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Bacharelado em Ciência da ComputaçãoMatemática Discreta
Prof. Diego Mello da Silva
Instituto Federal de Minas Gerais - Campus Formiga
16 de janeiro de 2013
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 1 / 55
Sumário
1 Conceitos de Provas e Teoremas
2 Dedução e Provas
3 Métodos de ProvaExaustãoVacuidadeTrivialDiretaContraposiçãoContradiçãoProva por EquivalênciaProva por Contra-ExemploProva por Divisão em CasosProva ExistencialProva de Unicidade
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Conceitos de Provas e Teoremas
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Prova
Definição (Prova)
Uma prova é um argumento válido que estabelece a verdade de umadeclaração matemática.
Uma prova utiliza:
hipóteses de um teorema;
axiomas;
definições;
resultados de teoremas previamente provados;
como ingredientes que, juntamente com regras de inferência , estabelecema verdade sobre a declaração que está sendo demonstrada.
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Teoremas
Um teorema é uma sentença que pode ser demonstrada comoverdadeira.
Um teorema é uma afirmação específica que pode ser provada .
Resultados matemáticos são, geralmente, expressos como teoremas naforma ‘se p, então q’.
p e q podem representar sentenças compostas.
p é a hipótese do teorema
q é a conclusão do teorema
A dedução de q a partir de p é feita com uso de axiomas, definições,regras de inferência e resultados já provados.
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TerminologiaA terminologia é empregada segundo a importância do teorema:
Teorema : atualmente, teorema tem sido usado em afirmaçõesprovadas que tem uma ‘grande importância matemática’. Ex:
Teorema de Pitágoras1,
Teorema do Limite Central2,
Teorema Fundamental da Aritmética3.
Fato : teorema de importância limitada. Ex: ‘3 + 6 = 9’.
Proposição : teorema de importância secundária, mais importante queum fato e menos importante que um teorema. Faz parte de um teoremamaior.
1a2 = b2 + c2
2quando o tamanho de uma amostra aumenta, a distribuição de x̄ ∼ N3se x ∈ Z e x > 1, x pode ser decomposto em um produto de primos > 0
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TerminologiaAxioma ou Postulado : sentença ou proposição que não é provada,mas é considerada óbvia e aceita como verdade na construção dededuções.
∀x ∈ R, x + y ∈ R4
Pode-se traçar uma reta ligando-se dois pontos quaisquer5.
Lemas : teoremas menos importantes usados na demonstração deteoremas mais complexos.
Corolário : Teoremas estabelecidos sobre outros teoremas provados; éa decorrência imediata de um teorema.
O Teorema de Pitágoras afirma que a2 = b2 + c2.
A diagonal de um quadrado cujos lados medem l unidades é l√
2(corolário).
4Fecho Aditivo em R5Elementos, de Euclides
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TerminologiaConjectura : afirmação que propõe-se ser verdadeira com base em:
evidência parcial
argumento heurístico
intuição de um especialista
Goldbach 6: ∀n par, ∃a, b ∈ Z tal que a e b são primos e a + b = n.
Jan/2005: verificado até 02 × 1017
Fev/2007: verificado até 04 × 1017
Fev/2008: verificado até 11 × 1017
Mai/2011: verificado até 22 × 1017
Fev/2012: verificado até 35 × 1017
Seria verdadeiro de 35 × 1017 até ∞?6http://www.ieeta.pt/~tos/goldbach.html
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Outros IngredientesDefinições : sequências de palavras que expressam o significado deexpressões em matemática. Algumas definições importantes:
Primalidade : Um número primo é um número inteiro n > 1 tal que nnão é divisível por nenhum inteiro além de 1 e n.
Divisibilidade : um inteiro a é divisível por um inteiro b se a for igual aoproduto de um inteiro k por b, ou seja, a = k · b.
Paridade : um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k , en é ímpar se existir algum inteiro k tal que n = 2k + 1
Quadrado Perfeito : um inteiro a é um quadrado perfeito se houver uminteiro b tal que a = b2
Números Racionais : um número real r é racional se existem inteiros pe q com q 6= 0 tal que r = p/q
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Dedução e Provas
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Dedução e ProvasResultados matemáticos são expressos por teoremas na forma ‘se p,então q’.
Em teoremas desta forma, tentamos deduzir q de p usando
Axiomas
Definições
Regras de Inferência
Resultados demonstrados
A dedução segue uma ordem lógica de passos que começam em p eterminam em q
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)6 = 2 · 3 (Fato numérico)
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)6 = 2 · 3 (Fato numérico)x = k(2 · 3) (Substituição de 6 por 2 · 3)
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)6 = 2 · 3 (Fato numérico)x = k(2 · 3) (Substituição de 6 por 2 · 3)x = (k · 2)3 (Axioma da associabilidade multiplicativa)
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)6 = 2 · 3 (Fato numérico)x = k(2 · 3) (Substituição de 6 por 2 · 3)x = (k · 2)3 (Axioma da associabilidade multiplicativa)x = (k · 2)
︸ ︷︷ ︸
t
3 (Fecho Multiplicativo)
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)6 = 2 · 3 (Fato numérico)x = k(2 · 3) (Substituição de 6 por 2 · 3)x = (k · 2)3 (Axioma da associabilidade multiplicativa)x = (k · 2)
︸ ︷︷ ︸
t
3 (Fecho Multiplicativo)
x = t · 3 para t = 2k , t ∈ Z (Definição de divisibilidade)
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Dedução e Provas
Prove : ‘se um inteiro é divisível por 6, então ele é divisível por 3’.
Hipótese : x é divisível por 6
Dedução
x = k · 6 para algum inteiro k (Definição de divisibilidade)6 = 2 · 3 (Fato numérico)x = k(2 · 3) (Substituição de 6 por 2 · 3)x = (k · 2)3 (Axioma da associabilidade multiplicativa)x = (k · 2)
︸ ︷︷ ︸
t
3 (Fecho Multiplicativo)
x = t · 3 para t = 2k , t ∈ Z (Definição de divisibilidade)
Conclusão : x é divisível por 3
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Dedução e ProvasMaioria das declarações em matemática são universais
Logo, teorema pode conter uma declaração sobre todos os objetos deum domínio D
∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
Informalmente, P(x) → Q(x)
Quando D é finito, podemos provar P(x) → Q(x) mostrando que isso éverdade para cada elemento x ∈ D (método da exaustão )
Prove : ‘∀n ∈ Z, se n é par e 4 ≤ n ≤ 30, então n pode ser escrito comoa soma de dois números primos’.
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Dedução e ProvasMaioria das declarações em matemática são universais
Logo, teorema pode conter uma declaração sobre todos os objetos deum domínio D
∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
Informalmente, P(x) → Q(x)
Quando D é finito, podemos provar P(x) → Q(x) mostrando que isso éverdade para cada elemento x ∈ D (método da exaustão )
Prove : ‘∀n ∈ Z, se n é par e 4 ≤ n ≤ 30, então n pode ser escrito comoa soma de dois números primos’.
04 = 02 + 02 06 = 03 + 03 08 = 03 + 05 10 = 05 + 05
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Dedução e ProvasMaioria das declarações em matemática são universais
Logo, teorema pode conter uma declaração sobre todos os objetos deum domínio D
∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
Informalmente, P(x) → Q(x)
Quando D é finito, podemos provar P(x) → Q(x) mostrando que isso éverdade para cada elemento x ∈ D (método da exaustão )
Prove : ‘∀n ∈ Z, se n é par e 4 ≤ n ≤ 30, então n pode ser escrito comoa soma de dois números primos’.
04 = 02 + 02 06 = 03 + 03 08 = 03 + 05 10 = 05 + 0512 = 05 + 07 14 = 03 + 11 16 = 05 + 11 18 = 07 + 11
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Dedução e ProvasMaioria das declarações em matemática são universais
Logo, teorema pode conter uma declaração sobre todos os objetos deum domínio D
∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
Informalmente, P(x) → Q(x)
Quando D é finito, podemos provar P(x) → Q(x) mostrando que isso éverdade para cada elemento x ∈ D (método da exaustão )
Prove : ‘∀n ∈ Z, se n é par e 4 ≤ n ≤ 30, então n pode ser escrito comoa soma de dois números primos’.
