Braquistócrona vs. GeodésicaBraquistócrona vs. Geodésica

Um problema de Cálculo de VariaçõesUm problema de Cálculo de Variações

Hugo Araújo

Luso 2006

Hugo Araújo

Luso 2006

Luso 2006

1. Cálculo de Variações1. Cálculo de Variações

Objectivo:• Procurar mínimos ou máximos de

funcionais.• Funcional:

• Exemplo:Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .

Objectivo:• Procurar mínimos ou máximos de

funcionais.• Funcional:

• Exemplo:Comprimento de arco de curva no plano entre o ponto e .

Φ : {Curvas} → °

(x0 , y0 ) (x1, y1)

Luso 2006

Seja de classe

Cálculo variacional minimiza funcionais da forma

onde

e

Diz-se que:

minimiza a funcional se

Seja de classe

Cálculo variacional minimiza funcionais da forma

onde

e

Diz-se que:

minimiza a funcional se

C1

y*∈C ∀y ∈C : Φ(y*) ≤ Φ(y)

y : x0 , x1[ ] → °

x→ y(x)

C = y: x0 ,x1[ ] → ° : y(x0 ) =y0 ∧y(x1) =y1{ }

Φ :C→ °

y(x)→ F(x,y(x),y'(x))dxx0

x1

∫

y '(x)=dy dx.

Luso 2006

1.1. Equação de Euler-Lagrange1.1. Equação de Euler-Lagrange

Pretende-se minimizar a funcional:

Assume-se que é de classe

Condição necessária para mínimo:

Eq. de Euler-Lagrange

Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.

Pretende-se minimizar a funcional:

Assume-se que é de classe

Condição necessária para mínimo:

Eq. de Euler-Lagrange

Uma curva ao longo da qual é verificada a eq. de Euler-Lagrange chama-se de extremal.

d

dx

∂F∂y'

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=∂F∂y

Φ = F(x, y, y ')dxx0

x1

∫F(x, y, y ') C 2

Luso 2006

1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L.1.1.1. Casos Particulares da eq. de E-L.

1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é,

ou equivalentemente, , a

equação de E-L escreve-se:

2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é,

ou equivalentemente, , a equação

de E-L implica:

1º Caso - Se F não depende explicitamente de y, isto é,

ou equivalentemente, , a

equação de E-L escreve-se:

2º Caso - Se F não depende explicitamente de x, isto é,

ou equivalentemente, , a equação

de E-L implica: F −y'

∂F∂y'=C ∈°

Φ = F(x, y ')dxx0

x1

∫

d

dx

∂F∂y'

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=0 ⇒

∂F∂y'=C ∈°

∂F∂y

= 0

Φ = F(y, y ')dxx0

x1

∫∂F∂x

= 0

Eq. da energiaEq. da energia

Luso 2006

1.1.2. Demonstração do 2º caso particular1.1.2. Demonstração do 2º caso particular

Seja

Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia.

Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e

Seja

Logo, qualquer qualquer extremal verifica a eq. da energia.

Nota 1: O recíproco é verdadeiro se é de classe e

Ψ =F(y, y ') − y '∂F(y, y ')

∂y '

dΨdx=∂F∂y

y'+∂F∂y'

y''−y''∂F∂y'−y'

ddx∂F∂y'=y'

∂F∂y−

ddx∂F∂y'

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C 2

y

y '≠0.

Luso 2006

1.2. Cálculo de Variações - Exemplo1.2. Cálculo de Variações - Exemplo•Exemplo:Comprimento de arco da curva entre eé dado pela seguinte funcional:

Como , e a eq. de E-L é:

As extremais para este problema chamam-se geodésicas.

