0

1

)(

16

Função densidade de

probabilidade

Função de distribuição

acumulada

0 , se x < a

F(x) = x – a , se a x < b

b – a

1 , se x b

A função de distribuição pode ser

calculada através da integral da densidade.

A expressão resultante é dada por:

OBS: Devido à natureza contínua da variável, não faz diferença na

definição do modelo se o intervalo de valores for aberto ou semi-aberto.

Tarefa 4: Verifique que a expressão da

densidade do modelo Uc[a,b] satisfaz

as propriedades de densidade.

17

1333,0)20( XP

Exemplo 1:

A distância percorrida pela água do hidrômetro

até a caixa é de 15m. Qual a probabilidade que

exista um vazamento até 2m do tubo?

18

Resposta:

19

b) Distribuição Exponencial

b) Modelo Exponencial

Utilizado para descrever variáveis como, vida útil de equipamentos, tempos de

falha e tempos de sobrevivência de espécies.

Uma v.a. contínua X, assumindo valores positivos, segue o modelo Exponencial

com parâmetro > 0 se sua densidade é:

Notação: X ~ Exp()

E(X) = Var(X) = 2

O parâmetro indica a taxa de

ocorrência por unidade de medida, que

pode ser tempo, distância, volume, etc.

Cuidado com a

parametrização

considerada!!!

)(.1

)( ),0( xIexf

x

20

Tarefa 5: Verifique que a expressão da

densidade do modelo exponencial

satisfaz as propriedades de f.d.p.

Função densidade de

probabilidade

Função de distribuição

acumulada F(x) = 1 – e–x/. I(0,)(x)

Para calcular probabilidades com a Exponencial, precisamos resolver a integral,

pois não teremos as figuras geométricas simples do exemplo anterior. Assim,

21

1/

Exemplo 1:

Um fusível te duração de vida média de 100h.

Qual a probabilidade de durar mais de 150horas?

Resposta:

22

P(X > 150) = 0,2231

23

c) Distribuição Gaussiana

ou

Normal

História:

O modelo Fundamental: “Distribuição Normal”

A distribuição Normal é também conhecida como “distribuição

Gaussiana” como homenagem a Karl F. Gauss (1777 - 1855),

brilhante matemático e físico alemão, que desenvolveu-a no início do

século XIX.

Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827), famoso

matemático e físico francês, a redescobriu na mesma época que

Gauss. Para evitar “uma questão internacional de originalidade”

o famoso estatístico inglês Karl Pearson passou a chamá-la de

distribuição “Normal” em 1920.

Entretanto, Abraham de Moivre (1667 - 1754) foi o

primeiro a anunciar a equação da distribuição em 1733

e

24

Modelo fundamental em probabilidade e inferência estatística.

Representa grande parte das variáveis aleatórias contínuas.

Alguns motivos:

a) Muitos testes e modelos estatísticos têm como pressuposição a “normalidade dos

dados”, isto é, que os dados seguem uma distribuição Normal;

b) Muitas variáveis biométricas tendem a ter distribuição Normal;

c) A distribuição das médias amostrais de uma variável aleatória qualquer tendem a ter

distribuição Normal, mesmo que a variável em si não tenha distribuição Normal.

c) Modelo Normal

Dizemos que a v.a. X tem distribuição Normal com parâmetros e 2,

se sua função densidade é dada por:

Notação: X ~ N( , 2) E(X) = Var(X) = 2

xparaexf

x

,2

1)(

2

2

2

)(

2

25

x

f(x)

26

1) f(x) tem forma de sino: unimodal e simétrica

em relação à ;

2) Não possui limite inferior ou superior:

f(x) → 0 quando x→ ;

3) O valor máximo de f(x) se dá quando x = .

Propriedades do modelo Normal

Propriedades da Distribuição Normal

4) Dois parâmetros: média () e desvio padrão ()

1 2 3

1

2

3

b) O desvio padrão () controla a

dispersão da curva ao redor da média.

1 < 2 < 3

a) A média () controla a localização do

centro da distribuição, é o ponto de simetria.

1 < 2 < 3

xparaexf

x

,2

1)(

2

2

2

)(

2

-3

-2

-

+3

+2

+

Propriedades da Distribuição Normal

5) Unidade padrões: o desvio padrão define “unidades padrões” na distribuição a

partir da média, isto é, a dispersão dos dados é controlada pelas “unidades de

desvio padrão”.

68%

95%

99,7%

28

Como calcular a probabilidade, por exemplo, de um

intervalo (a, b) qualquer de uma v.a.c. X que segue

uma distribuição normal?

b

a

x

dxebXaP2

2

2

)(

22

1)(

Muita

CALMA

nessa

hora!!!

Precisamos resolver a integral:

Esta integral só pode ser resolvida de modo aproximado.

Então essas probabilidades podem ser calculadas através do

uso de tabelas ou pelo computador.

SÓ QUE para cada valor de e 2 diferentes, obtemos uma

distribuição (função) diferente, ou seja, teremos

INFINITAS TABELAS!!!! 29

Padronização

xs

xxz

Considere X uma variável aleatória de interesse. Fazendo:

Dizemos que a variável Zx é a variável padronizada da variável X.

Consequências:

11

0

2

zz ss

z

Exemplo:

X: altura de 15 alunos (em cm)

161 165 179 182 175

162 180 175 160 170

163 171 178 163 176

a) Calcule a média e o desvio padrão desta amostra.

b) Obtenha Z e calcule a média e o desvio. 30

Calcular probabilidades no modelo Normal

Para calcular probabilidades precisamos resolver a integral:

Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se uma transformação da variável

X que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável normal

com parâmetros (0,1), isto é, média igual a 0 e variância igual a 1.

