Caderno I - EPCAr e CN
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COLÉGIO MILITAR DE SANTA MARIA
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA
Preparação para o Colégio Naval (CN) e para a
Escola Preparatória de Cadetes do Ar (EPCAr)
Caderno de provas I
Prof. JOSÉ ANCHIETA DA SILVA – ST
2011
Colégio Militar de Santa Maria Prof. Anchieta: [email protected]
Comece fazendo o que é necessário, depois o que é possível, e de repente você estará fazendo o impossível.
São Francisco de Assis
Assuntos que serão abordados para solução das questões apresentadas:
Aritmética:
Teoria dos números – parte I
Média harmônica
Média aritmética
Média geométrica
Dízima periódica
Propriedades do MMC e MDC
Porcentagem
Regra de três: direta e inversa
Juros simples
Conjuntos: união, interseção e diferença
Divisão diretamente (ou inversamente) proporcional
Álgebra:
Produtos notáveis
Operações com polinômios
Forma fatorada de um polinômio
Equações irracionais
Estudo das raízes da equação do 2º grau
Estudo das inequações do 2º grau
Máximo e mínimo de uma função do 2º grau
Análise de um sistema linear
Geometria:
Base média do trapézio
Polígono regular
Lado e apótema dos principais polígonos inscritos no círculo
Potência de ponto
Quadrilátero circunscrito a um círculo (teorema de Pitot)
Relações métricas no triângulo retângulo
Semelhança de triângulos
Área do triângulo
Área do hexágono
Área do quadrado
Principais relações trigonométricas
Colégio Militar de Santa Maria Prof. Anchieta: [email protected]
Colégio Naval 1979/80
01. Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se
este algarismo 1, para o último lugar, à direita, conservando a sequência dos demais algaris-
mos, o novo número é o triplo do número primitivo. O número primitivo é:
a) 100.006 d) maior que 180.000
b) múltiplo de 6 e) divisível por 5
c) múltiplo de 11
02. Se h, g e a são, respectivamente, as médias harmônica, geométrica e aritmética entre dois
números, então:
a) ah = 2g b) ah = g c) ah = 2g2
d) ah = g2
e) ah = g2
03. Uma bicicleta tem uma roda de 40 cm de raio e a outra de 50 cm de raio. Sabendo que a
roda maior dá 120 voltas para fazer certo percurso, quantas voltas dará a roda menor, para
fazer 80% do mesmo percurso?
a) 78,8 b) 187,5 c) 120 d) 96 e) 130
04. Um capital foi empregado da seguinte maneira; seus dois quintos rendendo 40% ao ano e
a parte restante rendendo 30% ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas
partes foi de CR$ 2.700,00. Qual era o capital inicial?
a) CR$ 94.500,00 d) CR$ 120.000,00
b) CR$ 27.000,00 e) CR$ 135.000,00
c) CR$ 140.000,00
05. Sendo X e Y conjuntos em que: X – Y = {a, b} e X Y ={c}. O conjunto X pode ser:
a) {} b) {a} c) {a, d} d) {a, c, d} e) {a, b, c, d}
06. 3 3610 é igual a:
a) 1 + 7 b) 1 + 6 c) 1 + 5 d) 1 + 3 e) 1 + 2
07. 3x
x4x 2
dividido por
3x2x
x4x4x
2
2
para x ≠ 3 e x ≠ –1 dá:
a) x + 1 b) x – 4 c) x + 4 d) x2 – 3 e) x – 1
08. Para valores de x inteiros e x ≥ 2, os inteiros P e Q têm para expressões P = x2 + 2x – 3 e
Q = ax2 + bx + c e o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum des-
ses números, P e Q dá x4 + 5x
3 – x
2 – 17x + 12. A soma de a, b e c é:
a) 0 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1
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09. A equação 11x21x3 tem duas raízes cuja soma é:
a) 10 b) 4 c) 8 d) 5 e) 6
10. Se 2yx
yx22
22
, 3zx
zx22
22
e xzy
zy22
22
. O produto dos valores de x nesse sistema é:
a) –1,5 b) –2,4 c) –3,2 d) 2,5 e) 3,4