•Exemplo:Comprimento de arco da curva entre eé dado pela seguinte funcional:

Como , e a eq. de E-L é:

As extremais para este problema chamam-se geodésicas.

y(x) (x0 , y0 ) (x1, y1)

Φ = 1 + y '2dxx0

x1

∫

F(x, y, y ')= 1+ (y'(x))2

d

dx

y '

1+ (y'(x))2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=0

Luso 2006

2. Braquistócrona no plano2. Braquistócrona no plano• O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por

Johann Bernoulli.• Este problema consiste em encontrar a curva que

minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade.

• A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.

• O problema da Braquistócrona foi proposto em 1696 por Johann Bernoulli.

• Este problema consiste em encontrar a curva que minimiza o tempo de queda, entre dois pontos num mesmo plano vertical, de um corpo largado do ponto inicial e sujeito apenas à força da gravidade.

• A publicação da solução deste problema em 1697, assinala o inicio do cálculo de variações.

Luso 2006

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com eSeja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.

Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva

Assumimos que ao longo desta curva se tem

Pelo Teorema da Conservação da Energia

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com eSeja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.

Cálculo do tempo de percurso do corpo pela curva

Assumimos que ao longo desta curva se tem

Pelo Teorema da Conservação da Energia

Ec + Ep=Eci + Epi ⇔12

mv2 +mgh=12

mvi2 +mghi ⇔

v2 + 2gh=0 ⇔ &x2 + &y2 =−2gy⇔ &x2 1+ y'2( ) =−2gy⇔

dxdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

=−2gy1+ y'2

⇔dtdx=1+ y'2

−2gy⇔ t=

1+ y'2

−2gy0

x1

∫ dx

ψ (t) = (x(t), y(t))

&ψ (t) = ( &x(t), &y(t))

(0, 0)(x1, y1) x1 > 0 y1 < 0.

y =y(x).

ψ (t).

v = &ψ = &x2 + &y2

&y =

dydt=

dydx

dxdt=y'&x

Assumindo que y é função de x:Assumindo que y é função de x:

Tempo de percurso entre e ao longo de Tempo de percurso entre e ao longo de x0 =0 x1 y =y(x).

Luso 2006

F −y'∂F∂y'=C⇔ y'=± −

12C2gy

−1 ⇔ y'=± −k2

y−1

∂F∂x

= 0

Seja k2 =1

2C2g

t =1+ y'2

−2gy0

x1

∫ dx F =1+ y'2

−2gy

Pretende-se minimizar a seguinte funcional:Pretende-se minimizar a seguinte funcional:

Como , utiliza-se a eq. da energia.Como , utiliza-se a eq. da energia.

Eq. da energia para o problema da Braquistócrona.Eq. da energia para o problema da Braquistócrona.

y '=dydx=

dyds

dxds⇔

dxds=

dyds

y'

Utilize-se a seguinte mudança de variável:Utilize-se a seguinte mudança de variável:

Pelo teorema da função implícita:Pelo teorema da função implícita:

y '(x)=± −k2

y(x)−1 ⇔

dxds=±

k2

21−coss( ) ⇒ x(s) =

k2

2s−sins( )

Resolução da equação diferencialResolução da equação diferencialy(s)=−

k2

21−coss( )

Luso 2006

A curva paramétrica

satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide.

A curva paramétrica

satisfaz a eq. da energia . Esta curva tem o nome de ciclóide.

Nota 2: É possível mostrar que:

•A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter);

•Essa função é de classe e

•Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal;

•A ciclóide é a única extremal.

•Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.

Nota 2: É possível mostrar que:

•A ciclóide define com função de (expressão difícil de obter);

•Essa função é de classe e

•Pela nota 1 satisfaz a eq. de E-L, pelo que é uma extremal;

•A ciclóide é a única extremal.

•Usando técnicas de controlo óptimo é ainda possível mostrar que a ciclóide minimiza o tempo de percurso.

y x

y x( ) C 2 y '(x)≠0;

y(x)

x(s)=k2

2s−sins( )

y(s) =−k2

21−coss( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

s∈ 0,2π[ ]k∈° \ 0{ }

Luso 2006

Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos

e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.

