ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Luan Guerra

4º semestre

CADERNOCADERNO

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AvisoEsse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.

Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.

ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.

CADERNO+

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

População

População é conjunto de elementos sobre os quais queremos informações.

Ex.: Paulistanos, veículos, cães abandonados, produtos para vender.

Amostra

Uma parte do conjunto (sub-conjunto) da população.

Ex.: Moradores da Paulista, raça de cães, final de placa.

Variável

É a característica que queremos estudar.As variáveis podem ser:

QualitativaOs valores são qualidades ou atributos.

QuantitativasOs valores são quantidade.

VariávelDefiniDefiniççãoão

As variáveis qualitativas pode ser ordinal (possui ordem natural) ou nominal (não possui ordem natural).

As variáveis quantitativas pode ser discreta (assume valores exatos) ou contrários (assume valores aproximados).

Exemplo: População de cães abandonados.

Exemplos

Variáveis QualitativasQualitativas: Ordinal – Porte, sizeNominal – raça, cor

Variáveis QuantitativasQuantitativas:Discreta – Nº de dentesContínua – Peso, altura

Variações

Quantitativa ContínuaQuantitativa Discreta

Qualitativa OrdinalQualitativa Nominal

ClassificaçãoExercício

Moradores de uma cidade

Camisetas à venda em uma lojaV. Quant. Discreta: PreçoV. Qual. Nominal: Marca, corV. Qual. Ordinal: Tamanho

Alunos desta sala

Índices, coeficientes e taxas

• Os índices são razões entre duas grandezas tais que uma não inclui aoutra.

Numerador é uma coisa e denominador é outra coisa..são coisas separadas.

Exemplos

Densidade demográficaDivide a população pela superfície.

Produção per capitaValor total da produção dividido pela população

Renda per capitaValor total da renda dividido pela população

• Os coeficientes são razões entre o numero de ocorrências e o numero total (a soma dos números de ocorrências e de não ocorrências).

São razões entre partes e o todo.

• Coeficiente de natalidadeNúmero de nascimentos dividido pela população, ou seja, é um subconjunto dentro de um conjunto.

• Coeficiente de mortalidadeNúmero de óbitos dividido pela população.

• Coeficiente de Evasão EscolarNúmero de alunos evadidos dividido pelo numero inicial de matriculas

• As taxas são coeficientes multiplicados por uma potencia de 10, para tornar o resultado mais inteligível.

• Exemplo: em cada 200 celulares vendidos, 4 apresentam defeito..

• Coef. de defeitos = 4/200 = 0,02

• Taxa de defeitos = 2% ... é quando émultiplicado por 100.

• Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000

• Taxa de mortalidade = coeficientes de mortalidade x 1000

• Taxa de evasão escolar = coeficientes de evasão escolar x 100

Exercício

• O estado A apresentou 733.986 matriculas no 1ºano no inicio de 2009 e 683.816 no final do ano.

O estado B apresentou, respectivamente, 436.127 e 412.457 matriculas. Qual estado apresentou maior evasão escolar?

Evasão estado A: 6,8%

Evasão estado B: 5,5%

Resolução

Estado B

Estado A

Técnicas de Descrição Gráfica

• Considere uma população ou amostra com N elementos (ou o numero de dados), em que está sendo estudada determinada variável.

• Considere que K é o numero de valores diferentes que esta variável pode assumir:

• Definimos a FREQUÊNCIA (f) de um valor como o numero de vezes que ele foi observado.

N: tamanho da população ou amostra, em que consideramos uma variável.K: quantidade de valores diferentes que a variável assume.Fi: é a frequência do i-ésimo valor.

Exemplo

• Perguntou-se para 10 pessoas quantos irmãos elas tinham, e as respostas foram:

0,1,2,2,1,0,3,6,1,0 (variável quantitativa discreta)

Exemplo

N: 10 : quantidade de númerosK: 5 : quantidade de variáveis

Fi: temos 5 freqüências;

F1: Freq do 0: 3 (quantidade de 0s)F2: Freq do 1: 3F3: Freq do 2: 2F4: Freq do 3: 1F5: Freq do 4: 1

• Soma-se as freqüências e tem que dar 10 (n)

• Definimos a freqüência relativa Fr (ou proporção) de um valor como o quociente da sua freqüência pelo numero de dados.