11. Na equação x2 – mx – 9 = 0, a soma dos valores de m, que fazem com que as suas raízes
a e b satisfaçam a relação 2a + b = 7 dá:
a) 3,5 b) 20 c) 10,5 d) 10 e) 9
12. Os valores de K que fazem com que a equação: Kx2 – 4x + K = 0 tenham raízes reais e
que seja satisfeita a inequação 1 – K ≤ 0 são os mesmos que satisfazem a inequação:
a) x2 – 4 ≤ 0 d) x
2 – 3x + 2 ≤ 0
b) 4 – x2 ≤ 0 e) x
2 – 3x + 2 ≥ 0
c) x2 – 1 ≥ 0
13. Relativamente ao trinômio y = x2 – bx + 5, com b constante inteira, podemos afirmar que
ele pode:
a) se anular para um valor de x
b) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4
c) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários
d) ter valor mínimo igual a 1
e) ter máximo para b = 3
14. Sobre o sistema
ayx
1yxa 2
podemos afirmar:
a) para a = 1, o sistema é indeterminado
b) para a = –1, o sistema é determinado
c) para a ≠ –1, o sistema é impossível
d) para a = 0, x = y = 2
e) para a = –1, x = y = 3
15. X é o lado do quadrado de 4820 mm2 de área; y é o lado do hexágono regular de 3
2
7cm
de apótema e z é o lado do triângulo eqüilátero inscrito no círculo de 5 cm de raio. Escreven-
do em ordem crescente esses três números teremos:
a) Z, X, Y b) Z, Y, X c) Y, Z, X d) Y, X, Z e) X, Y, Z
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16. Um hexágono regular tem 324 cm2 de área. Se ligarmos alternadamente, os pontos mé-
dios dos lados desse hexágono, vamos encontrar um triângulo eqüilátero de área
a) 312 cm2
b) 38 cm2
c) 39 cm2
d) 36 cm
e) 318 cm2
17. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência
nos pontos M e N de maneira que PN = 3x e PM= x – 1. Do mesmo ponto P tiramos outra
secante que corta a mesma circunferência em R e S, de maneira que PR = 2x e PS= x + 1. O
comprimento do segmento da tangente à circunferência tirada do mesmo ponto P, se todos os
segmentos estão medidos em cm é:
a) 40 cm b) 60 cm c) 34 cm d) 10 cm e) 8 cm
18. A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com
3 cm e 4 cm de maneira que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do
retângulo sobre a hipotenusa é:
a) 3 cm2 b) 4 cm
2 c) 5 cm
2 d) 4,5 cm
2 e) 3,5 cm
2
19. O ângulo interno de 150º de um triângulo é formado por lados que medem 10 cm e 6 cm.
A área desse triângulo é:
a) 30 cm2 b) 330 cm
2 c) 312 cm
2 d) 315 cm
2 e) 15 cm
2
20. O triângulo ABC tem 60 cm2 de área. Dividindo-se o lado BC em 3 partes proporcionais
aos números 2, 3 e 7 e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para
vértice e ponto A, a área do maior dos 3 triângulos é:
a) 30 cm2 b) 21 cm
2 c) 35 cm
2 d) 42 cm
2 e) 28 cm
2
21. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2 cm e 6 cm. A área do círculo que tem o
centro sobre a hipotenusa e tangente os dois catetos é de:
a) 4
9 cm
2 b)
4
25 cm
2 c)
4
16 cm
2 d) 20π cm
2 e) 18π cm
2
22. Em um círculo de 3 cm de raio, a corda AB tem 1,8 cm. A distância do ponto B à tan-
gente ao círculo em A mede:
a) 0,54 cm b) 1,08 cm c) 1,5 cm d) 2,4 cm e) 1,8 cm
23. Em um triângulo AB = AC = 5 cm e BC = 4 cm. Tomando-se sobre AB e AC os pon-
tos D e E, respectivamente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero
BCED seja circunscritível a um círculo, a distância AD = AE mede:
a) 0,75 cm b) 1,2 cm c) 7
15 cm d)
3
4 cm e)
3
5 cm
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24. O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6 cm e o ângulo em C é de
30º. Tomando-se sobre AB o ponto M e sobre BC o ponto P, de maneira que PM seja per-