Essa variável Z transformada terá

distribuição N(0,1) e será denominada

de distribuição Normal Padrão.

Notação: Z ~ N(0 , 1)

b

a

x

dxebXaP2

2

2

)(

22

1)(

XZ

31

Para determinar a probabilidade X [a. b], procedemos da seguinte forma:

E então olhamos na tabela e obtemos as

probabilidades da Distribuição Normal Padrão (Z)

)( bXaP

32

bZ

aP

bXaP

bXaP )(

Tabela da Normal Padrão

Como a distribuição Normal é simétrica, apresenta-se na tabela

apenas os valore de P(0 Z z). A probabilidade de estar acima

(ou abaixo) de zero é 0,5.

33

SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zc

0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,2 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,3 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,4 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,5 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,6 0,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,7 0,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,8 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,9 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,0 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,1 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,2 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,3 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,4 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,5 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,6 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,7 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,9 2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,0 2,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,1 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,2 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,3 2,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4 2,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,5 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,6 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,7 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,8 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,9 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,0 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,1 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,2 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,3 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,4 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,5 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,6 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,8 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,9 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0

34

Corpo da tabela

dá a probabilidade

p, tal que :

p = P(0 < Z < Zc)

Tabela – Distribuição

Normal Padrão

Z ~ N(0,1)

Tabela da distribuição normal padrão (Z).

35

Exemplo 1:

Seja X ~ N(2,9), a probabilidade P(2 < X < 5) é?

0,3413

36

Exemplo 2:

Para obter P(0 X < 2), usamos a simetria da Normal

0,2486

37

A tabela também pode ser usada no sentido inverso, dado uma

probabilidade, desejamos obter o valor que a originou.

Exemplo 3: Quanto vale c tal que P(0 < Z < c) = 0,4 ?

Resposta: c = 1,28.

38

Exemplo 4:

Suponha, agora, que queremos encontrar d, tal que P(Z > d) = 0,8.

Resposta: d = – 0,84

39

40

Sabendo-se que Z ~ N(0,1), calcule:

Exercício 1

a) P(0 < Z < 2,14) =

b) P(0 < Z < 1,5) =

c) P(–3,01 < Z < 0) =

d) P(–2,17 < Z < 1,5) =

e) P(Z > 0) =

f) P(Z > –1) =

g) P(Z < 1) =

h) P(Z > 1) =

i) P(Z < –1) =

Seja X uma v.a.c. peso com média 59,6 kg e variância 16 kg2. Calcule a

probabilidade:

Exercício 2

a) P(X 70) =

b) P(50 X < 65) =

c) P(X > 68) =

SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Zc

0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,0 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,1 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,2 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,3 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,4 0,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,5 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,6 0,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,7 0,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,8 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,9 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,0 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,1 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,2 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,3 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,4 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,5 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,6 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,7 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,8 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,9 2,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,0 2,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,1 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,2 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,3 2,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,4 2,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,5 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,6 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,7 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,8 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,9 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,0 3,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,1 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,2 3,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,3 3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,4 3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,5 3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,6 3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,7 3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,8 3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,9 4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0

41

Corpo da tabela

dá a probabilidade

p, tal que :

p = P(0 < Z < Zc)

Tabela – Distribuição

Normal Padrão

Z ~ N(0,1)

SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z

0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,00,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,10,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,20,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,30,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,40,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,50,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,60,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,70,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,80,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,91,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,01,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,11,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,21,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,31,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,41,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,51,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,61,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,71,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,81,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,92,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,02,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,12,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,22,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,32,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,42,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,52,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,62,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,72,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,82,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,93,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,03,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,13,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,23,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,33,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,43,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,53,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,63,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,73,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,83,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,94,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0

Exercício 3

O peso bruto de latas de conserva é

uma v.a. normal, com média 1000g

e desvio padrão 20g.

a) Qual a probabilidade de uma

lata pesar menos de 980g?

b) Qual a probabilidade de uma

lata pesar mais de 1010g?

= 0,15866

= 0,30854 42

Exercício 4

Seja uma v.a.c. X ~ N(100, 100), calcule:

a) O valor a, tal que :

P(100 – a X 100 + a) = 0,95

b) P(X < 115)

c) P(X 80)

Resposta:

a)

b)

c)

0,93319

0,97725

a = 19,6

SEGUNDA DECIMAL DE Zc Zc 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Z

0,0 0 0,004 0,008 0,012 0,016 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,00,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,10,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,091 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,20,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,148 0,1517 0,30,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,17 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,40,5 0,1915 0,195 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,219 0,2224 0,50,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0,60,7 0,258 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,70,8 0,2881 0,291 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3079 0,3106 0,3133 0,80,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,334 0,3365 0,3389 0,91,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,01,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,377 0,379 0,381 0,383 1,11,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,398 0,3997 0,4015 1,21,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,31,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,41,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,437 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,51,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,61,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,71,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,81,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,475 0,4756 0,4761 0,4767 1,92,0 0,4773 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,02,1 0,4821 0,4826 0,483 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,485 0,4854 0,4857 2,12,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,489 2,22,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2,32,4 0,4918 0,492 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,42,5 0,4938 0,494 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,52,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,496 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,62,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,497 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,72,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,498 0,4981 2,82,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 2,93,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,499 0,499 3,03,1 0,499 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,13,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,23,3 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997 3,33,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998 3,43,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 3,53,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,63,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 3,73,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,5000 3,83,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 3,94,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 4,0

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