• Assim: Fr1 = F1 / N

Exemplo:

Fr1: 3/10: 0,3Fr2: 3/10: 0,3Fr3: 2/10: 0,2Fr4: 1/10: 0,1Fr5: 1/10: 0,1

Somando todas as Frs...da 1..assim como 100%

ExemploCálculo de Frequências

De 50 funcionários:

30 são solteiros, 15 são casados, 3 separados e 2 viúvos.

QUALITATIVA

QUALITATIVA

Resolução

N: 50K: 4

F1: 30 solteirosF2: 15 casadosF3: 3 separadosF4: 2 viúvos

Frequência Relativa

Fr1: 30/50 = 0,6 = 60%

Fr2: 15/50 = 0,3 = 30%

Fr3: 3/50 = 0,06 = 6%

Fr4: 2/50 = 0,04 = 4%

Tabelas(IBGE)

1. Formulação:

• Título• Dados• Cabeçalho• Coluna• Indicadores

Modelo Tabela

Séries Estatística

• Cronológica ou históricaFunção do local

• Espacial ou geográficaFunção do lugar

• Específica ou categóricaFunção da espécie

Representação gráfica das variáveis qualitativas

• Modelos:Colunas ou Barras

ModeloGráfico

• Tipo pizza ou Circular

Descrição Gráfica dos Valores Quantitativas Discretas

Ex.: Perguntou-se para 10 pessoas quantos folhas elas tinham e as respostas foram:

Exemplo

GráficoTipo Barra

Tabela 1

012345

1 2 3 4

Nº Folhas

Fre

qu

ênci

a

GráficoTipo Pizza

Frequência Acumulada

Frequência Acumulada Gráfico

Tabelo 2

Observação

21,4 [21,35 ; 21,45]

Possui cincocinco termos nesse intervalo.

Histograma

Característica Numérica Distribuição de Frequência

x = variável quantidade

x1 = i-ésimo valor da variável x

Medidas de Posição servem para localizar os dados na reta real.

Exemplo

Ex.: Idade de 5 pessoas:

18, 22, 25, 21 e 24x1, x2, ...

X = IdadeN = 5

x = 18 + 22 + 25 + 21 + 25

5

x = 110 / 5 = 22 idade média

Calculando a Média - HP12CHP12CPodemos usar as teclas de funções estatísticas da calculadora HP12C para calcular a média de uma série de dados da forma abaixo (refazendo o último exemplo):

‘f’ ∑ (limpa as memórias estatísticas)18∑+ (insere o primeiro dado)22∑+ (insere o segundo dado)25∑+ (insere o terceiro dado)21∑+ (insere o quarto dado)24∑+ (insere o quinto dado)‘g’ (a média aparecerá no visor)

As memórias R1 a R6 guardam algumas informações associadas à série de dados que forem inseridos. Na memória R1 temos o valor n, em R2, ∑x e em R3, ∑x2. No nosso exemplo, como entramos com apenas uma série de dados, as memoras R4 a R6 não fazem sentido.

Fórmula

Calculando na Frequência

Exercício

A última fórmula é a média ponderado, onde as frequência são os pesos.

Ex.: Calcular a média de 3 provas, onde P1 = 5, com peso 3, P2 = 4, com peso 2 e P3 = 8, com peso 5.

M = 5.3+4.2+8.5/3+2+5 = 63/10 = 6,3

Exercício

x . n² de definição de cada calculando...

Fórmula

Exemplo (Média de dados agrupados em classe de frequência)

Tabela de salários por hora:

Resolução

Média Ponderada

Exercício

Propriedade da Média

Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante C, a média fica multiplicada por esta constante.

Exercício

Exercício II

Soma

• Somando-se uma constante C a todos valores de uma variável, a média fica somada desta constante:

Resolução

Mediana (Md)

• É o valor central (ou média dos valores centrais) dos dados ordenados.