Vai-se comparar o tempo de queda do corpo pela ciclóide com constante entre os pontos

e o tempo de queda do corpo pela geodésica entre os mesmos pontos.

2.1. Braquistócrona vs. Geodésica2.1. Braquistócrona vs. Geodésica

k =1

(0, 0) x3π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,y

3π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=3π4+12,−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ee

Luso 2006

&x2 + &y2 =−2gy⇔dsdt

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 dx

ds⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=−2gy(s)⇔ t=

dxds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

−2gy(s)0

3π2

∫ ds

Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica.Tempo de queda do corpo numa curva paramétrica.

Como já anteriormente tínhamos visto:Como já anteriormente tínhamos visto:

Tempo de percurso na curva paramétrica.Tempo de percurso na curva paramétrica.

Consideremos a ciclóide com constante entre os pontos eConsideremos a ciclóide com constante entre os pontos e

x(s)=12

s−sins( )

y(s) =−121−coss( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(0, 0)

x3π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟,y

3π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=3π4+12,−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

k =1

dx

ds=121−coss( )

dyds=−

12

sins

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Luso 2006

Tempo de queda do corpo pela recta entre os pontos eTempo de queda do corpo pela recta entre os pontos e

(0, 0)

3π4+12,−12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟.

y =−2

3π + 2x

t =1+ y'2

−2gy0

x1

∫ dx⇔ t=

3π + 2( )2 + 43π + 2( )2

2g2

3π + 2x0

3π4+12

∫ dx⇔ t ; 1.85

Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.Verifica-se que o caminho mais rápido é pela ciclóide, com o tempo de aproximadamente 1,064.

Tempo de percurso pela geodésica.Tempo de percurso pela geodésica.

⇔ t =

1

21− cos s( )

−2g −1

21− cos s( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

3π

2

∫ ds⇔ t =1

2g0

3π

2

∫ ds ; 1,064

Substituindo,Substituindo,

Tempo de percurso pela ciclóide.Tempo de percurso pela ciclóide.

Luso 2006

2.2. Tautócrona2.2. TautócronaQuickTime™ and aAnimation decompressor

are needed to see this picture.

Luso 2006

Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e

Considere-se a ciclóide:

Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e

Considere-se a ciclóide:

x(s)=k2

2s−sins( )

y(s) =−k2

21−coss( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

(0, 0)

x π( ),y π( )( ).

Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por:Analogamente ao que foi feito anteriormente, o tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos e , é obtido por:(0, 0) x π( ),y π( )( )

t =

dxds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

−2gy(s)0

π

∫ ds⇔ t=

k4

2(1−coss)

2gk2

2(1−coss)0

π

∫ ds⇔ t=k2

2g0

π

∫ ds⇔ t=k2

2gπ

Tempo de percurso entre e , largado em Tempo de percurso entre e , largado em (0, 0) (x(π ),y(π )) (0, 0).

Luso 2006

x π( ),y π( )( )x s0( ),y s0( )( ) = x0 ,y0( ) s0 ∈ 0,π] [Tempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos

e com , ondeTempo de queda do corpo pela ciclóide entre os pontos

e com , onde v s0( ) =0.

Formula para o tempo de percurso entre e , largado em Formula para o tempo de percurso entre e , largado em

Ec + Ep=Eci + Epi ⇔12

mv2 +mgh=12

mvi2 +mghi ⇔ t=

dxds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

+dyds

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

2g(y0 −y)s0

π

∫ ds

ψ (t) = (x(t), y(t))

&ψ (t) = ( &x(t), &y(t))

(x0 , y0 )

Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.

Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia,

Seja uma curva parametrizada pelo tempo t e o seu vector velocidade.