pendicular a BC e as áreas dos triângulos CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será:
a) 4 cm b) 236 cm c) 236 cm d) 126 cm e) 126 cm
25. Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma reta tangencia essas circunfe-
rências nos pontos M e N respectivamente. Se PM = 4 cm e PN = 2 cm, o produto dos raios
dessas circunferências dá:
a) 8 cm2 b) 4 cm
2 c) 5 cm
2 d) 10 cm
2 e) 9 cm
2
EPCAr 2002
26. No concurso para o CPCAR foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a
língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam nenhum desses idiomas. O número de
candidatos que falam as línguas inglesa e francesa é
a) 778 b) 658 c) 120 d) 131
27. Sobre o menor número natural n de 4 algarismos, divisível por 3, tal que o algarismo
das dezenas é metade do algarismo das unidades e igual ao dobro do algarismo das unidades
de milhar, é correto afirmar que
a) n + 1 é divisível por 7 c) n + 2 é múltiplo de 10
b) n está entre 2000 e 3009 d) n apresenta 12 divisores positivos
28. A diferença 5,0...666,0 98 é igual a
a) –2 b) 32 c) 22 d) 1
29. Uma abelha-rainha dividiu as abelhas de sua colméia nos seguintes grupos para explora-
ção ambiental: um composto de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você a abe-
lha rainha e sabendo que cada grupo deve ser dividido em equipes constituídas de um mesmo
e maior número de abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas em
a) 8 grupos de 81 abelhas c) 24 grupos de 27 abelhas
b) 9 grupos de 72 abelhas d) 2 grupos de 324 abelhas
30. Ao se resolver a expressão numérica
0
4
3
3
6
)0010,0(.10
5,15:
10
000075,0.)10.25(
o valor encontrado é
a) 3 2 b) 3 3 c) 1 d) 0,1
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31. No concurso CPCAR, 10
1 dos aprovados foi selecionado para entrevista com psicólogos,
que deverá ser feita em 2 dias. Sabendo-se que 20 candidatos desistiram, não confirmando
sua presença para a entrevista, os psicólogos observaram que, se cada um atendesse 9 por
dia, deixariam 34 jovens sem atendimento. Para cumprir a meta em tempo hábil, cada um se
dispôs, então, a atender 10 candidatos por dia.
Com base nisso, é correto afirmar que o número de aprovados no concurso
a) é múltiplo de 600. c) é igual a 3400.
b) é divisor de 720. d) está compreendido entre 1000 e 3000.
32. Uma senhora vai à feira e gasta, em frutas, 9
2 do que tem na bolsa. Gasta depois
7
3 do
resto em verduras e ainda lhe sobram R$ 8,00. Ela levava, em reais, ao sair de casa
a) 45,00 b) 36,00 c) 27,00 d) 18,00
33. Uma bola é abandonada de uma certa altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o
solo e volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2
1 da altura em que se encon-
trava anteriormente. Se, depois do terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em
que foi abandonada a bola é, em metros, igual a
a) 0,8 b) 1 c) 8 d) 0,5
34. Em uma Escola, havia um percentual de 32% de alunos fumantes. Após uma campanha
de conscientização sobre o risco que o cigarro traz à saúde, 3 em cada 11 dependentes do
fumo deixaram o vício, ficando, assim, na Escola, 128 alunos fumantes. É correto afirmar
que o número de alunos da Escola é igual a
a) 176 b) 374 c) 400 d) 550
35. Uma loja aumenta o preço de um determinado produto cujo valor é de R$ 600,00 para,
em seguida, a título de ”promoção”, vendê-lo com “desconto” de 20% e obter, ainda, os
mesmos R$ 600,00; então, o aumento percentual do preço será de
a) 20% b ) 25% c) 30% d) 35%