OBS: Deixar na ordem crescente

Resolução

Definindo a média

Exercício II

Exercício III

Exercício IV

Mediana de dados Agrupados

Exemplo: Considere a tabela abaixo, que lista a altura de 40 pessoas:

Medida de Dados Agrupados

Dados

L* = Limite inferior de classe mediana

F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe mediana

h* = amplitude da classe mediana

f* = frequência de classe mediana

Número de divórcios de acordo com o tempo de casamento

Exercício

f*L*

Mediana

Md E 0 6

=

Classe mediana

Md = 5,36 anos

Resposta

Isto é, dos 5000 casamentos que acabaram em divórcios, metade durou até 5,36 anos e

a outra metade durou mais de 5,36.

Quantis

Um quantil de ordens p1 ou p – quantil (q (p)), onde p é uma proporção (0 < p < 1), é uma medida tal que 100.p% dos valores ficam abaixo dele.

0,25%

0,6%

q (0,25)

q (0,6)

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

q(0,25) = ?

P. n = 0,25 . 10 = 2,5

Queremos á posição 2,5 que está entre o 2º e o 3ºdados.

q(0,25) = 10 + 15/2 = 12,5

Exercício

X1, x2, x3

0,25

Quantis especiais

q(0,25) = 1º quartil = q1

q(0,50) = 2º quartil = q2 = md

q(0,75) = 3º quartil = q3

Quantis de dados agrupados

Dados

• L* = Limite inferior de classe do quantil

• F(ant) = frequência acumulada da classe anterior à classe quantil

• h* = amplitude da classe do quantil

• f* = frequência de classe do quantil

Exemplo

q(0,60) = ?

n = 5000p = 0,60

P . n= 3000

Portanto q (0,60) E

Localização

Resolução

Resposta

Isto é, 60% casamentos duraram até 6,86 anos e

40% duraram mais.

Exercício

Exercício

Resposta

Isto é, 87% casamentos duraram até 13,5 anos e 13% duraram mais.

Moda

É o (s) valor (es) mais frequentes.

Bi-Moda

Utiliza-se as os números

mais evidentes.

Esquema dos 5 mínimos

X1 = Menor número dos dados:

q1 = 1º quartil = q(0,25)q2 = 2º quartil = q(0,50)q3 = 3º quartil = q(0,75)

Xn = maior número

Quadro

q1 q2 q3

x1 x2

Exemplo

1, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 25

x1 = 1xn = 25

q1 = p.n = 0,25 . 10 = 2,5

Queremos a posição 2,5

Resolução

x1 = 1xn = 25

q2 = p.n = 0,5 . 10 = 2,5

Queremos a posição 5

Resolução

x1 = 1xn = 25

q3 = p.n = 0,75 . 10 = 7,5

Queremos a posição 7,5

Quadro

5,5 8,5 10,5

1 25

Box Plot

Qd

Qd = distância interquartil

Qd = q3 – q1

LS = Limite superior = q3 + 3/2 . qd

LІ = Limite inferior = q1 - 3/2 . qd

Box Plot

Exemplo

Qd = q3 - q1 = 10,5 - 5,5 = 5

LS = q3 – (3/2 . Qd) = 10,5 + 3/2 . 5 = 18

LI = q1 – (3/2 . Qd) = 10,5 - 3/2 . 5 = -2

Gráfico

Medidas de Dispersão

Indicam a quanto os dados estão dispersão:

Calculando a Amplitude

Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10

R = 10 – (-3) = 13

Variância (s²)

É a média dos quadrados das diferenças entre os valores e a média.

Ou seja,

Tabela

)

Calculando a variância:

Exemplo: -3, -2. 0, 5, 10

X = (-3, -2, +0, + 5, + 10) / 5(Termos) = 2

Variação = (-3 -2)² + (-2 -2)² + (0 -2)² + (5 -2)² + (10 - 2)² =?

Variação = 25 + 16+ 4 + 9 + 64 / 5 = 23,6

Exercícios

5, 5, 5, 5, 5

X = 5

Variação = 0

Exercícios

3, 4, 5, 6, 7

X = 5

Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²+ (7 - 5)²

Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2

Exercícios II

3, 4, 5, 6, 7

X = 5

Variação = (3 -5)² + (4 -5)² + (5 -5)² + (6 -5)²+ (7 - 5)²

Variação = S² = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 / 5 = 2

Exercícios III

• 4, 4, 5, 6, 6

X= 5

Variação = (4 -5)² + 2. (5 + 5)² + (7 - 5)² .

