COLÉGIO MILITAR DE SANTA MARIA

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA

Preparação para o Colégio Naval (CN) e para a

Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr)

Caderno de provas I

Prof. JOSÉ ANCHIETA DA SILVA – ST

2011

Colégio Militar de Santa Maria Prof. Anchieta: prof.anchieta@hotmail.com

Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível.

São Francisco de Assis

Assuntos que serão abordados para solução das questões apresentadas:

Aritmética:

Teoria dos números – parte I

Média harmônica

Média aritmética

Média geométrica

Dízima periódica

Propriedades do MMC e MDC

Porcentagem

Regra de três: direta e inversa

Juros simples

Conjuntos: união, interseção e diferença

Divisão diretamente (ou inversamente) proporcional

Álgebra:

Produtos notáveis

Operações com polinômios

Forma fatorada de um polinômio

Equações irracionais

Estudo das raízes da equação do 2º grau

Estudo das inequações do 2º grau

Máximo e mínimo de uma função do 2º grau

Análise de um sistema linear

Geometria:

Base média do trapézio

Polígono regular

Lado e apótema dos principais polígonos inscritos no círculo

Potência de ponto

Quadrilátero circunscrito a um círculo (teorema de Pitot)

Relações métricas no triângulo retângulo

Semelhança de triângulos

Área do triângulo

Área do hexágono

Área do quadrado

Principais relações trigonométricas

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Colégio Naval 1979/80

01. Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se

este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algaris-

mos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é:

a) 100.006 d) maior que 180.000

b) múltiplo de 6 e) divisível por 5

c) múltiplo de 11

02. Se h, g e a são, respectivamente, as médias harmônica, geométrica e aritmética entre dois

números, então:

a) ah = 2g b) ah = g c) ah = 2g2

d) ah = g2

e) ah = g2

03. Uma bicicleta tem uma roda de 40 cm de raio e a outra de 50 cm de raio. Sabendo que a

roda maior dá 120 voltas para fazer certo percurso, quantas voltas dará a roda menor, para

fazer 80% do mesmo percurso?

a) 78,8 b) 187,5 c) 120 d) 96 e) 130

04. Um capital foi empregado da seguinte maneira; seus dois quintos rendendo 40% ao ano e

a parte restante rendendo 30% ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas

partes foi de CR$ 2.700,00. Qual era o capital inicial?

a) CR$ 94.500,00 d) CR$ 120.000,00

b) CR$ 27.000,00 e) CR$ 135.000,00

c) CR$ 140.000,00

05. Sendo X e Y conjuntos em que: X – Y = {a, b} e X Y ={c}. O conjunto X pode ser:

a) {} b) {a} c) {a, d} d) {a, c, d} e) {a, b, c, d}

06. 3 3610 é igual a:

a) 1 + 7 b) 1 + 6 c) 1 + 5 d) 1 + 3 e) 1 + 2

07. 3x

x4x 2

dividido por

3x2x

x4x4x

2

2

para x ≠ 3 e x ≠ –1 dá:

a) x + 1 b) x – 4 c) x + 4 d) x2 – 3 e) x – 1

08. Para valores de x inteiros e x ≥ 2, os inteiros P e Q têm para expressões P = x2 + 2x – 3 e

Q = ax2 + bx + c e o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum des-

ses números, P e Q dá x4 + 5x

3 – x

2 – 17x + 12. A soma de a, b e c é:

a) 0 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1

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09. A equação 11x21x3 tem duas raízes cuja soma é:

a) 10 b) 4 c) 8 d) 5 e) 6

10. Se 2yx

yx22

22

, 3zx

zx22

22

e xzy

zy22

22

. O produto dos valores de x nesse sistema é:

a) –1,5 b) –2,4 c) –3,2 d) 2,5 e) 3,4

11. Na equação x2 – mx – 9 = 0, a soma dos valores de m, que fazem com que as suas raízes

a e b satisfaçam a relação 2a + b = 7 dá:

a) 3,5 b) 20 c) 10,5 d) 10 e) 9

12. Os valores de K que fazem com que a equação: Kx2 – 4x + K = 0 tenham raízes reais e

que seja satisfeita a inequação 1 – K ≤ 0 são os mesmos que satisfazem a inequação:

