Post on 17-Apr-2015
Capítulo 7Capítulo 7
Teste de HipótesesTeste de Hipóteses
Prof. Paulo Renato de MoraisProf. Paulo Renato de Morais
ESTATÍSTICA APLICADAESTATÍSTICA APLICADA
Conceitos de Teste de Conceitos de Teste de HipótesesHipóteses
Teste de HipótesesTeste de Hipóteses
PopulaçãoPopulação
Eu acredito que a idade média da população é 50 (hipótese).
Testes de HipótesesTestes de Hipóteses
PopulaçãoPopulação
Eu acredito que a idade média da população é 50 (hipótese).
MédiaMédia X X = 20= 20
Rejeito a hipótese!
Ficou longe.
Rejeito a hipótese!
Ficou longe.
Amostra Amostra aleatóriaaleatória
O que é uma Hipótese?O que é uma Hipótese?
1.1. Uma afirmação Uma afirmação sobre um parâmetro sobre um parâmetro populacionalpopulacional
Parâmetro é média, Parâmetro é média, proporção, variância proporção, variância populacionalpopulacional
Deve ser feitaDeve ser feitaantesantes da análise da análise
Eu acredito que a idade Eu acredito que a idade média desta classe é média desta classe é 25 anos!25 anos!
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Hipótese NulaHipótese Nula
1.1. O que se quer testarO que se quer testar
2.2. Tem uma séria conseqüência se a decisão errada Tem uma séria conseqüência se a decisão errada é tomadaé tomada
3.3. Sempre tem um sinal de igualdade: Sempre tem um sinal de igualdade: , , ou ou4.4. Designada por HDesignada por H00
5.5. Especificada como HEspecificada como H00: : Algum valor numérico Algum valor numérico Escrita com sinal = mesmo se Escrita com sinal = mesmo se ou ou Exemplo, HExemplo, H00: : 50 50
Hipótese AlternativaHipótese Alternativa
1.1. Contrário da hipótese nulaContrário da hipótese nula
2.2. Sempre tem sinal de desigualdade:Sempre tem sinal de desigualdade: ,, ou ou
3.3. Designada por HDesignada por H11
4.4. Especificada como HEspecificada como H11: : < Algum valor < Algum valor
numériconumérico Exemplo, HExemplo, H11: : < 50 < 50
Passos para se Estabelecer Passos para se Estabelecer HipótesesHipóteses
PassosPassos
1.1. Formule a questão Formule a questão estatisticamenteestatisticamente
Exemplo:Exemplo:
A média A média populacional é populacional é diferente de 50?diferente de 50?
1.1. 50 50
Passos para se Estabelecer Passos para se Estabelecer HipótesesHipóteses
PassosPassos
1.1. Formule a questão Formule a questão estatisticamenteestatisticamente
2.2. Formule o contrário Formule o contrário estatisticamenteestatisticamente
Devem ser mutuamente exclusivas Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivase exaustivas
Exemplo:Exemplo:
A média A média populacional é populacional é diferente de 50?diferente de 50?
1.1. 50 50
2.2. = 50 = 50
Passos para se Estabelecer Passos para se Estabelecer HipótesesHipóteses
PassosPassos
1.1. Formule a questão Formule a questão estatisticamenteestatisticamente
2.2. Formule o contrário Formule o contrário estatisticamenteestatisticamente
Devem ser mutuamente exclusivas Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivase exaustivas
3.3. Selecione a hipótese alternativaSelecione a hipótese alternativa Tem o sinal Tem o sinal , , << ou ou > >
Exemplo:Exemplo:
A média A média populacional é populacional é diferente de 50?diferente de 50?