36. Uma fábrica recebeu uma encomenda de 50 aviões. A fábrica montou os aviões em 5 di-
as, utilizando 6 robôs de mesmo rendimento, que trabalharam 8 horas por dia. Uma nova en-
comenda foi feita, desta vez 60 aviões. Nessa ocasião, um dos robôs não participou da mon-
tagem. Para atender o cliente, a fábrica trabalhou 12 horas por dia. O número de dias neces-
sários para que a fábrica entregasse as duas encomendas foi
a) exatamente 10 c) entre 9 e 10
b) mais de 10 d) menos de 9
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37. Um medicamento deve ser ingerido na quantidade de 3 mg por quilograma da massa
corporal. Não pode, contudo, exceder 200 mg por dose ministrada. Cada gota, desse medi-
camento, contém 5 mg do remédio. O número de gotas desse medicamento que deve ser
prescrito por dose a um paciente de 80 kg, é
a) 46 b) 40 c) 16 d) 80
38. O valor de x que é solução da equação 02
x35)5x(2x3
é tal que
a) –6 < x < 0 c) 3 < x < 10
b) –12 < x < –8 d) 12 < x < 18
39. O inverso de 3
x
y
y
x, com x > 0 e y > 0, é igual a
a) y
xy6 5
b) x
yx3 2
c) x
yx6 5
d) y
xy3 2
40. Se 3n
1n
2
, então
3
3
n
1n vale
a) 0 b) 33 c) 36 d) 3
310
41. Simplificando a expressão xy2yx
xy
x1
2
2
2
, com x > y > 0, obtém-se
a) x – y b) x + y c) y – x d) xy
42. O resto da divisão do polinômio 1xx2x2x)x(p 234 por x + 1 é um número
a) ímpar menor que 5 c) primo maior que 5
b) par menor que 6 d) primo menor que 7
43. A equação 0qpxx 2 tem raízes reais opostas e não-nulas. Pode-se então afirmar
que
a) p > 0 e q = 0 c) p = 0 e q > 0
b) p < 0 e q = 0 d) p = 0 e q < 0
44. A equação 0abbx2ax 2 (b 0) admite raízes reais e iguais se, e somente se
a) 2ab b) 2a2b c) a = – b d) a2b 2
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45. O produto das raízes da equação 22 x1x7 é
a) –50 b) –10 c) –5 d) 50
46. Se
63yxy3
0y2x2
, então x.y é igual a
a) 18 b) 9 c) –9 d) –18
47. Assinale a alternativa que preenche corretamente a lacuna abaixo.
Numa prova de matemática, um aluno deve responder a 60 itens do tipo verdadeiro ou falso.
Para cada item respondido corretamente, o aluno vai ganhar 2 pontos e, para cada item que
errar, vai perder 1 ponto. A nota do aluno é função do número de itens que ele acertar. Se o
aluno obteve 30 pontos, ele acertou ____ itens.
a) 20 b) 25 c) 30 d) 35
48. Um caixa automático de um banco só libera notas de R$ 5,00 e R$ 10,00. Uma pessoa
retirou desse caixa a importância de R$ 65,00, recebendo 10 notas. O produto do número de
notas de R$ 5,00 pelo número de notas de R$ 10,00 é igual a
a) 16 b) 25 c) 24 d) 21
49. Um botijão de gás contém 13 kg de gás. Em média, é consumido, por dia 0,5 kg do seu
conteúdo. O esboço do gráfico que melhor expressa a massa y de gás no botijão, em função
de x (dias de consumo) é
a) y
x
13
2
1
c) y
x
26
13
b) y
x
13
26
d) y
x
2
1
13
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50. Considere o gráfico ao lado sabendo-se que
I é dado por 2ax)x(f
II é dado por 2bx)x(g
III é dado por 2cx)x(h
I
III
II
y
x
com base nisso, tem-se necessariamente que
a) a < b < c b) a > bc c) a > b > c d) ab < c
51. No triângulo ABC abaixo, a bissetriz do ângulo interno A forma com o lado AB um ân-
gulo de 55º. O ângulo agudo formado pelas retas suporte das alturas relativas aos vértices
B e C é
a) menor que 70º
b) o complemento de 20º
c) igual ao dobro de 25º
d) o suplemento de 120º
A
B C
52. O gráfico, a seguir, representa o resultado de uma pesquisa sobre a preferência por con-
teúdo, na área de matemática, dos alunos do CPCAR.
