Capítulo 3Capítulo 3

ProbabilidadeProbabilidade

ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA

QuestãoQuestão

O que acontece quando você O que acontece quando você joga uma moeda um grande joga uma moeda um grande número de vezes?número de vezes?

Qual é a probabilidade de Qual é a probabilidade de você obter uma você obter uma caracara numa numa jogada de uma moeda?jogada de uma moeda?

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Muitas RepetiçõesMuitas Repetições

Número de jogadasNúmero de jogadas

Número de carasNúmero de caras Número de jogadas Número de jogadas

0.000.00

0.250.25

0.500.50

0.750.75

1.001.00

00 5050 150150 200200100100

Experimentos, Experimentos, Resultados e EventosResultados e Eventos

Experimentos e ResultadosExperimentos e Resultados

1.1. ExperimentoExperimento Processo de obter uma observação ou Processo de obter uma observação ou

resultadoresultado

2.2. Ponto amostralPonto amostral Resultado mais básico de um experimentoResultado mais básico de um experimento

3.3. Espaço amostral (S) Espaço amostral (S) Coleção de Coleção de todostodos os resultados possíveis os resultados possíveis

Experimentos e ResultadosExperimentos e Resultados

1.1. ExperimentoExperimento Processo de obter uma observação ou Processo de obter uma observação ou

resultadoresultado

2.2. Ponto amostralPonto amostral Resultado mais básico de Resultado mais básico de

um experimentoum experimento

3.3. Espaço amostral (S) Espaço amostral (S) Coleção de Coleção de todostodos os resultados os resultados

possíveispossíveis

Espaço amostral Espaço amostral depende do depende do experimento!experimento!

Exemplos de Espaços Exemplos de Espaços AmostraisAmostrais

Jogar 1 moeda, notar faceJogar 1 moeda, notar face Cara (H), Coroa (T)Cara (H), Coroa (T)

Jogar 2 moedas, notar facesJogar 2 moedas, notar faces HH, HT, TH, TTHH, HT, TH, TT

Tirar 1 carta, notar tipo Tirar 1 carta, notar tipo 22, 2, 2, ..., A, ..., A (52) (52)

Tirar 1 carta, notar corTirar 1 carta, notar cor Vermelha, Preta Vermelha, Preta

Jogar 1 partida de futebolJogar 1 partida de futebol Ganha, Perde, EmpataGanha, Perde, Empata

Testar 1 peça, notar qualid.Testar 1 peça, notar qualid. Defeituosa, PerfeitaDefeituosa, Perfeita

Observar gêneroObservar gênero Masculino, FemininoMasculino, Feminino

ExperimentoExperimento Espaço AmostralEspaço Amostral

Propriedades dos Propriedades dos ResultadosResultados

1. Mutuamente exclusivos1. Mutuamente exclusivos 2 resultados não podem 2 resultados não podem

ocorrer ao mesmo tempoocorrer ao mesmo tempo Masculino e feminino na Masculino e feminino na

mesma pessoamesma pessoa

2. Coletivamente exaustivos2. Coletivamente exaustivos 1 resultado do espaço 1 resultado do espaço

amostral deve ocorreramostral deve ocorrer Masculino ou femininoMasculino ou feminino

Experimento: Observar Experimento: Observar gênerogênero

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EventosEventos

1.1. Qualquer coleção de pontos amostraisQualquer coleção de pontos amostrais

2.2. Evento simplesEvento simples Conjunto com um único resultadoConjunto com um único resultado

3.3. Evento composto Evento composto Conjunto com dois ou mais resultadosConjunto com dois ou mais resultados

Exemplos de EventosExemplos de Eventos

Espaço amostralEspaço amostral HH, HT, TH, TTHH, HT, TH, TT

1 cara e 1 coroa1 cara e 1 coroa HT, THHT, TH

Cara na 1a. moedaCara na 1a. moeda HH, HTHH, HT

No mínimo 1 caraNo mínimo 1 cara HH, HT, THHH, HT, TH

Cara em ambasCara em ambas HHHH

Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.

EventoEvento Resultados no EventoResultados no Evento

Espaço AmostralEspaço Amostral

Visualizando o Visualizando o Espaço AmostralEspaço Amostral

1.1. ListaLista S: {Cara, Coroa}S: {Cara, Coroa}

2.2. Diagrama de Venn Diagrama de Venn

3.3. Tabela de ContingênciaTabela de Contingência

4.4. Diagrama em ÁrvoreDiagrama em Árvore

SS

HHHH

TTTT

THTHHTHT

Espaço amostralEspaço amostralS = {HH, HT, TH, TT}S = {HH, HT, TH, TT}

Diagrama de VennDiagrama de Venn

ResultadoResultado

Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.

Evento Evento composto composto

22aa MoedaMoeda11aa

MoedaMoeda CaraCara CoroaCoroa TotalTotal

CaraCara HHHH HTHT HH, HTHH, HT

CoroaCoroa THTH TTTT TH, TTTH, TT

TotalTotal HH,HH, THTH HT,HT, TTTT SS

Tabela de ContingênciaTabela de Contingência

Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.

S = {HH, HT, TH, TT}S = {HH, HT, TH, TT} Espaço amostralEspaço amostral

Resultado Resultado EventoEventocomposto composto (Cara na(Cara na1a. moeda)1a. moeda)

Diagrama em ÁrvoreDiagrama em Árvore

Resultado Resultado

S = {HH, HT, TH, TT}S = {HH, HT, TH, TT} Espaço amostralEspaço amostral

Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.Experimento: Jogar 2 moedas. Notar faces.