04 = 02 + 02 06 = 03 + 03 08 = 03 + 05 10 = 05 + 0512 = 05 + 07 14 = 03 + 11 16 = 05 + 11 18 = 07 + 1120 = 07 + 13 22 = 05 + 17 24 = 05 + 19 26 = 07 + 19
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Dedução e ProvasMaioria das declarações em matemática são universais
Logo, teorema pode conter uma declaração sobre todos os objetos deum domínio D
∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
Informalmente, P(x) → Q(x)
Quando D é finito, podemos provar P(x) → Q(x) mostrando que isso éverdade para cada elemento x ∈ D (método da exaustão )
Prove : ‘∀n ∈ Z, se n é par e 4 ≤ n ≤ 30, então n pode ser escrito comoa soma de dois números primos’.
04 = 02 + 02 06 = 03 + 03 08 = 03 + 05 10 = 05 + 0512 = 05 + 07 14 = 03 + 11 16 = 05 + 11 18 = 07 + 1120 = 07 + 13 22 = 05 + 17 24 = 05 + 19 26 = 07 + 1928 = 11 + 17 30 = 11 + 19
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Dedução e Provas
Porém, quando o domínio D é não-finito ou grande , o método daexaustão não é prático
Neste caso, usamos o método da generalização para mostrar averdade da afirmação
P(x) → Q(x) é falso quando P(x) é verdadeiro e Q(x) é falso
Suponha P(x) é verdadeiro
Mostre que Q(x) também é verdadeiro
Como mostrar que ∀x ∈ D(P(x) → Q(x)) é verdadeiro?
Suponha c específico e escolhido arbitrariamente de D.
Mostre que c satisfaz P(c) → Q(c)
Se mostrarmos P(c) → Q(c), provamos ∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
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Métodos de Prova
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Métodos de Prova
A construção de provas torna-se mais fácil quando se utiliza algum dosmétodos de prova
São ferramentas para mostrar P(x) → Q(x) a partir da lógica.
Prova por Exaustão
Prova por Vacuidade
Prova Trivial
Prova Direta
Prova por Contraposição
Prova por Contradição
Prova por Contra-Exemplo
Prova por Equivalência
Prova por Divisão em Casos
Prova Existencial e de Unicidade
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Prova por ExaustãoAplicam-se quando teoremas podem ser provados pelo exame de umnúmero pequeno de exemplos
Prova ocorre esgotando-se todas as possibilidades
É um tipo especial de prova em casos (ver adiante)
Teorema‘Se n é um inteiro positivo com n ≤ 4, então (n + 1)3 ≥ 3n.’
Prova por Exaustão.
Prova: inspeção de que (n + 1)3 ≥ 3n ocorre em todos os casos
p/ n = 1: (1 + 1)3 ≥ 31 =⇒ 8 ≥ 3 (Verdadeiro)
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Prova por ExaustãoAplicam-se quando teoremas podem ser provados pelo exame de umnúmero pequeno de exemplos
Prova ocorre esgotando-se todas as possibilidades
É um tipo especial de prova em casos (ver adiante)
Teorema‘Se n é um inteiro positivo com n ≤ 4, então (n + 1)3 ≥ 3n.’
Prova por Exaustão.
Prova: inspeção de que (n + 1)3 ≥ 3n ocorre em todos os casos
p/ n = 1: (1 + 1)3 ≥ 31 =⇒ 8 ≥ 3 (Verdadeiro)p/ n = 2: (2 + 1)3 ≥ 32 =⇒ 27 ≥ 9 (Verdadeiro)
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Prova por ExaustãoAplicam-se quando teoremas podem ser provados pelo exame de umnúmero pequeno de exemplos
Prova ocorre esgotando-se todas as possibilidades
É um tipo especial de prova em casos (ver adiante)
Teorema‘Se n é um inteiro positivo com n ≤ 4, então (n + 1)3 ≥ 3n.’
Prova por Exaustão.
Prova: inspeção de que (n + 1)3 ≥ 3n ocorre em todos os casos
p/ n = 1: (1 + 1)3 ≥ 31 =⇒ 8 ≥ 3 (Verdadeiro)p/ n = 2: (2 + 1)3 ≥ 32 =⇒ 27 ≥ 9 (Verdadeiro)p/ n = 3: (3 + 1)3 ≥ 33 =⇒ 64 ≥ 27 (Verdadeiro)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 17 / 55
Prova por ExaustãoAplicam-se quando teoremas podem ser provados pelo exame de umnúmero pequeno de exemplos
Prova ocorre esgotando-se todas as possibilidades
É um tipo especial de prova em casos (ver adiante)
Teorema‘Se n é um inteiro positivo com n ≤ 4, então (n + 1)3 ≥ 3n.’
Prova por Exaustão.
Prova: inspeção de que (n + 1)3 ≥ 3n ocorre em todos os casos
p/ n = 1: (1 + 1)3 ≥ 31 =⇒ 8 ≥ 3 (Verdadeiro)p/ n = 2: (2 + 1)3 ≥ 32 =⇒ 27 ≥ 9 (Verdadeiro)p/ n = 3: (3 + 1)3 ≥ 33 =⇒ 64 ≥ 27 (Verdadeiro)p/ n = 4: (4 + 1)3 ≥ 34 =⇒ 125 ≥ 81 (Verdadeiro)
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Prova por VacuidadeTeorema na forma p → q é provado verdadeiro quando p é falso.
p q p → q
0 0 10 1 11 0 01 1 1
TeoremaSeja P(n): ‘se n > 1, então n2 > n’ para n ∈ Z. Mostre que P(0) é verdadeiro
Prova por Vacuidade.
P(0): ‘se 0 > 1︸ ︷︷ ︸
p
, então 02 > 0︸ ︷︷ ︸
q
’.
A hipótese p é falsa,
Logo, a implicação p → q é verdadeira, ou seja, P(0) é verdadeiro.
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Prova por VacuidadeTeoremaSe o país x é africano e venceu uma copa do mundo no século XX, então xfica na Europa.
Prova por Vacuidade.
Não existe país africano que venceu uma copa do mundo no século XX.
Logo, p → q é verdadeiro.
TeoremaSe x2 + 1 < 0, então x5 ≥ 4, com D = R.
Prova por Vacuidade.
x2 + 1 é sempre positivo, logo p é falso ∀x ∈ D
Logo, a implicação p → q é verdadeira.diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 19 / 55
Prova TrivialTeorema na forma p → q é provado verdadeiro quando q é verdadeiro.
p q p → q
0 0 10 1 11 0 01 1 1
TeoremaSeja P(n): ‘se a e b são inteiros positivos com a ≥ b, então an ≥ bn ’ paran ∈ Z
+. Mostre que P(0) é verdadeiro.
Prova Trivial.
P(0): ‘se a ≥ b︸ ︷︷ ︸
p
, então a0 ≥ b0︸ ︷︷ ︸
q
’.
A hipótese q é verdadeira, pois a0 = b0 = 1 independente de a e b.
Logo, a implicação p → q é verdadeira, ou seja, P(0) é verdadeiro.diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 20 / 55
Prova TrivialTeoremaSeja x ∈ R. Se x > 0, então x2 + 5 > 0.
Prova Trivial.
x2 ≥ 0, ∀x ∈ R
x2 + 5 > x2, ∀x ∈ R
x2 + 5 ≥ 0, ∀x ∈ R
x2 + 5 > 0, x > 0.
A conclusão q é sempre verdadeira.
Logo, a implicação p → q é verdadeira.
.diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 21 / 55
Prova DiretaA prova direta consiste em mostrar que p → q é verdadeiro quando:
assume-se p verdadeiro
mostra-se que quando p é verdadeiro, q também é verdadeiro
A dedução de que a verdade de p leva à verdade de q é feita usando:
axiomas e fatos matemáticos
definições
regras de inferência
resultados já provados
Algoritmo 1 Construção de uma prova direta
1: Expresse a declaração a ser provada na forma ∀x ∈ D P(x) → Q(x)2: Comece a prova supondo que x é um elemento específico de D escolhido
abritrariamente para o qual P(x) é V.3: Mostre que Q(x) é V usando axiomas, definições, resultados anteriores e
regras de inferência
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 22 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema
Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova Direta.� Assumimos que n é ímpar.
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Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema
Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova Direta.� Assumimos que n é ímpar.
� Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k .
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 23 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema
Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova Direta.� Assumimos que n é ímpar.
� Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k .
� Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n2 = (2k + 1)2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 23 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema
Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova Direta.� Assumimos que n é ímpar.
� Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k .
� Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n2 = (2k + 1)2
� n2 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ n2 = 2 (2k2 + 2k)︸ ︷︷ ︸
t
+1
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 23 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema
Se n é um inteiro ímpar, então n2 é ímpar.
Prova Direta.� Assumimos que n é ímpar.
� Pela definição, n = 2k + 1, para um inteiro k .