Analogamente ao efectuado anteriormente, pelo teorema da conservação da energia,

(x(π ),y(π ))(x0 , y0 ).

t =k2

2g1−coss

coss0 −cosss0

π

∫ ds

Ao longo da ciclóide tem-se:Ao longo da ciclóide tem-se:

Luso 2006

t =k2

2g

sins2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos2s02

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−cos2

s2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

s0

π

∫ ds

⇔ t=k2

2g−2arctan 0( ) + 2arctan +∞( )( ) ⇔ t=

k2

2gπ

1−cos(θ) =2sin2θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos(θ) =2cos2θ2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−1

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas:Utilize-se as seguintes igualdades trigonométricas:

Para concluir que:Para concluir que:

Tempo de percurso entre e , largado em Tempo de percurso entre e , largado em (x0 , y0 ) (x(π ),y(π )) (x0 , y0 ).

Luso 2006

3. Braquistócrona no cilindro vertical

3. Braquistócrona no cilindro vertical

Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e

A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de

Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano.

Comece-se por parametrizar o cilindro vertical no plano

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e

A curva no cilindro terá por coordenadas paramétricas . Assuma-se que é função de

Proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no plano.

Ec + Ep=Eci + Epi ⇔ t=1+ z'2

−2gz0

θ1

∫ dθ

(θ0 , z0 ) =(0, 0)(θ1,z1) θ1 > 0 z1 < 0.

Tempo de percurso entre e ao longo da curva Tempo de percurso entre e ao longo da curva

θ0 = 0 θ1

z =z(θ).

P : 0,2π[ [ ×° → ° 3

(θ,z)→ (cosθ,sinθ,z)

Ψ(t) = x(t), y(t), z(t)( )Φ(t) = θ (t), z(t)( ) z θ.

Luso 2006

De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical:

Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:

De forma análoga ao efectuado no plano obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro vertical:

Prosseguindo-se chegou-se à seguinte curva como solução:

z '=± −k2

z−1

θ(s) =k2

2s − sin s( )

z(s) = −k2

21 − cos s( )

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

s ∈ 0, sk[ ]

k ∈° \ 0{ }

x =cosk2

2s−sins( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

y=sink2

2s−sins( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

z=−k2

21−coss( )

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

s∈ 0, sk[ ]k∈° \ 0{ }

Luso 2006

4. Braquistócrona no cilindro horizontal

4. Braquistócrona no cilindro horizontal

Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal.

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e

Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical.

Analogamente ao problema para o cilindro vertical comece-se por parametrizar o cilindro horizontal.

Considere-se que o corpo que é largado do ponto e chega ao ponto com e

Assuma-se que e proceda-se agora de forma análoga ao efectuado no cilindro vertical.

θ1 > 0 y1 > 0.

P : 0,2π[ [ ×° → ° 3

(θ,y)→ (sinθ,y,cosθ)(θ0 ,y0 ) =(0, 0)

(θ1,y1)

θ =θ(y)

Ec + Ep=Eci + Epi ⇔ t=1+θ '2

2g(1−cosθ)0

y1

∫ dy

Tempo de percurso entre e ao longo da curva Tempo de percurso entre e ao longo da curva

y0 =0 y1

θ =θ(y).

Luso 2006

Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal:

Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:

, i. e.

Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para

Pelo teorema da função inversa:

Obtem-se que:

Analogamente obtem-se a eq. da energia para o problema da Braquistócrona no cilindro horizontal:

Utilize-se agora a seguinte mudança de variável:

, i. e.

Nota 3: Quando , logo o ponto de partida verifica-se para

Pelo teorema da função inversa:

Obtem-se que:

θ ' = ±k2

1 − cosθ−1

1−cosθ =k2

21−coss( )

dθds=

k2

2sinssinθ

dθdy

dyds=

dθds⇔

dyds=

dθdsdθdy

s =0 ⇒ θ =0s =0.

dy

ds=±

1−coss

−1+ coss+4k2

Luso 2006

Realize-se agora a seguinte mudança de variável

i. e.

Obtem-se que:

Se

Se

Realize-se agora a seguinte mudança de variável

i. e.