Variação = S² = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 1 / 5 = 4/5 = 0,8

Observação

• Quando maior variação, mas dispersos estão os dados.

Propriedades

A variância também pode ser calculada através da seguinte fórmula:

Exemplo

xMédia

Efetuando a variação

• Variação: 155/30 –2,17² = 0,4578

Multiplicando-se os dados por C = constante, a variação fica multiplicada por:

Somando-se uma constante C aos dados, a variância:

Variância

1) A fórmula de S² que de demos é a variância de uma populãção.A variância da amostra tem o denominador -1 ao invés de n.

2) A unidade de S² é a unidade de X ao quadrado.Se X é dado em cm, S² é dado em cm².

Desvio-Padrão

S =

O desvio-padrão está na mesma unidade de x.

Tirar a raiz quadrada

Coeficiente de Variação

Exercício

• Erros de impressão em 50 páginas aleatórios de um livro.

Questões:

a) Qual o nº médio de erros por página?b) E o nº mediano?c) E a variância?d) E o desvio-padrão?e) E o coeficiente de variação?f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nº

esperado do erros?

Resolução

?

FResolução

XfResolução

X²fResolução

Nº médio de errosResolução

Nº MedianoResolução

VariânciaResolução

Desvio-PadrãoResolução

e)

f)

f) Se o livro tiver 500 páginas, qual o nºesperado do erros?

Exercícios

• O Departamento Pessoal da firma X fez o levantamento dos salários dos 120 funcionários (em números de salários mínimos) e obteve os resultados da tabela abaixo:

ExercícioLista Revisão

Tabela - Exercício

Pede-se:

• Quantos funcionários estão na faixa 4 6 salários mínimos?

• Esboce o histograma.• Calcule a média, a amplitude, a variância e o desvio-

padrão.• Calcule o primeiro quartil e a mediana.• Se for concedido um aumento de 100% a todos os

funcionários, haverá alteração na média? E na variância?

• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?

Resolução

1º Criar tabela

TABELA

a)

Quantos funcionários estão na faixa 4 6 salários mínimos?

Resposta: 24

b)

Esboce o histograma.

30

48

2418

0

10

20

30

40

50

60

0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 10

Frequência

c)

Calcule a média, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e cv.

Média

x = 438/120 = 3,65 salários mínimos

c)

• AmplitudeR = Xmax. - Xmín. = ?

R = Xmáx. - Xmín. = 10 – 0 = 10

c)

• Variância (s²)

S² = 2214/120 – 3,65² = 5,13 (s.m.)²

c) Desvio-Padrão

c)

d)

Calcule o primeiro quartil e a mediana.

Fórmula para calcular quantil quando o exercício tiver intervalo.

Resolução

x1 = 1xn = 120

q1 = p.n = 0,25 . 120 = 30

Queremos a posição 30

Resolução

Portanto a média pertence ao intervalo 2 – 4.

MD

e)

• Se for concedido um aumento de 100% a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?

Resposta: A mA méédia serdia seráá dobrada. dobrada. A A variância se quadruplicarvariância se quadruplicaráá..

f)

• Se for concedido um aumento de um salário mínimo a todos os funcionários, haverá alteração na média? E na variância?

Resposta: A mA méédia subirdia subiráá (1) sal(1) saláário rio mmíínimo. nimo. A variância não mudarA variância não mudaráá..

EXERCÍCIO + RESOLUÇÃO

RevisãoEstatEstatíística Descritivastica Descritiva

Exercícios One1) Quais são os tipos de variáveis que

existem? Dê um exemplo de cada tipo para a população carros à venda em uma concessionária.

Resolução

Variável é a característica de interesse que é medida em cada elemento da amostra; Como o nome diz, seus valores variam de elemento para elemento. As variáveis podem ter valores numéricos ou não numéricos e serem classificadas da seguinte forma:

ResoluçãoContinuação

Variáveis QuantitativasSão as características que podem ser medidas em uma escala quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido. Podem ser contínuas ou discretas.

Variáveis contínuas são características mensuráveis que assumem valores em uma escala contínua (na reta real), para as quais valores fracionais fazem sentido. Usualmente devem ser medidas através de algum instrumento. Exemplos: Peso (balança), altura (régua), tempo (relógio), pressão arterial, idade.