� Elevando ambos lados de n = 2k + 1 ao quadrado: n2 = (2k + 1)2
� n2 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ n2 = 2 (2k2 + 2k)︸ ︷︷ ︸
t
+1
� Logo, n2 = 2t + 1. Pela definição, se n é ímpar, n2 também é ímpar.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 23 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
TeoremaSe a e b são inteiros, então 6a2b é par.
Prova Direta.� Pela definição, um inteiro n é par quando n = 2k .
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 24 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
TeoremaSe a e b são inteiros, então 6a2b é par.
Prova Direta.� Pela definição, um inteiro n é par quando n = 2k .
� Considere n = 6a2b e k = 3a2b.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 24 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
TeoremaSe a e b são inteiros, então 6a2b é par.
Prova Direta.� Pela definição, um inteiro n é par quando n = 2k .
� Considere n = 6a2b e k = 3a2b.
� Operações +, − e × são fechadas nos inteiros: 3a2b ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 24 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
TeoremaSe a e b são inteiros, então 6a2b é par.
Prova Direta.� Pela definição, um inteiro n é par quando n = 2k .
� Considere n = 6a2b e k = 3a2b.
� Operações +, − e × são fechadas nos inteiros: 3a2b ∈ Z
� n = 2(3a2b︸ ︷︷ ︸
k
).
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 24 / 55
Prova Direta
Definição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
TeoremaSe a e b são inteiros, então 6a2b é par.
Prova Direta.� Pela definição, um inteiro n é par quando n = 2k .
� Considere n = 6a2b e k = 3a2b.
� Operações +, − e × são fechadas nos inteiros: 3a2b ∈ Z
� n = 2(3a2b︸ ︷︷ ︸
k
).
� Logo, n = 2k . Pela definição, 6a2b é par.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 24 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
� Pela definição, existem r , s ∈ Z tais que n = r2 e m = s2.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
� Pela definição, existem r , s ∈ Z tais que n = r2 e m = s2.
� n · m = r2 · s2 = rr · ss = (rr)(ss) = (rs)(rs)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
� Pela definição, existem r , s ∈ Z tais que n = r2 e m = s2.
� n · m = r2 · s2 = rr · ss = (rr)(ss) = (rs)(rs)
� n · m = (rs)2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
� Pela definição, existem r , s ∈ Z tais que n = r2 e m = s2.
� n · m = r2 · s2 = rr · ss = (rr)(ss) = (rs)(rs)
� n · m = (rs)2
� O produto n · m é o quadrado de rs.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
� Pela definição, existem r , s ∈ Z tais que n = r2 e m = s2.
� n · m = r2 · s2 = rr · ss = (rr)(ss) = (rs)(rs)
� n · m = (rs)2
� O produto n · m é o quadrado de rs.
� Operação × é fechada nos inteiros: rs ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova Direta
Definição (Quadrado Perfeito)
Um inteiro a é um quadrado perfeito se houver um inteiro b tal que a = b2.
TeoremaSe m e n são quadrados perfeitos, então n · m é um quadrado perfeito.
Prova Direta.� Assumir que m e n são quadrados perfeitos.
� Pela definição, existem r , s ∈ Z tais que n = r2 e m = s2.
� n · m = r2 · s2 = rr · ss = (rr)(ss) = (rs)(rs)
� n · m = (rs)2
� O produto n · m é o quadrado de rs.
� Operação × é fechada nos inteiros: rs ∈ Z
� Logo, o produto n · m é um quadrado perfeito.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 25 / 55
Prova DiretaDefinição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema∀ n e m ∈ Z, se n + m é par, então n − m é par
Prova Direta.� Suponha m, n ∈ Z tal que m + n seja par.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 26 / 55
Prova DiretaDefinição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema∀ n e m ∈ Z, se n + m é par, então n − m é par
Prova Direta.� Suponha m, n ∈ Z tal que m + n seja par.
� Pela definição, m + n = 2k para k ∈ Z.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 26 / 55
Prova DiretaDefinição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema∀ n e m ∈ Z, se n + m é par, então n − m é par
Prova Direta.� Suponha m, n ∈ Z tal que m + n seja par.
� Pela definição, m + n = 2k para k ∈ Z.
� m = 2k − n
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 26 / 55
Prova DiretaDefinição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema∀ n e m ∈ Z, se n + m é par, então n − m é par
Prova Direta.� Suponha m, n ∈ Z tal que m + n seja par.
� Pela definição, m + n = 2k para k ∈ Z.
� m = 2k − n
� Diferença de m e n: m − n = (2k − n)− n
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 26 / 55
Prova DiretaDefinição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema∀ n e m ∈ Z, se n + m é par, então n − m é par
Prova Direta.� Suponha m, n ∈ Z tal que m + n seja par.
� Pela definição, m + n = 2k para k ∈ Z.
� m = 2k − n
� Diferença de m e n: m − n = (2k − n)− n
� m − n = 2k − 2n = 2 (k − n)︸ ︷︷ ︸
t
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 26 / 55
Prova DiretaDefinição (Paridade)
Um inteiro n é par se existir algum inteiro k tal que n = 2k, e n é ímpar seexistir algum inteiro k tal que n = 2k + 1.
Teorema∀ n e m ∈ Z, se n + m é par, então n − m é par
Prova Direta.� Suponha m, n ∈ Z tal que m + n seja par.
� Pela definição, m + n = 2k para k ∈ Z.
� m = 2k − n
� Diferença de m e n: m − n = (2k − n)− n
� m − n = 2k − 2n = 2 (k − n)︸ ︷︷ ︸
t
� Logo, m − n = 2t , t ∈ Z. Pela definição, m − n é par
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 26 / 55
Prova Direta
Use prova direta para demonstrar as seguintes afirmações:
Para todos os inteiros a e b, se a e b são pares, então a soma a + b épar.
Para todos os inteiros a e b, se a e b são pares, então o produto a · b épar.
Todo inteiro ímpar é a diferença de dois quadrados.
.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 27 / 55
Prova Indireta
Teoremas na forma p → q também podem ser demonstrados por meio deprovas que não começam com a premissa e terminam com a conclusão.
A este tipo de demonstração denominados de prova indireta
Ela é usada quando
A demonstração falha por prova direta...
... mas existe um sentimento de que a afirmação é verdadeira.
São métodos de prova indireta:
Prova por contraposição
Prova por contradição (Reductio ad Absurdum)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 28 / 55
Prova Indireta
Para exemplificar, seja o seguinte teorema.
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.� Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 29 / 55
Prova Indireta
Para exemplificar, seja o seguinte teorema.
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.� Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
� Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 29 / 55
Prova Indireta
Para exemplificar, seja o seguinte teorema.
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.� Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
� Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∈ Z
� 3n + 1 = 2k
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 29 / 55
Prova Indireta
Para exemplificar, seja o seguinte teorema.
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Tentativa de Prova Direta.� Assuma que 3n + 2 é um inteiro ímpar.
� Da definição de paridade, 3n + 2 = 2k + 1 para k ∈ Z
� 3n + 1 = 2k
� E agora???
A tentativa de prova falha, pois não há forma direta de concluir que n é ímpar.