Obtem-se que:

Se

Se

u =coss

dy

du=

dyds

dsdu⇔

dydu=m

1

−1+u+4k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1+u( )

ds

du=−

1

1−u2

k2 =2 :

y(u)=mln(1+u) +C

k2 ≠2 :

y(u)=mln2 + k2u+ k u2k2 + 4u−k2 + 4

k2⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +C

Luso 2006

Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica.

Se

Se

Como devemos ter , determina-se a constante , e obtem-se a solução paramétrica.

Se

Se

k2 =2 :θ(s) = arccos 1 −

2

21 − cos s( )

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= s

y(s) = ± ln1 + cos s

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

k2 ≠2 :

θ(s) = arccos 1−k2

21− cos s( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

y(s) = ± ln2 + k2 cos s + k k2 cos2 s + 4 cos s − k2 + 4

k2 + 2 2k + 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

s ∈ 0, arccos 1−4

k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

θ 0( ), y 0( )( ) = 0, 0( )C

Luso 2006

Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução:

Se

Se

Finalmente obteve-se a seguinte curva como solução:

Se

Se

k2 =2 :x(s)=sins

y(s) =−ln1+ coss2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

z(s) =coss

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

k2 ≠2 :

x(s)=sin arccos 1−k2

21−coss( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

y(s) =−ln2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4

k2 + 2 2k+ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

z(s) =cos arccos 1−k2

21−coss( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

s∈ 0,arccos 1−4k2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎡

⎣⎢

Luso 2006

4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal

4.1. Braquistócrona crescente no cilindro horizontal

Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ?

Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:

Se é ou não possível estender a braquistócrona para além de ?

Defina-se o seguinte ramo direito para a Braquistócrona:

k2 < 2

θD (s) = arccos 1−k2

21 − cos s( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

yD (s) = −2 ln2 − k

2 + k

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ln

2 + k2 cos s + k k2 cos2 s + 4 cos s − k2 + 4

k2 + 2 2k + 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

s =π

s ∈ π,2π[ [

Luso 2006

Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades:

•Define com função de

• satisfaz a eq. da energia

• é de classe

•

•Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita;

Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.

Nota 4: Mostrámos que a curva paramétrica estendida tem as seguintes propriedades:

•Define com função de

• satisfaz a eq. da energia

• é de classe

•

•Logo pela nota 1 a eq. de Euler-Lagrange é satisfeita;

Logo conclui-se que a curva ainda é uma extremal do problema da braquistócrona no cilindro horizontal.

θ(y) F −θ '∂F∂θ '

=C;

θ y;

C 2;

θ '(y) ≠ 0;

θ(y)

Luso 2006

Curva paramétrica para :Curva paramétrica para :

x(s)=sin arccos 1−k2

21−coss( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

y(s) =−ln2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4

k2 + 2 2k+ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

z(s) =cos arccos 1−k2

21−coss( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

s∈ 0,π[ [

k2 < 2

xD (s)=sin arccos 1−k2

21−coss( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

yD (s) =−2 ln2 −k2 + k

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟+ ln

2 + k2 coss+ k k2 cos2 s+ 4 coss−k2 + 4k2 + 2 2k+ 2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ s∈ π,2π[ [

zD (s) =cos arccos 1−k2

21−coss( )

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

Luso 2006

BibliografiaBibliografia

•Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968.

•Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986.

•Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976.

•Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.

•Clegg, J. C., “Calculus of variations”, Oliver & Boyal, 1968.

•Davis, F. Soares, “O cálculo variacional clássico e algumas das suas aplicações à física matemática”, EDP - Eletricidade de Portugal, 1986.

•Makaremko, G. I. e Kiseliov, A. I., “Calculo Variacional: (Ejemplos y problemas)”, MIR, 1976.

•Hector J. Sussmann and Jan C. Willems, “300 Years of Optimal Control: from the Brachystochrone to the Maximum Principle”.