Post on 07-Apr-2016
INTRODUÇÃO GERAL1
INTRODUÇÃO ÀSÍNTESE DE PROCESSOS
8
6
SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO
7
SÍNTESE
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS
2
ESTRATÉGIASDE CÁLCULO
3
OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃOECONÔMICA
4 5
ANÁLISE
É o campo da Engenharia que congrega os conceitos e os métodos destinados à
concepção, ao projeto e à operação de processos químicos
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Implícitos na sua prática encontram-se o emprego intensivo de recursos computacionais e o atendimento a requisitos de
natureza econômica, material, energética, de preservação ambiental e de segurança.
em que se encontram integrados equipamentos de reação, separação, integração material e
energética e controle.
O Projeto resulta de um conjunto de ações desenvolvidas
DesdeA decisão de se produzir um determinado produto
AtéÀ conclusão do Projeto
As ações são numerosas e diversificadas !!!
PROJETO DE PROCESSOS
É o conjunto de documentos elaborados por uma equipe de engenheiros com detalhes suficientes para a construção e a
operação de uma planta industrial
Investigar mercado para o produto
Investigar disponibilidade de matéria prima
Estabelecer as condições da reação e sub-produtos
Estabelecer o número e o tipo dos reatores
Definir o número e o tipo dos separadores
Definir o número e o tipo de trocadores de calor
Estabelecer malhas de controle
Definir o fluxogramado processo
Calcular as dimensõesdos equipamentos
Calcular o consumo de matéria prima
Calcular o consumo de utilidades
Calcular o consumo de insumos
Calcular a vazão dascorrentes intermediárias
Investigar reagentesplausíveis Avaliar a
lucratividadedo processo
À luz da Engenharia de Processos elas são organizadas da seguinte forma
quanto à sequência no Projeto
SELEÇÃO DAROTA QUÍMICA
Investigar mercado para o produto
Investigar reagentesplausíveis
Investigar a disponibilidade
das matérias primas
Definir as condições das reações e
identificar os sub-produtos gerados
SÍNTESE
Estabelecer o número e o tipo
dos reatores
Definir o número e o tipo dos
separadores
Definir o número e o tipo de
trocadores de calor
Estabelecer malhas de controle
Definir o fluxograma do
processo
ANÁLISE
Calcular o consumo de utilidades
Calcular a vazão das correntes
intermediárias
Calcular as dimensões dos equipamentos
Calcular o consumo dos insumos
Calcular o consumo de matéria prima
Avaliar a lucratividadedo processo
DIFICULDADE NA SÍNTESE
MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Síntese de um Fluxograma para a Rota Química
Projeto: segundo passo
Equipamentos disponíveis para a geração de um fluxograma
RM
Reator demistura
RT
Reator tubular
DS
Coluna de destilaçãosimples
DE
Coluna de destilaçãoextrativa
A
Aquecedor
R
Resfriador
T
Trocador deIntegração
Este problema é simples
O espaço das soluções é constituido apenas de 8 fluxogramas
EXEMPLO
DS
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
(7)
RM
A,B
P,A
DS
P
A
T
(8)
RM
R
A
A,B
P,A
P
A
DE
(9)
DSRT RAA,B A,P
P
A
(11)
RM
A,B
P,A
P
A
T DE
(10)
DSRT A,P
P
A
T
A,B
(12)
RT RAA,B A,P
P
A
DE
(13)
RT A,P
P
A
T
A,B
DE
(14)
DIFICULDADE NA ANÁLISE
MULTIPLICIDADE DE SOLUÇÕES
Análise dos fluxogramas gerados na Síntese
Projeto: terceiro passo
1 2
Q = 10.000 kgA/h
x = 0,02 kgAB/kgAo
W1
kgB/hW2
kgB/h
y1
kgAB/kgBy2
kgAB/kgB
x1
x2
kgAB/kgAkgAB/kgA
Modelo Matemático1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0
Avaliação EconômicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Para cada par de valores x1,x2 resultam valores de W1, W2, y1, y2 e Lucro
EXEMPLO
dimensionamento de 2 extratores em série
0,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
02468
101214161820
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
Dificuldade: infinidade de soluções viáveis
A cada par (x1,x2) corresponde uma solução viável
Todo problema com Multiplicidade de Soluções
exige a busca da sua
OTIMIZAÇÃO
Solução Ótima
através de
Primeiro fator de complexidade
multiplicidade de soluções nos três níveis
Nível Tecnológico: determinar a rota química ótima.
Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de equipamentos e correntes.
Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.
Segundo fator de complexidade
Os 3 problemas são interdependentes.
A solução ótima de um está atrelada à solução ótima dos outros dois.
Busca Orientada por Árvore de Estados
Uma abordagem...
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Busca Orientada por Árvore de Estados
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??A+B P+C
A,B P,C
??
1 PAB Cx
?T D
2 PAB Cx
?T A
P3DE Fx
?DM
PF
4DE x
?M E
L
x
6
x o = 3x*
8
L
xx o = 4x*
L
10
xx o = 6x*
L
x
7
x o = 5x*
P?? ?
D+E P+FD,E P,F
??
L
x4
10
?
P3DE Fx
Nível TecnológicoSeleção de uma Rota
Fluxograma ?Dimensões ?
Nível EstruturalSíntese de um
FluxogramaDimensões ? Lucro?
Nível ParamétricoAnálise do Fluxograma
Dimensionamentodos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4 demais dimensões.
RaizRota Química ?Fluxograma ?Dimensões ?
Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Vantagem
Varre todas as soluções sem
repetiçõessem omitir a ótima
Desvantagem
Explosão Combinatória
(outros métodos)
INTRODUÇÃO GERAL1
INTRODUÇÃO ÀSÍNTESE DE PROCESSOS
8
6
SÍNTESE DESISTEMAS DE SEPARAÇÃO
7
SÍNTESE
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS
2
ESTRATÉGIASDE CÁLCULO
3
OTIMIZAÇÃOAVALIAÇÃOECONÔMICA
4 5
ANÁLISE
“Bola de Cristal”
OBJETIVO DA ANÁLISE
Prever e avaliar
o desempenho físico e econômico
ou ainda inexistente (em fase de projeto)
de um processo já existente (em operação)
Consiste em
(a) prever as dimensões dos principais equipamentos e as condições das correntes, necessárias para atender às especificações técnicas estabelecidas para o projeto.
BaseModelo Matemático
Prever e avaliar o desempenho FÍSICO
(b) prever o comportamento do processo em condições diferentes daquelas para qual foi dimensionado.
Consiste em Verificar se o processo atende aos critérios econômicos de lucratividade de forma a justificar a sua montagem e a sua operação.
BaseCritério Econômico
Prever e avaliar o desempenho ECONÔMICO
ESTRATÉGIASDE CÁLCULO
3AVALIAÇÃOECONÔMICA
4
INTRODUÇÃO ÀANÁLISE DE PROCESSOS
2
OTIMIZAÇÃO
5
Resumo da Análise de ProcessosCada Capítulo gera subsídios para os Módulos Computacionais
MODELOFÍSICO
MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMASNA ANÁLISE DE PROCESSOS
2. Escrever o modelo matemático.
1. Reconhecer ou desenhar o fluxograma: equipamentos, correntes, variáveis do processo.
7. Avaliar criticamente o resultado.
6. Resolver o problema.
5. Estabelecer uma estratégia de cálculo.
4. Efetuar o Balanço de Informação.
3. Identificar as variáveis conhecidas e as metas de projeto.
fundamental
mais importante
Forma Geral dos Modelos Matemáticos de Processos
f1(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0f2(x1, x2, ..., xi ,..., xM) = 0 . . . . . .fN(x1, x2, ..., xi,..., xM) = 0
N equaçõesM incógnitas
constituído do conjunto dos modelos dos equipamentos.
Sistema de equações algébricas
Partindo dos modelos dos equipamentos
01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0 11. f13 - f14 = 0
12. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0
extrator
evaporador
20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
26. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
32. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0
34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/ W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/ W4 = 0
condensador
resfriador
misturadorcorrentes multicomponentes
Modelo Completo
01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k – x13 / x12 = 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 011. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0
20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 032. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 034. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 / W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/ W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 / W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/ W4 = 0
Consiste em representar o processo matematicamente utilizando os conhecimentos relativos aos Fundamentos e Equipamentos
Consiste em utilizar técnicas de processamento de informação na resolução de problemas.
Competem ao Engenheiro Químico
(a) Formulação (Modelagem Matemática):
(b) Resolução :
É um pré-requisito para esta Disciplina
Palavras-chave : Formulação e Resolução !!!
Formulação e Resolução do Modelo CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
Objeto deste Capítulo
A complexidade dos modelos exige o estabelecimento prévio de uma
Estratégia de CálculoTema deste Capítulo
Fontes de complexidade:
Em geral, os modelos de processos são complexos.
(c) presença de reciclos(b) não-linearidade de equações(a) grande número de equações e de variáveis
Desafio: como viabilizar a resolução de modelos tão complexos, e como faze-lo da forma mais eficiente possível ???
COMPLEXIDADE DOS MODELOS
MODELOFÍSICO
MODELOECONÔMICO OTIMIZAÇÃO
Variáveis Especificadas
Variáveis de Projeto
Parâmetros Econômicos
ParâmetrosFísicos Dimensões Calculadas Lucro
Objetivo de uma Estratégia de Cálculo
Minimizar o esforço computacional envolvido na resolução dos modelos (problemas de dimensionamento, simulação e otimização de processos).
3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1 Equações Não - Lineares
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES
Motivação para o estudo de equações não-lineares
No dimensionamento e na simulação de equipamentos e de processos ocorrem sistemas de equações que só podem ser
resolvidos por métodos iterativos de tentativas
empregados na resolução deequações
Assim, este Capítulo começa com métodos de resolução de equações.
3.1 Equações Não-Lineares
3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Projeto 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1.1 Representação
Na abordagem aqui adotada, uma vez formulada representando um fenômeno físico, a equação
f (x1*, ..., xi - 1
*, xi, xi + 1*,…, xM
*) = 0
passa ser vista como um “processador de informação” assim representada :
3.1 EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.1.1 Representação
f j
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
x1
x2 x i - 1
x i + 1xM
x iincógnita
variáveis conhecidas
A dificuldade da resolução de
f (x1*, ..., xi - 1
*, xi , xi + 1*,…, xM
*) = 0
depende da sua forma funcional.
incógnita x2: x1* x2 + ln x1
* = 0
incógnita x1: x1 x2* + ln x1 = 0
Solução analítica simples: x2 = - (ln x1
*) / x1*
Solução numérica por tentativas
Exemplo
x1 x2 + ln x1 = 0
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.1.2 Métodos Numéricos
Métodos de Aproximações Sucessivas
Há duas famílias importantes de métodos numéricos para a resolução de equações não-lineares.