1.1. 50 50
2.2. = 50 = 50
3.3. HH11: : 50 50
Passos para se Estabelecer Passos para se Estabelecer HipótesesHipóteses
PassosPassos
1.1. Formule a questão Formule a questão estatisticamenteestatisticamente
2.2. Formule o contrário Formule o contrário estatisticamenteestatisticamente
Devem ser mutuamente exclusivas e Devem ser mutuamente exclusivas e exaustivasexaustivas
3.3. Selecione a hipótese alternativaSelecione a hipótese alternativa Tem o sinal Tem o sinal , , << ou ou > >
4.4. Selecione a hipótese nulaSelecione a hipótese nula
Exemplo:Exemplo:
A média A média populacional é populacional é diferente de 50?diferente de 50?
1.1. 50 50
2.2. = 50 = 50
3.3. HH11: : 50 50
4.4. HH00: : = 50 = 50
Idéia BásicaIdéia Básica
Sample Mean = 50 Sample Mean = 50
HH00HH00
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
Idéia BásicaIdéia Básica
Sample Mean = 50 Sample Mean = 50
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
É improvável É improvável obter uma obter uma média média amostral com amostral com este valor ...este valor ...
... se de fato esta é a ... se de fato esta é a média populacionalmédia populacional
20202020HH00HH00
Idéia BásicaIdéia Básica
Sample Mean = 50 Sample Mean = 50
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
É improvável É improvável obter uma obter uma média média amostral com amostral com este valor ...este valor ...
... se de fato esta é a ... se de fato esta é a média populacionalmédia populacional
... portanto, ... portanto, rejeita-se a rejeita-se a hipótese que hipótese que
= 50.= 50.
20202020HH00HH00
Nível de SignificânciaNível de Significância
1.1. Define valores pouco prováveis da estatística Define valores pouco prováveis da estatística amostral se a hipótese nula for verdadeiraamostral se a hipótese nula for verdadeira Chamada região de rejeição da distribuição Chamada região de rejeição da distribuição
amostralamostral
2.2. É uma probabilidade É uma probabilidade
3.3. Denotada Denotada (alfa)(alfa)
4.4. Selecionada no inícioSelecionada no início Valores típicos são: 0,01; 0,05; 0,10Valores típicos são: 0,01; 0,05; 0,10
Valor de HoValor de Ho
Estatística AmostralEstatística Amostral
Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral) (Teste Unilateral)
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
Valor de HoValor de Ho
Estatística AmostralEstatística Amostral
Região deRegião deRejeiçãoRejeição
Região deRegião deNão-rejeiçãoNão-rejeição
Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral)(Teste Unilateral)
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
ValorValorCríticoCrítico
Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral)(Teste Unilateral)
HoValueCritical
Value
Sample Statistic
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValueCritical
Value
Sample Statistic
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral)(Teste Unilateral)
HoValueCritical
Value
Sample Statistic
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValueCritical
Value
Sample Statistic
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Valor observado da estatística Valor observado da estatística amostralamostral
Região de Rejeição Região de Rejeição (Teste Unilateral)(Teste Unilateral)
HoValueCritical
Value
Sample Statistic
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValueCritical
Value
Sample Statistic
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Valor de HoValor de Ho
Estatística AmostralEstatística Amostral
Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) (Teste Bilateral)
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
Valor de HoValor de Ho ValorValor
CríticoCríticoValorValorCríticoCrítico
Estatística AmostralEstatística Amostral
Região deRegião deRejeiçãoRejeição
Região deRegião deRejeiçãoRejeição
Região deRegião deNão-rejeiçãoNão-rejeição
Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral) (Teste Bilateral)
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral)(Teste Bilateral)
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral)(Teste Bilateral)
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral)(Teste Bilateral)
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Regiões de Rejeição Regiões de Rejeição (Teste Bilateral)(Teste Bilateral)
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
HoValue Critical
ValueCriticalValue
1/2 1/2
Sample Statistic
RejectionRegion
RejectionRegion
NonrejectionRegion
Distribuição AmostralDistribuição Amostral
1 - 1 -
Nível de ConfiançaNível de Confiança
Riscos na Tomada de Riscos na Tomada de DecisõesDecisões
Erros na Tomada de Erros na Tomada de DecisõesDecisões
1.1. Erro Tipo IErro Tipo I Rejeitar uma hipótese nula verdadeiraRejeitar uma hipótese nula verdadeira Tem sérias conseqüênciasTem sérias conseqüências Probabilidade de erro Tipo I é Probabilidade de erro Tipo I é (alfa)(alfa)
Chamado nível de significânciaChamado nível de significância
2.2. Erro Tipo IIErro Tipo II Não rejeitar uma hipótese nula falsaNão rejeitar uma hipótese nula falsa Probabilidade de erro Tipo II é Probabilidade de erro Tipo II é (beta)(beta)
Juri Teste de H0
Verdade Verdade
Veredito Inocente Culp. Decision H0 Verd. H0
Falsa
Inocente Correta ErroNão
RejeitaH0
1 - ErroTipo II
()
Culpado Erro Correta RejeitaH0
Erro ipoI ()
Potênc(1 - )
Resultados de DecisõesResultados de Decisões
HH00: Inocente: Inocente
Juri Teste de H0
Verdade Verdade
Veredito Inocente Culp. Decisão H0 Verd. H0
Falsa
Inocente Correta ErroNão
RejeitaH0
1 - Tipo IIErro()
Culpado Erro Correta RejeitaH0
Tipo IErro ()
Potênc(1 - )
Resultados de DecisõesResultados de Decisões
HH00: Inocente: Inocente
e e Têm uma Têm uma Relação Inversa Relação Inversa
e e Têm uma Têm uma Relação Inversa Relação Inversa
e e Têm uma Têm uma Relação Inversa Relação Inversa
Não é possível reduzir ambos os erros!
Passos do Teste de Passos do Teste de HipótesesHipóteses
Passos para Testar HPassos para Testar H00
Estabeleça valores críticosEstabeleça valores críticos
Colete dadosColete dados
Calcule estatística de testeCalcule estatística de teste
Tome decisão estatísticaTome decisão estatística
Expresse a decisãoExpresse a decisão
Formule HFormule H00
Formule HFormule H11
Escolha Escolha
Escolha Escolha nn
Escolha testeEscolha teste
Teste Z Bilateral para a Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)
Teste Z Bilateral para a Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (Tamanho da amostra no mínimo 30 (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostraldesconhecido, use o desvio padrão amostral
2.2. Hipótese alternativa tem o sinal Hipótese alternativa tem o sinal
Teste Z Bilateral para a Teste Z Bilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo (Tamanho da amostra no mínimo (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostraldesconhecido, use o desvio padrão amostral
2.2. Hipótese alternativa tem o sinal Hipótese alternativa tem o sinal
3.3. Estatística de teste ZEstatística de teste Z
ZX X
n
x
x
Z
X X
n
x
x
Exemplo de Teste Z Exemplo de Teste Z Bilateral Bilateral
Uma caixa de cereal Uma caixa de cereal contém contém 368368 gramas de gramas de cereal em média? Numa cereal em média? Numa amostra aleatória de amostra aleatória de 3636 caixas obteve-secaixas obteve-seX = X = 372,5372,5. A companhia . A companhia especificou que especificou que é é 1515 gramas. Teste ao nível gramas. Teste ao nível de de 0,050,05..
368 g368 g
Solução do Teste Z BilateralSolução do Teste Z Bilateral
HH00: : = 368 = 368
HH11: : 368 368
0,050,05
nn 3636
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05
Não há evidência que Não há evidência que a média não é 368a média não é 368
ZX
n
372 5 368
1536
180.
.ZX
n
372 5 368
1536
180.
.