Variáveis discretas são características mensuráveis que podem assumir apenas um número finito ou infinito contável de valores e, assim, somente fazem sentido valores inteiros. Geralmente são o resultado de contagens. Exemplos: Número de filhos, número de bactérias por litro de leite, número de cigarros fumados por dia.

ResoluçãoContinuação

Variáveis QualitativasSão as características que não possuem valores quantitativos, mas, ao contrário, são definidas por várias categorias, ou seja, representam uma classificação dos indivíduos. Podem ser nominais ou ordinais.

Variáveis nominais não existe ordenação dentre as categorias. Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/não fumante, doente/sadio.

Variáveis ordinais existe uma ordenação entre as categorias. Exemplos: escolaridade (1o, 2o, 3o graus), estágio da doença (inicial, intermediário, terminal), mês de observação (janeiro, fevereiro,..., dezembro).

ResoluçãoContinuação

Dê um exemplo de cada tipo para a populaDê um exemplo de cada tipo para a populaçção carros ão carros ààvenda em uma concessionvenda em uma concessionáária.ria.

Podemos relacionar os tipos para a população de carros a venda em uma concessionária na forma das seguintes variáveis:

Variáveis QuantitativasDiscreta: Preço, portas, lugares, donos.Contínua: Tamanho em metros, peso.

Variáveis QualitativasNominais: Cor, modelo, tipo de combustívelOrdinais: Ano de fabricação

Exercícios Two2) Considere a tabela abaixo onde estão listadas as notas de 40

alunos:Nota f

5 106 87 98 69 510 2

(a)Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação;

(b)Faça um diagrama em barras.

TABELA

a)

Calcule a média, a mediana, a moda, a amplitude, a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação.

MédiaResolução

x = 275/40 = 6,85 notas/alunos

MedianaResolução

40 termos

ModaResolução

AmplitudeResolução

Variância (S²)Resolução

S²

Desvio-padrãoResolução

Coeficiente de variaçãoResolução

b)

Faça um diagrama em barras:

Exercícios

O que acontece com a mediana, a média, o desvio-padrão e a variância de uma série de dados quando:

Cada observação é multiplicada por 2?A média, a mediana e o desvio padrão ficaram multiplicados por 2, ou seja, dobrará. Já a variância se quadruplicará.

Soma-se 10 a cada observação? A média e a mediana ficam somadas com 10, o desvio padrão e a variância não se alteram.

Subtrai-se a média de cada observação?A média e a mediana ficam igual a zero e o desvio padrão não se altera.

Exercícios

Na companhia A, a média dos salários é R$ 6.000,00 e o terceiro quartil é R$ 3.000,00.

a)

Se você fosse um candidato a trabalhar nesta companhia e o seu futuro salário fosse escolhido ao acaso entre os salários pagos atualmente pela companhia, o que seria mais provável, ganhar mais ou menos de R$ 3.000,00?

Resolução

O candidato receberámenos de R$ 3000, pois 75% dos funcionários dessa empresa ganham atéesse valor.

75%

b)

Suponha que na companhia B a média dos salários é R$ 4.000,00 e a variância quase zero, e que você também se apresenta como candidato. Se o seu futuro salário também fosse escolhido ao acaso entre os salários pagos atualmente, em qual companhia você preferiria trabalhar?

Resolução

Nessa avaliação a empresa B é mais viável, pois a maioria dos trabalhadores ganham mais de R$ 4000.

Probabilidade

Probabilidade

Natureza

Fenômenos determinístico: nas mesmas condições, os resultados são o mesmo.Exemplo:Exemplo: A água sempre ferve a 100 ºC ao nível do mar.

Fenômenos aleatório: nas mesmas condições, o resultado é imprevisível.Exemplo:Exemplo: Duas laranjas no mesmo pomar dão produções diferentes.

Detalhes

Um experimento aleatório é um fenômeno aleatório produzido pelo homem.

Exemplo: Jogar um dado; Jogar uma moeda; Tirar uma carta do baralho; Sorteio da Mega Sena.

Conjunto

O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório é chamado de espaço amostral. (Ω ou ).