Métodos deRedução de Intervalos
Por diferentes raciocínios lógicos, promovem a redução do intervalo até que se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Por diferentes raciocínios lógicos, testam valores sucessivos até que a diferença relativa entre 2 valores sucessivos se torne menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
Partem de um intervalo inicial.(limites inferior e superior)
Partem de um valor inicial.
3.1.2 Métodos Numéricos
Dados os limites superior xs e inferior xi , define-se o intervalo de incerteza xs - xi .
Qualquer valor no interior ou na fronteira do intervalo serve como solução.
xsxi
(a) Métodos de Redução de Intervalos
Este é reduzido sucessivamente até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida: xs - xi .
xi xsxi xs
f (x)
Um método típico de Redução de Intervalos
Método da Bisseção ou Busca Binária
A cada iteração, o intervalo de incerteza é reduzido à metade.
x
ALGORITMO
SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs
f(x)
x
xi
fi
xs
fs
x
f
xs
fs
xi
fi
x
f
f(x)
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f
Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em x
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi
x fBISS
f (x)
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
xi fi x f xs fs
0,00005 -11,51 1 2 1
0,00005 -11,51
0,5 0,307
0,5 0,307
0,375 -0,231
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
f = x1 x2* + ln x1
x2* = 2 : xi = 0 : xs = 1: = 0,1
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f
Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em x
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi
EFICIÊNCIA DO MÉTODO
Nt : número total de cálculos da função para alcançar o intervalo
Nm : número de cálculos da função, no meio do intervalo, necessário para alcançar o intervalo
Como o método se inicia com o cálculo da função nos limites inferior e superior, então:
Nt = Nm + 2
Solução para = 0,1 : x = 0,4375 f = 0,048
xi fi x f xs fs
0,00005 -11,51 1 2 1
0,00005 -11,51
0,5 0,307
0,5 0,307
0,375 -0,231
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5 0,307
0,25 -0,88
0,375 -0,231
0,4375 0,048
0,5
0,25
0,125
0,0625
= 0,5Nm
ln = Nm ln 0,5
Nt = 2 + ln / ln 0,5
10% : = 0,1 N = 5,3 Nt = 6
1% : = 0,01 N = 8,6 Nt = 9
Nt = 2 – 1,4 ln
Atribui-se um valor inicial para a incógnita.
(b) Métodos de Aproximações Sucessivas
xi xs
x1 x2 x3
Esse valor é atualizado sucessivamente até que o erro relativo entre duas aproximações sucessivas, abs [(xk - xk-1) / xk], seja menor do que uma tolerância pré-estabelecida.
x4 x5
Um método típicoMétodo da Substituição Direta
Se a incógnita aparecer em mais de termo da equação, ela é explicitada parcialmente:
f(xi ) = 0 xi = F(xi)
Exemplo
x1 = e - x1
x2
*
x1 = - (1/ x2*) ln x1
F(x1)
F(x1)
x1 x2* + ln x1 = 0f(x1)
ALGORITMO
Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)
Estabelecer xinicial, (tolerância)
REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F
F = xinicial
Como dar a partida ?
Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.
F(x)
x
Convergir = |(F-x)/x| < (erro relativo)
Estabelecer xinicial, (tolerância)F = xinicial
REPETIR x = F Calcular a Função F em xATÉ Convergirxsolução = F
x1x2x3
Executando o Algoritmo
Em cada iteração, o valor arbitrado para xi é o valor de F(xi - 1) obtido na iteração anterior.
Condição para Convergência : |F´(x)| < 1
F(x)
xx1
x2x3
convergência monotônicaderivada positiva
convergência oscilatória derivada negativa
x1
x3
x2
F(x)
x
Na direção da Solução
Condição para Divergência |F´(x)| > 1
F(x)
xx1x3 x2
F(x)
xx1x2x3
divergência monotônicaderivada positiva
divergência oscilatóriaderivada negativa
Afastamento da Solução
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
x1 = F(x1)(x2
* = 2 : x1 inicial = 0,5)
F(x1) = - (1/ x2*) ln x1 F(x1) = e - x
1 x
2*
Divergência Oscilatória F’(x1) = - 1,17
Convergência Oscilatória F’(x1) = - 0,85
Solução: x = 0,4263
F(x)
x1
x2
x3
x
x1
x3
x2
F(x)
x
x F 0,5 0,346 0,3080,346 0,529 0,5290,529 0,317 0,4000,317 0,573 0,8060,573 0,278 0,515
x F 0,5 0,367 0,2640,367 0,479 0,3020,479 0,383 0,1990,383 0,464 0,2100,464 0,395 0,149
Exemplo: x1 x2* + ln x1 = 0
oscilando
para maior
oscilando
para menor
F(x)
xx1
x2x3
F(x)
xx1x2x3
Equações que representam processos de operação estável, também apresentam comportamento estável, ou seja,
convergem.
Em resumo
Equações Não-Lineares podem ser resolvidas por métodos:
- redução de intervalos (ex.: bisseção)
- aproximações sucessivas (ex.: substituição direta)
Esses métodos serão evocados a seguir em
Sistemas de Equações.
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos
3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares3.2.1 Estrutura e Representação
A equação
f (x1, ..., xi-1, xi, xi+1,…, xM) = 0
pode ser representada como um “processador de informação”
3.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES NÃO – LINEARES 3.2.1 Estrutura e Representação
f j
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
x1
x2 x i - 1
x i + 1xM
x i
Um sistema de equações pode ser representado por um
sistema de processadores
Os elementos desse sistema são as equações.
As conexões são as variáveis comuns.
Durante a resolução de um problema, os processadores transmitem informação de uns para os outros.
f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x x1
x2
x30
f1(xo,x1) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x x1
x2
x30
Estrutura Acíclica
f1(xo,x1,x3) = 0f2(x1,x2) = 0f3(x2,x3) = 0
1 2 3x0
x1
x2
x3
x3
Estrutura Cíclica
Estruturas Básicas
Os sistemas de equações podem assumir as mais variadas estruturas.
1 2 3x x1
x2
x30
Estrutura Acíclica
1 2 3x0
x1
x2
x3
x3
Estrutura Cíclica
Estrutura acíclica: resolução trivial por encadeamento sucessivo a partir que qualquer variável conhecida (xo, por exemplo).
Estrutura cíclica: solução somente por tentativas (exemplo: conhecida xo, o cálculo de x1 depende de x3 ainda não calculada).
?
f1(xo, x1) = 0f2(x1, x2) = 0f3(x2, x3) = 0
f1(xo, x1, x3 ) = 0f2(x1, x2) = 0f3(x2, x3) = 0
Um Sistema de Equações Típico de um Modelo de Processo
1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0
Representações
Através da representação é possível enxergar como os processadores trocam informações.
E, assim, conceber métodos eficientes de resolução.
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 1 1 0 0 0 0 0 0 02 0 1 1 0 0 0 0 0 03 0 0 1 1 0 0 1 0 04 0 0 0 1 1 0 0 0 05 0 0 0 0 1 1 0 0 06 0 0 0 0 0 1 1 0 07 0 0 0 0 0 0 1 1 08 0 0 0 0 0 0 0 1 1
Matriz Incidência (Numérica)
X0 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 * *2 * *3 * * *4 * *5 * *6 * *7 * *8 * *
Matriz Incidência (Gráfica)Matrizes Esparsas !
1. f1(xo*,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Representação Matricial
Característica em Processos
o número de variáveis em cada equação é pequeno: nem todas as variáveis figuram em todas as equações.
1. f1(xo*,x1) = 0
2. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Representação Gráfica (Grafo)
Ciclo !
Proporciona uma visão mais clara da estrutura do sistema
x6
1 2 3 4 5 6 7 8x1 x2 x3 x4 x5 x6
x7 x8xo
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e Representação
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
Os sistemas de equações podem ser resolvidos por - métodos simultâneos- método seqüencial.
Métodos Simultâneos
Calcular F1
x1(k+1) = F1
Calcular F2
x2(k+1) = F2
TESTE
TESTE
x1 = x1(k+1)
x1k
x2k
x1(k+1)
x2(k+1)
x2 = x2(k+1)
Diversos métodos são descritos em livros texto e abordados em disciplinas de Métodos Numéricos.
Exemplo: Newton-Raphson, Wegstein, ...
Todas as variáveis são alteradas simultaneamente.
Método Sequencial
É um método alternativo em que as equações são acionadas uma-a-uma, passando informação de uma para a outra, numa sequência lógica previamente estabelecida.
Este método é chamado de Resolução por Equações ("equation oriented").
É um algoritmo de atribuição de tarefas
Algoritmo de Ordenação de Equações (AOE)
1. Atribui a cada equação a tarefa de calcular uma das incógnitas do sistema.
2. Ao mesmo tempo, organiza as equações segundo uma
Sequencia de Cálculo
que minimiza o esforço computacional.
Outros resultados
4. Em problemas com graus de liberdade, indica as variáveis de projeto compatíveis com o esforço computacional mínimo.
3. Efetua automaticamente a partição do sistema em conjuntos cíclicos e acíclicos de equações, minimizando o número de equações envolvidas em cálculos iterativos.
5. Em problemas com ciclos, indica as variáveis de abertura(a definir).
Partição ???
x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
Consiste em decompor o sistema em sub-sistemas
PARTIÇÃO"partitioning"
1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Resolvem-se os sub-sistemas sequencialmente
1, 2[ ]
Parte AcíclicaCálculo Direto
xo* x2[ 3, 4 , 5 ,6 ]
Parte CíclicaCálculo Iterativo
x6 [7, 8]x8
Parte AcíclicaCálculo Direto
O Algoritmo simplesmente formaliza
ações intuitivas e óbvias
utilizando os seguintes termos básicos
Equações de Incógnita Única
Variáveis de Frequência Unitária
Ciclos
x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
1. f1(xo,x1) = 02. f2(x1,x2) = 03. f3(x2,x3,x6) = 04. f4(x3,x4) = 05. f5(x4,x5) = 06. f6(x5,x6) = 07. f7(x6,x7) = 08. f8(x7,x8) = 0
Equações de Incógnita Única
São equações em que todas as variáveis têm os seus valores conhecidos, menos uma!