Devemos recorrer a um dos métodos de prova indireta.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 29 / 55
Prova por ContraposiçãoA prova por contraposição consiste em mostrar que p → q é verdadeirousando o fato de que (¬q → ¬p) ≡ (p → q)
p q ¬p ¬q (p → q) (¬q → ¬p) (¬q → ¬p) ↔ (p → q)0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 1 1 11 0 0 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1
Algoritmo 2 Construção de uma prova por contraposição
1: Escreva a declaração a ser provada na forma ∀x ∈ D, P(x) → Q(x)2: Reescreva a declaração na forma contrapositiva: ∀x ∈ D, ¬Q(x) → ¬P(x)3: Prove o contrapositivo (¬q → ¬p) por prova direta4: (a) Suponha x um elemento específico, escolhido de forma arbitrária de D
tal que ¬Q(x) é V5: (b) Mostre que ¬P(x) é verdadeiro
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 30 / 55
Prova por ContraposiçãoVoltemos ao teorema:
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Premissa p : ‘3n + 2 é ímpar’ ¬p : ‘3n + 2 é par’Premissa q : ‘n é ímpar’ ¬q : ‘n é par’
Prova por Contraposição.� ¬q: n é par, logo n = 2k , k ∈ Z (paridade)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 31 / 55
Prova por ContraposiçãoVoltemos ao teorema:
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Premissa p : ‘3n + 2 é ímpar’ ¬p : ‘3n + 2 é par’Premissa q : ‘n é ímpar’ ¬q : ‘n é par’
Prova por Contraposição.� ¬q: n é par, logo n = 2k , k ∈ Z (paridade)
� 3n + 2 = 3(2k) + 2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 31 / 55
Prova por ContraposiçãoVoltemos ao teorema:
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Premissa p : ‘3n + 2 é ímpar’ ¬p : ‘3n + 2 é par’Premissa q : ‘n é ímpar’ ¬q : ‘n é par’
Prova por Contraposição.� ¬q: n é par, logo n = 2k , k ∈ Z (paridade)
� 3n + 2 = 3(2k) + 2
� 3n + 2 = 6k + 2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 31 / 55
Prova por ContraposiçãoVoltemos ao teorema:
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Premissa p : ‘3n + 2 é ímpar’ ¬p : ‘3n + 2 é par’Premissa q : ‘n é ímpar’ ¬q : ‘n é par’
Prova por Contraposição.� ¬q: n é par, logo n = 2k , k ∈ Z (paridade)
� 3n + 2 = 3(2k) + 2
� 3n + 2 = 6k + 2
� 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
, com t = 3k + 1 ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 31 / 55
Prova por ContraposiçãoVoltemos ao teorema:
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Premissa p : ‘3n + 2 é ímpar’ ¬p : ‘3n + 2 é par’Premissa q : ‘n é ímpar’ ¬q : ‘n é par’
Prova por Contraposição.� ¬q: n é par, logo n = 2k , k ∈ Z (paridade)
� 3n + 2 = 3(2k) + 2
� 3n + 2 = 6k + 2
� 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
, com t = 3k + 1 ∈ Z
� 3n + 2 = 2t
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 31 / 55
Prova por ContraposiçãoVoltemos ao teorema:
TeoremaSe n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar.
Premissa p : ‘3n + 2 é ímpar’ ¬p : ‘3n + 2 é par’Premissa q : ‘n é ímpar’ ¬q : ‘n é par’
Prova por Contraposição.� ¬q: n é par, logo n = 2k , k ∈ Z (paridade)
� 3n + 2 = 3(2k) + 2
� 3n + 2 = 6k + 2
� 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
, com t = 3k + 1 ∈ Z
� 3n + 2 = 2t
� Logo, pela definição de paridade, 3n + 2 é par (¬p)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 31 / 55
Prova por Contraposição
TeoremaPara todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, entãox > 5 ou y > 5.
Premissa p : ‘x · y > 25’ ¬p : ‘x · y ≤ 25’Premissa q : ‘x > 5 ou y > 5’ ¬q : ‘(0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)’
Prova por Contraposição.� ¬q: (0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 32 / 55
Prova por Contraposição
TeoremaPara todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, entãox > 5 ou y > 5.
Premissa p : ‘x · y > 25’ ¬p : ‘x · y ≤ 25’Premissa q : ‘x > 5 ou y > 5’ ¬q : ‘(0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)’
Prova por Contraposição.� ¬q: (0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)
� 0 · 0 < x · y < 5 · 5
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 32 / 55
Prova por Contraposição
TeoremaPara todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, entãox > 5 ou y > 5.
Premissa p : ‘x · y > 25’ ¬p : ‘x · y ≤ 25’Premissa q : ‘x > 5 ou y > 5’ ¬q : ‘(0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)’
Prova por Contraposição.� ¬q: (0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)
� 0 · 0 < x · y < 5 · 5
� 0 < x · y ≤ 25
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 32 / 55
Prova por Contraposição
TeoremaPara todo número real positivo x e y, se o produto x · y excede 25, entãox > 5 ou y > 5.
Premissa p : ‘x · y > 25’ ¬p : ‘x · y ≤ 25’Premissa q : ‘x > 5 ou y > 5’ ¬q : ‘(0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)’
Prova por Contraposição.� ¬q: (0 < x ≤ 5) e (0 < y ≤ 5)
� 0 · 0 < x · y < 5 · 5
� 0 < x · y ≤ 25
� Logo, o produto x · y não excede 25 (¬p)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 32 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe n = a · b, com a e b inteiros positivos, então a ≤
√n ou b ≤
√n.
Premissa p : ‘n = a · b’ ¬p : ‘n 6= ab’Premissa q : ‘(a ≤
√n) ou (b ≤
√n)’ ¬q : ‘(a >
√n) e (b >
√n)’
Prova por Contraposição.
� ¬q: (a >√
n) e (b >√
n)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 33 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe n = a · b, com a e b inteiros positivos, então a ≤
√n ou b ≤
√n.
Premissa p : ‘n = a · b’ ¬p : ‘n 6= ab’Premissa q : ‘(a ≤
√n) ou (b ≤
√n)’ ¬q : ‘(a >
√n) e (b >
√n)’
Prova por Contraposição.
� ¬q: (a >√
n) e (b >√
n)
� a · b >√
n ·√
n
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 33 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe n = a · b, com a e b inteiros positivos, então a ≤
√n ou b ≤
√n.
Premissa p : ‘n = a · b’ ¬p : ‘n 6= ab’Premissa q : ‘(a ≤
√n) ou (b ≤
√n)’ ¬q : ‘(a >
√n) e (b >
√n)’
Prova por Contraposição.
� ¬q: (a >√
n) e (b >√
n)
� a · b >√
n ·√
n
� a · b > (√
n)2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 33 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe n = a · b, com a e b inteiros positivos, então a ≤
√n ou b ≤
√n.
Premissa p : ‘n = a · b’ ¬p : ‘n 6= ab’Premissa q : ‘(a ≤
√n) ou (b ≤
√n)’ ¬q : ‘(a >
√n) e (b >
√n)’
Prova por Contraposição.
� ¬q: (a >√
n) e (b >√
n)
� a · b >√
n ·√
n
� a · b > (√
n)2
� a · b > n
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 33 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe n = a · b, com a e b inteiros positivos, então a ≤
√n ou b ≤
√n.
Premissa p : ‘n = a · b’ ¬p : ‘n 6= ab’Premissa q : ‘(a ≤
√n) ou (b ≤
√n)’ ¬q : ‘(a >
√n) e (b >
√n)’
Prova por Contraposição.
� ¬q: (a >√
n) e (b >√
n)
� a · b >√
n ·√
n
� a · b > (√
n)2
� a · b > n
� Logo, a · b 6= n (¬p)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 33 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe um inteiro x é divisível por 6, então x também é divisível por 3
Premissa p : ‘x é divisível por 6’ ¬p : ‘x não é divisível por 6’Premissa q : ‘x é divisível por 3’ ¬q : ‘x não é divisível por 3’
Prova por Contraposição.� (¬q) x 6= k · 3, para k ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 34 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe um inteiro x é divisível por 6, então x também é divisível por 3
Premissa p : ‘x é divisível por 6’ ¬p : ‘x não é divisível por 6’Premissa q : ‘x é divisível por 3’ ¬q : ‘x não é divisível por 3’
Prova por Contraposição.� (¬q) x 6= k · 3, para k ∈ Z
� k = 2t
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 34 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe um inteiro x é divisível por 6, então x também é divisível por 3
Premissa p : ‘x é divisível por 6’ ¬p : ‘x não é divisível por 6’Premissa q : ‘x é divisível por 3’ ¬q : ‘x não é divisível por 3’
Prova por Contraposição.� (¬q) x 6= k · 3, para k ∈ Z
� k = 2t
� x 6= (2t) · 3
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 34 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe um inteiro x é divisível por 6, então x também é divisível por 3
Premissa p : ‘x é divisível por 6’ ¬p : ‘x não é divisível por 6’Premissa q : ‘x é divisível por 3’ ¬q : ‘x não é divisível por 3’
Prova por Contraposição.� (¬q) x 6= k · 3, para k ∈ Z
� k = 2t
� x 6= (2t) · 3
� x 6= t(2 · 3)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 34 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe um inteiro x é divisível por 6, então x também é divisível por 3
Premissa p : ‘x é divisível por 6’ ¬p : ‘x não é divisível por 6’Premissa q : ‘x é divisível por 3’ ¬q : ‘x não é divisível por 3’
Prova por Contraposição.� (¬q) x 6= k · 3, para k ∈ Z
� k = 2t
� x 6= (2t) · 3
� x 6= t(2 · 3)
� x 6= t · 6, para t ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 34 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaSe um inteiro x é divisível por 6, então x também é divisível por 3
Premissa p : ‘x é divisível por 6’ ¬p : ‘x não é divisível por 6’Premissa q : ‘x é divisível por 3’ ¬q : ‘x não é divisível por 3’
Prova por Contraposição.� (¬q) x 6= k · 3, para k ∈ Z
� k = 2t
� x 6= (2t) · 3
� x 6= t(2 · 3)
� x 6= t · 6, para t ∈ Z
� Logo, pela definição de divisibilidade, x não é divisível por 6 (¬p)diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 34 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaDado qualquer inteiro n, se n2 é par, então n é par.