FUNÇÃO
PROGRESSÕES
COMBINATÓRIA
GEOMETRIA
ESPACIAL
MATRIZ
GEOMETRIA ESPACIAL: 22%
PROGRESSÕES: 6%
COMBINATÓRIA: 47%
MATRIZ: 14%
FUNÇÃO: 11%
Sabendo-se que no gráfico o resultado por conteúdo é proporcional à área do setor que a re-
presenta, pode-se afirmar que o ângulo central do setor do conteúdo MATRIZ é de
a) 14º b) 57º 36 c) 50º 24 d) 60º 12
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53. Por um ponto P da base BC de um triângulo ABC, traça-se PQ e PR paralelos a AB e
AC, respectivamente. Se AB = 6, AC = 10, BC = 8 e BP = 2, o perímetro do paralelogramo
AQPR é
a) divisível por 3
b) divisor de 35
c) maior do que 40
d) múltiplo de 7
B P
A
R
Q
54. Num mapa, as cidades A, B e C são vértices de um triângulo retângulo e o ângulo reto
está em A. A estrada AB tem 80 km e a estrada BC tem 100 km. Um rio impede a constru-
ção de uma estrada que liga diretamente a cidade A com a cidade C. Por esse motivo, proje-
tou-se uma estrada saindo da cidade A e perpendicular à estrada BC para que ela seja a mais
curta possível. Dessa forma, a menor distância, em km, que uma pessoa percorrerá se sair da
cidade A e chegar à cidade C é
a) 84 b) 48 c) 36 d) 64
55. O reabastecimento em vôo é um procedimento que permite abastecer aviões de caça em
pleno vôo a partir de uma mangueira distendida de uma aeronave tanque.
Um avião A (tanque) e outro B (caça) ao término do procedimento descrito acima, em de-
terminado ponto P, tomam rumos que diferem de um ângulo de 60º. A partir de P as veloci-
dades dos aviões são constantes e iguais a h/km400VA e h/km500V
B . Consideran-
do que mantiveram os respectivos rumos, a distância, em km, entre eles após 2 horas de vôo
é
a) 215200
b) 21300
c) 21200
d) 21100
60º P
B
A
56. Três pedaços de arame de mesmo comprimento foram moldados: um na forma de um
quadrado, outro na forma de um triângulo eqüilátero e outro na forma de um círculo. Se Q, T
e C são, respectivamente, as áreas das regiões limitadas por esses arames, então é verdade
que
a) Q < T < C b) C < T < Q c) T < C < Q d) T < Q < C
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57. Um avião decola de um ponto B sob inclinação constante de 15 com a horizontal. A 2
km de B se encontra a projeção vertical C do ponto mais alto D de uma serra de 600 m de
altura, conforme figura.
15
B
C
D
Dados: cos 15º 0,97 sen 15º 0,26 tg 15º 0,27
É correto afirmar que
a) não haverá colisão do avião com a serra.
b) haverá colisão do avião com a serra antes de alcançar 540 m de altura.
c) haverá colisão do avião com a serra em D.
d) se o avião decolar 220 m antes de B, mantendo a mesma inclinação, não haverá colisão do
avião com a serra.