QuestãoQuestão
Você quer saber se uma empresa Você quer saber se uma empresa está fabricando cabos elétricos de está fabricando cabos elétricos de acordo com a especificação do acordo com a especificação do cliente: resistência cliente: resistência médiamédia à quebra à quebra de de 7070 lb com lb com = 3,5 = 3,5 lb. Você lb. Você seleciona uma amostra de seleciona uma amostra de 3636 cabos cabos e calcula uma média amostral de e calcula uma média amostral de 69,769,7 lb. Ao nível de lb. Ao nível de 0,050,05, há , há evidência que a máquina evidência que a máquina nãonão esteja esteja obedecendo a especificação?obedecendo a especificação?
Solução do Teste Z BilateralSolução do Teste Z Bilateral
HH00: : = 70 = 70
HH11: : 70 70
= = 0,050,05
nn = = 3636
Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
Z0 1.96-1.96
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
ZX
n
69 7 70
3 536
51.
..Z
X
n
69 7 70
3 536
51.
..
Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05
Não há evidência que Não há evidência que a média não seja 70a média não seja 70
Teste Z Unilateral para a Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)
Teste Z Unilateral para a Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo 30 (Tamanho da amostra no mínimo 30 (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostraldesconhecido, use o desvio padrão amostral
2.2. Hipótese alternativa tem o sinal < ou > Hipótese alternativa tem o sinal < ou >
Teste Z Unilateral para a Teste Z Unilateral para a Média (Amostra Grande)Média (Amostra Grande)
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra no mínimo (Tamanho da amostra no mínimo (nn 30) 30) Se o desvio padrão populacional for Se o desvio padrão populacional for
desconhecido, use o desvio padrão amostraldesconhecido, use o desvio padrão amostral
2.2. Hipótese alternativa tem o sinal Hipótese alternativa tem o sinal ou >ou >
3.3. Estatística de teste Z Estatística de teste Z
ZX X
n
x
x
Z
X X
n
x
x
Z0
Reject H 0
Z0
Reject H 0
Z0
Reject H 0
Z0
Reject H 0
Teste Z Unilateral para a Teste Z Unilateral para a MédiaMédia
HH00::==0 H0 H11: : << 0 0 HH00::==0 H0 H11: : >> 0 0
Deve ser Deve ser significativamentesignificativamente abaixo de abaixo de
Valores pequenos Valores pequenos satisfazem Hsatisfazem H0 0 . Não . Não
rejeitar!rejeitar!
Z0
= 1
Z0
= 1
Teste Z Unilateral: Teste Z Unilateral: Achando Z CríticoAchando Z Crítico
Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?
= 0,025= 0,025
Z0
= 1
Z0
= 1
Teste Z Unilateral: Teste Z Unilateral: Achando Z CríticoAchando Z Crítico
0,500 0,500 -- 0,0250,025
0,4750,475
Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?
= 0,025= 0,025
Z .05 .07
1.6 .4505 .4515 .4525
1.7 .4599 .4608 .4616
1.8 .4678 .4686 .4693
.4744 .4756
Z0
= 1
Z0
= 1
Teste Z Unilateral: Teste Z Unilateral: Achando Z CríticoAchando Z Crítico
0,500 0,500 -- 0,0250,025
0,4750,475
.06
1.9 .4750.4750
Tabela da Normal Padrão:Tabela da Normal Padrão:Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?
= 0,025= 0,025
Z .05 .07
1.6 .4505 .4515 .4525
1.7 .4599 .4608 .4616
1.8 .4678 .4686 .4693
.4744 .4756
Z0
= 1
1.96 Z0
= 1
1.96
Teste Z Unilateral: Teste Z Unilateral: Achando Z CríticoAchando Z Crítico
0,500 0,500 -- 0,0250,025
0,4750,475.06.06
1.91.9 .4750
Tabela da Normal Padrão:Tabela da Normal Padrão:Quanto é Z dado Quanto é Z dado = 0,025? = 0,025?