Premissa p : ‘n2 é par’ ¬p : ‘n2 é ímpar’Premissa q : ‘n é par’ ¬q : ‘n é ímpar’
Prova por Contraposição.� (¬q) n = 2k + 1, k ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 35 / 55
Prova por ContraposiçãoTeoremaDado qualquer inteiro n, se n2 é par, então n é par.
Premissa p : ‘n2 é par’ ¬p : ‘n2 é ímpar’Premissa q : ‘n é par’ ¬q : ‘n é ímpar’
Prova por Contraposição.� (¬q) n = 2k + 1, k ∈ Z
� n2 = n · n ⇒ n2 = (2k + 1) · (2k + 1)
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Prova por ContraposiçãoTeoremaDado qualquer inteiro n, se n2 é par, então n é par.
Premissa p : ‘n2 é par’ ¬p : ‘n2 é ímpar’Premissa q : ‘n é par’ ¬q : ‘n é ímpar’
Prova por Contraposição.� (¬q) n = 2k + 1, k ∈ Z
� n2 = n · n ⇒ n2 = (2k + 1) · (2k + 1)
� n2 = (2k + 1)2 ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1
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Prova por ContraposiçãoTeoremaDado qualquer inteiro n, se n2 é par, então n é par.
Premissa p : ‘n2 é par’ ¬p : ‘n2 é ímpar’Premissa q : ‘n é par’ ¬q : ‘n é ímpar’
Prova por Contraposição.� (¬q) n = 2k + 1, k ∈ Z
� n2 = n · n ⇒ n2 = (2k + 1) · (2k + 1)
� n2 = (2k + 1)2 ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1
� n2 = 2 (2k2 + 2k)︸ ︷︷ ︸
t
+1
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Prova por ContraposiçãoTeoremaDado qualquer inteiro n, se n2 é par, então n é par.
Premissa p : ‘n2 é par’ ¬p : ‘n2 é ímpar’Premissa q : ‘n é par’ ¬q : ‘n é ímpar’
Prova por Contraposição.� (¬q) n = 2k + 1, k ∈ Z
� n2 = n · n ⇒ n2 = (2k + 1) · (2k + 1)
� n2 = (2k + 1)2 ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1
� n2 = 2 (2k2 + 2k)︸ ︷︷ ︸
t
+1
� n2 = 2t + 1. Logo, pela definição de paridade, n2 é ímpar.
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Prova por Contraposição
Use prova por contraposição para demonstrar as seguintes afirmações:
Se n é um inteiro ímpar, então n + 11 é par.
Para todos os inteiros a e b, se a · b é ímpar, então a e b são ambosímpares.
.
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Prova por ContradiçãoUma prova por contradição mostra (p → q) indiretamente em dois casos:
� Teoremas na forma p → q: assumir que ∀x ∈ D(P(x) → Q(x)) é falso
Em lógica, (p ∧ ¬q)
Partindo de (p ∧ ¬q), deduzir uma contradição 0.
p q ¬q (p ∧ ¬q) (p ∧ ¬q) → 0 (p → q) [(p ∧ ¬q) → 0] ↔ (p → q)0 0 1 0 1 1 10 1 0 0 1 1 11 0 1 1 0 0 11 1 0 0 1 1 1
� Teoremas na forma p: assumir que ∀x ∈ D(P(x)) é falso
Em lógica, ¬p
Partindo de ¬p, deduzir a contradição (r ∧ ¬r).
p r ¬p ¬r (r ∧ ¬r) [¬p → (r ∧ ¬r)] [¬p → (r ∧ ¬r)] ↔ p0 0 1 1 0 0 10 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 1 11 1 0 0 0 1 1
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Prova por ContradiçãoDe maneira mais geral,
Algoritmo 3 Construção de uma prova por contradição
1: Suponha que a declaração a ser provada é falsa2: Mostre que esta declaração leva logicamente à uma contradição3: Conclua que a afirmação a ser provada é verdadeira
Resumo
[(p ∧ ¬q) → 0] ≡ (p → q)
� Assuma a hipótese p verdadeira, e a conclusãoq falsa.� Deduza uma contradição a partir de (p ∧ ¬q).� Se [(p ∧ ¬q) → 0], então a declaração (p → q)é verdadeira, pois [(p ∧ ¬q) → 0] ≡ (p → q)
[¬p → 0] ≡ p
� Assuma a negação da declaração p verdadeira.� Deduza uma contradição (r ∧¬r) a partir de ¬p.� Se (¬p → 0), então a declaração p é verda-deira, pois [(¬p → 0) ≡ p].
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Prova por Contradição
Teorema (Forma p)Não existe um inteiro que seja o maior de todos.
Prova por Contradição.� (¬p): ∃ N ∈ Z tal que N é o maior de todos.
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Prova por Contradição
Teorema (Forma p)Não existe um inteiro que seja o maior de todos.
Prova por Contradição.� (¬p): ∃ N ∈ Z tal que N é o maior de todos.
� N ≥ n, ∀n ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 39 / 55
Prova por Contradição
Teorema (Forma p)Não existe um inteiro que seja o maior de todos.
Prova por Contradição.� (¬p): ∃ N ∈ Z tal que N é o maior de todos.
� N ≥ n, ∀n ∈ Z
� M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 39 / 55
Prova por Contradição
Teorema (Forma p)Não existe um inteiro que seja o maior de todos.
Prova por Contradição.� (¬p): ∃ N ∈ Z tal que N é o maior de todos.
� N ≥ n, ∀n ∈ Z
� M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∈ Z
� M > N.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 39 / 55
Prova por Contradição
Teorema (Forma p)Não existe um inteiro que seja o maior de todos.
Prova por Contradição.� (¬p): ∃ N ∈ Z tal que N é o maior de todos.
� N ≥ n, ∀n ∈ Z
� M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∈ Z
� M > N.
� Contradição: ‘N é o maior de todos os inteiros’, e ‘M é maior do que N ’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 39 / 55
Prova por Contradição
Teorema (Forma p)Não existe um inteiro que seja o maior de todos.
Prova por Contradição.� (¬p): ∃ N ∈ Z tal que N é o maior de todos.
� N ≥ n, ∀n ∈ Z
� M = N + 1. Pelo fecho aditivo, M ∈ Z
� M > N.
� Contradição: ‘N é o maior de todos os inteiros’, e ‘M é maior do que N ’.
� Portanto, (p → q) pois [(p ∧ ¬q) → 0] ≡ (p → q).
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Prova por ContradiçãoDefinição (Números Racionais)
Um número real r é racional se existem inteiros p e q | r = p/q, com q 6= 0.
Teorema (Forma p)
O número√
2 é um número irracional.
Prova por Contradição.
� (¬p):√
2 é um número racional.
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Prova por ContradiçãoDefinição (Números Racionais)
Um número real r é racional se existem inteiros p e q | r = p/q, com q 6= 0.
Teorema (Forma p)
O número√
2 é um número irracional.
Prova por Contradição.
� (¬p):√
2 é um número racional.
� ∃ a, b ∈ Z tal que√
2 = a/b. Logo a e b não possuem fatores em comum.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 40 / 55
Prova por ContradiçãoDefinição (Números Racionais)
Um número real r é racional se existem inteiros p e q | r = p/q, com q 6= 0.
Teorema (Forma p)
O número√
2 é um número irracional.
Prova por Contradição.
� (¬p):√
2 é um número racional.
� ∃ a, b ∈ Z tal que√
2 = a/b. Logo a e b não possuem fatores em comum.
�
(√2)2
= (a/b)2 ⇒ 2 = a2/b2 ⇒ a2 = 2b2 . Se a2 é par, a é par⋆.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 40 / 55
Prova por ContradiçãoDefinição (Números Racionais)
Um número real r é racional se existem inteiros p e q | r = p/q, com q 6= 0.
Teorema (Forma p)
O número√
2 é um número irracional.
Prova por Contradição.
� (¬p):√
2 é um número racional.
� ∃ a, b ∈ Z tal que√
2 = a/b. Logo a e b não possuem fatores em comum.