58. A área do losango ABCO da figura abaixo mede 24 cm2. O lado do hexágono regular
ABCDEF é, em cm, igual a
a) 4 34
b) 34
c) 4
d) 316
E D
F C
A B
O
59. Considere dois círculos de raios (r) e (R) centrados em A e B, respectivamente, que são
tangentes externamente e cujas retas tangentes comuns formam um ângulo de 60. A razão
entre as áreas do círculo maior e do menor é
a) 9
b) 3
c) 3
1
d) 9
1
30
A r
B R
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60. Em torno de um campo de futebol, conforme figura abaixo, construiu-se uma pista de
atletismo com 3 metros de largura, cujo preço por metro quadrado é de R$ 500,00. Sabendo-
se que os arcos situados atrás das traves dos gols são semicírculos de mesma dimensão, o
custo total desta construção que equivale à área hachurada, é
Dado: Considere = 3,14
100 m
3 m
40 m
3m
a) R$ 300.000,00 c) R$ 502.530,00
b) R$ 464.500,00 d) R$ 667.030,00
61. Em condições ambiente, a densidade do mercúrio é de aproximadamente 13g/cm3. A
massa desse metal, do qual um garimpeiro necessita para encher completamente um frasco
de meio litro de capacidade é igual a
a) 260 g b) 2,6 kg c) 650 g d) 6,5 kg
GABARITO
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 C D C E E D B A E
1 B C D D A E C B A E
2 C A A C E C C A D B
3 C A D C D B C B A B
4 A A C D A B A C D B
5 A B C D A C D B A A
6 C D - - - - - - - -
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QUADRILÁTEROS
São polígonos com quatro lados. Os quadriláteros podem ser classificados em: paralelo-
gramo, trapézio e trapezóide.
Paralelogramo: lados opos-
tos paralelos dois a dois Trapézio: dois lados opostos
paralelos e dois não paralelos Trapezóide: nenhum lado
paralelo
QUADRILÁTEROS INSCRITOS E CIRCUNSCRITOS
I - Teorema de Ptolomeu
Para qualquer quadrilátero inscritível, produto das diagonais é igual à soma dos produtos
dos lados opostos.
AC.BD = AB.DC + AD.BC
II - Teorema de Hiparco
Para qualquer quadrilátero inscritível, a razão entre as diagonais é igual à razão da soma
dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais.
CD.CBAB.AD
BA.BCDC.AD
AC
BD
III - Teorema de Pitot
Em todo quadrilátero circunscrito, a soma das medidas de dois lados opostos é igual à
soma das medidas dos outros dois.
AB + CD = DA + BC
O teorema de Pitot é uma conseqüência da propriedade
das tangentes que diz; "se de um ponto exterior a uma cir-
cunferência traçarmos duas tangentes, as distâncias do
ponto aos pontos de tangência são iguais".
Isto é: BR = BS.
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OS POLÍGONOS REGULARES
Polígonos regulares são aqueles em que os lados são congruentes (mesma medida) e os
ângulos internos têm a mesma medida. Todo polígono regular é inscritível em uma circunfe-
rência.
Nos polígonos regulares devemos destacar: o lado AB, o raio OA e o apótema OC. O a-
pótema é perpendicular ao ponto médio do lado.
Entre os polígonos regulares destacamos:
INFORMAÇÕES GERAIS
EPCAr:
Qual é o limite de idade para me inscrever no concurso?
Ter nascido entre 1º de janeiro de 1993 e 1º de janeiro de 1997
Qual é a escolaridade exigida para o concurso?
Ter concluído ou estar em condições de concluir, com aproveitamento, o Ensino Funda-
mental do Sistema Nacional de Ensino. O aluno deve estar apto a ser matriculado na 1ª série
(ou 1º ano) do Ensino Médio do citado sistema. Fonte: http://www.epcar.aer.mil.br/Concurso.php
CN:
Principais Requisitos: Ser brasileiro nato e ter concluído com aproveitamento o Ensino
Fundamental (ou estar cursando o último ano, de forma que o mesmo esteja concluído até a
data prevista no edital para a verificação dos documentos exigidos).
Idade: Ter de 15 a 17 anos de idade.
Provas: Matemática, Estudos Sociais, Ciências, Português e Redação.
Local do Curso: Colégio Naval, Angra dos Reis/RJ.
Duração: 3 anos, na condição de aluno interno.
Situação após o Curso: Ingresso na Escola Naval como Aspirante. Fonte: https://www.ensino.mar.mil.br/html/ingressar.html