Exemplo: equação 1
Uma vez resolvida para x1
a equação 2 fica com incógnita única
podendo ser resolvida para x2
Não há mais equações de incógnita única
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação
O Algoritmo pode começar assim:
(c) remover a variável da lista das incógnitas
(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo
x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
2. x2
1. x1Não há mais equações de incógnita única
Sequênciade Cálculo
Varáveis de Frequência Unitária
São variáveis que pertencem a uma só equação
Só pode ser calculada pela Eq. 8 depois de x7
x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
Exemplo: x8
Então x7 só pode ser calculada pela Eq.7 ficando com frequência unitária
Só pode ser calculada pela Eq. 7 depois de x6
Não há mais variáveis de frequência unitária
Enquanto houver variáveis de frequência unitária(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação
O Algoritmo pode prosseguir assim:
(c) remover a variável da lista das incógnitas
(b) colocar a equação na última posição disponível na Sequencia de Cálculo
1. x1
2. x2
-
-
-
-x
x*1 2 3 4 5 6 7 8
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
x8
6
o
8. x8
7. x7
Não há mais variáveis de frequência unitária
Sequênciade Cálculo
Ciclos
x
3 4 5 6x
3x
4x
5
6
x2 x6
x6 = f6(x5) = f6(f5(x4)) = f6(f5(f4(x3))) = f6(f5(f4(f3(x2,x6)))) = F(x6)
São conjuntos cíclicos de equações em que cada variável vem a ser função dela mesma.
Solução exclusivamente por métodos iterativos
Preparação do sub-sistema cíclico para resolução por tentativas
(d) Estabelecer o esquema de convergência
(a) Selecionar uma Equação Final(b) Retornar à Etapa 2 (VFU)(c) Identificar a Variável de Abertura (não atribuída a qualquer equação)
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
Equação Final
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
X6Variável de Abertura 1. x1
2. x2
8. x8
7. x7
5. x5
4. x4
3. x3
6. final
x6
Sequênciade Cálculo
1 2X
o*
X1
X2
7 8X
6X
7X
83 4 5
X3
X4
X5
3 4 5 6X
3X
4X
5
Equação Final
3 4 5X
3X
4X
53 4 5 6
X3
X4
X5
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
6 final
8 x8
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x2
7 x7
3 x34 x45 x56 final
8 x8
X6Variável de Abertura
x6
META DO ALGORITMO
Sequencia de Cálculo Resultante
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação no primeira posição disponível na Sequencia de Cálculo.(c) remover a variável (X na vertical).
Enquanto houver variáveis de frequência unitária(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação no última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação (X na horizontal).Se ainda houver equações (ciclo!) (a) selecionar uma equação que contenha pelo menos uma variável de freqüência igual à menor freqüência dentre todas as variáveis (Final).(b) colocar essa equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c ) remover equação (X na horizontal).
ESTABELECIMENTO DO ESQUEMA DE CONVERGÊNCIA
Insere-se um Promotor de Convergência
São apresentados dois Promotores de Convergência baseados nos métodos para equações não-lineares:
(a) Bisseção
(b) Substituição Direta
Uma vez ordenadas, as equações podem ser resolvidas na seqüência estabelecida, com o mínimo de esforço computacional.
x
ALGORITMO
SE ABS(fi) < ABS(fs) ENTÃO Solução = xi SENÃO Solução = xs
f(x)
x
xi
fi
xs
fs
x
f
xs
fs
xi
fi
x
f
f(x)
Se Sinal (f) = Sinal (fi): Então atualizar : xi = x : fi = f
Estabelecer xi, xs, (tolerância)Calcular fi em xi
Calcular fs em xs
REPETIRx = (xi + xs)/2Calcular f em x
Senão atualizar : xs = x : fs = f
ATÉ xs - xi
x fBISS
f (x)
Relembrando o Método da Bisseção
A cada iteração:- arbitra-se x6a .- resolve-se sucessivamente as equações 3, 4 e 5.- pela equação 6 calcula-se f6 (x5, x6).- avalia-se a convergência pelo critério do método da bisseção.
x
xi
fi
xs
fs
x
f
f(x)
(a) BISSSEÇÃOx6a
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
BISSf6 (x5, x6)
f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0
(c)
F'(x) < 0 |F'(x)| < 1
convergência oscilatória
F(x)
xx1x2 x3
(a)
F'(x) > 0 |F'(x) < 1
convergência monotonica
x1x2
F(x)
x
x3
ALGORITMO
Estabelecer xinicial, (tolerância)
F = xinicial
xsolução = F
Convergir = |(F - x)/x| <
REPETIRx = F
Calcular a Função F em x
ATÉ Convergir
RELEMBRANDO O MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO DIRETA
x = F ( x)f (x) = 0 explicitando x
A solução é a interseção de F(x) com a reta de 45º onde ela é igual ao próprio x.
(b) SUBSTITUIÇÃO DIRETA
Arbitra-se x6c inicial.A cada iteração:- toma-se x6a = x6c . - resolve-se sucessivamente as equações 3, 4, 5 e 6, que calcula x6c.- avalia-se a convergência através do erro relativo ABS (x6c – x6a) / x6a
x1
x2
x3
x6c
x6a
x6c
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
SDx6a
COMPARAÇÃO DOS PROMOTORES DE CONVERGÊNCIA
(b) Substituição Direta
Arbitra-se x6a . A cada iteração, a eq.6 calcula x6c = f6(x5) : x6a = x6c (até convergir).
f6 (x5, x6)(a) Bisseção
x6a
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
BISS
f3 (x2,x3,x6) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0
Arbitra-se x6a. A cada iteração, a eq.6 calcula f6 (x5, x6) (até convergir)
x6c
3 4 5 6x2 x3 x4 x5 x6
SDx6a
f3 (x2,x3,x4) = 0 f4 (x3,x4) = 0 f5 (x4,x5) = 0 f6 (x5,x6) = 0
1. f1(xo*, x1) = 02. f2(x1, x2) = 03. f3(x2, x3, x6) = 04. f4(x3, x4) = 05. f5(x4, x5) = 06. f6(x5, x6) = 07. f7(x6, x7) = 08. f8(x7, x8) = 0
Do ponto de vista prático, o Algoritmo é aplicado sobre a Matriz Incidência
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X *
2 * *
3 * * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
1 -
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Seqüência
Equações de Incógnita Única (EIU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X *
3 * * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
Seqüência
1 - x1
2 -
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Equações de Incógnita Única (EIU)
Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Seqüência
Equações de Incógnita Única (EIU)Círculo na variável inscrição no primeiro lugar x na vertical
Não há mais Equações de Incógnita Única (EIU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 * *
Seqüência
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 -
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 * *
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 -
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Não há mais Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 * *
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 -
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Ciclo!
Equação Final ?
x
3 4 5 6x
3x
4x
5
6
x2 x6
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 X X
7 X O
8 X O
Equação Final: 6
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)Volta-se a buscar...
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 * *
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 -
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Aqui há 2 VFU: X5 e X6.
A ordem em que são escolhidas não importa. Uma não afeta a outra.
Ela poderiam ser até resolvidas em paralelo.
Na verdade, elas poderiam ser calculadas em paralelo porque
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 * *
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 -
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X * *
4 X O
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 -
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X O X
4 X O
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
1 - x1
2 - x2
3 - x3
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
Seqüência
Variáveis de Frequência Unitária (VFU)
Círculo na variável inscrição no último lugar x na horizontal
X0* X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8
1 X O
2 X O
3 X O X
4 X O
5 X O
6 X X
7 X O
8 X O
Variável de Abertura: x6
1 - x1
2 - x2
3 - x3
4 - x4
5 - x5
6 - final
7 - x7
8 - x8
x6
Seqüência
SEQUÊNCIA DE CÁLCULO FINAL
EQUAÇÃO VARIÁVEL1 x12 x23 x34 x45 x56 final7 x78 x8
1 2 3 4 5 6 7 8X
O*
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X6
X6
variável de abertura
equação final
x6
PROCESSOOTIMIZAÇÃO
* LEE x13 2 1
x4
x3
x2
x1
x2
x3
x5 5
AVALIAÇÃOECONÔMICA
PROCESSO
OTIMIZAÇÃO* LEE x
13 21x
4x
32x x
2x
3x
x4
5 5AVALIAÇÃOECONÔMICA
PROCESSO* LEE x
14 3 2 1x
4x
3x
2x
1x
2x
3x
4AVALIAÇÃOECONÔMICA
Sol.únicasem ciclo
Otimizaçãocom ciclo
Sol.únicacom ciclo
Otimizaçãosem ciclo
PROCESSO* LEE x14 3 21
x4
x3
x2
x 2 x 3 x4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
x4
x1
x1
1 f1(x1, x2)2 f2(x2, x3, x4) = 03 f3(x3, x4) = 04 f4(x4) = 0
Sistema 1
G = 0 : solução única, sem variável de projetoCiclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura
1 * *2 * * *3 * *4 *
x1 x2 x3 x4
Matriz Incidência
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4Grafo
Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única
(c) remover a variável.
4 x4
3 x3
2 x2
1 x1
Seqüência de CálculoEquação Variável
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4
1 * *
2 * * *
3 * *
4 *
X
X
X X
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.
G = 0 : Solução Única, sem variável de projetoProcesso : sequência direta (sem ciclos)
PROCESSOLEE*
4 3 2 1x4 x3 x2 x1 AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
x4 x3 x2 x1
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4Grafo
Como a eq. 4 é de incógnita única, x4 é a primeira e o seu valor é transmitido para a eq.2 desfazendo o ciclo em potencial
Sistema 2
1 f1(x1,x2)2 f2(x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0
G = 1 : problema de otimização, haverá uma variável de projeto.Ciclo potencial: a confirmar, haverá uma variável de abertura.
1 * *x1 x2 x3 x4 x5
2 * * *3 * *4 * *
Matriz Incidência
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4
x5
Grafo
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única (a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
4 x5
3 x3
2 x2
1 x1
Seqüência de Cálculo
Equação VariávelMatriz Incidência
x1 x2 x3 x4 x5
1 * *
2 * * *
3 * *
4 * *
X
XX X
X
Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(c) remover a equação.
x4 variável de
projeto
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.