a) x2 – 4 ≤ 0 d) x

2 – 3x + 2 ≤ 0

b) 4 – x2 ≤ 0 e) x

2 – 3x + 2 ≥ 0

c) x2 – 1 ≥ 0

13. Relativamente ao trinômio y = x2 – bx + 5, com b constante inteira, podemos afirmar que

ele pode:

a) se anular para um valor de x

b) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4

c) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários

d) ter valor mínimo igual a 1

e) ter máximo para b = 3

14. Sobre o sistema

ayx

1yxa 2

podemos afirmar:

a) para a = 1, o sistema é indeterminado

b) para a = –1, o sistema é determinado

c) para a ≠ –1, o sistema é impossível

d) para a = 0, x = y = 2

e) para a = –1, x = y = 3

15. X é o lado do quadrado de 4820 mm2 de área; y é o lado do hexágono regular de 3

2

7cm

de apótema e z é o lado do triângulo eqüilátero inscrito no círculo de 5 cm de raio. Escreven-

do em ordem crescente esses três números teremos:

a) Z, X, Y b) Z, Y, X c) Y, Z, X d) Y, X, Z e) X, Y, Z

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16. Um hexágono regular tem 324 cm2 de área. Se ligarmos alternadamente, os pontos mé-

dios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo eqüilátero de área

a) 312 cm2

b) 38 cm2

c) 39 cm2

d) 36 cm

e) 318 cm2

17. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência

nos pontos M e N de maneira que PN = 3x e PM= x – 1. Do mesmo ponto P tiramos outra

secante que corta a mesma circunferência em R e S, de maneira que PR = 2x e PS= x + 1. O

comprimento do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P, se todos os

segmentos estão medidos em cm é:

a) 40 cm b) 60 cm c) 34 cm d) 10 cm e) 8 cm

18. A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com

3 cm e 4 cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do

retângulo sobre a hipotenusa é:

a) 3 cm2 b) 4 cm

2 c) 5 cm

2 d) 4,5 cm

2 e) 3,5 cm

2

19. O ângulo interno de 150º de um triângulo é formado por lados que medem 10 cm e 6 cm.

A área desse triângulo é:

a) 30 cm2 b) 330 cm

2 c) 312 cm

2 d) 315 cm

2 e) 15 cm

2

20. O triângulo ABC tem 60 cm2 de área. Dividindo-se o lado BC em 3 partes proporcionais

aos números 2, 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para

vértice e ponto A, a área do maior dos 3 triângulos é:

a) 30 cm2 b) 21 cm

2 c) 35 cm

2 d) 42 cm

2 e) 28 cm

2

21. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 6 cm. A área do círculo que tem o

centro sobre a hipotenusa e tangente os dois catetos é de:

a) 4

9 cm

2 b)

4

25 cm

2 c)

4

16 cm

2 d) 20π cm

2 e) 18π cm

2

22. Em um círculo de 3 cm de raio, a corda AB tem 1,8 cm. A distância do ponto B à tan-

gente ao círculo em A mede:

a) 0,54 cm b) 1,08 cm c) 1,5 cm d) 2,4 cm e) 1,8 cm

23. Em um triângulo AB = AC = 5 cm e BC = 4 cm. Tomando-se sobre AB e AC os pon-

tos D e E, respectivamente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero

BCED seja circunscritível a um círculo, a distância AD = AE mede:

a) 0,75 cm b) 1,2 cm c) 7

15 cm d)

3

4 cm e)

3

5 cm

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24. O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6 cm e o ângulo em C é de

30º. Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o ponto P, de maneira que PM seja per-

pendicular a BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será:

a) 4 cm b) 236 cm c) 236 cm d) 126 cm e) 126 cm

25. Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma reta tangencia essas circunfe-

rências nos pontos M e N respectivamente. Se PM = 4 cm e PN = 2 cm, o produto dos raios

dessas circunferências dá:

a) 8 cm2 b) 4 cm

2 c) 5 cm

2 d) 10 cm

2 e) 9 cm

2

EPCAr 2002

26. No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a

língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de

candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é

a) 778 b) 658 c) 120 d) 131

27. Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo

das dezenas é metade do algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades

de milhar, é correto afirmar que

a) n + 1 é divisível por 7 c) n + 2 é múltiplo de 10

b) n está entre 2000 e 3009 d) n apresenta 12 divisores positivos

28. A diferença 5,0...666,0 98 é igual a

a) –2 b) 32 c) 22 d) 1

29. Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colméia nos seguintes grupos para explora-