= 0,025= 0,025
Exemplo de Teste Z Exemplo de Teste Z UnilateralUnilateral
Uma caixa de cereal Uma caixa de cereal contém contém mais demais de 368368 gramas de cereal em gramas de cereal em média? Numa amostra média? Numa amostra aleatória de aleatória de 36 36 caixas caixas obteve-seobteve-seX = 372,5X = 372,5. A . A companhia especificou companhia especificou que que é é 1515 gramas. Teste gramas. Teste ao nível de ao nível de 0,050,05..
368 g368 g
Solução do Teste Z Solução do Teste Z UnilateralUnilateral
HH00: : = 368 = 368
HH11: : > 368 > 368
= = 0,050,05
n n = = 3636
Valor Crítico:Valor Crítico:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Z0 1.645
.05
Reject
Z0 1.645
.05
Reject Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
Há evidência que a Há evidência que a média é maior que 368média é maior que 368
ZX
n
372 5 368
1536
180.
.ZX
n
372 5 368
1536
180.
.
Nível de Significância Nível de Significância Observado: Valor Observado: Valor pp
ValorValor p p
1.1. Probabilidade de obter uma estatística de teste Probabilidade de obter uma estatística de teste no mínimo tão extrema (no mínimo tão extrema (ou ou do que o valor do que o valor amostral obtido dado que Hamostral obtido dado que H00 é verdadeira é verdadeira
2.2. Chamado nível de significância observadoChamado nível de significância observado Menor valor de Menor valor de que faz H que faz H00 ser rejeitada ser rejeitada
3.3. Usado para tomar decisões de rejeiçãoUsado para tomar decisões de rejeição Se valor Se valor pp , não rejeitar H, não rejeitar H00
Se valor Se valor pp < < , rejeitar H, rejeitar H00
Exemplo do Valor Exemplo do Valor pp para para o Teste Z Bilateral o Teste Z Bilateral
Uma caixa de cereal Uma caixa de cereal contém contém 368368 gramas de gramas de cereal em média? Numa cereal em média? Numa amostra aleatória de amostra aleatória de 3636 caixas obteve-secaixas obteve-seX = X = 372,5372,5. A companhia . A companhia especificou que especificou que é é 2525 gramas. Ache o valor gramas. Ache o valor pp.. 368 g368 g
Solução do Valor Solução do Valor pp para para o Teste Z Bilateralo Teste Z Bilateral
Z0 1.80-1.80 Z0 1.80-1.80
Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)
ZX
n
372 5 368
1536
180.
.ZX
n
372 5 368
1536
180.
.
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)
ValorValor p p = = PP(Z (Z -1,80 ou Z -1,80 ou Z 1,80) 1,80)
Z0 1.80-1.80 Z0 1.80-1.80
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value1/2 p-value
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value1/2 p-value
Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)
ValorValor p p = = PP(Z (Z -1,80 ou Z -1,80 ou Z 1,80) 1,80)
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value1/2 p-value
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value1/2 p-value
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)
Da tabela Z: Da tabela Z: olhar 1,80olhar 1,80
.4641.4641
ValorValor p p = = PP(Z (Z -1,80 ou Z -1,80 ou Z 1,80) 1,80)
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value1/2 p-value
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value1/2 p-value
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)
Da tabela Z: Da tabela Z: olhar 1,80olhar 1,80
.4641.4641
0,50000,5000-- 0,46410,4641
0,03590,0359
ValorValor p p = = PP(Z (Z -1,80 ou Z -1,80 ou Z 1,80) 1,80)
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value.0359
1/2 p-value.0359
Z0 1.80-1.80
1/2 p-value.0359
1/2 p-value.0359
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
ValorValor p p = = PP(Z (Z -1.80 ou Z -1.80 ou Z 1.80) = 1.80) = 0,07180,0718
Valor Z da estatística Valor Z da estatística amostral (observado)amostral (observado)
Da tabela Z: Da tabela Z: olhar 1,80olhar 1,80
.4641.4641
0,50000,5000-- 0,46410,4641
0,03590,0359
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
0 1.80-1.80 Z
RejectReject
0 1.80-1.80 Z
RejectReject
1/2 valor p = 0,03591/2 valor p = 0,03591/2 valor 1/2 valor pp = 0,0359 = 0,0359
1/2 1/2 = 0,025 = 0,0251/2 1/2 = 0,025 = 0,025
Solução do Valor Solução do Valor pp para o para o Teste Z BilateralTeste Z Bilateral
0 1.80-1.80 Z
RejectReject
0 1.80-1.80 Z
RejectReject
1/2 valor p = 0,03591/2 valor p = 0,03591/2 valor 1/2 valor pp = 0,0359 = 0,0359
1/2 1/2 = 0,025 = 0,0251/2 1/2 = 0,025 = 0,025
(valor (valor pp = 0,0718) = 0,0718) ( ( = 0,05). Não = 0,05). Não rejeitar.rejeitar.