Ex.: Jogando um dadoΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Ex.: Jogando 2 moedas, C= Cara, R = CoroaΩ = (C,C); (C,R); (R,C); (R,R)

Um evento é qualquer subconjunto de Ω.

Exemplo: Jogando um dado, descreva:Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Exemplos

A) nº par A = 2, 4, 6

B) nº menor que 4 B = 1, 2, 3

C) nº menor que 2 C = 1 Evento Unitário

D) nº menor que 7 D = Ω Evento Certo

E) nº maior que 6 E = 0 Evento Impossível

Operações com Eventos Aleatórios

Ω = e1, e2, ..., en, A, B e C Ω

UniãoA υ B = ei Ω/ ei A ou ei B)

Ω

InterseçãoA ∩ B = ei Ω / ei A e ei B)

Ω

DiferençaA - B = ei Ω / ei A e ei B)

Ω

Complementação- Ac = Ā = Ω – A ei Ω / ei A)

Frequência Relativa

• Se, em n tentativas do experimento, o evento A ocorreu m vezes, tempos a frequência relativa de A:

f(A) =

Exemplos

Jogamos 20 x 1 dados e obtivemos 8 pares.

Então: f(par) = 8/20 = 0,40

Obs: A frequência (f) está sempre entre 0 e 1.

Definição

• 1º P(A) =

• Se Ω é finito e seus elementos tem a mesma chance de ocorrer:

EXERCEXERCÍÍCIO CIO DE DE

PROBABILIDADEPROBABILIDADE

ExercíciosExercícios do Capítulo 5 do livro “Estatística Básica” de Bussab e Morettin

Uma urna contém duas bolas brancas e três bolas vermelhas. Retira-se uma bola ao acaso da urna. Se for branca, lança-se uma moeda, se for vermelha, ela édevolvida à urna e retira-se outra.

a) Dê o espaço amostral do experimento:

Ω = Espaço Amostral = Resultado do Experimento

b)

Lance um dado até que a face 5 apareça pela primeira vez. Enumere os possíveis resultados do experimento.

Exercício One

Três jogadores, A, B e C disputam um torneio de tênis. Inicialmente, A joga com B e o vencedor joga com C, e assim por diante. O torneio termina quando um jogador ganha duas vezes seguidas ou quando são disputadas, ao todo, quatro partidas.

Quais são os resultados possíveis do torneio?

Resolução

Exercício TwoTwo

Duas moedas são lançadas, dê o espaço amostral.

Exercício ThreeThree

Um dado e uma moeda são lançados, dê o espaço amostral.

Exercício FourFour

Dê o espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios:(a) Lançamento de dois dados – anota-se a configuração obtida;

c)

Em famílias com três crianças, anota-se os sexos;

e)

Mede-se a duração de lâmpadas, deixando-as acesas até que se queimem;

g)

Lança-se uma moeda até que apareça cara pela primeira vez, e anota-se o número de lançamentos;

Exercícios FiveFiveExpresse em termos de operações de eventos:

a) A ocorre mas B não ocorre;

Ω

AA--BB

b)

Exatamente um dos eventos A e B ocorre;

AUB AUB -- AA∩∩B = (AB = (A--B) U (BB) U (B--A)A)

c)

Nenhum dos eventos A e B ocorre.

(AUB)(AUB)C C = = ΩΩ -- (AUB)(AUB)

Ω

Probabilidade Condicional

Exercício

Consideraremos os 250 alunos de uma escola de línguas, distribuídos nos cursos de inglês e espanhol da seguinte maneira:

Sorteando-se um aluno ao acaso, qual a probabilidade que curse espanhol, dado que é do sexo feminino?

Resolução

• Sorteando um aluno ao acaso, calcule as probabilidades:

P(E) =

P(F) =

P(E∩F) =

Estudo

• Estudar espanhol, dado que é do sexo feminino.

P(E/F) = =

=

Ω

Probabilidade Condicional

A, B, C Ω

Definimos a probabilidade condicional de A, dado que B ocorre por:

, se

P(A/B)DiagramaDiagrama

Ω

ExercícioΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6

ExercícioΩ = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6C = 3, 4, 5, 6

Teorema do Produto

Exercício One

Uma urna possui 5 bolas cinzas e 6 pretas. Retira-se duas, sem reposição.