ção ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abe-

lha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo

e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em

a) 8 grupos de 81 abelhas c) 24 grupos de 27 abelhas

b) 9 grupos de 72 abelhas d) 2 grupos de 324 abelhas

30. Ao se resolver a expressão numérica

0

4

3

3

6

)0010,0(.10

5,15:

10

000075,0.)10.25(

o valor encontrado é

a) 3 2 b) 3 3 c) 1 d) 0,1

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31. No concurso CPCAR, 10

1 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos,

que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confirmando

sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por

dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se

dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia.

Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso

a) é múltiplo de 600. c) é igual a 3400.

b) é divisor de 720. d) está compreendido entre 1000 e 3000.

32. Uma senhora vai à feira e gasta, em frutas, 9

2 do que tem na bolsa. Gasta depois

7

3 do

resto em verduras e ainda lhe sobram R$ 8,00. Ela levava, em reais, ao sair de casa

a) 45,00 b) 36,00 c) 27,00 d) 18,00

33. Uma bola é abandonada de uma certa altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o

solo e volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2

1 da altura em que se encon-

trava anteriormente. Se, depois do terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em

que foi abandonada a bola é, em metros, igual a

a) 0,8 b) 1 c) 8 d) 0,5

34. Em uma Escola, havia um percentual de 32% de alunos fumantes. Após uma campanha

de conscientização sobre o risco que o cigarro traz à saúde, 3 em cada 11 dependentes do

fumo deixaram o vício, ficando, assim, na Escola, 128 alunos fumantes. É correto afirmar

que o número de alunos da Escola é igual a

a) 176 b) 374 c) 400 d) 550

35. Uma loja aumenta o preço de um determinado produto cujo valor é de R$ 600,00 para,

em seguida, a título de ”promoção”, vendê-lo com “desconto” de 20% e obter, ainda, os

mesmos R$ 600,00; então, o aumento percentual do preço será de

a) 20% b ) 25% c) 30% d) 35%

36. Uma fábrica recebeu uma encomenda de 50 aviões. A fábrica montou os aviões em 5 di-

as, utilizando 6 robôs de mesmo rendimento, que trabalharam 8 horas por dia. Uma nova en-

comenda foi feita, desta vez 60 aviões. Nessa ocasião, um dos robôs não participou da mon-

tagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. O número de dias neces-

sários para que a fábrica entregasse as duas encomendas foi

a) exatamente 10 c) entre 9 e 10

b) mais de 10 d) menos de 9

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37. Um medicamento deve ser ingerido na quantidade de 3 mg por quilograma da massa

corporal. Não pode, contudo, exceder 200 mg por dose ministrada. Cada gota, desse medi-

camento, contém 5 mg do remédio. O número de gotas desse medicamento que deve ser

prescrito por dose a um paciente de 80 kg, é

a) 46 b) 40 c) 16 d) 80

38. O valor de x que é solução da equação 02

x35)5x(2x3

é tal que

a) –6 < x < 0 c) 3 < x < 10

b) –12 < x < –8 d) 12 < x < 18

39. O inverso de 3

x

y

y

x, com x > 0 e y > 0, é igual a

a) y

xy6 5

b) x

yx3 2

c) x

yx6 5

d) y

xy3 2

40. Se 3n

1n

2

, então

3

3

n

1n vale

a) 0 b) 33 c) 36 d) 3

310

41. Simplificando a expressão xy2yx

xy

x1

2

2

2

, com x > y > 0, obtém-se

a) x – y b) x + y c) y – x d) xy

42. O resto da divisão do polinômio 1xx2x2x)x(p 234 por x + 1 é um número

a) ímpar menor que 5 c) primo maior que 5

b) par menor que 6 d) primo menor que 7

43. A equação 0qpxx 2 tem raízes reais opostas e não-nulas. Pode-se então afirmar

que

a) p > 0 e q = 0 c) p = 0 e q > 0

b) p < 0 e q = 0 d) p = 0 e q < 0

44. A equação 0abbx2ax 2 (b 0) admite raízes reais e iguais se, e somente se

a) 2ab b) 2a2b c) a = – b d) a2b 2

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45. O produto das raízes da equação 22 x1x7 é

a) –50 b) –10 c) –5 d) 50

46. Se

63yxy3

0y2x2

, então x.y é igual a

a) 18 b) 9 c) –9 d) –18

47. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna abaixo.

Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso.

Para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que

errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o

aluno obteve 30 pontos, ele acertou ____ itens.

a) 20 b) 25 c) 30 d) 35

48. Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa

retirou desse caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de

notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a

a) 16 b) 25 c) 24 d) 21

49. Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia 0,5 kg do seu

conteúdo. O esboço do gráfico que melhor expressa a massa y de gás no botijão, em função

de x (dias de consumo) é

a) y

x

13

2

1

c) y

x

26

13

b) y

x

13

26

d) y

x

2

1

13

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50. Considere o gráfico ao lado sabendo-se que

I é dado por 2ax)x(f

II é dado por 2bx)x(g

III é dado por 2cx)x(h

I

III

II

y

x

com base nisso, tem-se necessariamente que

a) a < b < c b) a > bc c) a > b > c d) ab < c

51. No triângulo ABC abaixo, a bissetriz do ângulo interno A forma com o lado AB um ân-

gulo de 55º. O ângulo agudo formado pelas retas suporte das alturas relativas aos vértices

B e C é

a) menor que 70º

b) o complemento de 20º

c) igual ao dobro de 25º

d) o suplemento de 120º

A

B C

52. O gráfico, a seguir, representa o resultado de uma pesquisa sobre a preferência por con-

teúdo, na área de matemática, dos alunos do CPCAR.

FUNÇÃO

PROGRESSÕES

COMBINATÓRIA

GEOMETRIA

ESPACIAL

MATRIZ

GEOMETRIA ESPACIAL: 22%

PROGRESSÕES: 6%

COMBINATÓRIA: 47%

MATRIZ: 14%

FUNÇÃO: 11%

Sabendo-se que no gráfico o resultado por conteúdo é proporcional à área do setor que a re-

presenta, pode-se afirmar que o ângulo central do setor do conteúdo MATRIZ é de

a) 14º b) 57º 36 c) 50º 24 d) 60º 12

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53. Por um ponto P da base BC de um triângulo ABC, traça-se PQ e PR paralelos a AB e

AC, respectivamente. Se AB = 6, AC = 10, BC = 8 e BP = 2, o perímetro do paralelogramo

AQPR é

a) divisível por 3

b) divisor de 35

c) maior do que 40

d) múltiplo de 7

B P

A

R

Q

54. Num mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto

está em A. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a constru-

ção de uma estrada que liga diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, proje-

tou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais

curta possível. Dessa forma, a menor distância, em km, que uma pessoa percorrerá se sair da

cidade A e chegar à cidade C é

a) 84 b) 48 c) 36 d) 64

55. O reabastecimento em vôo é um procedimento que permite abastecer aviões de caça em

pleno vôo a partir de uma mangueira distendida de uma aeronave tanque.

Um avião A (tanque) e outro B (caça) ao término do procedimento descrito acima, em de-

terminado ponto P, tomam rumos que diferem de um ângulo de 60º. A partir de P as veloci-

dades dos aviões são constantes e iguais a h/km400VA e h/km500V

B . Consideran-

do que mantiveram os respectivos rumos, a distância, em km, entre eles após 2 horas de vôo

é

a) 215200

b) 21300

c) 21200

d) 21100

60º P

B

A

56. Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um

quadrado, outro na forma de um triângulo eqüilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T

e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade

que

a) Q < T < C b) C < T < Q c) T < C < Q d) T < Q < C

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57. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15 com a horizontal. A 2

km de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de

altura, conforme figura.

15

B

C

D

Dados: cos 15º 0,97 sen 15º 0,26 tg 15º 0,27

É correto afirmar que

a) não haverá colisão do avião com a serra.

b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura.

c) haverá colisão do avião com a serra em D.

d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do

avião com a serra.