�
(√2)2
= (a/b)2 ⇒ 2 = a2/b2 ⇒ a2 = 2b2 . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 = 2b2 ⇒ (2k)2 = 2b2 ⇒ 2b2 = 4k2 ⇒ b2 = 2k2 . Portanto, b é par.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 40 / 55
Prova por ContradiçãoDefinição (Números Racionais)
Um número real r é racional se existem inteiros p e q | r = p/q, com q 6= 0.
Teorema (Forma p)
O número√
2 é um número irracional.
Prova por Contradição.
� (¬p):√
2 é um número racional.
� ∃ a, b ∈ Z tal que√
2 = a/b. Logo a e b não possuem fatores em comum.
�
(√2)2
= (a/b)2 ⇒ 2 = a2/b2 ⇒ a2 = 2b2 . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 = 2b2 ⇒ (2k)2 = 2b2 ⇒ 2b2 = 4k2 ⇒ b2 = 2k2 . Portanto, b é par.
� Contradição: ‘a e b não possuem fatores em comum’, e ‘a e b sãodivididos por 2’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 40 / 55
Prova por ContradiçãoDefinição (Números Racionais)
Um número real r é racional se existem inteiros p e q | r = p/q, com q 6= 0.
Teorema (Forma p)
O número√
2 é um número irracional.
Prova por Contradição.
� (¬p):√
2 é um número racional.
� ∃ a, b ∈ Z tal que√
2 = a/b. Logo a e b não possuem fatores em comum.
�
(√2)2
= (a/b)2 ⇒ 2 = a2/b2 ⇒ a2 = 2b2 . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 = 2b2 ⇒ (2k)2 = 2b2 ⇒ 2b2 = 4k2 ⇒ b2 = 2k2 . Portanto, b é par.
� Contradição: ‘a e b não possuem fatores em comum’, e ‘a e b sãodivididos por 2’.
� Portanto, (p → q) pois [(p ∧ ¬q) → 0] ≡ (p → q).diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 40 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
� Se n é par, então n = 2k , k ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
� Se n é par, então n = 2k , k ∈ Z
� 3n + 2 = 3(2k) + 2 ⇒ 3n + 2 = 6k + 2 ⇒ 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
� Se n é par, então n = 2k , k ∈ Z
� 3n + 2 = 3(2k) + 2 ⇒ 3n + 2 = 6k + 2 ⇒ 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
� 3n + 2 = 2t , para t ∈ Z
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
� Se n é par, então n = 2k , k ∈ Z
� 3n + 2 = 3(2k) + 2 ⇒ 3n + 2 = 6k + 2 ⇒ 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
� 3n + 2 = 2t , para t ∈ Z
� Pela definição de paridade, 3n + 2 é par.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
� Se n é par, então n = 2k , k ∈ Z
� 3n + 2 = 3(2k) + 2 ⇒ 3n + 2 = 6k + 2 ⇒ 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
� 3n + 2 = 2t , para t ∈ Z
� Pela definição de paridade, 3n + 2 é par.
� Contradição: ‘3n + 2 é ímpar ’ e ‘3n + 2 é par ’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)Se 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar
Prova por Contradição.� (p ∧ ¬q): ‘3n + 2 é ímpar’ e ‘n é par’.
� Se n é par, então n = 2k , k ∈ Z
� 3n + 2 = 3(2k) + 2 ⇒ 3n + 2 = 6k + 2 ⇒ 3n + 2 = 2 (3k + 1)︸ ︷︷ ︸
t
� 3n + 2 = 2t , para t ∈ Z
� Pela definição de paridade, 3n + 2 é par.
� Contradição: ‘3n + 2 é ímpar ’ e ‘3n + 2 é par ’.
� Portanto, (p → q) pois [(p ∧ ¬q) → 0] ≡ (p → q).diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 41 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)
Se a e b são números inteiros, então a2 − 4b 6= 2.
Prova por Contradição.
� (p ∧ ¬q): ‘a, b ∈ Z’ e ‘a2 − 4b = 2’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 42 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)
Se a e b são números inteiros, então a2 − 4b 6= 2.
Prova por Contradição.
� (p ∧ ¬q): ‘a, b ∈ Z’ e ‘a2 − 4b = 2’.
� a2 − 4b = 2 ⇒ a2 = 4b + 2 ⇒ a2 = 2(2b + 1) . Se a2 é par, a é par⋆.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 42 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)
Se a e b são números inteiros, então a2 − 4b 6= 2.
Prova por Contradição.
� (p ∧ ¬q): ‘a, b ∈ Z’ e ‘a2 − 4b = 2’.
� a2 − 4b = 2 ⇒ a2 = 4b + 2 ⇒ a2 = 2(2b + 1) . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 − 4b = 2 ⇒ (2k)2 − 4b = 2 ⇒ 4k2 − 4b = 2 ⇒ 2k2 − 2b = 1
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 42 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)
Se a e b são números inteiros, então a2 − 4b 6= 2.
Prova por Contradição.
� (p ∧ ¬q): ‘a, b ∈ Z’ e ‘a2 − 4b = 2’.
� a2 − 4b = 2 ⇒ a2 = 4b + 2 ⇒ a2 = 2(2b + 1) . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 − 4b = 2 ⇒ (2k)2 − 4b = 2 ⇒ 4k2 − 4b = 2 ⇒ 2k2 − 2b = 1
� 2 (k2 − b)︸ ︷︷ ︸
t
= 1 ⇒ 1 = 2t
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Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)
Se a e b são números inteiros, então a2 − 4b 6= 2.
Prova por Contradição.
� (p ∧ ¬q): ‘a, b ∈ Z’ e ‘a2 − 4b = 2’.
� a2 − 4b = 2 ⇒ a2 = 4b + 2 ⇒ a2 = 2(2b + 1) . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 − 4b = 2 ⇒ (2k)2 − 4b = 2 ⇒ 4k2 − 4b = 2 ⇒ 2k2 − 2b = 1
� 2 (k2 − b)︸ ︷︷ ︸
t
= 1 ⇒ 1 = 2t
� Contradição: ‘1 é ímpar’ e ‘1 é par’
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 42 / 55
Prova por ContradiçãoTeorema (Forma p → q)
Se a e b são números inteiros, então a2 − 4b 6= 2.
Prova por Contradição.
� (p ∧ ¬q): ‘a, b ∈ Z’ e ‘a2 − 4b = 2’.
� a2 − 4b = 2 ⇒ a2 = 4b + 2 ⇒ a2 = 2(2b + 1) . Se a2 é par, a é par⋆.
� a2 − 4b = 2 ⇒ (2k)2 − 4b = 2 ⇒ 4k2 − 4b = 2 ⇒ 2k2 − 2b = 1
� 2 (k2 − b)︸ ︷︷ ︸
t
= 1 ⇒ 1 = 2t
� Contradição: ‘1 é ímpar’ e ‘1 é par’
� Portanto (p → q), pois [(p → q) → 0] ≡ (p → q).
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 42 / 55
Prova por Contradição
Use prova por contradição para demonstrar as seguintes afirmações:
Para cada inteiro n, se n é ímpar, então n2 é ímpar.
Se n é um inteiro ímpar, então n + 11 é par.
.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 43 / 55
Prova por EquivalênciaA prova por equivalência é usada para provar teoremas na forma (p ↔ q).
Para mostrar (p ↔ q), devemos mostrar que (p → q) e (q → p) são ambosverdadeiros.
p q p → q q → p (p → q) ∧ (q → p) p ↔ q (p ↔ q) ↔ [(p → q) ∧ (q → p)]0 0 1 1 1 1 10 1 1 0 0 0 11 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1
Útil em teoremas que declaram que p1 ↔ p2 ↔ · · · ↔ pn
Número de demonstrações a fazer:
∀i ∀j, i 6= j, (pi → pj): n2 − n , ou
[p1 ↔ p2 · · · ↔ pn] ≡ [(p1 → p2) ∧ (p2 → p3) · · · ∧ (pn → p1)]: n
Em cada demonstração, podemos usar
Prova Direta
Prova Indireta
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Prova por Equivalência
TeoremaPara n ∈ Z, n é par, n − 1 é ímpar e n2 é par são equivalentes.
Prova por Equivalência.Prova Direta de (p1 → p2):� (p1) n = 2k
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Prova por Equivalência
TeoremaPara n ∈ Z, n é par, n − 1 é ímpar e n2 é par são equivalentes.
Prova por Equivalência.Prova Direta de (p1 → p2):� (p1) n = 2k
� n − 1 = (2k)− 1 ⇒ n − 1 = 2k − 1 (p2)
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Prova por Equivalência
TeoremaPara n ∈ Z, n é par, n − 1 é ímpar e n2 é par são equivalentes.