(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.
x4
1 2 3 4x1 x2 x3 x4
x4
x5
Grafo
PROCESSO
OTIMIZAÇÃOLEE*
3 2 1x3
4
x2 x1
x5
x4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
x1 x2 x3 x5
Como x4 resultou como Variável de Projeto o ciclo desapareceu
G = 1 : Otimização, uma variável de projetoProcesso : sequência direta (sem ciclos)
Sistema 3
1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4) = 0
G = 0: solução única, sem variável de projetoCiclos potenciais: a confirmar haverá variáveis de abertura
x1 x2 x3 x4
1 * *2 * * * *3 * *4 *
Matriz Incidência
1 2 3 4x2 x3 x4
x4
x1
Grafo
Algoritmo de Ordenação de EquaçõesEnquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
4 x4
3 x3
1 x2
2 final
Seqüência de CálculoEquação Variável
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4
1 * *
2 * * * *
3 * *
4 *
XX XXX
X
x1: Variável de Abertura
x1
x1 : variável de abertura
PROCESSOLEE*
4 3 21x4 x3 x2
x1
AVALIAÇÃOECONÔMICA
x1 x2 x3 x4
1 2 3 4x2 x3 x4
x4
x1
Grafo
Aqui, o ciclo persistiu e teve que ser aberto
G = 0 : Solução Única, sem variável de projetoProcesso : sequência com ciclo e uma variável de abertura
Sistema 4
1 f1(x1,x2)2 f2(x1,x2,x3,x4) = 03 f3(x3,x4) = 04 f4(x4,x5) = 0
G = 1: problema de otimização com uma variável de projetoCiclos potenciais: poderá haver variáveis de abertura
x1 x2 x3 x4 x5
1 * *2 * * * *3 * *4 * *
Matriz Incidência
1 2 3 4x2 x3 x4
x4
x1
Grafo
x5
Matriz Incidência x1 x2 x3 x4 x5
1 * *
2 * * * *
3 * *
4 * *
X
X X X
X 4 x5
3 x3
1 x2
2 final
Seqüência de Cálculo
Equação Variável
X
X
Enquanto houver equações Enquanto houver variáveis de freqüência unitária
(a) atribuir (vincular) essa variável à respectiva equação.(b) colocar a equação na última posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a equação.
Algoritmo de Ordenação de Equações
Enquanto houver equações com incógnita única
(a) atribuir (vincular) essa incógnita à respectiva equação.(b) colocar a equação na primeira posição disponível na Seqüência de Cálculo.(c) remover a variável.
Sobram x1 e x4
Uma de projeto
Outra de abertura
Eqs 1 e 3 independentes: qualquer uma
x4: variável de aberturax1 : variável de projeto
1 2 3 4x2 x3
x4
x1
Grafo
x5
E*PROCESSO
OTIMIZAÇÃOLE
2 31x
4x
3
x4
2x
x1
5x
2x
3x
4x
5 AVALIAÇÃOECONÔMICA
G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura
Opção 1:
x4: variável de projetox1 : variável de projeto
1 2 3 4x2 x3
x4
x1
Grafo
x5
E*PROCESSO
OTIMIZAÇÃOLE
2 31x
4x
3
x1
2x
x4
5x
2x
3x
4x
5 AVALIAÇÃOECONÔMICA
Opção 2:
G = 1: Otimização, com uma variável de projeto Processo: Sequência Cíclica com uma variável de abertura
PROCESSOOTIMIZAÇÃO
* LEE x13 2 1
x4
x3
x2
x1
x2
x3
x5 5
AVALIAÇÃOECONÔMICA
PROCESSO
OTIMIZAÇÃO* LEE x
13 21x
4x
32x x
2x
3x
x4
5 5AVALIAÇÃOECONÔMICA
PROCESSO* LEE x
14 3 2 1x
4x
3x
2x
1x
2x
3x
4AVALIAÇÃOECONÔMICA
Sol.únicasem ciclo
Otimizaçãocom ciclo
Sol.únicacom ciclo
Otimizaçãosem ciclo
PROCESSO* LEE x14 3 21
x4
x3
x2
x 2 x 3 x4
AVALIAÇÃOECONÔMICA
x4
x1
x1
REGRAS COMPLEMENTARES NA APLICAÇÃO DOALGORITMO DE ORDENAÇÃO DE EQUAÇÕES
- Variáveis discretas- Variáveis de cálculo direto e iterativo- Variáveis limitadas- Ciclos múltiplos- Variáveis de abertura e de projeto- Eliminação de ciclos.
Variáveis Discretas
Seus valores são limitados a um conjunto finito.
Exemplos: - tipos de insumos: utilidades, solventes, catalisadores.- diâmetros comerciais de tubos.- número de estágios.
Em problemas com G > 0 elas têm preferência como Variáveis de Projeto.Assim:
- assumem apenas os valores viáveis atribuídos pelo otimizador.- não sendo calculadas, não há risco de assumirem valores inviáveis.
Para x = 1 : y = 3 a = 3 (não existe !)
Para: a = 0,5 : x = 1 y = 0,5Para: a = 1 : y = 1 x = 1
x
ya = 1
a = 0,5
V = 3 : N = 1 : G = 2 (duas variáveis de projeto)
Exemplo: y = a xO parâmetro só pode assumir 2 valores: 1 ou 0,5
Logo: a tem que ser uma das duas variáveis de projeto
Variáveis de Cálculo Direto ou Iterativo
Exemplo
43
21
4321
TTTT
ln
)TT(TT
Nesta equação:
- é uma variável de cálculo direto (dadas as temperaturas)- qualquer T é de cálculo iterativo (dado e as demais T’s)
As variáveis de cálculo direto têm preferência para a condição de calculadas.
Variáveis de cálculo direto são aquelas que podem ser facilmente explicitadas numa equação e calculadas sem necessidade de iterações.
Varáveis Limitadas
Os seus valores variam entre limites bem definidos.
Exemplos:- frações mássicas ou molares- temperaturas em trocadores de calor
Variáveis limitadas devem ter preferência para atuar como variáveis de abertura e de
projeto.
Durante a execução do Algoritmo, a atribuição deve ser postergada ao máximo
para que essa preferência seja concretizada.
Ciclos Múltiplos
f1(xo,x1,x3) 0
f2(x1,x2) 0
f3(x2,x3) 0
f4(x3,x4) 0
f5(x4,x5,x7) 0
f6(x5,x6) 0
f7(x6,x7) 0
=
=
=
=
=
=
=
1
2
4
56
1. x
2. x
3. final
4. x
5. x
6. x
7. final
x3
x7
Ciclos em Sequência
Primeira entrada de x7: eq. 5Primeira entrada de x3: eq. 1
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Um sistema de equações pode exibir diversos ciclos.
Ciclos Aninhados (“nested”)
00
00
f x x xf x x xf x x xf x xf x x xf x x xf x x
1 o 1 7
2 1 2 6
3 2 3 5
4 3 4
5 3 4 5
6 5 6 7
7 6 7
0
0
0
( , , )( , , )( , , )( , )( , , )( , , )( , )
===
===
=
X4
X7
1. x1
4. x3
6. x5
3. x2 5. final
7. x6
2. final
Ciclos Múltiplos
Primeira entrada de x7: eq. 7
Primeira entrada de x4: eq. 4
Fechar o ciclo com a final mais próxima
Variáveis de Abertura e de Projeto Simultâneas
(a)
1. x 12. x 2
4. x 4
6. x 6
3. x 3
x7x5
5. final
7. x 8
Escolha ConvenienteCiclo com 3 equações
1. x 12. x 2
4. x 4
6. x 6
3. x 3
x7x5
5. final
(b)
7. x 8
Escolha InconvenienteCiclo com 4 equações
Em problemas com G > 0 e com ciclo, a variável de abertura deve ser aquela que fecha, com a Equação Final, um ciclo com o
menor número de equações.
Eliminação de Ciclos
31. x31 = 1 – x11* 32. x32 = 1 – x12
04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12]07. W3 = W1* x11* r / x13
01. W2 = W1* x31 / x32
02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0
x12
Equação Final 02. W1* x11* – W2 x12 – W3 x13 = 0 W2 da eq.01:02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – W3 x13 = 0 W3 da eq. 07:02’. W1* x11* - [W1* x31 / x32] x12 – [W1* x11* r / x13] x13 = 0 x13 da eq. 04 e x32 da eq.32:02’. x12 = x11
* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)]
x31 calculado antes do ciclo
31. x31 = 1 – x11* 02’. x12 = x11
* (1 – r) / [x31 + x11* (1 – r)]
32. x32 = 1 – x12
04. x13 = k x12 / [1 + (k – 1) x12]07. W3 = W1* x11* r / x13
01. W2 = W1* x31 / x32
Sequência com Ciclo Sequência sem Ciclo
Substituição Algébrica
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.3 Dimensionamento e Simulação dos Equipamentos
Adquirir familiaridade com os equipamentos antes de integrá-los no processo (livres de interações).
Motivação para estudar os equipamentos isolados
Montar as rotinas de dimensionamento e de simulaçãoque integram o programa de análise do processo.
Rever conhecimentos adquiridos em disciplinas anteriormente cursadas.
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
Analogia: estudar os instrumentos isoladamente antes de compor a melodia para a orquestra
ENGENHARIA DE EQUIPAMENTOS
Projeto e Análise dos Equipamentosde Processo
ReatoresTrocadores de calorSeparadores
Torres de destilaçãoTorres de absorçãoExtratoresCristalizadoresFiltrosOutros...
Instrumentos de Controle Automático
CIÊNCIAS BÁSICAS
FUNDAMENTOS
ENG. DE EQUIPAMENTOS
Tratamento compartimentado!
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
Dimensões dos principais Equipamentos.
Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos
Especificaçõesde projeto
Modelo Matemático
previsão
Dimensões dos principais equipamentos
Consumo de utilidadesmatérias primas e insumos
Modelo Econômico
avaliaçãoLucro
No caso de processos químicos, a Análise consiste em prever e avaliar o desempenho de cada fluxograma gerado na Síntese, para fins de comparação
1.6.4 Análise
Genericamente: análise significa
- decompor um todo em suas partes,
- depreender o comportamento do todo a partir do comportamento das partes.
PROJETO = SÍNTESE ANÁLISE
W6
T6
W10 T10
W13 T13 W11
T11
W8
T8
W1
x11
T1
f11
f31
W7 T7
W5 T5
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
W12 T12
W12 T12
W14 T14
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
9
10
11
12
13
14
15
Vd Ae
AcAr
Alimentação
Vapor
ÁguaÁgua
Benzeno
Benzeno
Produto
Condensado
W15 T15
Para analisar o Processo
W10 T10
W13 T13
W12 T12
RESFRIADOR
10
11
12
13
Ar
Água
W13 T13
W8
T8
W5 T5
W12 T12
CONDENSADOR
58
9
Ac
Água
W10 T10
10
Benzeno
W6
T6
W7 T7
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
EVAPORADOR
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3
ExtratoW1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3 x13
T3 f13 f23
W15 T15
Fragmentando o Processo
W14 T14
MISTURADOR
14
15
Benzeno
W15 T15
13
W10 T10
W13 T13
W12 T12
RESFRIADOR
10
11
12
13
Ar
Água
W13 T13
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3 x13
T3 f13 f23
W15 T15
W8
T8
W5 T5
W12 T12
CONDENSADOR
58
9
Ac
Água
W10 T10
10
Benzeno
W6
T6
W7 T7
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
EVAPORADOR
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3
Extrato
O Processo fragmentado...