Calcule a probabilidade de:

a) Ambas serem cinzasb) Casa uma de uma cor

Resolução

a)Teorema do ProdutoTeorema do Produto

b)Teorema do ProdutoTeorema do Produto

=

Exercício Two

Jogamos um dado, e se sair 1 ou 2, tiramos uma bola da urna 1 (que tem 5 cinzas e 3 pretas), e se sair 3, 4, 5 ou 6, tiramos uma bola da urna 2 (3 cinzas e 2 pretas).

Qual a probabilidade da bola retirada ser cinza?

Resolução

Resolução OBSERVAÇÃO

C = Cor Cinza

Resultado

Exercício Three

Idem One a), com reposição:

Eventos Independentes

A, B, C ΩA e B são independentes se:

P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)

Logo, P(A∩B) = P(A). P(B)

Exemplo

Utilizando os exercícios One e Two, os eventos são dependentes, já no exercício Three, ele é independente.

Exemplos:

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6A = 2, 4, 6B = 2, 3, 4, 5, 6C = 3, 4, 5, 6

A e B são dependentes

A e C são independentes

Probabilidade Condicional

ExercExercíício de Probabilidadecio de Probabilidade

ExtraExtra

Exercício One

Em uma cidade do interior do Brasil, a probabilidade de que um habitante escolhido ao acaso tenha televisão em casa é 11/12. Já a probabilidade de esse habitante ser um comerciante é 1/11. Escolhendo um habitante dessa cidade ao acaso, qual a probabilidade de que ele tenha televisão em casa e seja comerciante?

Resolução

Exercício Two

Alguns professores estão prestando concurso para dar aulas em uma escola. Inicialmente, eles farão uma prova escrita e, depois de serem aprovados nessa prova, farão uma prova prática. Aquele que for aprovado na prova prática será contratado. Sabendo que a probabilidade de aprovação na prova escrita é1/4 e de aprovação na prova prática (depois de ser aprovado na escrita) é 2/3, calcule a probabilidade de que um professor, escolhido ao acaso, seja contratado.

Resolução

Exercício Nine

No exame para tirar a carteira de motorista, a probabilidade de aprovação na prova escrita é9/10 . Depois de ser aprovado na parte teórica, há uma prova prática de direção. Para os que já passaram no exame escrito, a probabilidade de passar nessa prova prática é2/3. Qual a probabilidade de que, escolhido um candidato ao acaso, ele seja aprovado em ambas as provas escrita e prática e tire a carteira de motorista?

Resolução

Exercício Twelve

Em uma sala de ensino médio, 12 alunos gostam de vôlei, 13 gostam de futebol, 5 gostam dos dois esportes e outros 10 não gostam nem de vôlei nem de futebol. Sabendo que a turma tem 30 alunos, qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, goste de vôlei ou de futebol?

Resolução

n = Número de Alunos

Resolução

Exercício

Na experiência de jogar, aleatoriamente, um dado "honesto" de seis faces numeradas de 1 a 6, verificar se os eventos "número dois" e "número par" são independentes.

Resolução

Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6

A = 2, 4, 6

B = 2

Resolução

Resolução

LISTA Probabilidade

Exercício One

(MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:

Resolução

Resposta

c) 12/25c) 12/25

Exercício Two

(MPU/2004) Carlos sabe que Ana e Beatriz estão viajando pela Europa. Com as informações que dispõe, ele estima corretamente que a probabilidade de Ana estar hoje em Paris é 3/7, que a probabilidade de Beatriz estar hoje em Paris é 2/7, e que a probabilidade de ambas, Ana e Beatriz, estarem hoje em Paris é 1/7. Carlos então recebe um telefonema de Ana, informando que ela está hoje em Paris. Com a informação recebida pelo telefonema de Ana, Carlos agora estima corretamente que a probabilidade de Beatriz também estar hoje em Paris é igual a:

Resolução

Resposta

b) 1/3b) 1/3

Exercício Three

(MPU/2004) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível de óleo é de 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é de 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão nos pneus éigual a:

Resolução

Resposta

e) 0,65e) 0,65

Teoria da Probabilidade Totale

Teo de Bayes

Motivação: Suponha uma população em que 1% possua determinada doença. Existe em teste para detectá-la que dáprobabilidade de falso-positivo de 1% e de falso-negativo de 1%.