Prova por Equivalência.Prova Direta de (p1 → p2):� (p1) n = 2k
� n − 1 = (2k)− 1 ⇒ n − 1 = 2k − 1 (p2)
Prova Direta de (p2 → p3):� (p2) n − 1 = 2k + 1 ⇒ n = 2k + 2
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Prova por Equivalência
TeoremaPara n ∈ Z, n é par, n − 1 é ímpar e n2 é par são equivalentes.
Prova por Equivalência.Prova Direta de (p1 → p2):� (p1) n = 2k
� n − 1 = (2k)− 1 ⇒ n − 1 = 2k − 1 (p2)
Prova Direta de (p2 → p3):� (p2) n − 1 = 2k + 1 ⇒ n = 2k + 2
� (n)2 = (2k + 2)2 ⇒ n2 = 4k2 + 8k + 4 (p3) ⇒ n2 = 2t
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 45 / 55
Prova por Equivalência
TeoremaPara n ∈ Z, n é par, n − 1 é ímpar e n2 é par são equivalentes.
Prova por Equivalência.Prova Direta de (p1 → p2):� (p1) n = 2k
� n − 1 = (2k)− 1 ⇒ n − 1 = 2k − 1 (p2)
Prova Direta de (p2 → p3):� (p2) n − 1 = 2k + 1 ⇒ n = 2k + 2
� (n)2 = (2k + 2)2 ⇒ n2 = 4k2 + 8k + 4 (p3) ⇒ n2 = 2t
Prova Contrapositiva de (p3 → p1):� (¬p1) n = 2k + 1
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Prova por Equivalência
TeoremaPara n ∈ Z, n é par, n − 1 é ímpar e n2 é par são equivalentes.
Prova por Equivalência.Prova Direta de (p1 → p2):� (p1) n = 2k
� n − 1 = (2k)− 1 ⇒ n − 1 = 2k − 1 (p2)
Prova Direta de (p2 → p3):� (p2) n − 1 = 2k + 1 ⇒ n = 2k + 2
� (n)2 = (2k + 2)2 ⇒ n2 = 4k2 + 8k + 4 (p3) ⇒ n2 = 2t
Prova Contrapositiva de (p3 → p1):� (¬p1) n = 2k + 1
� (n)2 = (2k + 1)2 ⇒ n2 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ n2 = 2t + 1 (¬p3)
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Prova por Contra-ExemploA prova por contra-exemplo é usada quando
Uma declaração ∀x ∈ D(P(x)) ou ∀x ∈ D(P(x) → Q(x)) parece falsa
Não conseguimos demonstrar isso pelas técnicas conhecidas
Mas podemos tentar encontrar um contra-exemplo.
Contra-exemplo : valor de a ∈ D para o qual
P(a) é falso, em declarações ∀x ∈ D(P(x))
P(a) é verdadeiro e Q(a) é falso, em declarações ∀x ∈ D(P(x) → Q(x))
Declaração Dedução Explicação
∀x ∈ D(P(x)) ∃ a ∈ D (¬P(a))Encontrar um elemento a ∈ D para oqual P(a) é falso. Se isso ocorrer, entãoa declaração ∀x ∈ D(P(x)) é falsa.
∀x ∈ D(P(x) → Q(x)) ∃a ∈ D(P(a) ∧ ¬Q(a))
Encontrar um elemento a ∈ D para oqual P(a) é verdadeiro e Q(a) é falso.Se existir tal elemento, então a sentença∀x ∈ D(P(x) → Q(x)) é falsa
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 46 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaPara todo a,b ∈ R, [(a2 = b2) → (a = b)]. Prove que a declaração é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Sejam P(a, b): ‘(a2 = b2)’, e seja Q(a, b): ‘(a = b)’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 47 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaPara todo a,b ∈ R, [(a2 = b2) → (a = b)]. Prove que a declaração é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Sejam P(a, b): ‘(a2 = b2)’, e seja Q(a, b): ‘(a = b)’.
� a = 4 e b = −4
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 47 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaPara todo a,b ∈ R, [(a2 = b2) → (a = b)]. Prove que a declaração é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Sejam P(a, b): ‘(a2 = b2)’, e seja Q(a, b): ‘(a = b)’.
� a = 4 e b = −4
� P(4,−4) é verdadeiro
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 47 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaPara todo a,b ∈ R, [(a2 = b2) → (a = b)]. Prove que a declaração é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Sejam P(a, b): ‘(a2 = b2)’, e seja Q(a, b): ‘(a = b)’.
� a = 4 e b = −4
� P(4,−4) é verdadeiro
� Q(4,−4) é falso
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 47 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaPara todo a,b ∈ R, [(a2 = b2) → (a = b)]. Prove que a declaração é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Sejam P(a, b): ‘(a2 = b2)’, e seja Q(a, b): ‘(a = b)’.
� a = 4 e b = −4
� P(4,−4) é verdadeiro
� Q(4,−4) é falso
� ∴ 4 e −4 são um contra-exemplo para ∀ a, b ∈ R (P(a, b) → Q(a, b)).
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 47 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaCada inteiro positivo é a soma dos quadrados de dois inteiros. Prove que aafirmação é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Seja P(x): ‘n = a2 + b2’.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 48 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaCada inteiro positivo é a soma dos quadrados de dois inteiros. Prove que aafirmação é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Seja P(x): ‘n = a2 + b2’.
� P(0) : 0 = 02 + 02 (Verdadeiro)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 48 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaCada inteiro positivo é a soma dos quadrados de dois inteiros. Prove que aafirmação é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Seja P(x): ‘n = a2 + b2’.
� P(0) : 0 = 02 + 02 (Verdadeiro)
� P(1) : 1 = 12 + 02 (Verdadeiro)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 48 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaCada inteiro positivo é a soma dos quadrados de dois inteiros. Prove que aafirmação é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Seja P(x): ‘n = a2 + b2’.
� P(0) : 0 = 02 + 02 (Verdadeiro)
� P(1) : 1 = 12 + 02 (Verdadeiro)
� P(2) : 2 = 12 + 12 (Verdadeiro)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 48 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaCada inteiro positivo é a soma dos quadrados de dois inteiros. Prove que aafirmação é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Seja P(x): ‘n = a2 + b2’.
� P(0) : 0 = 02 + 02 (Verdadeiro)
� P(1) : 1 = 12 + 02 (Verdadeiro)
� P(2) : 2 = 12 + 12 (Verdadeiro)
� P(3) : 3 =??+?? (Falso)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 48 / 55
Prova por Contra-Exemplo
TeoremaCada inteiro positivo é a soma dos quadrados de dois inteiros. Prove que aafirmação é falsa.
Prova por Contra-Exemplo.
� Seja P(x): ‘n = a2 + b2’.
� P(0) : 0 = 02 + 02 (Verdadeiro)
� P(1) : 1 = 12 + 02 (Verdadeiro)
� P(2) : 2 = 12 + 12 (Verdadeiro)
� P(3) : 3 =??+?? (Falso)
� Portanto, 3 é um contra-exemplo de ∀x ∈ Z(P(x)).
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 48 / 55
Prova por Divisão em CasosUma prova por divisão em casos ocorre quando
Existem múltiplos casos a examinar antes de determinar a verdade dadeclaração
Todos os casos devem ser cobertos
Existem informações extras sobre cada caso que ajudam a desenvolvera prova
.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 49 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
� m + 1 = (2k) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 1 (ímpar)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
� m + 1 = (2k) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 1 (ímpar)
Caso 2 (m é ímpar):
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
� m + 1 = (2k) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 1 (ímpar)
Caso 2 (m é ímpar):
� m = 2k + 1 , k ∈ Z (ímpar)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
� m + 1 = (2k) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 1 (ímpar)
Caso 2 (m é ímpar):
� m = 2k + 1 , k ∈ Z (ímpar)
� m + 1 = (2k + 1) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 2 ⇒ m + 1 = 2(k + 1)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
� m + 1 = (2k) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 1 (ímpar)
Caso 2 (m é ímpar):
� m = 2k + 1 , k ∈ Z (ímpar)
� m + 1 = (2k + 1) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 2 ⇒ m + 1 = 2(k + 1)
� m + 1 = 2t (par)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
TeoremaDois números inteiros consecutivos quaisquer tem paridade oposta.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1 (m é par):
� m = 2k , k ∈ Z (par)
� m + 1 = (2k) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 1 (ímpar)
Caso 2 (m é ímpar):
� m = 2k + 1 , k ∈ Z (ímpar)
� m + 1 = (2k + 1) + 1 ⇒ m + 1 = 2k + 2 ⇒ m + 1 = 2(k + 1)
� m + 1 = 2t (par)
� Portanto, dois inteiros quaisquer consecutivos tem paridade oposta.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 50 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy = (−x)(y)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy = (−x)(y)
� xy < 0 ⇒ (−x)(y) = |x | · |y |
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy = (−x)(y)
� xy < 0 ⇒ (−x)(y) = |x | · |y |
Caso 4: x < 0 e y < 0:� x < 0 e y < 0: xy ≥ 0
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy = (−x)(y)
� xy < 0 ⇒ (−x)(y) = |x | · |y |
Caso 4: x < 0 e y < 0:� x < 0 e y < 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy = (−x)(−y)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy = (−x)(y)
� xy < 0 ⇒ (−x)(y) = |x | · |y |
Caso 4: x < 0 e y < 0:� x < 0 e y < 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy = (−x)(−y)
� xy ≥ 0 ⇒ (−x)(−y) = |x | · |y |
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova por Divisão em Casos
Definição (Módulo)O módulo de um número c é |c| = c se c ≥ 0, ou |c| = −c se c < 0.