W14 T14
MISTURADOR
14
15
Benzeno
W15 T15
13
01. Balanço Material do Ácido Benzóico: f11 - f12 - f13 = 002. Balanço Material do Benzeno: W15 - f23 = 003. Balanço Material da Água: f31 - f32 = 004. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: x13 - k x12 = 005. Relação de Equilíbrio Líquido-Líquido: k – (3 + 0,04 Td) = 006. Balanço de Energia: (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Equação de Dimensionamento: Vd - (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) = 008. Fração Recuperada de Ácido Benzóico: r - f13 / f11 = 009. Fases em Equilíbrio T2 – Td = 010. Fases em Equilíbrio T3 – Td = 0
EXTRATOR
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3 x13
T3 f13 f23
W15 T15
34. Vazão Total na Corrente 1: f11 + f31 - W1 = 035. Fração Mássica na Corrente 1: x11 - f11 / W1 = 036. Vazão Total na Corrente 2: f12 + f32 – W2 = 037. Fração Mássica na Corrente 2: x12 - f12 / W2 = 038. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 / W3 = 0
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume
W1
x11
T1
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
Vd
W3 x13
T3 f13 f23
W15 T15
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.
W3 x13
T3 f13 f23
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
T*15 = 25 oC
*= 0,0833 hr* = 0,60
Vd
W15 W15
Vd
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
Por enquanto, o extrator é apenas uma figura (não existe)
Problema proposto: determinar o volume do decantador e a vazão de benzeno necessários para recuperar 60% do ácido benzóico presente a 0,2% nos 100.000 kg/h de alimentação, a 25 oC, com um tempo de residência de 5 min (0,0833 h). Determinar as concentrações das correntes de extrato e de rafinado. A temperatura do benzeno é 25 oC.
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
1
15
Alimentação
Extrato3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
T*15 = 25 oC
*= 0,0833 hr* = 0,60
Vd
W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
W15 = 37.370 kg/hW15
Vd = 11.855l
Balanço de InformaçãoV = 22N = 16C = 4G = 2 !
Metas de Projeto Máximo = 2V = 22N = 16C = 4M = 2G = 0
DIMENSIONAMENTO DO EXTRATOR
O Extrator, antes apenas uma figura, agora passa a existir, com o seu volume
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Quando ocorre um ciclo, o programa busca uma equação final de cima para baixo e toma a primeira que encontra (no caso, a eq 02)
Montagem da rotina Dimensionar Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)
f11 = x11 * W1 '35f13 = r * f11 '08f12 = f11 - f13 '01f31 = W1 - f11 '34f32 = f31 '03W2 = f12 + f32 '36x12 = f12 / W2 '37W = Cp1 * f11 + f31a = (25 / x12) * (W + f13 * Cp2l)b = W * (T15 + 75) - f13 * Cp2l * (T15 + 75 + 25 / x12)c = f13 * Cp2l * (T15 + 75)discr = Sqr(b ^ 2 + 4 * a * c)x13 = (discr + b) / (2 * a) '06' (Variável de abertura)W3 = f13 / x13 '39 (Início do Ciclo)k = x13 / x12 '04f23 = W3 - f13 '38Td = 25 * (k - 3) '05W15 = f23 '02 (Final do Ciclo)Vd = Tau * (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07T2 = Td '09T3 = Td '10
Aqui aparece a sequência com a eq. 06 como final e x13 var. de abertura
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
Uma vez dimensionado, o Extrator pode ser submetido a um “test-drive” para ver como se comporta (grau de violação das
metas) com diferentes condições de entrada.
Por simulação
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
W3 x13
T3 f13 f23
T*15 = 25 oC
*= 0,0833 hr* = 0,60
Vd
W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008
T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032
T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
W15 = 37.370 kg/hW15
Vd = 11.855l
Extrator dimensionado
Problema proposto: determinar as vazões e as concentrações das correntes de extrato e de rafinado, a fração recuperada de ácido benzóico e o tempo de residência, caso o extrator de Vd = 11.855L fosse alimentado com 50.000 kg/h de benzeno, e não com os 37.370 kg/h de projeto (as demais condições de entrada permanecendo as mesmas de projeto).
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
1
15
Alimentação
Extrato
3
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
V*d = 11.855 l
W*15 = 50.000 kg/h
T*15 =25 oC
r = =
SIMULAÇÃO DO EXTRATOR
G = 0 !
W*1= 100.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11
f31
1
15
Alimentação
Extrato
3
W2
x12
T2 f12 f32
EXTRATOR
Rafinado
BOMBA
2
W3 x13
T3 f13 f23
T*15 = 25 oC
*= 0,0833 hr* = 0,60
Vd
W2 = 99.880 kg/hx12 = 0,0008
T2 = 25 oCf12 = 80 kg/hf32 = 99.800 kg/h
W3 = 37.490 kg/hx13 = 0,0032
T3 = 25 oCf13 = 120 kg/hf23 = 37.370 kg/h
f11 = 200 kg/hf31 = 99.800 kg/h
W15 = 37.370 kg/hW15
Vd = 11.855l
Extrator dimensionado
Extrator preparado para simulação
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Quando ocorre um ciclo, o programa examina as equações de cima para baixo e toma a primeira candidata como eq. Final (no caso, a eq 04)
f23 = W15 '02f11 = W1 * x11 '35f31 = W1 - f11 '34f32 = f31 '03a = f11 * Cp1 + f31 * Cp3b = W15 * Cp2lTd = (a * T1 + b * T15) / (a + b) '06Tau = Vd / (f11 / Ro1 + W15 / Ro2 + f31 / Ro3) '07k = 3 + 0.04 * Td '05T2 = Td '09T3 = Td '10a = k - 1: 'Cells(24, 7) = ab = k * (f11 + f23) + f32 - f11: 'Cells(25, 7) = bc = f11 * f32: Cells(26, 7) = cdiscr = Sqr(b ^ 2 - 4 * a * c): 'Cells(27, 7) = discrf12 = (b - discr) / (2 * a) '04' Variável de Aberturaf13 = f11 - f12 '01 Início do CicloW2 = f12 + f32 '36x12 = f12 / W2 '37W3 = f13 + f23 '38x13 = f13 / W3 '39 Final de Ciclor = f13 / f11 '08
Montagem da rotina Simular Extrator do programa BenzoDSO (ciclo eliminado)
Aqui aparece a sequência com a eq. 04 como final e f12 var. de
abertura
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11) ] / ln[(T10 - T12) / (T13 - T11)] = 0
RESFRIADOR
W10 T10
W13 T13
W12 T12
10
11
12
13
Ar
Água
W13 T13
DIMENSIONAMENTO DO RESFRIADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica do resfriador necessárias para resfriar 36.345 kg/h de benzeno liquido saturado até 25 oC. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC.
W13 = T*
13 = 25 oC
W*10 = 36.345 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = T*
12 = 30 oC
10
11
12
13Ar
Água
W11 = T*
11 = 15 oC
W*10 = 36.345 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = 59.969 kg/hT*
12 = 30 oC
10
11
12
13Ar = 362 m2
Água
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oC
W13 = 36.345 kg/hT*
13 =25 oC
V = 11N = 6C = 3M = 2G = 0 !
26. Balanço Material da Água: W11 - W12 = 027. Balanço Material do Benzeno: W10 - W13 = 028. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Equação de Dimensionamento: Qr - Ur Ar r = 031. Definição do T Médio Logarítmico (r ): r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
RESFRIADOR
W10 T10
W13 T13
W12 T12
10
11
12
13
Ar
Água
W11 T11
27. W13 = W10
29. Qr = W10 Cp2l (T10 - T13)28. W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11))26. W12 = W11
d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11
31. dr = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)30. Ar = Qr / (Ur dr )
Resultando a rotina DimensionarResfriador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
SIMULAÇÃO DO RESFRIADOR
Problema proposto: pretende-se determinar as temperaturas de saída do benzeno e da água, caso o resfriador projetado para 361 m2 fosse alimentado com 20.000 kg/h de benzeno ao invés de 36.345 kg/h, mantidas a vazão e a temperatura da água de resfriamento.
W*10 = 36.345 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = 59.969 kg/hT*
12 = 30 oC
10
11
12
13Ar = 362 m2
Água
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oC
W13 = 36.345 kg/hT*
13 = 25 oC
W*10 = 20.000 kg/h
T*10 = 80 oC
W12 = 59.969 kg/hT12 = 24,5 oC
10
11
12
13A*
r = 362 m2
Água
W*11 = 59.969 kg/hT*11 = 15 oC
W13 = 20.000 kg/hT13 = 16,8 oC
Resultado do dimensionamento
V = 11N = 6E = 5G = 0 !
Resultado da simulação
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Logo de saída são ordenadas as duas EIU
As 4 demais equações formam um ciclo.Qualquer uma pode ser escolhida como final.
Por experiência, a única que permite e explicitação da variável de abertura é a 30.
Ordenação das Equações pelo Algoritmo AOE
Este é o resultado apresentado pelo AOE com a equação 28 como final e r como variável abertura.
Resultou a rotina SimularResfriador
W12 = W11 '26W13 = W10 '27a =T10 – T11: b = 1/(W11*cp3) : c = 1/(W10*cp2l) : d = 1/(Ur * Ar) : e = exp ((c-d)/b)Qr = a*(e-1)/(c*e-b) ‘(30’) Var. Abert.T12 = T11 + Qr * a2 '28 T13 = T10 - Qr * a1 ‘29d1 = T10 - T12: d2 = T13 - T11If Abs(d1 - d2) < 0.00001 Then dr = d1 Else dr = (d1 - d2) / Log(d1 / d2) '31
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
CONDENSADOR
W5 T5
W10 T10
W9 T9
5
8
9
10
Ar
Água
W8 T8
DIMENSIONAMENTO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água de resfriamento e a área de troca térmica necessárias para condensar 36.345 kg/h de benzeno de vapor saturado a líquido saturado. A água se encontra a 15 oC e deve sair a 30 oC .
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 T*
10 = 80 oC
W9 T*
9 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 T*
8 = 15 oC
Ac
W10 = 36.345 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 228.101 kg/hT*
9 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
Ac = 120 m2
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
V = 11N = 6C = 3M = 2G = 0 !
20. Balanço Material da Água: W8 - W9 = 021. Balanço Material do Benzeno: W5 - W10 = 022. Balanço de Energia na Corrente de Água: Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. Balanço de Energia na Corrente de Benzeno: W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Equação de Dimensionamento: Qc - Uc Ac c = 025. Definição do T Médio Logarítmico (c): c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0
CONDENSADOR
W5 T5
W10 T10
W9 T9
5
8
9
10
Ar
Água
W8 T8
21. W10 = W5
23. Qc = W5 2
d1 = T5 - T9: d2 = T10 - T8
22. W8 = Qc / (Cp3 * (T9 - T8))20. W9 = W8
25. dc = (d1 - d2) / ln (d1 / d2)24. Ac = Qc / (Uc * dc)
Resultando a rotina DimensionarCondensador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
SIMULAÇÃO DO CONDENSADOR
Problema proposto: determinar a vazão de água necessária para condensar 20.000 kg/h de benzeno, ao invés dos 36.345 kg/h para os quais foi calculada a área de 119 m2. Pretende-se que o benzeno deixe o condensador como líquido saturado. A água se encontra a 15 oC.