Calculando a Probabilidade Calculando a Probabilidade de Erro Tipo IIde Erro Tipo II
Potência do TestePotência do Teste
1.1. Probabilidade de rejeitar falsa HProbabilidade de rejeitar falsa H0 0
Decisão corretaDecisão correta
2.2. Designada por 1 - Designada por 1 -
3.3. Usada para determinar adequação do testeUsada para determinar adequação do teste
4.4. Afetada por:Afetada por: Valor verdadeiro do parâmetro populacionalValor verdadeiro do parâmetro populacional Nível de significância Nível de significância Desvio padrão e tamanho da amostra Desvio padrão e tamanho da amostra nn
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 1Passo 1
Hipótese:Hipótese:HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368 = 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 2Passo 2
Hipótese:Hipótese:HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’:‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
XX11 = 360= 360
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 3Passo 3
Hipótese :Hipótese :HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
XX11 = 360= 360
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 3Passo 3
Hipótese :Hipótese :HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
XX11 = 360= 360
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 3Passo 3
Hipótese :Hipótese :HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
XX11 = 360= 360
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 3Passo 3
Hipótese:Hipótese:HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
1-1-
XX11 = 360= 360 363,065363,065
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 4Passo 4
Hipótese :Hipótese :HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
065,36325
15)645,1(368
nZX 0L
065,36325
15)645,1(368
nZX 0L
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
DesenharDesenhar
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
065,36325
15)645,1(368
nZX 0L
065,36325
15)645,1(368
nZX 0L
XX11 = 360= 360 363,065363,065
XX00 = 368= 368
RejeitarRejeitarNãoNãoRejeitarRejeitar
Achando a Potência:Achando a Potência:Passo 5Passo 5
Hipótese:Hipótese:HH00: : 00 368 368
HH11: : 00 < 368 < 368
Situação Situação ‘Verdadeira’: ‘Verdadeira’: 11 = 360 = 360
= 0,05= 0,05
n =n =15/15/2525
= .154= .154
1-1- =.846 =.846
DesenharDesenhar
DesenharDesenhar
EspecificarEspecificar
Tabela ZTabela Z
Curvas de PotênciaCurvas de Potência
PotênciaPotência
Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11
HH00: : 00
= 368 = 368
ilustradailustrada
Curvas de PotênciaCurvas de Potência
PotênciaPotência PotênciaPotência
Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11
Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11
HH00: : 00 HH00: : 00
= 368 = 368
ilustradailustrada
Curvas de PotênciaCurvas de Potência
PotênciaPotência PotênciaPotência
PotênciaPotência
Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11
Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11
Possíveis valores Possíveis valores verdadeiros de verdadeiros de 11
HH00: : 00 HH00: : 00
HH00: : = =00
= 368 = 368
ilustradailustrada
Teste t Bilateral para a Teste t Bilateral para a Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)
Teste t para a Média Teste t para a Média (Amostra Pequena)(Amostra Pequena)