Testes

Exercício

Uma pessoa fez o teste e de positivo. Qual a probabilidade dela estar doente, isto é P( / ) = ?

P(doente/positivo) = ?

Resolução

Resolução

• Obs: A1, ..., An são uma partição de Ω, se:

Exemplo

Ω = 1, 2, ..., 6A1 = 1, 2A2 = 3, 4, 5A3 = 6

Fórmula

Calculando

A1 = Sadia, A2 = Doente, B = Positivo

Resolução

ExercícioTeorema de Teorema de BayesBayes

Resumo

• Uma caixa com TRÊS moedas:

1º Honesta2º Com DUAS caras3º Com probabilidade de cara 1/5

P(2ª / c) = ?C = CARA

R = COROA

Resolução

Fórmula

Variáveis Aleatórias Discretas

Introdução

Exemplo

Lançam-se 3 moedas. Seja X: número de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição de probabilidade de X.

Resolução

Definição

•• VariVariáável Aleatvel Aleatóória (v.a)ria (v.a) é a função que associa a todo evento pertencente a uma partição do espaço amostral um único número real.

• A variável aleatória é discreta quando assume valores em um conjunto finito ou enumerável.

Variáveis Aleatórias Discretas

Função de Probabilidade é a função que associa a cada valor assumido pela variável aleatória a probabilidade do evento correspondente, isto é:

Ao conjunto (xi, p(xi)) i = 1, ..., n é a distribuição de probabilidades.

Observação

Exemplo

• Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, sem sem reposireposiççãoão, e defina a variável X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

URNA

Resolução

X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS

Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.

Exemplo

• Considere uma urna contendo 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Retire 2 bolas, com com reposireposiççãoão, e defina a variável X: nº de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X.

URNA

Resolução

Ao somar os numerados (circulados) o resultado será o denominador.

X = QUANTIDADE DE BOLAS PRETAS RETIRADAS

Exercício

• Lança-se uma moeda até que saia cara pela 1º vez X: nº de lançamentos

Resolução

Esperança Matemática(Valor médio ou Média)

Uma seguradora cobra R$1.000 por carro e paga R$ 30000 em caso de sinistro (o que ocorre 3% das vezes).

Quanto ela espera ganhar em média, por carro?

Resolução

ResoluçãoMédia

Observação: Resolução a partir da frequência

ResoluçãoProbabilidade

Observação: Resolução a partir da probabilidade.

FórmulaResolução Probabilidade

Esperança Matemática(Valor médio ou Média)

Podemos definir mediana, moda, variância e desvio-padrão, de forma similar à feita em distribuição de frequência, mas usando p(xi) no lugar de fi/n.

ObservaçãoNotação da variância: o²x, o²(x), o².

DistribuiçõesVariáveis

Distribuição de Bernoulli

• Experimento com somente duas possibilidades:

SUCESSO (S)FRACASSO (F)

X: nº de sucessos em 1 jogada.

Distribuição Geométrica

• Experimento com somente duas possibilidades:

SUCESSO (S)FRACASSO (F)

X: nº de tentativa até 1 S.

Distribuição Binomial

• Experimento com somente duas possibilidades:

SUCESSO (S)FRACASSO (F)

Você estabelece um quantidade e verifica quanto saio no final da verificação.

Variável Aleatório Contínua

É uma v.a. que assume valores em um intervalo contínuo.

Exemplo:

X → Alturacm de um grupo de pessoas.

Funções Densidade de Probabilidade

Seja X uma v.a. contínua A função densidade de probabilidade é a função f(x) tal que:

a) f(x) > 0, para todo x Rx = valores assumidos por x

b) Rx f(x) dx = 1

Além disto, para a, b, е Rx, a < b.

P(a < x < b) = f(x) = dx

Distribuição NormalModelos de Distribuição Contínuas

É a distribuição normal Z , que tem média. O e desvio-padrão 1.Qualquer distribuição normal x com média µ e desvio-padrão o pode ser transformado em Z através de mudança de variável.

Exemplos

Distribuição Normal

Quanto menor o formato do “sino” maior será a aproximação dos dados avaliados.