W*5 = 20.000 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 = T*
10 = 80 oC
W9 = T9 =
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
A*c = 120 m2
W10 = 36.345 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 228.101 kg/hT*
9 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
Ac = 120 m2
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
resultado do dimensionamento
V = 11N = 6C = 5M = 1G = - 1 !!!
Pretendido na simulação
V = 11N = 6C = 5M = 1G = -1 !!!
Este problema difere da simulação do extrator e do resfriador porque contem uma meta: o benzeno deve sair como líquido saturado, logo a 80 oC.
Daí: G = -1.
W*5 = 20.000 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 = T*
10 = 80 oC
W9 = T9 =
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
A*c = 120 m2
V = 11N = 6C = 5M = 1G = -1 !!!
W*5 = 20.000 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 = T*
10 = 80 oC
W9 = T9 =
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
A*c = 120 m2
O problema só pode ser resolvido se alguma condição conhecida deixar de sê-lo.
Uma solução consiste em transformar W8 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.
W*5 = 20.000 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 = 20.000 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 35.718 kg/hT9 = 67,7 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 35.718 kg/hT*
8 = 15 oC
A*c = 120 m2
V = 11N = 5C = 5M = 1G = 0
W10 = 36.345 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 228.101 kg/hT*
9 = 30 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 228.101 kg/hT*
8 = 15 oC
Ac = 120 m2
W*5 = 36.345 kg/h
T*5 = 80 oC
resultado do dimensionamento
W*5 = 20.000 kg/h
T*5 = 80 oC
W10 = 20.000 kg/hT*
10 = 80 oC
W9 = 35.727 kg/hT9 = 67,7 oC
5
8
9
10
Água
W8 = 35.727 kg/hT*
8 = 15 oC
A*c = 120 m2
resultado da simulação
21. W10 = W5
23. Qc = W5 2
24. dc = Qc / (Uc Ac)25. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 0 (Resolução por Bisseção)22. W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8))20. W9 = W8
Resulta a rotina SimularCondensador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
11. Balanço Material do Ácido Benzóico: f13 - f14 = 012. Balanço Material do Benzeno: f23 - f24 - W5 = 013. Balanço Material do Vapor: W6 - W7 = 014. Balanço de Energia na Corrente de Vapor: W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Balanço de Energia na Corrente de Processo: Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Equação de Dimensionamento: Qe - Ue Ae e = 017. Definição da Diferença de Temperatura (e): e - (T6 - Te) = 018. Fases em Equilíbrio T4 – Te = 019. Fases em Equilíbrio T5 – Te = 0
EVAPORADOR
W6
T6
W7 T7
W3 x13
T3 f13 f23
W4 x14
T4 f14 f24
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3
Extrato
38. Vazão Total na Corrente 3: f13 + f23 – W3 = 039. Fração Mássica na Corrente 3: x13 - f13 /W3 = 040. Vazão Total na Corrente 4: f14 + f24 - W4 = 041. Fração Mássica na Corrente 4: x14 - f14/W4 = 0
DIMENSIONAMENTO DO EVAPORADOR
Problema proposto: determinar a vazão de um vapor a 150 oC e a área de troca térmica necessárias para obter um concentrado com 10% de ácido benzóico, a partir de uma corrente com 37.545 kg/h de uma solução de 0,32% de ácido benzóico em benzeno, a 25 oC. O condensado deve sair como líquido saturado a 150 oC . O evaporador opera a 1 atm.
W6
T*6 = 150 oC
W7 T*
7 = 150 oC
W*3 = 37.345 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 f23
W4 x*
14 = 0,10
T4 f14 f24
4
67
Ae
Vapor
W5 T55
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
W6 = 8.569 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 37.545 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.225 kg/h
W4 = 1.195 kg/h x*
14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.076kg/h
4
67
Ae= 124 m2
Vapor
W5 = 36.150 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
V = 20N = 13C = 4M = 3G = 0 !
15. De = T6 - T35. f13 = W3 x13
09. f14 = f13
34. f23 = W3 - f13
37. W4 = f14 / x14
36. f24 = W4 - f14
10. W5 = f23 - f24
13. Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T - T3) + W5 L2
12. W6 = Qe / (L 3 + Cp3 (T6 - T7))11. W7 = W6
14. Ae = Qe / (Ue De)
Resulta a rotina DimensionarEvaporador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
SIMULAÇÃO DO EVAPORADORProblema proposto: determinar as vazões de vapor e de evaporado, a vazão e a concentração do concentrado, caso o evaporador, com os mesmos 124 m2 de área de projeto, fosse alimentado com 50.000 kg/h de solução e não mais com 37.545 kg/h. Pretende-se que o condensado saia como líquido saturado (150 oC).
V = 20N = 13C = 7M = 1G = -1 !!!
pretendido na simulaçãoresultado do dimensionamento
W6 = 8.615 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.615 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 37.545 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W4 = 1.201 kg/h x*
14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h
4
67
Ae=124 m2
Vapor
W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
W6 = 8.615 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = T*
7 = 150 oC
W*3 = 50.000 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W4 = x14 = T4 =f14 = f24 =
4
67
Ae=124 m2
Vapor
W5 = T5 =5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
V = 20N = 13C = 7M = 1G = -1 !!!
W5 = T5 =
W6 = 8.615 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = T*
7 = 150 oC
W*3 = 50.000 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W4 = x14 = T4 =f14 = f24 =
4
67
Ae=124 m2
Vapor
5Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
Uma solução consiste em transformar W6 em incógnita. O seu valor calculado pode ser tomado como set-point de um sistema de controle que a utilize como variável de controle.
Situação semelhante à da simulação do condensador
V = 20N = 13C = 6M = 1G = 0
W6 = 8.569 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 50.000 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h
W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h
4
67 Vapor
W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
Ae=124 m2
resultado do dimensionamento
W6 = 8.569 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 37.545 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 120 kg/h f23 = 37.425 kg/h
W4 = 1.201 kg/h x*
14 = 0,10T4 = 80 oCf14 = 120 kg/h f24 = 1.081kg/h
4
67
Ae=124 m2
Vapor
W5 = 36.344 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
W6 = 8.569 kg/hT*
6 = 150 oCW7 = 8.569 kg/hT*
7 = 150 oC
W*3 = 50.000 kg/h
x*13 = 0,0032
T*3 = 25 oC
f13 = 160 kg/h f23 = 49.840 kg/h
W4 = 17.177 kg/h x14 = 0,0093T4 = 80 oCf14 = 160 kg/h f24 = 17.017 kg/h
4
67 Vapor
W5 = 32.823 kg/h T5 = 80 oC5
Benzeno
Produto
Condensado
3 Te* = 80 oC
Ae=124 m2
resultado da simulação
15. De = T6 - T14. Qe = Ue Ae De 12. W6 = Qe / (l3 + Cpv * (T6 - T7))11.W7 = W6
35. f13 = W3 * x13
09. f14 = f13
34. f23 = W3 - f13
13. W5 = (Qe - (f13 * Cp1 + f23 * Cp2l) * (T - T3)) / l210. f24 = f23 - W536. W4 = f14 + f24
37. x14 = f14 / W4
Resulta a rotina SimularEvaporador
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos
3.4.2 Estratégia Modular3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global
3.4 DIMENSIONAMENTO E SIMULAÇÃO DE PROCESSOS
Todas as equações são consideradas simultaneamente, independentemente dos equipamentos a que pertencem.
É a estratégia mais indicada para dimensionamento.
O Algoritmo de Ordenação de Equações é executado como se fosse para um equipamento isolado.
3.4.1 ESTRATÉGIA GLOBAL
Existem duas estratégias básicas:
- Estratégia Global- Estratégia Modular
Dimensionamento do Processo – Estratégia Global
01. f11 - f12 - f13 = 002. W15 - f23 = 003. f31 - f32 = 004. k – (3 + 0,04 Td) = 005. k - x13 / x12= 006. (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - Td) + W15 Cp2l (T15 - Td) = 007. Vd - (f11 /1 + W15/2 + f31/3) = 008. r - f13/f11 = 009. T2 – Td = 010. T3 – Td = 0
11. f13 - f14 = 012. f23 - f24 - W5 = 013. W6 - W7 = 014. W6 [3 + Cpv (T6 – T7)] - Qe = 015. Qe – [(f13Cp1 + f23Cp2l)(Te - T3) + W5 2] = 016. Qe - Ue Ae e = 017. e - (T6- Te) = 018. T4 – Te = 019. T5 – Te = 0
20. W8 - W9 = 021. W5 - W10 = 022. Qc - W8 Cp3 (T9 - T8) = 023. W5 [2 + Cp2g (T5 – T10)] - Qc = 024. Qc - Uc Ac c = 025. c - [(T5 - T9) - (T10 - T8)]/ln[(T5 - T9)/(T10 - T8)] = 026. W11 - W12 = 027. W10 - W13 = 028. Qr - W11 Cp3 (T12 - T11) = 029. Qr - W10 Cp2l (T10 - T13) = 030. Qr - Ur Ar r = 031. r - [(T10 - T12) - (T13 - T11)]/ln[(T10 - T12)/(T13 - T11)] = 0
32. W13 + W14 - W15 = 033. W13 (T15 - T13) + W14 (T15 - T14) = 0
34. f11 + f31 - W1 = 035. x11 - f11 /W1 = 036. f12 + f22 – W2 = 037. x12 - f12/W2 = 038. f13 + f23 – W3 = 039. x13 - f13 /W3 = 040. f14 + f24 - W4 = 041. x14 - f14/W4 = 0
f11 f12 f13 E V1 * O * W15f23 5 k2 O * f31 f32 9 T23 * O k 10 T34 * * O * * Td 17 De5 O X T1T15 18 T46 * * X X O Vd 19 T57 * * * O X r 25 dc8 * O X T2 35 f119 X O T3 8 f1310 X O f14 1 f1211 * O f24W5 11 f1412 * * O W6W7 34 f3113 * O T6 T7 Qe 3 f3214 O X X * Te 4 f2315 * * * * O X Ae e 2 W1516 * O * 6 T1517 X X O T4 7 Vd18 X O T5 36 W219 X O W8W9 37 x1220 * O W10 38 W321 * O Qc T9 T8 39 x1322 O * X X T10 41 W423 * * O X Ac c 40 f2424 * O * 12 W525 * X X X O W11W12 15 Qe26 * O W13 14 W627 * O Qr T11T12 13 W728 O * X X T13 16 Ae29 * X O * A r r 21 W1030 * O * 23 Qc31 X X X * O W14T14 22 W832 * * O 20 W933 * * O * X W1 24 Ac34 * O X x11 27 W1335 O X X W2 32 W1436 * * O x12 33 T1437 * * O W3 31 dr38 * * O x13 29 Qr39 * * O W4 28 W1140 * O * x14 26 W1241 * O X 30 Ar
Extrator
Evaporador
Correntes Multicomponentes
Condensador
Resfriador
Misturador
Dimensionar Processo
(03) T3 = T2
(13) T4 = T5 (16) e = T6 - T5 (22) D1 = T5 - T9: D2 = T10 - T8 : c = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(32) f11 = W1 x11 (08) f13 = f11 r(31) f31 = W1 - f11 (01) f12 = f11 - f13 (09) f14 = f13 (03) f32 = f31 (04) f23 = f13 f32 / (k f12)(34) W4 = f14 / x14 (02) W15 = f23
(33) f24 = W4 - f14 (05) T15 = T2 - (f11 Cp1 + f31 Cp3) (T1 - T2) / (W15 Cp2l) (07) Vd = (f11 / 1 + W15 / 2 + f31 / 3) (10) W5 = f23 - f24 (14) Qe = (f13 Cp1 + f23 Cp2l) (T5 - T3) + W52
(18) W10 = W5 (20) Qc = W5 (2 + Cp2l (T5 - T10)) (12) W6 = Qe / ( 3 + Cp3 (T6 - T7)) (15) Ae = Qe / (Ue e) (24) W13 = W10 (19) W8 = Qc / (Cp3 (T9 - T8)) (21) Ac = Qc / (Uc c) (11) W7 = W6 (29) W14 = W15 - W13 (17) W9 = W8 (30) T13 = T15 + W14 (T15 - T14) / W13 (26) Qr = W10 Cp2l (T10 - T13) (28) D1 = T10 - T12: D2 = T13 - T11: r = (D1 - D2) / ln (D1 / D2)(25) W11 = Qr / (Cp3 (T12 - T11)) (27) Ar = Qr / (Ur r) (23) W12 = W11
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade 3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.4.2 Estratégia Modular
3.4.2 Estratégia Modular
Para cada problema, os módulos são seqüenciados convenientemente segundo o fluxograma material do
processo.