TeoremaMostre que |xy | = |x | · |y | para x e y números reais.
Prova por Divisão em Casos.Caso 1: x ≥ 0 e y ≥ 0:� x ≥ 0 e y ≥ 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy
� xy ≥ 0 ⇒ xy = (x)(y) = |x | · |y |
Caso 2: x ≥ 0 e y < 0:� x ≥ 0 e y < 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy
� xy < 0 ⇒ −xy = (x)(−y) = |x | · |y |
Caso 3: x < 0 e y ≥ 0:� x < 0 e y ≥ 0: xy < 0
� xy < 0 ⇒ |xy | = −xy = (−x)(y)
� xy < 0 ⇒ (−x)(y) = |x | · |y |
Caso 4: x < 0 e y < 0:� x < 0 e y < 0: xy ≥ 0
� xy ≥ 0 ⇒ |xy | = xy = (−x)(−y)
� xy ≥ 0 ⇒ (−x)(−y) = |x | · |y |
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 51 / 55
Prova ExistencialUma prova existencial é usada em teoremas que afirmam que objetos deum determinado tipo existem.
Teoremas desta forma são denotados por ∃x ∈ D(P(x))
Prova existencial construtiva
consiste em encontrar uma testemunha a tal que P(a) seja verdadeiro
TeoremaExiste um inteiro que é par e primo.
Prova Existencial Construtiva.� Seja P(x): ‘x é par e x é primo’ e seja o teorema ∃xP(x)
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 52 / 55
Prova ExistencialUma prova existencial é usada em teoremas que afirmam que objetos deum determinado tipo existem.
Teoremas desta forma são denotados por ∃x ∈ D(P(x))
Prova existencial construtiva
consiste em encontrar uma testemunha a tal que P(a) seja verdadeiro
TeoremaExiste um inteiro que é par e primo.
Prova Existencial Construtiva.� Seja P(x): ‘x é par e x é primo’ e seja o teorema ∃xP(x)
� Testemunha: 2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 52 / 55
Prova ExistencialUma prova existencial é usada em teoremas que afirmam que objetos deum determinado tipo existem.
Teoremas desta forma são denotados por ∃x ∈ D(P(x))
Prova existencial construtiva
consiste em encontrar uma testemunha a tal que P(a) seja verdadeiro
TeoremaExiste um inteiro que é par e primo.
Prova Existencial Construtiva.� Seja P(x): ‘x é par e x é primo’ e seja o teorema ∃xP(x)
� Testemunha: 2
� Testemunha: 2 ∈ Z e 2 = 2k , para k = 1 ∴ 2 é par
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 52 / 55
Prova ExistencialUma prova existencial é usada em teoremas que afirmam que objetos deum determinado tipo existem.
Teoremas desta forma são denotados por ∃x ∈ D(P(x))
Prova existencial construtiva
consiste em encontrar uma testemunha a tal que P(a) seja verdadeiro
TeoremaExiste um inteiro que é par e primo.
Prova Existencial Construtiva.� Seja P(x): ‘x é par e x é primo’ e seja o teorema ∃xP(x)
� Testemunha: 2
� Testemunha: 2 ∈ Z e 2 = 2k , para k = 1 ∴ 2 é par
� Testemunha: 2 é primo, pois apenas 1 e ele mesmo dividem 2
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 52 / 55
Prova ExistencialUma prova existencial é usada em teoremas que afirmam que objetos deum determinado tipo existem.
Teoremas desta forma são denotados por ∃x ∈ D(P(x))
Prova existencial construtiva
consiste em encontrar uma testemunha a tal que P(a) seja verdadeiro
TeoremaExiste um inteiro que é par e primo.
Prova Existencial Construtiva.� Seja P(x): ‘x é par e x é primo’ e seja o teorema ∃xP(x)
� Testemunha: 2
� Testemunha: 2 ∈ Z e 2 = 2k , para k = 1 ∴ 2 é par
� Testemunha: 2 é primo, pois apenas 1 e ele mesmo dividem 2
� Logo, ∃xP(x) é verdadeiro.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 52 / 55
Prova de Unicidade
Uma prova de unicidade é usada em teoremas que afirmam que existeapenas um objeto que satisfaz uma determinada propriedade.
Uma prova por unicidade envolve duas partes:
Provar existência: mostrar que existe um elemento x com a propriedade
Provar unicidade: mostrar que
se x 6= y , então y não tem essa propriedade, ou
se x e y tem a propriedade, então x = y
.
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 53 / 55
Prova de Unicidade
TeoremaSe a e b são números reais e a 6= 0, então há um único número real r tal quear + b = 0
Prova de Unicidade.Provar existência :� ar + b = 0 ⇒ ar = −b ⇒ r = − b/a
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 54 / 55
Prova de Unicidade
TeoremaSe a e b são números reais e a 6= 0, então há um único número real r tal quear + b = 0
Prova de Unicidade.Provar existência :� ar + b = 0 ⇒ ar = −b ⇒ r = − b/a
� com r = − b/a, a igualdade ar + b = 0 torna-se verdadeira
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 54 / 55
Prova de Unicidade
TeoremaSe a e b são números reais e a 6= 0, então há um único número real r tal quear + b = 0
Prova de Unicidade.Provar existência :� ar + b = 0 ⇒ ar = −b ⇒ r = − b/a
� com r = − b/a, a igualdade ar + b = 0 torna-se verdadeira
� Logo, ∃r ∈ R(ar + b = 0).
diego.silva@ifmg.edu.br (IFMG) Matemática Discreta 16 de janeiro de 2013 54 / 55
Prova de Unicidade
TeoremaSe a e b são números reais e a 6= 0, então há um único número real r tal quear + b = 0
Prova de Unicidade.Provar existência :� ar + b = 0 ⇒ ar = −b ⇒ r = − b/a
� com r = − b/a, a igualdade ar + b = 0 torna-se verdadeira
� Logo, ∃r ∈ R(ar + b = 0).
Provar unicidade :� Seja s ∈ R tal que as + b = 0
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Prova de Unicidade
TeoremaSe a e b são números reais e a 6= 0, então há um único número real r tal quear + b = 0
Prova de Unicidade.Provar existência :� ar + b = 0 ⇒ ar = −b ⇒ r = − b/a
� com r = − b/a, a igualdade ar + b = 0 torna-se verdadeira
� Logo, ∃r ∈ R(ar + b = 0).
Provar unicidade :� Seja s ∈ R tal que as + b = 0
� se s satisfaz a igualdade as + b = 0, então s = − b/a
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Prova de Unicidade
TeoremaSe a e b são números reais e a 6= 0, então há um único número real r tal quear + b = 0
Prova de Unicidade.Provar existência :� ar + b = 0 ⇒ ar = −b ⇒ r = − b/a
� com r = − b/a, a igualdade ar + b = 0 torna-se verdadeira
� Logo, ∃r ∈ R(ar + b = 0).
Provar unicidade :� Seja s ∈ R tal que as + b = 0
� se s satisfaz a igualdade as + b = 0, então s = − b/a
� Logo, r = s.
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Provas
Apresente um contra-exemplo para a afirmação
Toda figura geométrica com quatro ângulos retos é um quadrado.
Use prova por divisão em casos para demonstrar as seguintes afirmações:
Se n é um inteiro, então 3n2 + n + 14 é par.
Se dois inteiros tem a mesma paridade, então sua soma é par.
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