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30) População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal Desvio padrão populacional é desconhecidoDesvio padrão populacional é desconhecido
Teste t para a Média Teste t para a Média (Amostra Pequena)(Amostra Pequena)
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30)Tamanho da amostra é menor que 30 (n < 30) População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal Desvio padrão populacional é desconhecidoDesvio padrão populacional é desconhecido
3.3. Estatística de teste T Estatística de teste T
tX
Sn
t
XSn
v t.10 t.05 t.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353 3.182
v t.10 t.05 t.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353 3.182t0 t0
Teste t Bilateral:Teste t Bilateral: Achando os Valores Achando os Valores
Críticos de t Críticos de t Tabela de valores críticos de tTabela de valores críticos de t
/2 = /2 = 0,050,05
/2 = 0,05/2 = 0,05
Dado: n = 3; Dado: n = 3; = 0,10 = 0,10
gl = n - 1 = gl = n - 1 = 22
v t.10 t.05 t.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353 3.182
v t.10 t.05 t.025
1 3.078 6.314 12.706
2 1.886 2.920 4.303
3 1.638 2.353 3.182t0 2.920-2.920 t0 2.920-2.920
Teste t Bilateral:Teste t Bilateral: Achando os Valores Achando os Valores
Críticos de tCríticos de tTabela de valores críticos de tTabela de valores críticos de t
/2 = 0,05/2 = 0,05
/2 = 0,05/2 = 0,05
Dado: n = 3; Dado: n = 3; = 0,10 = 0,10
gl = n - 1 = 2gl = n - 1 = 2
Exemplo de Teste t Bilateral Exemplo de Teste t Bilateral
Uma caixa de cereal contém Uma caixa de cereal contém 368368 gramas de cereal em gramas de cereal em média? Numa amostra média? Numa amostra aleatória de aleatória de 2525 caixas caixas obteve-se uma média de obteve-se uma média de 372,5372,5 e um desvio padrão e um desvio padrão dede 1212 gramas. Suponha gramas. Suponha uma distribuição normal. uma distribuição normal. Teste ao nível de Teste ao nível de 0,050,05.. 368 g368 g
Solução do Teste t BilateralSolução do Teste t Bilateral
HH00: : = 368 = 368
HH11: : 368 368
= = 0,050,05
gl = gl = 25 - 1 = 2425 - 1 = 24Valores Críticos:Valores Críticos:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Não rejeitar com Não rejeitar com = 0,05 = 0,05
Não há evidência que Não há evidência que média populacional não média populacional não é 368é 368
tX
Sn
372 5 368
1225
1875.
.tX
Sn
372 5 368
1225
1875.
.
t0 2.064-2.064
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
t0 2.064-2.064
.025
Reject H 0 Reject H 0
.025
Teste t Unilateral para a Teste t Unilateral para a Média (Amostra Pequena)Média (Amostra Pequena)
Exemplo de Teste t Exemplo de Teste t Unilateral Unilateral
A capacidade média de A capacidade média de baterias é baterias é no mínimo 140 no mínimo 140 ampéres-horas? Numa ampéres-horas? Numa amostra aleatória de amostra aleatória de 2020 baterias obteve-se uma baterias obteve-se uma média de média de 138,47138,47 e um desvio e um desvio padrão de padrão de 2,662,66. Suponha . Suponha uma distribuição normal. uma distribuição normal. Teste ao nível de Teste ao nível de 0,050,05..
Solução do Teste t Solução do Teste t UnilateralUnilateral
HH00: : = 140 = 140
HH11: : < 140 < 140
= = 0,050,05
gl = gl = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19
Valor Crítico:Valor Crítico:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
tX
Sn
138 47 140
2 6620
2 57.
..t
XSn
138 47 140
2 6620
2 57.
..
Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
Há evidência que a Há evidência que a média é menor que 140média é menor que 140t0-1.729
.05
Reject
t0-1.729
.05
Reject
Teste Z para a ProporçãoTeste Z para a Proporção
Teste Z para a ProporçãoTeste Z para a Proporção
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Dois resultados categóricosDois resultados categóricos População segue distribuição binomialPopulação segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada
não contém 0 ou nnão contém 0 ou n)ˆ1(ˆ3ˆ ppnpn
Teste Z para a ProporçãoTeste Z para a Proporção
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Dois resultados categóricosDois resultados categóricos População segue distribuição binomialPopulação segue distribuição binomial Aproximação pela Normal pode ser usadaAproximação pela Normal pode ser usada
não contém 0 ou nnão contém 0 ou n
2.2. Estatística de teste Z para a proporçãoEstatística de teste Z para a proporção
Zp p
p pn
( )0
0 01Z
p pp p
n
( )0
0 01Proporção Proporção populacional supostapopulacional suposta
)ˆ1(ˆ3ˆ ppnpn
Exemplo de Teste Z para Exemplo de Teste Z para Proporção Proporção
O sistema atual de O sistema atual de empacotamento produz empacotamento produz 10%10% de caixas de cereal de caixas de cereal defeituosas. Usando um novo defeituosas. Usando um novo sistema, uma amostra aleatória sistema, uma amostra aleatória de de 200200 caixas teve caixas teve1111 defeitos. defeitos. O novo sistema produz O novo sistema produz menosmenos defeitos? Teste ao defeitos? Teste ao nível de nível de 0,050,05..
Solução do Teste Z para a Solução do Teste Z para a ProporçãoProporção
HH00: : pp = 0,10 = 0,10
HH11: : pp < 0,10 < 0,10
= = 0,050,05
nn = = 200200
Valor Crítico:Valor Crítico:
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
Z0-1.645
.05
Reject
Z0-1.645
.05
Reject Rejeitar com Rejeitar com = 0,05 = 0,05
Há evidência que novo Há evidência que novo sistema < 10% defeituosassistema < 10% defeituosas
Zp p
p pn
( )
.
. ( . ).0
0 01
11200
10
10 1 10200
2 12Zp p
p pn
( )
.
. ( . ).0
0 01
11200
10
10 1 10200
2 12
Teste para a VariânciaTeste para a Variância
Teste para a VariânciaTeste para a Variância
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostragem aleatóriaAmostragem aleatória População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal
Teste para a VariânciaTeste para a Variância
1.1. Hipóteses:Hipóteses: Amostragem aleatóriaAmostragem aleatória População tem distribuição normalPopulação tem distribuição normal
2.2. Estatística de teste Estatística de teste 22
2
22 s)1n(
Exemplo de Teste Bilateral Exemplo de Teste Bilateral para a Variânciapara a Variância
A variância da capacidade A variância da capacidade das baterias produzidas é das baterias produzidas é 4,20 4,20 ampéres-horasampéres-horas22? ? Numa amostra aleatória de Numa amostra aleatória de 2020 baterias obteve-se uma baterias obteve-se uma média de média de 138,47138,47 e uma e uma variância de variância de 7,087,08. Suponha . Suponha uma distribuição normal. uma distribuição normal. Teste ao nível de Teste ao nível de 0,100,10..
Solução do Teste Solução do Teste 22 BilateralBilateral
HH00: : = 4,20 = 4,20
HH11: : 4,20 4,20
= = 0,100,10
gl = gl = 20 - 1 = 1920 - 1 = 19
Valores Críticos:Valores Críticos:22
0,05;190,05;19 = 30,144 = 30,144
220,95;190,95;19 = 10,117 = 10,117
Estatística de Teste: Estatística de Teste:
Decisão:Decisão:
Conclusão:Conclusão:
03,3220,4
08,7)120(s)1n(2
22
Rejeitar com Rejeitar com = 0,10 = 0,10
Há evidência que a Há evidência que a variância é diferente de variância é diferente de 4,204,20