Havendo a presença de reciclos no fluxograma, torna-se necessária a abertura de um certo número de correntes e a
inserção de um módulo promotor de convergência para cada uma.
É a estratégia mais indicada para simulação.
Utiliza módulos criados previamente para cada equipamento.Cada módulo contem as equações já ordenadas para
dimensionamento ou simulação (Seção 3.3).
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
W6 =8.594 kg/hT*
6 = 150 oC
W10 =36.284 kg/hT*
10 = 80 oCW13 = 36.284 kg/hT13 = 25 oC
W11 = 59.969 kg/hT*
11 = 15 oCW8 = 232.603 kg/hT*
8 = 15 oC
W*1 = 150.000 kg/h
x*11 = 0,002
T*1 = 25 oC
f11 = 300 kg/hf31 = 149.700 kg/h
W7 = 8.594 kg/hT*
7 = 150 oC
W5 = 36.284 kg/hT*
5 = 80 oC
W3 = 37.477 kg/hx13 = 0,004
T3 = 25 oCf13 = 149 kg/hf23 = 37.328 kg/h
W4 = 1.130 kg/hx14 = 0,12
T4 = 80 oCf14 = 150 kg/hf24 = 1.080 kg/h
W12 = 59.969 kg/hT12 = 29 oC
W12 = 232.603 kg/hT12 = 29 oC
W*14 = 1.080 kg/h
T*14 = 25 oC
W2 = 149.850 kg/hx12 = 0,001
T2 = 25 oCf12 = 150 kg/hf32 = 149.700 kg/h
EXTRATOR
Extrato
Rafinado
EVAPORADOR
CONDENSADORRESFRIADORMISTURADOR
BOMBA
1
2
3
4
5
67
8
910
11
12
13
14
15
V*d = 11.859 l
= 0,0617 h
r = 0,50
A*e =
124 m2
A*c = 119 m2
A*r = 361 m2
W15 = 37.328 kg/hT13 = 25 oC
O fluxograma exibe um reciclo.
A cada iteração o módulo confere a convergência e atualiza o valor de W5
O valor inicial arbitrado para W5 pode ser aquele obtido noDimensionamento.
Implementa-se um módulo promotor de convergência: no caso, o deSubstituição Direta.
Seleciona-se uma corrente de abertura com o menor número possívelde variáveis (simplificar o gerenciamento da convergência): no caso, foi selecionada a corrente 5 (é preciso gerenciar apenas W5).
Simulação do Processo Ilustrativo - Estratégia Modular
EXTRATOR
RESFRIADOR
MISTURADOR
CONDENSADOR
EVAPORADOR
SS
18. W10
20. Qc
19. c
22'. T9
21. W8
17. W9
24. W13
23. W12
25'. Qr
28. T13
27. T12
26. r
29. W15
30. T15
02. f23
32. f11
31. f31
03. f32
05. T2
07. 06. T3
01' f12
04. f13
08. r
W1
T1
x11
f11
f31
W15
T15
W45
T14W13
T13
W10
T10
f13
f23
T3
W4
T4
x14
f14
f24
09. f14
13. T4
16. e
15. Qe
12. W6
14. W5
10. f24
11. W7
33. W4
34. x14
T5
T2
f12
f32
W5a
W5c
Repetição até convergir
|W5c – W5a| / W5a
erro relativo
SUB SimularOProcesso'----------------------------------------------------------------------------INPUT "W5= "; W5cW5$ = "W5 = " + STR$(INT(W5c))NoDeIteracoes = 0DO W5a = W5c SimularOCondensador SimularOResfriador SimularOMisturador SimularOExtrator SimularOEvaporador MostrarOResultado NoDeIteracoes = NoDeIteracoes + 1 ErroRelativo = ABS(W5a - W5c) / W5a PausaSeQuizerLOOP UNTIL ConvergirEND SUB
PRINCIPAL
Simular
Simular
Simular
Simular
Simular
Simular
Dimensionar
Dimensionar
Dimensionar
Dimensionar
Dimensionar
DimensionarExtratorExtrator
EvaporadorEvaporador
Condensador Condensador
ResfriadorResfriador
MisturadorMisturador
ProcessoProcesso
Mostrar Lucro doCalcular Lucro doEmpreendimento
Processo
Resolver Problema
Otimizar
Empreendimento
Resolver Problema
Otimizar ProcessoCalcular Lucro
DimensionarExtrator
DimensionarEvaporador
DimensionarCondensador
DimensionarResfriador
DimensionarMisturador
SimularExtrator
SimularEvaporador
SimularCondensador
SimularResfriador
SimularMisturador
SimularProcesso
DimensionarProcesso
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
Problema:Estabelecer uma estratégia de cálculo e implementá-la sob a forma de um algoritmo executável em computador.Cada equipamento é representado por um módulo computacional em que as equações se encontram ordenadas para simulação.
A estratégia de cálculo é a ordem em que os equipamentos devem ser simulados.
Simulação de Processos com Estrutura Complexa
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
Procedimento:(a) identificação dos ciclos.(b) seleção das correntes de abertura(c ) construção do algoritmo de simulação
Dificuldade: os diversos reciclos
(a) Identificação dos Ciclos
Pode-se utilizar o Método do Traçado de Percursos (labirinto)
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
Percorre-se o fluxograma anotando, numa lista dupla, as correntes (LC) e os equipamentos visitados (LE).
Corrente: 1 2 3 4 Destino : 1 2 3 1
Um ciclo é identificado ao se chegar a um equipamento já visitado.
Equipamento 1 já visitado : ciclo 2 3 4
(a) Identificação dos Ciclos
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
ALGORITMO RESUMIDOColocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”)Colocar o seu destino na LEREPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE.ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS
MATRIZ CICLO - CORRENTE
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
Os Ciclos encontrados são registrados na
1 2 3 4 5 6 7 81* 2 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
14
C: D:
3 4 5 6 711*
22 3
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
814
11
22
33
541
22
33
541
C: 1 2 3 5D: 1 2 3 4
765
86
1110 4
765
86
1110 4
7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
13 2
7C: 1 2 3 5 6 8 11 D: 1 2 3 4 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
1295
86
1110 4
C: 1 2 3 5 7 D: 1 2 3 4 7
1295
86
1110 4
12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
12C: 1 2 3 5 7 9 8 11 D: 1 2 3 4 7 5 6 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
13 2
C: 1 2 3 5 7 12 D: 1 2 3 4 7 8
13 2
Colocar uma corrente conhecida na LC (toda corrente colocada fica “aberta”)Colocar o seu destino na LEREPETIR O destino já está na LE: registrar o ciclo formado por todas as correntes abertas após o primeiro registro do destino) e fechar as correntes até à última aberta; tomar a última corrente aberta e colocar seu destino na LE. O destino não está na LE: colocar as suas correntes de saída na LC; colocar o destino da primeira delas na LE.ATÉ NÃO MAIS HAVER CORRENTES ABERTAS
(b) Seleção das Correntes de AberturaMatriz Ciclo - Corrente
ALGORITMOCalcular os elementos de CRepetir Identificar a corrente com o maior valor em C (pode ser a primeira encontrada) Inscrever a corrente em A Remover os ciclos abertos pela corrente (anular os elementos na linhas correspondentes) Atualizar C Até C = 0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C
000000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 12 1 1 13 1 1 1 1 1 14 1 1 1 15 1 1 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 1
1 4 1 3 2 3 4 1 2 2 1 3C
000000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C
300000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 0 0 03 0 0 0 0 0 04 0 0 0 05 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0C
380000
A
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 0 0 02 1 1 13 0 0 0 0 0 04 1 1 1 15 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 2 1 2 0 0 0C
300000
A
(c) Construção do Algoritmo de Simulação
1 2 3 4 5 6 7 81* 2
4
5 6
7
8
9
10 11
12
13
143
Abrir C3
REPETIRSimular E3 (C4,C5)Simular E1 (C2)
REPETIRSimular E6 (C10,C11)Simular E4 (C6,C7 )Simular E7 (C9, C12)Simular E5 (C8)
ATÉ Convergir C8
Simular E8 (C13, C14)Simular E2 (C3)
ATÉ Convergir C3
Abrir C8
Corrente 1: única conhecida
3.1 Equações Não-Lineares 3.1.1 Representação 3.1.2 Métodos Numéricos .3.2 Sistemas de Equações Não-Lineares 3.2.1 Estrutura e representação 3.2.2 Resolução: partição, abertura, ordenação de equações3.3 Dimensionamento e Simulação de Equipamentos3.4 Dimensionamento e Simulação de Processos 3.4.1 Estratégia Global 3.4.2 Estratégia Modular
3.5.1 Questionamento do Dimensionamento 3.5.2 Questionamento do Desempenho Futuro
3. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
3.5 Incerteza e Análise de Sensibilidade
3.5 INCERTEZA E ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
(a) modelos matemáticos: aproximações lineares, coeficientes constantes...