58. A área do losango ABCO da figura abaixo mede 24 cm2. O lado do hexágono regular

ABCDEF é, em cm, igual a

a) 4 34

b) 34

c) 4

d) 316

E D

F C

A B

O

59. Considere dois círculos de raios (r) e (R) centrados em A e B, respectivamente, que são

tangentes externamente e cujas retas tangentes comuns formam um ângulo de 60. A razão

entre as áreas do círculo maior e do menor é

a) 9

b) 3

c) 3

1

d) 9

1

30

A r

B R

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60. Em torno de um campo de futebol, conforme figura abaixo, construiu-se uma pista de

atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. Sabendo-

se que os arcos situados atrás das traves dos gols são semicírculos de mesma dimensão, o

custo total desta construção que equivale à área hachurada, é

Dado: Considere = 3,14

100 m

3 m

40 m

3m

a) R$ 300.000,00 c) R$ 502.530,00

b) R$ 464.500,00 d) R$ 667.030,00

61. Em condições ambiente, a densidade do mercúrio é de aproximadamente 13g/cm3. A

massa desse metal, do qual um garimpeiro necessita para encher completamente um frasco

de meio litro de capacidade é igual a

a) 260 g b) 2,6 kg c) 650 g d) 6,5 kg

GABARITO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 C D C E E D B A E

1 B C D D A E C B A E

2 C A A C E C C A D B

3 C A D C D B C B A B

4 A A C D A B A C D B

5 A B C D A C D B A A

6 C D - - - - - - - -

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QUADRILÁTEROS

São polígonos com quatro lados. Os quadriláteros podem ser classificados em: paralelo-

gramo, trapézio e trapezóide.

Paralelogramo: lados opos-

tos paralelos dois a dois Trapézio: dois lados opostos

paralelos e dois não paralelos Trapezóide: nenhum lado

paralelo

QUADRILÁTEROS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS

I - Teorema de Ptolomeu

Para qualquer quadrilátero inscritível, produto das diagonais é igual à soma dos produtos

dos lados opostos.

AC.BD = AB.DC + AD.BC

II - Teorema de Hiparco

Para qualquer quadrilátero inscritível, a razão entre as diagonais é igual à razão da soma

dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais.

CD.CBAB.AD

BA.BCDC.AD

AC

BD

III - Teorema de Pitot

Em todo quadrilátero circunscrito, a soma das medidas de dois lados opostos é igual à

soma das medidas dos outros dois.

AB + CD = DA + BC

O teorema de Pitot é uma conseqüência da propriedade

das tangentes que diz; "se de um ponto exterior a uma cir-

cunferência traçarmos duas tangentes, as distâncias do

ponto aos pontos de tangência são iguais".

Isto é: BR = BS.

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OS POLÍGONOS REGULARES

Polígonos regulares são aqueles em que os lados são congruentes (mesma medida) e os

ângulos internos têm a mesma medida. Todo polígono regular é inscritível em uma circunfe-

rência.

Nos polígonos regulares devemos destacar: o lado AB, o raio OA e o apótema OC. O a-

pótema é perpendicular ao ponto médio do lado.

Entre os polígonos regulares destacamos:

INFORMAÇÕES GERAIS

EPCAr:

Qual é o limite de idade para me inscrever no concurso?

Ter nascido entre 1º de janeiro de 1993 e 1º de janeiro de 1997

Qual é a escolaridade exigida para o concurso?

Ter concluído ou estar em condições de concluir, com aproveitamento, o Ensino Funda-

mental do Sistema Nacional de Ensino. O aluno deve estar apto a ser matriculado na 1ª série

(ou 1º ano) do Ensino Médio do citado sistema. Fonte: http://www.epcar.aer.mil.br/Concurso.php

CN:

Principais Requisitos: Ser brasileiro nato e ter concluído com aproveitamento o Ensino

Fundamental (ou estar cursando o último ano, de forma que o mesmo esteja concluído até a

data prevista no edital para a verificação dos documentos exigidos).

Idade: Ter de 15 a 17 anos de idade.

Provas: Matemática, Estudos Sociais, Ciências, Português e Redação.

Local do Curso: Colégio Naval, Angra dos Reis/RJ.

Duração: 3 anos, na condição de aluno interno.

Situação após o Curso: Ingresso na Escola Naval como Aspirante. Fonte: https://www.ensino.mar.mil.br/html/ingressar.html