TT

HH

TT

HH

TT

HHHH

HTHT

THTH

TTTT

HH

Operações com EventosOperações com Eventos

Operações com EventosOperações com Eventos

1.1. InterseçãoInterseção Resultados em ambos eventos A Resultados em ambos eventos A ee B B Afirmação ‘Afirmação ‘EE’’ Símbolo (i.e., A Símbolo (i.e., A B) B)

2.2. UniãoUnião Resultados em qualquer evento A Resultados em qualquer evento A ouou B ou B ou

ambosambos Afirmação ‘Afirmação ‘OUOU’’ Símbolo (i.e., A Símbolo (i.e., A B) B)

Eventos EspeciaisEventos Especiais

1. Evento nulo1. Evento nulo Paus e ouro em 1 retirada de Paus e ouro em 1 retirada de

cartacarta

2. Complemento de evento2. Complemento de evento Para evento A, todos Para evento A, todos

resultados não em A: Aresultados não em A: A’’

3. Eventos mutuamente exclusivos3. Eventos mutuamente exclusivos Eventos que não ocorrem Eventos que não ocorrem

simultaneamentesimultaneamente

Evento NuloEvento Nulo

ProbabilidadesProbabilidades

O que é Probabilidade?O que é Probabilidade?

1.1. Medida numérica Medida numérica da chance de um da chance de um evento ocorrerevento ocorrer

PP(Evento)(Evento) PP(A)(A) ProbProb(A)(A)

2.2. Fica entre 0 e 1Fica entre 0 e 1

3.3. Soma para todos Soma para todos os eventos simples é 1os eventos simples é 1

11

.5 .5

00

CertoCerto

ImpossívelImpossível

Designando Probabilidades Designando Probabilidades a Eventosa Eventos

1.1. Método clássico Método clássico a prioria priori

2.2. Método clássico Método clássico empírico empírico

3.3. Método subjetivoMétodo subjetivo

Qual é a Qual é a probabilidade?probabilidade?

Método Clássico Método Clássico a prioria priori

1.1. Requer conhecimento prévio Requer conhecimento prévio do processodo processo

2.2. Pode designar antes do Pode designar antes do experimentoexperimento

3.3. PP(Evento) = (Evento) = XX / / TT XX = No. de resultados do evento = No. de resultados do evento TT = No. de resultados totais no espaço amostral = No. de resultados totais no espaço amostral Todos Todos TT resultados são igualmente prováveis resultados são igualmente prováveis

PP(Resultado) = 1/(Resultado) = 1/TT

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Método Clássico EmpíricoMétodo Clássico Empírico

1.1. Dados reais coletadosDados reais coletados

2.2. Designar após experimento Designar após experimento

3.3. PP(Evento) = (Evento) = XX / / TT Repetir experimento Repetir experimento TT vezes vezes Evento observado Evento observado XX vezes vezes

4.4. Também chamado método Também chamado método

da freqüência relativada freqüência relativa

De 100 peças De 100 peças inspecionadas, inspecionadas, só 2 defeitos!só 2 defeitos!

Método SubjetivoMétodo Subjetivo

1.1. Requer conhecimento Requer conhecimento individual da situaçãoindividual da situação

2.2. Antes do experimentoAntes do experimento

3.3. Processo únicoProcesso único Não reproduzívelNão reproduzível

4.4. Probabilidades Probabilidades diferentes para pessoas diferentes para pessoas diferentesdiferentes

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Probabilidade de Eventos Probabilidade de Eventos CompostosCompostos

1.1. Medida numérica da chance que o Medida numérica da chance que o evento composto ocorraevento composto ocorra

2.2. FórmulasFórmulas Regra da adiçãoRegra da adição Fórmula da probabilidade condicionalFórmula da probabilidade condicional Regra da multiplicaçãoRegra da multiplicação

Regra da AdiçãoRegra da Adição

Regra da AdiçãoRegra da Adição

1.1. Usada para obter probabilidades Usada para obter probabilidades compostas por compostas por uniãounião de eventos de eventos

2.2. P(A P(A OUOU B) B) = P(A = P(A B) B) = P(A) + P(B) - P(A = P(A) + P(B) - P(A B) B)

3. 3. Para eventos mutuamente exclusivos:Para eventos mutuamente exclusivos:P(A P(A OUOU B) B) = P(A = P(A B) = P(A) + P(B) B) = P(A) + P(B)

Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

Probabilidade CondicionalProbabilidade Condicional

1.1. Probabilidade de um evento Probabilidade de um evento dadodado que que outro evento ocorreuoutro evento ocorreu

2.2. Revisar o espaço amostral original para Revisar o espaço amostral original para levar em conta a levar em conta a novanova informação informação Eliminar certos resultadosEliminar certos resultados

3.3. P(A P(A || BB) = ) = P(A e B)P(A e B) P( P(BB))

1.1. Ocorrência do evento Ocorrência do evento nãonão afeta a probabilidade de afeta a probabilidade de outro eventooutro evento

Jogar 1 moeda 2 vezes Jogar 1 moeda 2 vezes

2.2. Testar seTestar se P(P(AA | B) = P( | B) = P(AA)) P(A e B) = P(A)*P(B)P(A e B) = P(A)*P(B)

Independência EstatísticaIndependência Estatística

Regra da MultiplicaçãoRegra da Multiplicação

Regra da MultiplicaçãoRegra da Multiplicação

1.1. Usada para obter probabilidades Usada para obter probabilidades compostas por compostas por interseçãointerseção de eventos de eventos Chamados eventos conjuntosChamados eventos conjuntos

2.2. P(A e B) = P(A P(A e B) = P(A B) B) = P( = P(AA)*P(B|)*P(B|AA) ) = P( = P(BB)*P(A|)*P(A|BB))

3. 3. Para eventos independentes:Para eventos independentes:P(A e B) = P(A P(A e B) = P(A B) = P(A)*P(B) B) = P(A)*P(B)