A Análise de Processos é executada em ambiente de muita incerteza.
A avaliação dos efeitos da incerteza é efetuada através da
(b) parâmetros físicos e econômicos: valores incertos (aproximados e variáveis).
Fontes de incerteza:
Análise de Sensibilidade
(b) questionamento do desempenho futuro:
(a) questionamento do próprio dimensionamento:
A Análise de Sensibilidade avalia os efeitos da incerteza através de dois questionamentos ao final do dimensionamento,
Em que grau a incerteza nos parâmetros compromete o resultado do dimensionamento ?
Em que grau a incerteza nos parâmetros comprometerá as metas de projeto que serviram de base para o
dimensionamento?
Fazem parte da Análise:
- as variáveis características do dimensionamento: dimensões.
- as variáveis características do desempenho do processo: variáveis de saída (metas de projeto).
- os parâmetros cujos valores são considerados incertos (variáveis conhecidas são aqui incorporadas ao conjunto dos parâmetros).
F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.
Fundamento da Análise de SensibilidadeExemplo: Trocador de Calor
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/h
T3* = 15 oC
T4* = 30 oC
0
TTTTln
)TT()TT(.4
0UAQ.30)TT(CpWQ.2
0)TT(CpWQ.1
32
41
3241
3433
2111
F: variável do processo cujo valor é incerto devido à incerteza nos parâmetros . Exemplo: W3, A.
S (F; i): Sensibilidade de F à incerteza no parâmetro i.
: vetor dos parâmetros (físicos e econômicos) e das variáveis especificadas cujos valores são incertos. Exemplo: Cp1, Cp3, U, W1, T1, T3.
Fundamento da Análise de Sensibilidade
i *
F
i
*ii
ii
)(F);F(S
Exemplo:
100
U
i
U)(A
)U;A(S
A Sensibilidade é função do parâmetro
Conveniência: usar variáveis adimensionais F/F* e i / i*
Análise de Sensibilidade com Variáveis Adimensionais
)(F)(F
)/()](F/)(F[
)/;F/F(S *i
*i
i
i*ii
*ii*
ii*
*i
1
Vantagens:(a) os valores independem das dimensões das variáveis e dos parâmetros.(b) as Sensibilidades podem ser comparadas, permitindo verificar a qual parâmetro a variável de interesse é mais sensível, e em que grau.
Nova definição de Sensibilidade:
6265100
1001,U
)U(A)U/U(
)]U(A/)U(A[)U/U;A/A(SU
*
***
Exemplo
Sensibilidade de F/F* à incerteza em i / i*
1
F/F*
i / i *
)(F)(F
)/()](F/)(F[
)/;F/F(S*i
*i
*ii
i
1
*ii
*ii*
ii*
F
i i *
F*
Utilizando um incremento de 1% para melhor aproximar a derivada
Em processos complexos é impossível obter a derivada aproximação linear
)(F)(F
)/()](F/)(F[
;FFS *
i
*i
i
i*ii
*ii
*i
i*
*i
1
i
*i
*i
*ii
*i
*i
*i
i
*ii
*i
*i
i* )(F
)(F)(F)(F
)(F)(F,
FFS
01,0/ *ii
)F()F(ξ)ξF(1,01
100ξ
,FFS
*i
*i
*i
*i
i*
S(F/F*;i/ i*) estima a incerteza % em F diante de uma incerteza
de 1% em i
|S| > 1 : incerteza ampliada |S| < 1 : incerteza amortecida
)F()F(ξ)ξF(1,01
100ξ
,FFS *
i
*i
*i
*i
i*
S (T2;U) = 100 (24,828-25)/25 = - 0,686
S (T4;U) = 100(30,047-30)/30 = 0,156
S(A;U) = 100 (262,93-265,6)/265,6 = - 0,99
S(W3;U) = 0
QUESTIONAMENTO DO PROJETORe-dimensionamento com U = 101
QUESTIONAMENTO DO DESEMPENHOSimulação com U = 101
DIMENSIONAMENTO ORIGINAL(BASE)
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
A = 265,6 m2
[U = 100]
T 2* = 25 oC
W3 = 44.000 kg/hT3
* = 15 oC
T4* = 30 oC
[U = 101]
A = 262,93 m2
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
T3* = 15 oC
W3 = 44.000 kg/h
T4* = 30 oC
T 2* = 25 oC
[U = 101]
T2 = 24,828 oC
T1* = 80 oC
W1* = 30.000 kg/h
T3* = 15 oC
W3* = 44.000 kg/h
T4 = 30,047 oC
A* = 265,6 m2
Para um incremento de 1% em todos os parâmetros (aproximação da derivada):
n
1i*i
*ii*
ii*
*
*
)/;F/F(S)(F
)(F)(F
);F(S01,0)/;F/F(S01,0)(F
)(F)01,1(F n
1i
*ii
**
**
Ou seja, a Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros é a soma das Sensibilidades a cada parâmetro:
)F(ξ)F(ξ)ξF(1,01100)ξ/ξ;S(F/F
*
****
A Sensibilidade de F à incerteza em todos os parâmetros, considerados simultaneamente, pode ser estimada:
Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e variável especificada e ao conjunto:
i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)W1 1 1 0,93
T1 1,45 0,45 1,21
T3 1,01 0,56 0,88
Cp1 1 1 0,93
Cp3 - 1 0 - 0,78
U 0 - 1 - 0,13
Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.
S(F; ) 3,46 2,01 3,04
Questionamento do Projeto
Sensibilidades de W3, A e CT à incerteza em cada parâmetro e ao conjunto de parâmetros:
i S(W3; i) S(A; i) S(CT; i)
S(F; ) 3,46 2,01 3,04
Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores de corretos de W3, A e CT estariam afastados de seus valores-base (calculados no dimensionamento) nos percentuais acima.
Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:
i S(T2; i) S(T4; i)W1 0,80 0,32
T1 0,48 0,63
T3 0,48 0,37
W3 - 0,12 - 0,47
A - 0,68 0,17Cp1 0,80 0,32
Cp3 - 0,12 - 0,47
U - 0,68 0,17
Por serem adimensionais, as Sensibilidades podem ser comparadas.
S(F; ) 0,96 1,04
Questionamento do Desempenho
Sensibilidades de T2 e T4 à incerteza em cada parâmetro e variável especificada, e ao conjunto:
i S(T2; i) S(T4; i)S(F; ) 0,96 1,04
Caso os valores reais de todos os parâmetros estivessem positivamente afastados em 1% dos seus valores-base (usados no dimensionamento), os valores reais esperados para T2 e T4 , durante a operação do trocador, estariam afastados de seus valores-base nos percentuais acima.
f11 f12 f13 W15f23 f31 f32 x13 k x12 Td Vd T2 T3 W2 W31 1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 1 1 1
5 1 1
6 1 1 1 1
7 1 1 1 1
8 1 1
9 1 1
10 1 1
11 1 1
12 1
13 1 1 1
14 1 1 1
15 1 1 1
16 1 1 1
ORDENAR EQUAÇÕESMONTAR MATRIZ
EXTRATOR: DIMENSIONAMENTO
f11 f12 f13 f23 f31 f32 x13 k x12 Td tau r T2 T3 x11 W2 W31 1 1 1
2 1
3 1 1
4 1 1 1
5 1 1
6 1 1 1
7 1 1 1
8 1 1 1
9 1 1
10 1 1
11 1 1
12 1 1
13 1 1 1
14 1 1 1
15 1 1 1
16 1 1 1
ORDENAR EQUAÇÕESMONTAR MATRIZ
EXTRATOR: SIMULAÇÃO
f13 f14 f23 f24 W5 W6 W7 Qe Ae De T4 T5 W411 1 1
12 1 1 1
13 1 1
14 1 1
15 1 1 1 1
16 1 1 1
17 1
18 1
19 1
38 1 1
39 1
40 1 1 1
41 1 1
ORDENAR EQUAÇÕESMONTAR MATRIZ
EVAPORADOR: DIMENSIONAMENTO
f13 f14 f23 f24 W5 W6 W7 Qe De T4 T5 W4 x1411 1 1
12 1 1 1
13 1 1
14 1 1
15 1 1 1 1
16 1 1
17 1
18 1
19 1
38 1 1
39 1
40 1 1 1
41 1 1 1
ORDENAR EQUAÇÕESMONTAR MATRIZ
EVAPORADOR: SIMULAÇÃO
EXEMPLO: convergência pela Bisseção
31. x31 = 1 – x1132. x32 = 1 – x12a04. x13 = k x12a07. W3 = W11 x11 r / x1301. W2 = W1 x31 / x3202. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0
x12a
32 04 07 0201x31
x32
x13
W3
W2BISS
x12a
f (x12)
Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura
f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0
f (x)
x
xi
xs
fs
x1
f1x2
f2
fi
Esquema de convergência pela Bisseção
32 04 07 0201x31
x32
x13
W3
W2BISS
x12a
f (x12)
f (x12) = W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0
Até convergir
EXEMPLO: convergência pela Substituição Direta
31. x31 = 1 – x1132. x32 = 1 – x12a04. x13 = k x12a07. W3 = W11 x11 r / x1301. W2 = W1 x31 / x32 02. W1 x11 – W2 x12a – W3 x13 = 0
x12a
32 04 07 0201x31
x32
x13
W3
W2SD
x12a = x12c
x12c
Na ordenação das equações surgiu um ciclo. A eq. 02 foi escolhida como Final. Resultou x12 como variável de abertura
x12c = (W1 x11– W3 x13) / W2
ALGORITMO é uma seqüência inequívoca de ações bem definidas que conduzem sempre à solução de um problema
Assim, qualquer pessoa, ou mesmo um computador por ela programado, chegará sempre à solução do problema.
O exemplo mais trivial e prosaico de algoritmo é uma receita culinária. Um outro no campo da matemática é o da
extração da raiz quadrada de um número.
Algoritmos podem incluir etapas repetitivas (iterações) ou exigir decisões (lógica e comparações).
Algoritmos podem ser programas em computadores
Existem algoritmos complexos e poderosos capazes de gerar outros algoritmos (Inteligência Artificial)
Origem dos Algoritmos
An algorithm is a procedure or formula for solving a problem. The word derives from the name of the mathematician, Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi, who was part of the royal court in Baghdad and who lived from about 780 to 850. Al-Khwarizmi's work is the likely source for the word algebra as well.
www.nist.gov/dads/html/algorithm.html